Física I -2009/2010
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Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
1 a Série - Vectores - Resolução<br />
Q1-Dadoovector A da figura seguinte, desenhe os vectores 1<br />
2 A e 2 A.<br />
1<br />
A<br />
A 2 2A<br />
Q2 - Para cada um dos pares de vectores A e B seguintes, obtenha graficamente o vector<br />
diferença A − B<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
A<br />
A<br />
B<br />
B<br />
B -B<br />
A A<br />
A<br />
1<br />
-B<br />
-B<br />
A<br />
A<br />
A -B<br />
A<br />
-B<br />
A<br />
-B
Q3 - Dados os vectores A e B seguintes, obtenha graficamente o vector C =2 A − 3 B.<br />
A<br />
Q4 - Obtenha os valores numéricos das componentes (escalares), segundo os eixos dos x e<br />
dos y, de cada um dos vectores indicados.<br />
a)<br />
As componentes escalares do vector A são:<br />
b)<br />
As componentes escalares do vector B são:<br />
c)<br />
As componentes escalares do vector C são:<br />
A<br />
5<br />
y<br />
0<br />
130º<br />
Ax = 5 cos 130 ◦ =5× (−0.64) = −3. 2<br />
Ay = 5 sin 130 ◦ =3. 8<br />
30º<br />
B<br />
y<br />
4 0<br />
Bx = 4 cos 210 ◦ = −4 cos 30 ◦ = −3. 5<br />
By = 4sin210 ◦ = −4sin30 ◦ =2.0<br />
5<br />
C<br />
y<br />
45º<br />
0<br />
Cx = 5cos(−45 ◦ )=3.5<br />
Cy = 5sin(−45 ◦ )=−3.5<br />
2<br />
B<br />
x<br />
x<br />
x
Q5 - Quais são as componentes, segundo os eixos dos x edosy, dovectorsoma D = A+ B+ C<br />
dos três vectores referidos na questão Q4?<br />
Resolução:<br />
A componente segundo um eixo do vector soma de vários vectores é a somas das componentes segundo<br />
esse eixo desses vectores.<br />
Dx = Ax + Bx + Cx = −3. 2 − 3. 5+3.5 =−3.2<br />
Dy = Ay + By + Cy =3.8+2.0− 3.5 =2.3<br />
Q6 - Um vector pode ter uma componente nula e módulo não nulo? Justifique.<br />
Q7 - Um vector pode ter módulo nulo e uma componente não nula? Justifique.<br />
Q8 - Para cada vector cujas componentes segundo os eixos dos x edosy são indicadas:<br />
• Desenhe o vector utilizando o sistema de eixos apresentado;<br />
• Indique o ângulo θ que define a direcção e sentido do vector;<br />
• Obtenha o módulo do vector e o valor de θ.<br />
a) Ax =3, Ay = −2;<br />
O módulo de A é<br />
¯ ¯<br />
A¯<br />
=<br />
y<br />
y<br />
A y<br />
q<br />
A 2 x + A 2 y = √ 9+4=3.6<br />
θ = arctan −2<br />
3<br />
0<br />
0<br />
<br />
A x<br />
A<br />
x<br />
= −0.588 rad = −0.588 rad<br />
2π rad × 360 ◦ = −33. 7 ◦<br />
3<br />
x
) Bx = −2; By =2;<br />
O módulo de B é<br />
c) Cx= 0; Cy = −2.<br />
O módulo de C é<br />
¯ ¯<br />
B¯<br />
=<br />
y<br />
B <br />
By B x<br />
0<br />
q<br />
B 2 x + B 2 y = √ 4+4=2.8<br />
θ = 90 ◦ +arctan 2<br />
2 =135◦<br />
¯ ¯<br />
C¯<br />
=<br />
<br />
y<br />
C= x 0<br />
0<br />
C<br />
C y<br />
q<br />
C2 x + C2 y = √ θ =<br />
0+4=2<br />
270 ◦ = −90 ◦<br />
Q9 - Dado o vector A = (5, 30 o acima da horizontal), obtenha as componentes Ax e Ay nos<br />
três sistemas de coordenadas indicados abaixo.<br />
a)<br />
y<br />
0<br />
5<br />
A<br />
x<br />
30º<br />
x<br />
Ax = 5cos30 ◦ =4. 3<br />
Ay = 5sin30 ◦ =2.5<br />
4<br />
x
)<br />
c)<br />
0<br />
y<br />
A<br />
5<br />
30º<br />
30º<br />
Ax = 5cos(30 ◦ +30 ◦ )=2. 5<br />
Ay = 5sin(30 ◦ +30 ◦ )=:4. 3<br />
5<br />
y<br />
A 45º<br />
30º<br />
Ax = 5cos(30 ◦ − 45 ◦ )=4. 8<br />
Ay = 5sin(30 ◦ − 45 ◦ )=−1. 3<br />
5<br />
0<br />
x<br />
x
Problemas:<br />
Nestes problemas, os vectores unitários que definem a direcção e sentido dos eixos coordenados<br />
x, y, z são denominados, respectivamente, por i,j, k.<br />
P1 - Calcule:<br />
a) O módulo do vector a =i +2j +2 k;<br />
| a| = √ 1+4+4=3<br />
b) O vector unitário com a direcção e sentido de a (Dado um vector a, o vector unitário<br />
com a direcção e sentido de a, que poderemos denotar por ba, denomina-se versor de a)<br />
ba = a 1<br />
=<br />
| a| 3 i + 2<br />
3 j + 2<br />
3 k P2 - Dados os vectores a e b, cujas componentes segundo os eixos coordenados x, y e z são,<br />
respectivamente,<br />
determine:<br />
a) O vector c =6a − 3 b;<br />
Os vectores a e b podem ser escritos na forma<br />
Assim,<br />
ax = 5; ay =4; az = −3;<br />
bx = 3; by = −4; bz =5,<br />
a = 5i +4j − 3 k<br />
b = 3i − 4j +5 k.<br />
c = 6a− 3b =(30−9)i + (24 + 12)j +(−18 − 15) k = 21i +36j − 33k. b) A quantidade a 2 + b 2 ;<br />
Dado um vector v, podemosdefinir o produto interno ou escalar do vector v por si própio com sendo<br />
v 2 = v · v. Consequentemente,<br />
a 2 + b 2 = a · a + b · b<br />
= 25+16+9+9+16+25<br />
= 100.<br />
c) O ângulo entre os vectores a e b; O produto interno dos vectores a e b pode ser escrito na forma a · ¯<br />
b = |a| ¯ ¯<br />
b¯<br />
cos θ, emqueθéoângulo entre as direcções de a e b, e pode ser escrito também na forma a· b = axbx +ayby +azbz. Consequentemente,<br />
¯<br />
|a| ¯ ¯<br />
b¯<br />
cos θ = axbx + ayby + azbz<br />
6
e<br />
: −16.0 O ângulo θ é, então,<br />
cos θ = axbx + ayby + azbz<br />
¯<br />
|a| ¯ ¯<br />
b¯<br />
=<br />
5 × 3 − 4 × 4 − 3 × 5<br />
√ 25 + 16 + 9 √ 9+16+25<br />
= −0.32<br />
θ = arccos (−0.32)<br />
= 1. 896 5 rad = 108.7 ◦<br />
d) A projecção de b segundo a.<br />
O vector que resulta da projecção de ¯<br />
b segundo a é um vector com módulo ¯ ¯<br />
b¯<br />
cos θ e a direcção e sentido<br />
do vector a, ou seja, é o vector<br />
¯<br />
¯ ¯<br />
b¯<br />
cos θ a<br />
|a| =<br />
¯<br />
¯ ¯<br />
b¯<br />
a ·b |a| 2 ¯ ¯<br />
¯ ¯ b¯<br />
= a ·b 16<br />
2 = −<br />
|a|<br />
³<br />
5i +4j − 3 ´<br />
k<br />
50<br />
= −1.6i − 1.28j +0.96k. P3 - Dados os pontos P (x1,y1,z1) e Q (x2,y2,z2), escreva a expressão cartesiana (isto é, em<br />
termos dos vectores unitários segundo os eixos dos x, y, z) dovector −→<br />
PQ e e obtenha a expressão<br />
do seu módulo.<br />
O vector −→<br />
PQ temorigemnopontoP (x1,y1,z1) e extremidade no ponto Q (x2,y2,z2). Portanto,<br />
−→<br />
PQ = x2i + y2j + z2 ³<br />
k − x1i + y1j + z1 ´<br />
k<br />
O módulo deste vector é ¯<br />
¯¯ −→<br />
¯ q<br />
¯<br />
PQ¯<br />
=<br />
= (x2 − x1)i +(y2 − y1)j +(z2 − z1) k.<br />
(x2 − x1) 2 +(y2 − y1) 2 +(z2 − z1) 2<br />
√<br />
P4 −Considereosdoisvectoresuev, noplanox0y, possuindo, respectivamente, os módulos<br />
3 e1. Ovectorufaz com o semi-eixo 0x um ângulo de 30o eovectorvfaz com esse semi-eixo<br />
um ângulo de 60o . Calcule:<br />
a) As componentes de u e v, segundo os eixos dos x, y, z;<br />
b) As componentes da resultante da adição de u e v;<br />
c) O módulo dessa resultante;<br />
d) As componentes do vector diferença u − v;<br />
e)Omódulodovectoru−v; f) O produto interno u · v.<br />
7
R: a) ux =1.5; uy =0.87; uz =0; vx =0.5; vy =0.87; vz =0;b)2,1.74,0;c)2.65;d)1,0,0;e)<br />
1; f) 1.5.<br />
P5-Calculeomódulodovectorr = a + b +c, emquea, b,c são os vectores abaixo indicados,<br />
eoânguloqueovectorr faz com o semi-eixo positivo dos x.<br />
ã ≡ (37; 30 ◦ )<br />
˜b ≡ (25; 60 ◦ )<br />
˜c ≡ (30; 135 ◦ ) .<br />
Aqui os vectores são denotados por (|v| ,θ), emque|v| representa a amplitude do vector e<br />
θ representaoânguloqueovectorfazcomosemi-eixopositivodosx.<br />
Como só nos é fornecido um coseno director, o vector está no plano definido pelo eixo dos x eumdos<br />
outros eixos coordenados cartesianos. Seja este eixo o eixo y. Podemos calcular as componentes escalares<br />
de cada um dos vectores segundo os eixos dos x edosy:<br />
ax = 37 cos 30 ◦ =32.0<br />
ay = 37sin30 ◦ =18.5<br />
bx = 25 cos 60 ◦ =12.5<br />
by = 25sin60 ◦ =21.7<br />
cx = 30 cos 135 ◦ = −21.2<br />
cy = 30sin135 ◦ =21.2<br />
Obtemos as componentes do vector r, adicionando as componentes dos vectores-parcelas, segundo cada um<br />
dos eixos coordenados, ou seja,<br />
O módulo de r é, então,<br />
rx = ax + bx + cx =32.0+12.5−21.2 =23.3<br />
ry = ay + by + cy =18.5+21.7+21.2 =61.4<br />
|r| = p 23.3 2 +61.4 2 =66,<br />
enquanto que o ângulo que o vector r faz com o eixo dos x é<br />
θ = arctan ry<br />
rx<br />
= arctan 61.4 ◦<br />
=69.2<br />
23.3<br />
O cálculo da função arctan dá-nos, na calculadora, sempre um ângulo no 1. o ou no 4. o quadrante (conforme<br />
o argumento seja positivo ou negativo). Para nos certificarmos do quadarnte em que tá o ângulo que<br />
pretendemos devemos verificar as componentes escalares do vector. No nosso caso, ambas são positivas,<br />
o que revela que o ângulo se encontra no 1. o quadrante e portante tem o valor dado directamente pela<br />
calculadora.<br />
r<br />
a<br />
8<br />
c<br />
b
P6 - Decomponha um deslocamento de 80 km numa direcção 60o para sul da direcção Este<br />
em dois vectores, ³ ´ um dos quais na direcção Este.<br />
R: a = 40i km; ³ ´<br />
b = −69j km., em que i aponta para Este e j aponta para Norte.<br />
P7 - Um barco parte do seu porto, tendo-se deslocado de 160 km para norte do ponto de<br />
partida. Decomponha o deslocamento do barco em dois vectores componentes, um dirigido<br />
