Capítulo 6 – VALORES e VECTORES PRÓPRIOS (conclusão)

Capítulo 6 – VALORES e VECTORES
PRÓPRIOS (conclusão)
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 1/7

Outra caracterização das matrizes invertíveis
Proposição: Seja A ∈ Mn×n(K). Tem-se:
A é invertível sse A não tem o valor próprio zero.
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 2/7

Matrizes Semelhantes
DEFINIÇÃO: Sejam A, B ∈ Mn×n(K). Dizemos que
A e B são semelhantes se existe uma matriz
invertível P ∈ Mn×n(K) tal que
P −1 AP = B.
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 3/7

Matrizes Semelhantes
Proposição: Se A, B ∈ Mn×n(K) são
semelhantes então os seus polinómios
característicos são iguais.
(Consequentemente, A e B têm os mesmos
valores próprios e com iguais multiplicidades
algébricas.)
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 4/7

Matrizes Diagonalizáveis
DEFINIÇÃO: Seja A ∈ Mn×n(K). Dizemos que A é
uma matriz diagonalizável se A é semelhante a
uma matriz diagonal, isto é, se existe uma matriz
invertível P ∈ Mn×n(K) e uma matriz diagonal
D ∈ Mn×n(K) tais que
P −1 AP = D.
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 5/7

Caracterização das matrizes Diagonalizáveis
Teorema: Seja A ∈ Mn×n(K). São equivalentes
as afirmações:
1. A é diagonalizável.
2. A tem n vectores próprios linearmente
independentes.
3. A soma das multiplicidades geométricas dos
valores próprios de A é igual a n.
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 6/7

Exemplos/Exercícios
Seja A =
⎡
⎢
⎣
1 1 0
1 1 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦
∈ M3×3(R).
– Justifique que A é diagonalizável e determine
uma matriz invertível P tal que
P −1 AP =
⎡
⎢
⎣
0 0 0
0 2 0
0 0 0
Exercícios Propostos: 6.1, 6.2, 6.7(a), 6.10,
6.17, 6.30, 6.32, 6.33, 6.34.
⎤
⎥
⎦ .
Capítulo 6 - 27 a Aula, 17/Dez/2008 – p. 7/7