para nordeste e o outro para noroeste. Que distância teria o barco percorrido a mais para<br />
atingir a sua posição final, se viajasse primeiramente para nordeste e depois para noroeste?<br />
c<br />
b<br />
N<br />
O E<br />
Os vectores a, r<br />
b e c, nafigura, constituem os lados de um triângulo rectângulo. Consequentemente<br />
|c| = |a| 2 ¯<br />
+ ¯ ¯<br />
b¯<br />
2 ¯<br />
.Como¯<br />
¯<br />
b¯<br />
= |a|, resulta imediatamente<br />
A distância que o barco teria percorrido a mais é<br />
|a| = |c| 160 km<br />
√ = √ = 113.1km.<br />
2 2<br />
L = 2× 113.1km− 160 km<br />
= 66.2km<br />
9<br />
S<br />
a
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
2 a Série - Força e Movimento 1 - Resolução<br />
Q1 - Duas ou mais forças estão aplicadas aos corpos em cada uma das alíneas. Desenhe, em cada<br />
caso, o vector força resultante, Fres.<br />
a)<br />
b)<br />
c) F R<br />
d)<br />
Q2 - Identifique todas as forças aplicadas aos corpos seguintes, nas condições especificadas.<br />
a) Um elevador, suspenso de um cabo, desce com velocidade constante.<br />
b) Uma mola em hélice comprimida está a empurrar um bloco sobre uma mesa com superfície<br />
rugosa.<br />
c) Um tijolo está cair do topo de um edifício de três andares.<br />
d) Um foguete é lançado com velocidade inicial fazendo um ângulo de 30 o com a horizontal,<br />
Q3 - A figura apresenta um gráfico do módulo da aceleração em função do módulo da força aplicada,<br />
para um corpo de massa m. Ográfico apresenta os dados como pontos individuais, pelo quais foi traçada<br />
uma recta. Desenhe e identifique na figura o gráfico do módulo da aceleração em função do módulo da<br />
força aplicada, para corpos de massa:<br />
a) 2m;<br />
b) 0.5m.<br />
Forca (unidades arbitrarias)<br />
F R<br />
F R<br />
F R<br />
Forca (unidades arbitrarias)<br />
Q4 - Uma força constante aplicada a um corpo, dá origem a uma aceleração deste último, com<br />
módulo 10 m/s 2 . Qual será o módulo da aceleração do corpo, se:<br />
a) O módulo da força aplicada passar para o dobro?<br />
b) A massa do corpo passar para o dobro?<br />
c)Tantoomódulodaforçacomoomódulodamassapassamparaodobro?<br />
d) O módulo da força passa para o dobro e a massa passa para metade?<br />
1<br />
m/2<br />
m<br />
2m
Q5 - As figuras mostram as forças aplicadas a um objecto em várias situações. Para cada caso, desenhe<br />
o vector força resultante aplicada ao corpo e, na parte inferior de cada figura, o vector aceleração<br />
do corpo.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
Q6 - Em cada uma das figuras seguintes falta uma força. Utilize a direcção da aceleração apresentada,<br />
em cada caso, para identificar a força em falta e desenhe-a na figura.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
a<br />
a<br />
Q7 - Considere os seguintes diagramas de movimento para uma partícula. Desenhe o vector força<br />
resultante que actua na partícula na posição 2.<br />
a)<br />
0 2 4<br />
FR 0 2 4<br />
a<br />
2<br />
F R<br />
a<br />
F R<br />
a<br />
F R<br />
a
)<br />
c)<br />
d)<br />
0 2 4<br />
F R<br />
0 2 4<br />
0<br />
0<br />
4<br />
2<br />
0<br />
F R<br />
2<br />
2<br />
Q8 - Para cada uma das situações seguintes, esboce uma figura e represente todas as forças aplicadas<br />
ao corpo em causa. Em seguida, desenhe um diagrama dessas forças e faça uma legenda, identificando<br />
aorigemdecadaumadasfiorças. Por fim, represente, numa cor diferente, o vector que representa a<br />
força resultante, Fres, das forças aplicadas..<br />
Nota - Em geral, num diagrama de forças não deve ser colocada a força resultante, por poder ser<br />
confundida com uma das forças individuais aplicadas. Neste exercício, excepcionalmente, pede-se que<br />
a força resultante, seja representada. Por isso, e para evitar confusão, a força resultante deve ser<br />
desenhada com uma cor que a diferencie das outras.<br />
a) Um, caixote pesado desce verticalmente, com velocidade constante, suspenso de um cabo de aço;<br />
b) Um rapaz empurra uma caixa assente no chão, com velocidade cujo módulo cresce uniformemente.<br />
Neste caso, o "corpo"é a caixa.<br />
c) Uma bicicleta desce uma encosta, com movimento uniformemente acelerado. Despreze o atrito<br />
com o solo (excepto o do rolamento), mas considere não desprezável a resistência do ar.<br />
d) Os travões de carro foram accionados quando descia uma encosta, de forma que ficaram bloqueados.<br />
Q9 - Numa tentativa de enunciar a 3 a lei de Newton, um estudante diz que as forças de acção e<br />
reacção são iguais e opostas entre si. Neste caso, como é que poderia alguma vez haver uma força não<br />
nula sobre um objecto?<br />
As forças constituintes de qualquer par de acção e reacção actuamsempreemcorposdistintos. Consequentemente<br />
as duas nunca contribuem para a força resultante que actua num corpo.<br />
3<br />
F R<br />
4<br />
2<br />
0<br />
4<br />
4
Q10 - São entregues a um astronauta, em órbita em torno da Terra, duas bolas que, exteriormente,<br />
são idênticas. No entanto, uma delas é oca e a outra está cheia de chumbo. Como é que o astronauta<br />
pode distinguir as bolas, sem as abrir?<br />
Para o astronauta, as paredes do satélite constituem um referencial de inércia, porque, como a aceleração é a<br />
mesma, para ele e para as paredes do satélite, se ele estiver em repouso e nenhuma força, para além da da gravidade,<br />
se exercer sobre ele, permanece em repouso, e se estiver a mover-se com velocidade constante, em relação às paredes do<br />
satélite e nenhuma força, para além da da gravidade, se exercer sobre ele, permanece em movimento com velocidade<br />
constante. Em resumo, não existe aceleração relativa entre o astronauta e as paredes do satélite.<br />
Como as massas das bolas são diferentes, ele pode, estando em repouso em relação às paredes do satélite, segurando<br />
uma das bolas. atirá-la numa direcção qualquer. Para isso, exercerá sobre a bola uma força FAB (força exercida pelo<br />
(A)stronauta na (B)ola), comunicando, durante um intervalo de tempo pequeno a aceleração aB = FAB<br />
à bola. A bola<br />
reagirá com uma força sobre o astronauta de módulo igual e de sentido contrário, FBA = − FAB (3. a Lei de Newton).<br />
O astronauta terá, de o mesmo intervalo de tempo, a aceleração<br />
aA = FBA<br />
mA<br />
= − FAB<br />
mA<br />
= mB<br />
aB.<br />
mA<br />
Consequentemente, se o astronauta pproceder de modo a comunicar às duas bolas acelerações acelerações iguais, a<br />
aceleração do próprio astronauta terá módulo prooorcional à massa da bola, o que lhe permitirá distinguir entre as<br />
duas bolas.<br />
Q11 - Suponha que atira ao ar verticalmente uma pedra, assente inicialmente na palma da sua mão,<br />
com um movimento ascencional brusco. Neste caso, o "corpo"é a rocha. Em cada um dos instantes<br />
seguintes, identifique as forças aplicadas à pedra e apresente um diagrama de forças, em cada caso. Dê<br />
atenção aos módulos relativos dos vectores que desenhar.<br />
a) Quando a pedra está assente em repouso na palma da sua mão, antes de ser atirada ao ar;<br />
b) Quando a sua mão se move para cima, antes de largar a pedra;<br />
c) Um décimo de segundo após a pedra deixar a mão;<br />
d) Um décimo de segundo antes de a pedra atingir a altura máxima;<br />
e) No instante em que a pedra atinge a altura máxima;<br />
f) Um décimo de segundo após a pedra atingir a altura máxima.<br />
Q12 - Analise cada uma das situações seguintes, do ponto de vista da Dinâmica, utilizando os passos<br />
seguintes:<br />
1. Identificar o(s) corpo(s) a que o problema se refere e as forças aplicadas a cada um<br />
2. Traçar o diagrama de forças para cada um dos corpos em causa<br />
3. Escrever as equações que resultam da aplicação da 2. a Lei de Newton a cada um dos<br />
corpos<br />
4. Escolher um ou mais sistemas de referência apropriados<br />
5. Obter as equações escalares que resultam da obtenção das componentes dos vectores que<br />
surgemnasequaçõesobtidasem3.<br />
6. Acrescentar as equações que relacionam o movimento dos corpos (identificando forças que<br />
constituem pares de acção e reacção e a relação entre as componentes da aceleração de cada<br />
corpo, relativamente aos sistemas de referência adoptados).<br />
a) Um burro puxa uma carroça. O movimento ocorre com velocidade constante<br />
b) Uma bola está pendurada de uma corda. Esta última está ligada ao tecto.<br />
c) A corda da alínea anterior é cortada Considere o instante em que a bola atinge o solo. (Nesta<br />
alínea não tem que entrar em conta com a corda e o tecto).<br />
d) Um contentor encontra-se na caixa de um camião que está a acelerar. O contentor não escorrega.<br />
Considere o contentor e o camião como um único corpo<br />
e) Um contentor encontra-se na caixa de um camião que está a acelerar. O contentor não escorrega.<br />
Considere o contentor e o camiãocomocorposdistintos.<br />
4<br />
mB
f) Dois corpos, de massas diferentes, estão suspensos das extremidades de uma corda que passa<br />
através de uma roldana. Considere desprezáveis as massa da corda e da roldana, bem como a resistência<br />
do ar.<br />
g) Suponha que se encontra no meio de um lago gelado com uma superfície tão escorregadia (os<br />
coeficientes de atrito estático e cinético entre as superfícies dos seus pés e o gelo são nulos), que não<br />
consegue andar. No entanto, nos seus bolsos existem várias pedras. O gelo está tão duro que as<br />
pedras, se atiradas, não conseguem quebrá-lo e escorregam sobre ela. Consegue encontrar um processo<br />
de atingir a margem do lago, sem qualquer auxílio externo? Utilize esquemas, forças e as leis de<br />
Newton para explicar o seu raciocínio.<br />
Q13 - Um tubo oco está dobrado de modo a formar três quartos de uma circunferência. Uma<br />
bola é lançada através do tubo com velocidade de módulo elevado. Quando a bola emerge da outra<br />
extremidade, segue a trajectória A, a trajectória B ou a trajectória C? Justifique o seu raciocínio.<br />
visto de cima<br />
A bola segue a trajectória C, porque ao emergir do tubo deixa de ser actuada por qualquer força (durante o percurso<br />
no interior do tubo era actuada por uma força centrípeta, exercida pela parede do tubo), pelo que a sua velocidade<br />
passa a ser constante.<br />
Q14 - a) Um elevador desloca-se para cima, com velocidade constante. O elevador está suspenso de<br />
um cabo. Despreze os atritos e a resistência do ar. O módulo da tensão do cabo é superior, inferior<br />
ou igual ao módulo do peso do elevador? Justifique, utilizando um diagrama de forças e referindo as<br />
leis físicas pertinentes.<br />
b) O elevador desloca-se para baixo, com velocidade de módulo decrescente. O módulo da tensão do<br />
cabo é superior, inferior ou igual ao módulo do peso do elevador? Justifique, utilizando um diagrama<br />
de forças e referindo as leis físicas pertinentes.<br />
Q15 - Duas ou mais forças, representadas por diagramas de forças, são exercidas num corpo com<br />
massa de 2 kg. A escala está graduada em newton. Para cada um dos casos apresentados,<br />
• Desenhe o vector que representa a força resultante aplicada ao corpo, aplicando-o na origem do<br />
sistema de referência;<br />
• No espaço à direita, escreva os valores numéricos das componentes da aceleração, ax e ay.<br />
a)<br />
F 2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
2<br />
F 1<br />
F x(N)<br />
ax = FRx<br />
m<br />
ay = FRy<br />
m<br />
C<br />
B<br />
A<br />
F 2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
1N<br />
= =0.5m/ s<br />
2kg<br />
2N<br />
= =1.0m/ s<br />
2kg<br />
5<br />
2<br />
-2<br />
F R<br />
2<br />
F 1<br />
F x(N)
)<br />
c) .<br />
F 3<br />
F 2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
F3 -2<br />
F 2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
Q16 - Três forças, F1, F2 e F3, originam a aceleração de um corpo com massa de 1 kg, cujo módulo<br />
é indicado. Em cada diagrama de forças estão representadas duas forças, mas a terceira não está<br />
representada. Para cada caso, desenhe o vector correspondente à terceira força, aplicando-o na origem<br />
do sistema de referência.<br />
a) |a| =2m/s 2<br />
Aforça F3 deve ser tal que<br />
com m =1kge |a| =2 m/ s 2 .Dográfico retiramos<br />
F 2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
F 1<br />
2<br />
2<br />
F 1<br />
F 1<br />
2<br />
F x(N)<br />
F x(N)<br />
F x(N)<br />
FR = F1 + F2 + F3 = ma,<br />
F1x = 2N; F1y =1N<br />
F2x = −2N; F2y =2N.<br />
Da 2. a Lei de Newton,<br />
|a| =<br />
¯ =<br />
¯<br />
FR¯<br />
r<br />
m<br />
¡F1 ¢ ³<br />
´<br />
2<br />
2<br />
+ F2 + F3 + F1 + F2 + F3y<br />
x x x<br />
y y<br />
.<br />
m<br />
Substituindo os valores dados e os calculados,<br />
r<br />
¡F1 ¢ ³<br />
´<br />
2<br />
2<br />
+ F2 + F3 + F1 + F2 + F3y<br />
x x x<br />
y y<br />
q<br />
¡2N− ¢ 2 ¡ ¢ 2<br />
2N+F3 + 1N+2N+F3y<br />
x<br />
q<br />
F<br />
=<br />
=<br />
m |a|<br />
2<br />
1kg× 2m/ s 2 3 +<br />
x ¡ ¢ 2<br />
3N+F3y = 2N<br />
Uma possibilidade é F3y = −3N e F3 x =2N.<br />
6
Podemos verificar o resultado:<br />
FRx<br />
FRx<br />
F 2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
F 1<br />
2<br />
F 3<br />
F x(N)<br />
= 2N−2N+2N=2N = 1N+2N−3N=0 A aceleração do corpo de massa 1kg,actuado por esta força, será<br />
cujo módulo é, evidentemente, |a| =2m/ s 2 .<br />
Note-se que este resultado não é o único possível.<br />
b) a =(0, −3) m/s 2<br />
c) O corpo move-se com velocidade constante.<br />
a = FR<br />
m<br />
= 2N<br />
1kg i<br />
= 2i ¡ m/ s 2¢ ,<br />
F 2<br />
-2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
F y(N)<br />
2<br />
-2<br />
Q17 - Se o ouro fosse vendido a peso, preferia comprá-lo na Serra da Estrela ou em Lisboa? Se fosse<br />
vendido pela massa em qual das duas localidades preferia comprá-lo? Porquê?<br />
Q18 - Quanto pesa um astronauta no espaço, longe de qualquer planeta?<br />
Q19 - Suponha que está a pressionar, com a mão, um livro contra uma parede. O livro não se move.<br />
a) Identifique as forças aplicadas ao livro e desenhe um diagrama de forças.<br />
As forças aplicadas ao livro são a força gravítica (o peso), P , exercida pela Terra, a força exercida pela mão, F ,e<br />
a força exercida pela parede no livro, que se pode decompor em duas componentes, uma normal à parede, n eoutra<br />
com a direcção da parede (a força de atrito estático), fe. O diagrama de forças aplicadas ao livro, suposto pontual, é<br />
oseguinte:<br />
7<br />
F 1<br />
F 2<br />
F 1<br />
2<br />
2<br />
F x(N)<br />
F x(N)
n<br />
b) Suponha que diminui a força, F , que está aplicar com mão ao livro, mas não o suficiente para o<br />
livro se mover. O que acontece ao módulo de cada uma das seguintes quantidades? Aumenta, diminui<br />
ou não se altera?<br />
F<br />
P (pesodolivro)<br />
n (força da parede sobre o livro)<br />
fe (força de atrito estático entre o livro e a parede)<br />
femax ¯ (módulo máximo da força de atrito estático entre o livro e a parede)<br />
¯ ¯ ¯<br />
¯ ¯<br />
F ¯ diminui; ¯ ¯<br />
¯<br />
¯<br />
¯<br />
P ¯ mantém-se; |n| diminui, porque, como o livro está em equilíbrio, |n| = ¯ ¯ ¯<br />
¯ ¯<br />
F ¯; ¯ ¯<br />
fe¯<br />
mantém-se,<br />
¯<br />
porque, como o livro está em equilíbrio, ¯ ¯ ¯<br />
¯ ¯<br />
fe¯<br />
= ¯ ¯<br />
P ¯. femax não se altera porque depende apenas do coeficiente de atrito<br />
entre as superfícies do livro e da parede.<br />
Q20-Considereumcontentorqueseencontranacaixadeumcamião.<br />
a) Se a aceleração do camião tem módulo muito pequeno, o contentor move-se solidariamente com<br />
o camião, sem escorregar. Qual é a força ou forças que actua(m) no contentar, originando a aceleração<br />
deste? Qual é a direcção e sentido desta(s) força(s)?<br />
b) Desenhe um diagrama das forças que actuam no contentor e apresente a respectiva legenda.<br />
c) O que acontece ao contentor se a aceleração do camião tiver módulo muito elevado? Justifique a<br />
sua resposta.<br />
Q21-Cincobolasdeslocam-senoar,comasvelocidades representadas pelos vectores das figuras,<br />
Coloque por ordem, do maior para o menor, os módulos das acelerações a1 a a5. Note que alguns<br />
podem ser iguais. Utilize o formato A>B= C>D. Justifique.<br />
f e<br />
P<br />
F<br />
50 g 100 g 50 g 100 g<br />
1 2 3 4 5<br />
imediatamente<br />
apos ser largada<br />
imediatamente<br />
apos ser largada<br />
v =0 v =0<br />
v = -20 m/s v = -20 m/s<br />
Q22 - Considere uma bola de madeira com massa 1 kg e uma bola de chumbo com massa 10 kg,<br />
com dimensões e formas idênticas. São largadas a partir do repouso, simultaneamente, de uma torre.<br />
a) Comece por supor que a resistência do ar é desprezável. Durante a queda, as forças resultantes<br />
que actuam em cada bola são de módulos iguais ou diferentes? Neste último caso, qual é a de maior<br />
módulo? Justifique.<br />
Durante a queda, e se desprezarmos a resistência do ar, a única força que actua nas bolas é a força da gravidade,<br />
pelo que a força resultante é igual à força da gravidade A aceleração das duas bolas é igual, vertical. dirigida para<br />
baixo e de módulo igual a g =9.8m/ s 2 . O módulo da força resultante que actua numa bola de massa m é, portanto<br />
F = mg, directamente proporcional à massa. Consequentemente a força resultante com maior módulo é a que actua<br />
na bola de chumbo.<br />
b) E as acelerações? São iguais ou diferentes? Neste último caso, qual é a de maior módulo?<br />
Justifique.<br />
As acelerações são iguais, como foi explicafo na alínea anterior.<br />
c) Qual das bolas atinge primeiro o solo? Ou chegarão ao solo ao mesmo tempo? Justifique.<br />
Como as acelerações são iguais, chegarão ao solo ao mesmo tempo, por aplicação simples das leis da cinemática do<br />
movimento com aceleração constante, uma vez que são largadas do repouso.<br />
8<br />
v =20m/s<br />
50 g
d) Quando a resistência do ar é incluída no raciocínio, conclui-se que as bolas serão actuadas por<br />
forças de resistência iguais, durante o movimento, quando a velocidade for a mesma, porque as bolas<br />
têm a mesma forma. Neste caso, as acelerações das bolas são iguais ou diferentes? Se são diferentes,<br />
qual delas possui aceleração de módulo maior? Justifique, utilizando diagramas de forças e as leis de<br />
Newton.<br />
Se incluirmos a resistência do ar, R, o diagrama de forças é o seguinte:<br />
Omódulodaforçaderesistênciadoaré<br />
R = 1<br />
2 CρAv2 ,<br />
em que C éocoeficiente de resistência do ar, ρ éamassavolúmicadoar,Aéa área da secção eficazdabolanoseu<br />
movimento e v omódulodavelocidadedabola.<br />
A força total que actua na bola, durante o movimento, é<br />
R<br />
P<br />
FRes = P + R<br />
= ma,<br />
ou, considerando um eixo vertical de referência dirigida para baixo,<br />
P − R = ma,<br />
de onde<br />
P − R<br />
a =<br />
m<br />
= g − CρA<br />
2m v2 ,<br />
que se reduz a a = g, qundo v =0. Verificamos assim que, em cada instante as acelerações das bolas são diferentes,<br />
se largadas simultaneamente, visto que no coeficiente de proporcionalidade do termo dependente de v surge a massa<br />
da bola em denominador. A bola de maior massa possuirá aceleração de módulo maior, porque a percela com sinal<br />
negativo é maior .<br />
e) Na situação da alínea anterior, qual das bolas atinge primeiro o solo? Ou chegarão ao solo ao<br />
mesmo tempo? Justifique.<br />
Como o módulo da aceleração da bola de maior massa é maior em cada instante, essa bola atingirá o solo antes da<br />
outra. Podemos também verificar este facto calculando a velocidade terminal de cada bola, nestas circunstâncias. O<br />
módulo da velocidade terminal, vT, é atingida quando a aceleração é nula, isto é,<br />
g − CρA<br />
2m v2 T = 0<br />
r<br />
2mg<br />
vT =<br />
CρA .<br />
Ó módulo da velocidade terminal é maior para a bola de massa maior.<br />
Q23-OblocoA,assentenumasuperfíciehorizontal,éempurradocomvelocidadeconstantepor<br />
uma mão que exerce uma força FMA (força exercida pela (M)ão no bloco A). Existe atrito entre o bloco<br />
e a superfície horizontal.<br />
mão<br />
A<br />
9
a) Desenhe dois disgramas de forças, um para a mão e outro para o bloco. Nestes diagramas,<br />
apresente apenas as forças horizontais, com comprimentos que representem os módulos relativos dessas<br />
forças. Denomine as forças com a convenção FCD (força que o corpo C exerce no corpo D). Ligue pares<br />
de acção e reacção com uma linha a tracejado.<br />
F BM<br />
mão bloco A<br />
F braco<br />
Legenda:<br />
Forças horizontais exercidas na mão:<br />
FBM → forçaexercidapelobloconamão;<br />
Fbraço → força exercida pelo braço na mão;<br />
Forças horizontais exercidas no bloco:<br />
FMB → forçaexercidapelamãonobloco;<br />
Fc → força de atrito cinético exercido pela mesa no bloco<br />
b) Coloque por ordem de módulos, do maior ao menor, todas as forças horizontais que apresentou<br />
na alínea anterior e justifique.<br />
Os módulos das forças que constituem o par de acção e reacção são iguais, ou seja . Como a mão se desloca<br />
com velocidade constante (e na horizontal), Fbraço = FBM. Analogamente, como o bloco se desloca com velocidade<br />
constante, FMB = Fc. Consequentemente, os módulos das quatro forças são iguais.<br />
Fbraço = FBM = FMB = Fc<br />
Q24 - Um segundo bloco, B, é encostado ao bloco A da questão Q22. A massa do bloco B é superior<br />
à do bloco A. Os blocos possuem aceleração não nula.<br />
mão<br />
A<br />
a) Suponha que não existe atrito entre os blocos e a superfície em que assentam. Desenhe três<br />
diagramas de forças, para os blocos A e B e para a mão, msotrando apenas as forças horizontais. Ligue<br />
pares de acção e reacção com uma linha a tracejado.<br />
b) Por aplicação da 2. a lei a cada bloco e da 3. a lei a cada par de acção e reacção, coloque por ordem<br />
os módulos de todas as forças horizontais, do maior ao menor. Justifique.<br />
Q25 - Os blocos A e B estão assente na palma da sua mão, estando a ser elevados com velocidade<br />
constante. Suponha mB >mA e despreze a massa da mão (mM =0).<br />
B<br />
A<br />
a) Desenhe diagramas de forças, um para cada bloco e um terceiro para a mão. Apresente todas as<br />
forças verticais, tendo em conta os valores relativos dos módulos dessas forças. Para a mão, despreze<br />
o peso e as forças que o braço exerce nela. Ligue pares de acção e reacção com uma linha a tracejado.<br />
mão<br />
F AM<br />
bloco A<br />
F BA<br />
F MA<br />
P A<br />
10<br />
B<br />
F c<br />
FAB bloco B<br />
P B<br />
FMB
Legenda:<br />
Forças exercidas na mão (desprezando o peso e as forças exercidas pelo braço):<br />
FAM → forçaexercidapeloblocoAnamão;<br />
Forças exercidas no bloco A:<br />
FMA → força exercida pela mão no bloco A;<br />
FBA → força exercida pelo bloco B no bloco A;<br />
PA → Peso do bloco A<br />
Forças exercidas no bloco B:<br />
FAB → força exercida pelo bloco A no bloco B;<br />
PB → Peso do bloco B<br />
b) Por aplicação da 2. a lei a cada bloco e da 3. a lei a cada par de acção e reacção, colocque por<br />
ordem os módulos de todas as forças verticais, do maior ao menor. Justifique<br />
A resultante das forças exercidas no bloco B é nula, porque este desloca-se com velocidade constante. Consequentemente,<br />
FAB = PB.<br />
Como FBA e FAB constituem um par de acção e reacção, FBA = FAB. A resultante das forças exercidas no<br />
bloco A é nula, porque este desloca-se com velocidade constante. Consequentemente, FMA = FBA + PA. Concluímos<br />
FBA
Q29 - Uma bola descreve uma trajectrória circular, num plano vertical, presa a um fio. Num instante<br />
em que a bola se encontra no ponto mais baixo da trajectória, uma faca afiada é utilizada para cortar<br />
o fio. Desenhe a trajectória subsequentedabolaatéqueatingeosolo.<br />
Q31 - Um berlinde desloca-se numa trajectória circular no interior de um cone. Desenhe um<br />
diagrama das forças que actuam no berlinde quando se encontra no lado esquerdo do cone e um<br />
segundo diagrama das forças que actuam no berlinde quando se encontra no lado direito do cone.<br />
Q32-Umaviãoajactodesloca-senumatrajectória horizontal com velocidade constante.<br />
a) Qual é a força resultante que actua no avião?<br />
b) Desenhe um diagrama das forças que actuam no avião e identifique-as.<br />
c) Os aviões inclinam-se para um lado quando viram. Explique por quê, em termos das forças<br />
e das leis da <strong>Física</strong>.<br />
Sugestão: Que aspecto terá o diagrama das forças observado por detrás do avião?<br />
12
Problemas:<br />
P1 - Uma força dependente do tempo, F =(8.00 i − 4.00 t j) N (onde t está em s), é aplicada num<br />
objecto de 2.00 kg inicialmente em repouso.<br />
a) Em que instante o objecto se move com velocidade de módulo 15.0 ms −1 ?<br />
Vamos utilizar a 2. a lei de Newton na forma F = ma, emquem éamassadoobjectoea a sua aceleração. Resulta<br />
Utilizando, agora, a = dv<br />
, obtemos<br />
dt<br />
a = F<br />
³<br />
m<br />
´<br />
= 4.00i − 2.00 t j m/ s 2 .<br />
v =<br />
=<br />
Z t<br />
0<br />
Z t<br />
0<br />
adt<br />
³<br />
´<br />
dt 4.00i − 2.00 t j N<br />
= 4.00ti − t 2j m/ s<br />
Pretendemos encontrar o instante t, em segundo, para o qual<br />
|v| 2 =(4.00 N × t) 2 + t 4 =(15.0m/ s) 2<br />
resultando imediatamente<br />
t =3.0s.<br />
b) A que distância está o objecto da sua posição inicial quando a sua velocidade possui módulo igual<br />
a 15.0 ms−1 ?<br />
O vector posição, em relação ao ponto de partida, é, para qualquer instante t,<br />
r =<br />
=<br />
Z t<br />
0<br />
Z t<br />
0<br />
vdt<br />
³<br />
dt 4.00ti − t 2j<br />
´<br />
m/ s<br />
= 2.00t 2i − t3<br />
3 j m<br />
No instante t =3s, temos<br />
r =18.0i − 9.00j m.<br />
A distância deste ponto ao ponto de partida, de coordenadas (0,0), é<br />
q<br />
d = (18.0m) 2 +(9.00 m) 2<br />
= 20.1m.<br />
c) Qual é o deslocamento total do objecto entre o ponto de partida e o ponto referido na alínea<br />
anterior?<br />
O deslocamento total é<br />
∆r = r (t =3.0s)− r (t =0.0s)<br />
= 18.0i−9.00j m<br />
P2 - Se a força gravitacional da Terra faz com que um estudante de 60 kg em queda livre tenha uma<br />
aceleração de 9.8 ms −2 para baixo, determine a aceleração da Terra, para cima, durante a queda do<br />
estudante. Considere a massa da Terra igual a 5.98 × 10 24 kg.<br />
13
O módulo da força que a Terra exerce no estudante é FET = mEaE =60×9.8 =5.9×10 N. A força que o estudante<br />
exerce na Terra é a força de reacção à primeira e portanto tem o mesmo módulo. Consequentemente, o móduço da<br />
aceleração da Terra, resultante da interacção com o estudante é<br />
aT = FTE<br />
MT<br />
5.9 × 10<br />
=<br />
5.98 × 1024 = 9. 9 × 10 −24 m/ s 2 .<br />
P3 - Determine a tensão em cada corda para os sistemas representados na figura (Despreze a massa<br />
das cordas)<br />
.<br />
a) O ponto em que as cordas se juntam está em repouso. Consequentemente a resultante das forças que nele<br />
actuam é nula. Essa resultante é<br />
T1 + T2 + T3 = 0<br />
Escolhendo um sistema de eixos com o eixo dos x horizontal dirigido para a direita e o eixo dos y vertical dirigido<br />
para cima, temos:<br />
x : −T1 cos 40 ◦ + T2 cos 50 ◦ =0<br />
y : T1 cos 50 ◦ + T2 cos 40 ◦ − T3 =0<br />
Abolaestáemrepousosobaacçãodoseupesoedatensão T3, de onde<br />
Portanto<br />
e<br />
T3 − P =0<br />
T3 = P<br />
= 5.0 × 10 N<br />
−T1 cos 40 ◦ + T2 cos 50 ◦ =0<br />
T1 cos 50 ◦ + T2 cos 40 ◦ =5.0 × 10<br />
A solução é : {T1 =32N,T2 =38N}.<br />
P4 - Um bloco desliza sem atrito ao longo de um plano inclinado com inclinação de 15 o . Se o bloco<br />
partirdorepousodocimodoplanoeocomprimentodestefôr2.0 m, determine:<br />
a) o módulo da aceleração do bloco,<br />
A2 a . lei de Newton aplicada ao bloco exprime-se na equação:<br />
Com a escolha habitual de eixos, temos<br />
P + N = ma<br />
x : P sen θ = ma<br />
y : N − P cos θ =0<br />
14
Da 1 a . destas equações, obtemos<br />
a = g sen θ<br />
= 10sen15 ◦<br />
= 2.6m/ s 2<br />
b) a velocidade do bloco quando atinge a base do plano.<br />
Utilizamos a equação da cinemática do movimento uniformemente acelerado unidimensiona que relaciona a velocidade,<br />
a aceleração e a posição:<br />
e<br />
v 2 = v 2 0 +2ax<br />
= 0+2× 2.6 × 2<br />
= 10.4(m/ s) 2<br />
v = √ 10.4<br />
= 3.2m/ s<br />
A velocidade do bloco quando atinge a base do plano é, portanto, v =<br />
³ ´<br />
3.2i m/ s.<br />
P5 - Um homem está de pé sobre uma balança de mola, dentro de um elevador. O elevador parte<br />
do repouso e sobe atingindo a sua velocidade máxima 1.2 m s −1 em 0.80 s. Durante os seguintes<br />
5.0 s, o elevador viaja com velocidade constante igual a aquele valor. O elevador sofre em seguida uma<br />
aceleração uniforme negativa segundo o eixo dos y durante 1.5 s, até que atinge o repouso. O que é<br />
que a escala da mola marca :<br />
a) antes do elevador começar a mover-se?<br />
O homem é actuado por duas forças, a força que a balança exerce, N, vertical e apontando para cima, e a força<br />
gravítica, ou seja, o peso, P , força vertical e dirigida para baixo. Como a aceleração do homem é nula, a 2. a lei de<br />
Newton aplicada ao homem exprime-se na forma<br />
N + P = 0.<br />
Escolhesmos um sistema de referência que consiste num eixo, cujo sentido apontamos, arbitrariamente; para cima.<br />
Nas componentes deste eixo, a equação anterior assume a forma<br />
N − P =0,<br />
de onde resulta imediatamente<br />
N = mg =7.2 × 10 2 N.<br />
Éesteovalorqueaescaladamolamarca<br />
b) durante os primeiros 0.80 s?<br />
Nesta situação, o homem possui uma aceleração, a, vertical e apontando para cima, pelo que a 2. a Lei de Newton<br />
aplicada ao homem assume agora a forma<br />
N + P = a.<br />
ou, tendo em conta o eixo de refrência referido,<br />
Podemos obter o módulo da aceleração a aprtir<br />
N = m (g + a)<br />
a =<br />
v − v0<br />
t<br />
= 1.2m/ s<br />
0.80 s<br />
= 1.5m/ s 2<br />
15
e<br />
N =<br />
=<br />
m (g + a)<br />
72kg ¡ 10 m/ s 2 +1.5m/ s 2¢<br />
= 8.28 × 10 2 N.<br />
c) enquanto o elevador viaja com velocidade constante?<br />
Neste intervalo de tempo temos, de novo, N + P = 0 e N = mg =7.2 × 10 2 N.<br />
d) durante o tempo em que o elevador desacelera?<br />
Agora, a componente da aceleração segundo o eixo de referência escolhido obtém-se de<br />
a =<br />
−1.2m/ s<br />
1.5s<br />
= −0.8m/ s 2 .<br />
Finalmente , a partir de N + P = ma e N = m (g + a), obtemos<br />
N = 72kg ¡ 10 m/ s 2 − 0.8m/ s 2¢<br />
= 6.62 N<br />
16
P6 - Uma massa M é mantida numa dada posição por uma força aplicada F e um sistema de roldanas<br />
como se mostra na figura 3. As roldanas não têm massa e atrito. Determine:<br />
e<br />
a) a tensão em cada secção da corda, T1, T2, T3, T4, eT5,<br />
São indicadas apenas as relações entre as diversas grandezas, para orientação da resolução.<br />
Portanto<br />
b) a intensidade de F .<br />
T5 = Mg<br />
T2 + T3 = T5<br />
T2 = T3<br />
T1 = T3<br />
F = T1<br />
T4 = T1 + T2 + T3<br />
T2 = Mg<br />
2<br />
T3 = Mg<br />
2<br />
T1 = Mg<br />
2<br />
T4 = 3Mg<br />
2<br />
F = T1 = Mg<br />
2<br />
17
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
3 a Série - Movimento unidimensional - Resolução<br />
Q1 -Esboce um diagrama de pontos para cada um dos movimentos unidimensionais abaixo<br />
indicados, de acordo com as seguintes instruções:<br />
• Utilize o modelo de uma partícula (ou seja, represente o corpo cujo movimento está a<br />
estudar por uma única partícula)<br />
• Bastam seis a oito marcas pontuais para cada um dos diagramas.<br />
• Numere as posições de acordo com a sua ordem pontual.<br />
• Apresente os diagramas de forma clara e precisa.<br />
a) Um automóvel arranca ao longo de uma estrada rectilínea, após o semáforo ter passado<br />
a verde e algum tempo depois desloca-se com velocidade constante.<br />
0 2 4 6<br />
Justificação:<br />
O diagrama apresenta umavisão estroboscópia do movimento. São apresentadas as posições dos ponto,<br />
durante o movimento, para instantes separados por intervalos de tempo iguais. Os vectores deslocamento<br />
entre as posições apresentadas são os indicados na figura seguinte:<br />
r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 r8<br />
0 2 4 6 8<br />
A velocidade média entre cada par de pontos consecutivos é dada por<br />
∆ri<br />
vimed =<br />
∆t .<br />
Como os intervalos de tempo, ∆t, são iguais, podemos representar de forma análoga os vectores velocidade<br />
média para cada intervalo de tempo, numa escala apropriada. Se os intervalos de tempo forem infinitesimais<br />
(∆t → 0), esses vectores representam a velocidade instantânea no instante considerado:<br />
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8<br />
0 2 4 6 8<br />
No início do movimento, este é acelerado com aceleração de módulo positivo, isto é, 0 < |∆v/∆t|. Por<br />
exemplo, |v1| < |v2|. A partir de determinado instante (na figura, o instante t4), o movimento possui<br />
velocidade constante<br />
1
) Um elevador parte do repouso do topo da Torre Vasco da Gama até parar no nível<br />
térreo.<br />
O movimento é acelerado no início (com aceleração e velocidade com o mesmo sentido) e no final (com<br />
aceleração e velocidade com sentidos opostos). Na região intermédia, o movimento possui velocidade constante.<br />
c)Umesquiadorpartedorepousonocimodeumaencostadeneve(quefazumângulode<br />
30 o comahorizontal)edeslizaatáàbasedaencosta.<br />
8<br />
6<br />
Justificação:<br />
O movimento é uniformemente acelerado. Repare-se que, para intervalos de tempo consecutivos,<br />
com ∆v = constante.<br />
0<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
vi+1 = vi + ∆v,<br />
2<br />
4<br />
2<br />
0
8<br />
v 8<br />
v 7<br />
6<br />
v<br />
v 6<br />
v 6<br />
v 7<br />
v 5<br />
4<br />
v 4<br />
v<br />
v 3<br />
v 4<br />
v 5<br />
v1 v2 0<br />
2<br />
Isto implica ∆v/∆t = constante, ou seja, a aceleração média, amed, é constante no tempo. Como isto é<br />
verdade para qualquer intervalo de tempo ∆t, a aceleração instantânea, a = dv/dt, tambéméconstanteno<br />
tempo.<br />
x<br />
7<br />
x<br />
6<br />
v<br />
Posição em função do tempo<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Deslocamento<br />
0 2 4 6 8<br />
t<br />
Módulo da velocidade em função do<br />
tempo<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
t<br />
3<br />
t
d) O vai-vem espacial desloca-se numa órbita circular em torno da Terra, completando uma<br />
revolução em 90 minutos.<br />
2<br />
8<br />
0<br />
Q2 Para cada um dos diagramas seguintes, escreva uma breve descrição do movimento de<br />
um objecto que corresponda ao diagrama apresentado. A sua descrição, que deve mencionar<br />
um objecto específico, deve ser similar às que são apresentadas em Q1.<br />
a)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Um automóvel desacelera (isto é, deslocando-se em mivneto rectilínio, a sua aceleração tem sinal contrário<br />
ao da velocidade), porque o condutor avistou um sinal vermelho, o que o força a apararb)<br />
Um objecto, largado do repouso, cai com movimento unformemente acelerado.<br />
c)<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
4<br />
Inicio<br />
Inicio do movimento<br />
Um automóvel desloca-se com velocidade constante ao longo de uma trajectória rectilínea, até que atinge<br />
uma curva circular, que é descrita com velocidade de módulo inferior. Após a curva, o automóvel desloca-se<br />
de novo numa trajectória rectilínea, com avelocidade de módulo igual à da velocidade antes da curva.<br />
4<br />
6<br />
Para
Q3 - Saindo de casa. o João anda com velocidade constante no sentido da paragem do<br />
autocarro, que dista da casa 200 m . A meio caminho entre a casa e a paragem, avista um<br />
autocarro e começa a correr com velocidade de módulo crescente até atingir a paragem.<br />
Casa do Joao<br />
Paragem<br />
de autocarro<br />
a) Desenhe um diagrama do movimento do João ao longo da rua.<br />
0 2 4 6 ...<br />
Mudámos aqui, ligeiramente, o movimento: no último intervalo, o módulo da velocidade do João diminuiu<br />
(não queremos que ele bata na paragem de forma descontrolada)<br />
b) Adicione um eixo de coordenadas, com origem na casa do João, debaixo do diagrama<br />
que desenhou. Chame x1 à posição em que o João começa a andar, x2 àposiçãoemquese<br />
encontra quando avista o autocarro e x3 àposiçãoemqueatingeaparagemdeautocarro.<br />
Desenhe setas acima do eixo de coordenadas que representem o deslocamento do João, ∆x1,<br />
desde a posição inicial à posição em que avista o autocarro e o deslocamento, ∆x2, desdeesta<br />
última posição até à posição final, junto à paragem.<br />
x 1<br />
0 x 1 x 2 x 3<br />
c) Repita a alínea b) num novo desenho, agora colocando a origem do eixo de referência<br />
na posição em que se encontrava o João quando avistou o autocarro.<br />
x 1<br />
x 1<br />
0<br />
x 2<br />
d) Como variam as setas que representam os deslocamentos quando muda a posição da<br />
origm do referencial?<br />
Não variam<br />
5<br />
x 2<br />
x 2<br />
x 3<br />
x<br />
x
e) Utilizando dois eixos coordenados, esboce um gráfico da posição do João em função do<br />
tempo, correpondendo ao movimento do João.<br />
x 3<br />
x 2<br />
x<br />
x1 0<br />
0<br />
Q4 - O gráfico abaixo mostra em posição, em função do tempo, de um objecto que se move<br />
numa trajectória rectilínea, durante 12 s.<br />
x (m)<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0<br />
2 4 6 8 10 12<br />
a) Indique a posição do objecto nos seguintes instantes de tempo:<br />
t =2s;<br />
t =4s;<br />
t =6s;<br />
t =10s.<br />
b) Qual é a velocidade do objecto durante os primeiros 4 s do movimento?<br />
c) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t =4sa t =6s?<br />
d) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t =6sa t =10s?<br />
e) Qual é a velocidade do objecto no intervalo de tempo de t =10sa t =12s?<br />
f) Esboce um diagrama do movimento (pontos) no intervalo de tempo de t =0sa t =12s.<br />
Q5 - Interprete os seguintes gráficos da posição em função do tempo, para movimento<br />
unidimensional escrevendo uma pequena descrição do que está a acontecer. Seja criativo.<br />
a) Um automóvel em movimento<br />
x (km)<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0<br />
t (min)<br />
20 40 60 80<br />
O automóvel desloca-se com velocidade constante de módulo v1 =1km/ min durante 10 minutos, após<br />
o que permanece parado durante 10 minutos. Em seguida desloca-se, durante 10 minutos com velocidade<br />
de módulo v2 =0.5km/ min, estando depois imóvel durante 10 minutos, para se deslocar de novo, durante<br />
10 minutos com velocidade de módulo v1. Após estar parado dez minutos, regressa ao ponto de partida,<br />
deslocando-se durante 20 minutos com velocidade de módulo v3 =1.25 km/ min . Em resumo, o automóvel<br />
deslocou-se até 25 km do ponto de partida, tendo gasto 45 minutos para a viagem de ida (incluindo as<br />
paragens ao longo do percurso), esteve parado 10 minutos, após o que regressou ao ponto de partida, sem<br />
paragens, gastando 20 minutos na viagem de volta.<br />
6<br />
t<br />
t (s)
) Corredor de 100 m<br />
c) Dois jogadores de futebol<br />
x (m)<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
0<br />
0<br />
x (m)<br />
100<br />
60<br />
20<br />
0<br />
Lucas<br />
2 4 6 8 10<br />
Marques<br />
4 8 12 16<br />
Q6 - Consegue dar uma interpretação do seguinte gráfico da posição em função da velocidade?<br />
Em caso afirmativo, apresente essa interpretação. No caso contrário, dê uma justificação<br />
para a sua resposta.<br />
x (m)<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0<br />
t (s)<br />
t (s)<br />
t (s)<br />
2 4 6 8 10<br />
Q7 - A figura seguinte apresenta um gráfico da posição em função do tempo para dois<br />
corpos A e B que se movem ao longo do mesmo eixo.<br />
x (m) A<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0<br />
t (s)<br />
1 2 3 4 5<br />
a) No instante t =1sa velocidade do corpo A é superior, inferior ou igual à do corpo B?<br />
Justifique.<br />
No instante t =1sa velocidade do corpo A é, em módulo, superior à do corpo B. Com efeito, a partir<br />
de um gráfico da posição em função do tempo para o movimento unidimensional, a velocidade de um corpo<br />
num determinado instante é dada pelo declive da curva nesse ponto. Para t =1so declive da curva que<br />
representa as posições do corpo A em função do tempo é superior ao da curpa correspondente para B.<br />
7<br />
B
) Os dois corpos A e B possuem a mesma velocidade em algum instante? Em caso<br />
afirmativo, indique o ou os instantes em que isso acontece. Em qualquer caso, justifique a sua<br />
resposta.<br />
As curvas referidas na alínea anterior possuem declive constante. Consequentemente, o módulo da<br />
velocidade do corpo A é, em todos os instantes, superior ao módulo da velocidade do corpo B. A resposta<br />
portanto é negativa: os dois coppos nunca possuem a mesma velocidade.<br />
Note-se que no intante t = 2.5s os dois corpos ocupam a mesma posição mas possuem velocidades<br />
diferentes.<br />
Q8 - Desenhe um gráfico da posição em função do tempo e um gráfico da velocidade em<br />
função do tempo para um corpo que está em repouso na posição x =1m.<br />
Q9 - A figura mostra um diagrama de posição para os movimentos de dois automóveis, A<br />
e B. Para cada caso, o intervalo de tempo decorrido entre duas posições sucessivas é de 1 s.<br />
B<br />
A<br />
0<br />
0 5<br />
a) Desenhe o gráfico da posição em função do tempo e o gráfico da velocidade em função do<br />
tempo que correspondem a este diagrama. Para cada caso (posição e velocidade) represente<br />
omovimentodeambososautomóveisnomesmográfico.<br />
b) Existe algum instante de tempo em que os doisautomóveisocupemamesmaposição?<br />
Se sim, marque esse ou esses instantes nos gráficos, utilizando linhas verticais.<br />
x<br />
v<br />
A<br />
B<br />
8<br />
B<br />
A<br />
t<br />
t<br />
5
Q10 - Para cada um dos seguintes gráficos da posição em função do tempo, desenhe o<br />
correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, imediatamente por baixo, como<br />
mostra a figura.<br />
(A) (B)<br />
x(m)<br />
100<br />
0<br />
-100<br />
0<br />
x(m)<br />
100<br />
0<br />
v<br />
-100<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
t (s)<br />
5<br />
t (s)<br />
(C) (D)<br />
0<br />
v<br />
t (s)<br />
5<br />
t (s)<br />
Q11 - Considere o seguinte gráfico da velocidade em função do tempo que descreve o<br />
movimento de um corpo. Imediatamente abaixo desenhe o gráfico da posição em função do<br />
tempoparaomesmomovimento. Escolhaaescalaapropriadaparaavelocidadeedescrevao<br />
movimento.<br />
Resolução:<br />
v(m/s) 10<br />
0<br />
-10<br />
x(m)<br />
5<br />
0<br />
0<br />
x(m)<br />
100<br />
0<br />
-100<br />
0<br />
x(m)<br />
100<br />
0<br />
v<br />
-100<br />
0<br />
v<br />
0<br />
0<br />
t (s)<br />
1 2 3 4 5<br />
t (s)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
9<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
t (s)<br />
5<br />
t (s)<br />
t (s)<br />
5<br />
t (s)
Q12 - Considere os dois gráficos seguintes de posição em função do tempo. Para cada<br />
gráfico, desenhe o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo imediatamente<br />
abaixo. Não são apresentados valores, mas os gráficos que desenhar deverão indicar correctamente<br />
as velocidades relativas.<br />
Resolução:<br />
(A) (B)<br />
x x<br />
0 0<br />
t t<br />
0<br />
v<br />
Q13 - A figura mostra o diagrama de movimento para dois automóveis, A e B.<br />
B<br />
0<br />
A<br />
0<br />
t<br />
a) Desenhe um único gráfico da posição em função do tempo.e, imediatamente por baixo,<br />
o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, para os movimentos de ambos<br />
os carros.<br />
b) Existe algum instante de tempo em que automóveis ocupem a mesma posição? Em caso<br />
afirmativo indique-o(s) no diagrama do movimento e nos gráficos.<br />
c) Existe algum instante de tempo em que os doisosautomóveistenhamamesmavelocidade?<br />
Em caso afirmativo indique-o(s) no diagrama do movimento e nos gráficos.<br />
Q14 - Desenhe um gráfico da posição em função do tempo.e, imediatamente por baixo,<br />
o correspondente gráfico da velocidade em função do tempo, para os seguintes movimentos<br />
unidimensionais..<br />
a) Um automóvel parte do repouso, acelera uniformemente até atingir a velocidade de 60<br />
km/horaem15s,move-secomvelocidadeconstantedurante30sevoltaaestaremrepouso<br />
após 5 s.<br />
b) Uma pedra cai de uma ponte e cai com movimento uniformemente acelerado. O módulo<br />
da sua velocidade é de 30 m/s quando atinge o solo, 3 s depois<br />
Q15 - Os quatro diagramas de movimento unidimensional seguintes apresentam uma posição<br />
inicial 0 e uma posição final 1. Nos diagramas a) e b) (movimento horizontal) os símbolos x0<br />
e x1 representam as posições inicial e final, os símbolos vx0 e vx1 as velocidades inicial e final e<br />
10<br />
0<br />
v<br />
5<br />
5<br />
t
ax a aceleração (constante). Nos diagramas c) e d) (movimento vertical) utilizam-se símbolos<br />
correspondentes com x substituído por y. Após se ter escolhido, para cada caso, o sentido<br />
indicado do eixo de referência, indique no quadro abaixo se estas quantidades são positivas,<br />
negativas ou nulas.<br />
A) B)<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
C) y D) y<br />
1<br />
0 0 Inicio<br />
0<br />
x0 ou y0<br />
x1 ou y1<br />
v0x ou v0y<br />
v1x ou v1y<br />
ax ou ay<br />
para Inicio<br />
x<br />
A B C D<br />
0<br />
1<br />
1<br />
velocidade inicial<br />
nao nula<br />
Q16 - Para cada um dos gráficos da velocidade em função do tempo que seguem, referentes a<br />
movimentos unidimensionais, desenhe o respectivo gráfico da aceleração em função do tempo.<br />
Resolução:<br />
(A) (B) (C)<br />
v v v<br />
0 0 0<br />
t t t<br />
a a a<br />
0 0 0<br />
t t t<br />
Q17 - Se, num movimento unidimensional, a velocidade média é nula durante um intervalo<br />
de tempo ∆t esev(t) éumafunçãocontínua,mostrequeavelocidadeinstantâneasedeve<br />
anular em algum instante durante aquele intervalo. (Um esboço de x em função de t poderá<br />
ser útil na sua explicação).<br />
Q18 — No movimento unidimensional é possível ter uma situação em que a velocidade e<br />
a aceleração têm sinais opostos? Em caso afirmativo, esboce um gráfico da velocidade em<br />
função do tempo para comprovar a sua resposta.<br />
11<br />
0 x
Problemas:<br />
P1 - Este problema tem a ver com a conhecida fábula da lebre e da tartaruga. Uma<br />
tartaruga rápida pode correr a 10.0 cm/ s eumalebrepodecorrer20 vezesmaisdepressa. As<br />
duas iniciam uma corrida ao mesmo tempo, mas a lebre pára para descansar durante 2.0min,<br />
e por isso a tartaruga ganha por um palmo (20 cm). Considere os movimentos ao longo da<br />
mesma direcção.<br />
a) Desenhe, num gráfico da posição em função do tempo, as posições da lebre e da tartaruga<br />
durante o movimento.<br />
b) Quanto tempo dura a corrida?<br />
Seja vt a velocidade da tartaruga e vl a velocidade da lebre, isto é vt =1.00 × 10 −1 m/ s e vl =2.00 m/ s.<br />
(Recorde que, como o movimento é unidimensional, a velocidade, apesar de ser um vector, pode ser representada<br />
por uma quantidade algébrica; a direcção é fixa, o sinal indica o sentido)<br />
Se o tempo de duração da corrida (isto é, até o primeiro corredor atingir a meta) é t, então<br />
vtt − vl (t − 2min)=0.20 m,<br />
porque a lebre esteve 2min em repouso. Consequentemente, utilizando 2min=120s,<br />
que apresentamos com 3 algarismos significativos<br />
t = 0.20 m − vl120 s<br />
vt − vl<br />
=<br />
0.20 m − 120 s × 2.00 m/ s<br />
1.00 × 10−1 m/ s − 2.00 m/ s<br />
= 1.2621 × 10 2 s,<br />
t =1.26 × 10 2 s<br />
c) Qual o comprimento total do percurso da corrida?<br />
O percurso total é, evidentemente,<br />
= vtt<br />
= 1.00 × 10 −1 m/ s × 1.26 × 10 2 m<br />
= 12.6 m.<br />
P2 - Uma partícula move-se ao longo do eixo do x de acordo com a equação x =2.0+3.0 t −<br />
1.0 t 2 , onde x estáemmet em s. Determine para t =3s:<br />
a) a posição da partícula,<br />
Parab t =3s<br />
x =2.0+3.0 t − 1.0 t 2 =2.0 m<br />
b) a sua velocidade,<br />
v = dx<br />
=3.0− 2.0t = −3.0 ms−1<br />
dt<br />
c) a sua aceleração.<br />
a = d2 x<br />
dt 2 = −2.0 ms−2 .<br />
12
P3 - Um avião a jacto aterra com uma velocidade de 100 ms −1 e pode desacelerar a uma<br />
taxa máxima de 5.0 ms −2 até parar.<br />
a)Apartirdoinstanteemqueeletocanapistadeaterragem,qualéotempomínimo<br />
necessário para ele parar?<br />
Como queremos o tempo mínimo temos de utilizar o módulo máximo da aceleração (que é negativa,<br />
em relação ao sentido da velocidade). A velocidade inicial do avião, para t =0sé a velocidade que possui<br />
quando toca a pista, ou seja v0 = 100 m s −1 .No instante em que o avião se imobiliza, a sua velocidade é<br />
nula.O tempo decorrido até parar obtém-se utilizando a equação da velocidade em função do tempo, para<br />
movimento uniformemente acelerado, v = v0 + at, istoé<br />
Substitundo, v =0.eamax = −5.0 ms −2 ,ou<br />
tmin =<br />
v − v0<br />
amax<br />
t = 0ms−1 − 100 m s −1<br />
−5.0 ms −2<br />
= 20s.<br />
b) Pode este avião aterrar num aeroporto pequeno em que a pista tem 0.80 km de comprimento?<br />
A resposta será afirmativa se a distância percorrida após tocar a pista e até o avião se imobilizar, com<br />
a aceleração igual ao valor máximo (mas negativa) for igual ou inferior a 800 m.Essa distância pode ser<br />
calculada utilizando a equação da posição em função do tempo, para o instante correspondente ao tempo<br />
necessário para o avião atingir o repouso, calculado na alínea a):<br />
x = x0 + v0t + 1<br />
2 at2<br />
= 0 + 100 m s −1 × 20 s − 1<br />
2 5.0ms−2 × (20 s) 2<br />
= 1.0 × 10 3 m<br />
Aqui escolhemos x =0mpara t =0s.<br />
Se não tivessemos respondido à alínea a, podíamos obter o espaço percorrido até o avião se imobilizar<br />
utilizando a equação v 2 − v 2 0 =2a (x − x0), ou<br />
xmin = x0 + v2 − v 2 0<br />
2amax<br />
= 0ms−1 − ¡ 100 m s −1¢ 2<br />
−2 × 5.0ms −2<br />
= 1.0 × 10 3 m,<br />
como acima. O avião não poderia aterrar num pista com 800 m de comprimento.<br />
P4 - Uma bala de 2.00 cm de comprimento é disparada directamente através de uma tábua<br />
com 10.0 cm de espessura. A bala atinge a tábua com uma velocidade de módulo 420 ms −1 e<br />
emerge dela com uma velocidade de módulo 280 ms −1 .<br />
a) Qual é a aceleração da bala através da tábua?<br />
13
10 cm<br />
8cm<br />
2cm 2cm<br />
Como a bala tem dimensões, temos de considerar os intervalos de tempo correspondentes à entrada e à<br />
saída da tábua (ver figura) .Vamos introduzir a suposição, de que o valor da aceleração média durante esses<br />
percursos é metade do valor da aceleração quando está inteiramente no interior da tábua (recorde-se que,<br />
como o movimento é unidimensional, podemos identificar os vectores deslocamento, velocidade e aceleração<br />
como quantidades algébricas, uma vez que a direcção destes vectores é a mesma e não varia). .<br />
Durante a entrada na tábua (percurso 1 com 2.00 cm de comprimento) e durante a saída (percurso 3<br />
com 2.00 cm de comprimento) o valor da aceleração é, assim, a/2, emqueaéao valor da aceleração no<br />
percurso em que a bala está totalmente no interior da tábua (2 com 8.00 cm de comprimento).<br />
Utilizamos a equação do movimento uniformemente acelerado unidimensional, v 2 − v 2 0<br />
aos diferentes percursos, obtendo<br />
1. no percurso de entrada, 1<br />
2. no percurso no interior da tábua, 2<br />
3. no percurso de saída, 3<br />
=2ax, aplicando<br />
v 2 1 − v 2 0 =2 a<br />
2 × 1; (1)<br />
v 2 2 − v 2 1 =2a × 2; (2)<br />
v 2 3 − v 2 2 =2 a<br />
2 × 3, (3)<br />
em que v0, v1, v2 e v3 são os valores da velocidade da bala ao tocar na tábua, após o percurso 1, apóso<br />
percurso 2 e após o percurso 3, respectivamente. Substituindo as eq.s (1) e (2) na eq. (3), vamos obter<br />
v 2 3 = v 2 2 +2 a<br />
v<br />
× 3<br />
2 2 3 = v 2 1 +2a × 2 +2 a<br />
v<br />
× 3<br />
2 2 3 = v 2 0 +2 a<br />
ou<br />
v 2 3 − v 2 0 = a (1 +22 + 3)<br />
v2 3 − v2 0<br />
a =<br />
2 × 1 +2a × 2 +2 a<br />
× 3<br />
2<br />
1 +22 + 3<br />
a = (280 m/ s)2 − (420 m/ s) 2<br />
2.00 × 10 −1 m<br />
= −4. 90 × 10 5 m/ s 2<br />
Repare-se que este resultado é o mesmo que se obteria se considerássemos a bala como uma partícula pontual:<br />
em que x é a espessura da tábua. Obtemos, assim,<br />
a = v2 − v 2 0<br />
2x ,<br />
14
a = (280 m/ s)2 − (420 m/ s) 2<br />
2.00 × 10 −1 m<br />
= −4. 90 × 10 5 m/ s 2 ,<br />
que é o resultado obtido acima.<br />
b) Qual é o tempo total de contacto da bala com a tábua?<br />
Podemos calcular o tempo total, obtendo os intervalos de tempo para os três percursos 1, 2 e 3 e<br />
somando-os. Como conhecemos o valor da aceleração em cada percurso, a utilização da expressão ∆x =<br />
vi∆t + 1<br />
2a (∆t)2 , conjuntamente com a equação v2 f − v2 i =2a∆x, permite-nos obter o intervalos de tempo<br />
para cada um dos percursos. Para o percurso 1:<br />
1 = v0∆t1 + 1 2<br />
a (∆t1)<br />
2<br />
e<br />
Obtemos<br />
Para o percurso 2:<br />
Obtemos<br />
e<br />
v 2 1 = v 2 0 +2a1<br />
∆t1 = −v0 ± p v2 0 +2a1<br />
a<br />
= −420 m/ s+<br />
q<br />
(420 m/ s) 2 − (4. 90 × 105 m/ s2 ) × (0.02 m)<br />
= 4. 829 9 × 10 −5 s<br />
∆t2 = −v1 + p v 2 1 +2a2<br />
2a<br />
−4. 90 × 10 5 m/ s 2<br />
v 2 1 = (420 m/ s) 2 − ¡ 4. 90 × 10 5 m/ s 2¢ × (0.02 m)<br />
= 1. 666 × 10 5 (m/ s) 2<br />
v1 = p 1. 666 × 105 m/ s<br />
= 4.082 × 10 2 m/ s<br />
= −4.082 × 102 m/ s+<br />
= 2. 268 8 × 10 −4 s<br />
2 = v1∆t2 + 1 2<br />
a (∆t2)<br />
2<br />
v 2 2 = v 2 1 +2a2<br />
2<br />
q<br />
(4.082 × 10 2 m/ s) 2 − 2 × 4. 90 × 10 5 m/ s 2 × 0.08 m<br />
−4. 90 × 10 5 m/ s 2<br />
v 2 2 = ¡ 4.082 × 10 2 m/ s ¢ 2 − 2 × 4. 90 × 10 5 m/ s 2 × 0.08 m<br />
= 8.823 × 10 4 (m/ s) 2<br />
v2 = p 8.823 × 104 m/ s<br />
= 2.970 × 10 2 m/ s.<br />
15
Para o percurso 3:<br />
Obtemos<br />
∆t3 = −v2 − p v2 2 + a3<br />
a<br />
= −2.970 × 102 m/ s+<br />
= : 6. 93 × 10 −5 s<br />
v 2 3 = v 2 2 +2a3<br />
3 = v2∆t3 + 1<br />
4 a (∆t3) 2 .<br />
q<br />
(2.970 × 10 2 m/ s) 2 − 4. 90 × 10 5 m/ s 2 × 0.02 m<br />
−4. 90 × 10 5 m/ s 2<br />
= ¡ 2.970 × 10 2 m/ s ¢ 2 − 4. 90 × 10 5 m/ s 2 × 0.02 m<br />
= 7.8409 × 10 4 (m/ s) 2<br />
v3 = p 7.8409 × 104 m/ s<br />
= 2.80 × 10 2 m/ s,<br />
como esperávamos. O intervalo de tempo em que a bala está em contacto com a tábua é, portanto,<br />
∆t = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3<br />
= 4. 830 × 10 −5 s+2. 268 8 × 10 −4 s+6. 93 × 10 −5 s<br />
= 3. 44 × 10 −4 s<br />
:c) Que espessura de tábua (calculada até à precisão de 0.1 cm) seria necessária para parar a<br />
bala?<br />
Queremos que o comprimento 2 seja tal que o valor da velocidade da bala seja nula, quando atinge a<br />
parede oposta à da entrada, isto é, pretendemos v2 =0m/ s. Utilizamos a equação<br />
com v2 =0m/ s, para obter<br />
2<br />
v 2 2 = v 2 1 +2a2,<br />
2 = − ¡ 4.082 × 10 2 m/ s ¢ 2<br />
−2 × 4. 90 × 10 5 m/ s 2<br />
= 0.17 m.<br />
A este valor temos de adicionar o percurso 1 =0.02 m, paraobter,finalmente para a espessura, L, da tábua<br />
de modo a parar a bala totalmente no seu interior,<br />
L = 1 + 2<br />
= 0.02 m + 0.17 m<br />
= 0.19 m<br />
16
P5 - Um comboio pode minimizar o tempo t entre duas estações acelerando primeiro a<br />
uma taxa a1 =0.100 m/ s 2 durante um tempo t1, e desacelerando depois a uma taxa a2 = −0.500<br />
m/ s 2 durante um tempo t2, utilizando os travões. Dado que as estações estão afastadas apenas<br />
de 1.00 km, o comboio nunca atinge a sua velocidade máxima. Determine o tempo de viagem<br />
t eotempot1.<br />
Durante o intervalo de tempo t1 o comboio percorre a distância L1, adquirindo a velocidade v1 que é<br />
obtida utilizando<br />
v 2 1 =2a1L1.<br />
Durante o intervalo de tempo t2 = t − t1 o comboio percorre a distância L2 , dada por<br />
ou<br />
e<br />
O percurso total é<br />
Temos, assim<br />
−v 2 1 =2a2L2<br />
L = L1 + L2 = v2 1<br />
−<br />
2a1<br />
v2 1<br />
2a2<br />
v 2 1 =<br />
=<br />
2L<br />
µ<br />
1<br />
−<br />
a1<br />
1<br />
<br />
a2<br />
2 × 103 µ <br />
1 1<br />
+<br />
0.100 0.500<br />
v1 = √ 166. 67 m/ s<br />
= 12. 9m/ s<br />
L1 = v2 1<br />
2a1<br />
= 166. 67 ( m/ s)2<br />
2 × 0.100 m/ s 2<br />
= 8.33 × 10 2 m<br />
L2 = −v2 1<br />
2a2<br />
= 166. 67 ( m/ s)2<br />
2 × 0.500 m/ s 2<br />
= 1.67 × 10 2 m<br />
Então, o tempo de aceleração é, a partir de v1 = a1t1,<br />
t1 = v1<br />
a1<br />
= 12. 9m/ s<br />
0.100 m/ s 2<br />
= 1.29 × 10 2 s<br />
17
enquanto que o tempo de desaceleração é, de 0=v1 + a2t2,<br />
O tempo total é<br />
t2 = − v1<br />
a2<br />
= 12. 9m/ s<br />
0.500 m/ s2 = 2.58× 10 s<br />
t = t1 + t2<br />
= 1.29 × 10 2 s+2.58× 10 s<br />
= 1.55 × 10 2 s.<br />
18
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
4 a Série - Movimento bi- e tridimensional - Resolução<br />
Q1 - A figura mostra as posições de um objecto em movimento, em instantes de tempo<br />
sucessivos Desenhe e identifique o vector velocidade média v0 paraomoviementoentre0e<br />
1, e o vector velocidade média v1 para o movimento de 1 a 2. Em seguida, desenhe o vector<br />
v1 − v0, aplicadonoponto1.<br />
1<br />
0<br />
2<br />
v 0<br />
0 0<br />
v 2 v 2<br />
1<br />
1<br />
1 1<br />
Q2 - Um automóvel ligeiro entra numa cruzamento em que xiste óleo no pavimento,<br />
movendo-se a 16 m/s no sentido Sul-Norte. Depois de uma violenta colisão com um camião,<br />
o automóvel desliza com velocidade de módulo 12 m/s no sentido oeste-leste.<br />
Desenhe na figura os vectores que representam as seguintes grandezas:<br />
a) A velocidade, v0, do automóvel, quando entra no cruzamento;<br />
b) A velocidade, v1, do automóvel, quando deixa o cruzamento;<br />
c) A variação da velocidade ao automóvel, ∆v = v1 − v0, resultante da colisão<br />
v 0<br />
N<br />
N<br />
1<br />
v 1<br />
E<br />
E<br />
v= v1- v0<br />
.<br />
-v 0<br />
v1-v0
Q3 - A figura mostra uma rampa e uma bola que rola sobre essa rampa. Desenhe na figura<br />
os vectores aceleração da bola nos pontos assinalados por letras, de A a E, (ou escreva a = 0,<br />
onde for apropriado.<br />
A<br />
B<br />
Para obter a aceleração em cada ponto, temos de determinar qual é a força resultante que actua na bola<br />
em cada um desses pontos e aplicae a 2. a lei de Newton a = Fres<br />
,emqueméamassa da bola. Em todos<br />
m<br />
ospontosasforçasqueactuamnabolasãoaForçagravíticaeaforçaquearampaexercenabola. Estas<br />
forças, em cada ponto possuem as orientações seguintes:<br />
A<br />
P<br />
n A<br />
B<br />
n B<br />
P<br />
P<br />
C<br />
C<br />
D<br />
P<br />
D E<br />
Note-se que estamos a supor que o ponto D está colocado numa região da rampa com declive não nulo.<br />
Como consequência, a aceleração da bola em cada um dos pontos é a indicada na figura seguinte.<br />
A<br />
a A<br />
a B<br />
B<br />
Q4 - Complete o diagrama de movimento para a trajectória indicada, desenhando os vectores<br />
velocidade e aceleração em cada ponto.<br />
2<br />
n C<br />
a C<br />
C<br />
n D<br />
a D<br />
D<br />
n E<br />
E<br />
E<br />
P<br />
a E =0
Vamos utilizar a relação a = ∆v<br />
∆t para obter a aceleração em cada ponto. Por exemplo, a0 = v1 − v0<br />
=<br />
t1 − t0<br />
v1 − v0<br />
. A direcção, sentido e módulo relativo dos vectores aceleração podem ser obtidos a partir da<br />
∆t<br />
diferença de dois vectores velocidade. No entanto, as dimensões do vector aceleração são, como sabemos,<br />
diferentes das dos vectores velocidade.<br />
v 1<br />
v 0<br />
a 0<br />
Q5-Osdoisgráficos seguintes apresentam os valores de x em função de t edey em função<br />
de t, respectivamente, para uma partícula que se move no plano x0y.<br />
x(m)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0 0<br />
t(s)<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
v 0<br />
a0<br />
a 4<br />
v 5<br />
a 1<br />
a 3<br />
a 2<br />
y(m)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
v 1<br />
v 4<br />
v 2<br />
v 3<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
a) Utilize o terceiro gráfico para desenhar a função y = y(x) correspondente à trajectória<br />
dessa partícula.<br />
b) No mesmo gráfico desenhe o vector velocidade da partícula no instante t =3.5 s.<br />
y(m)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0<br />
5 10 15 20 25<br />
3<br />
v( 3.5 s)<br />
x(m)<br />
t(s)
Q6 - O gráficomostraatrajectóriadeumapartícula. Ospontosindicamasposiçõesda<br />
partícula em intervalos de 1 s. Entre cada ponto, a velocidade da partícula é constante,<br />
a) Desenhe os gráficos de x em função de t edey em função de t, respectivamente, para o<br />
movimento da partícula.<br />
b) O módulo da velocidade da partícula entre os instantes t =5se t =6sémaior,menor<br />
ou igual à velocidade da partícula entre os instantes t =1se t =2s? Justifique.<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
1s<br />
2s<br />
-5<br />
y(m)<br />
6s<br />
0<br />
0s<br />
3s<br />
Q7 - Uma pedra, deixada cair do alto do mastro de um barco à vela, embaterá no mesmo<br />
ponto da coberta quer o barco esteja parado ou em movimento com velocidade constante?<br />
Q8 - Um projéctil é lançado na Terra com uma determinada velocidade inicial. Outro<br />
projéctil é lançado na Lua com a mesma velocidade inicial. Despreze a resistência do ar (na<br />
Terra, claro).A aceleração da gravidade na Lua é 1.6 ms−2 .<br />
a) Qual dos dois objectos tem o alcance maior?<br />
O alcance é a distância, medida na horizontal, do ponto de lançamento ao ponto em que o objecto volta<br />
ateraalturaigualàquetinhanopontodelançamento.Intuitivamente,arespostaseráqueoalcanceserá<br />
maior na Lua do que na Terra, visto que a componente horizontal da velocidade (que é constante durante<br />
todo o movimento) é igual nos dois casos e a aceleração (que tem direcção vertical e sentido para baixo)<br />
possui módulo menor na Lua do que na Terra. Repare-se que a velocidade inicial (módulo e ângulo que faz<br />
com o eixo dos x- horizontal) é igual nos dois casos. Mas o melhor é verificarmos quantitativamente. Para<br />
isso, um bom processo é obtermos a equação da trajectória.<br />
Colocamos a origem do sistema de eixos (x - horizontal e apontando no sentido do movimento do corpo;<br />
y- vertical e apontando para cima. Recorde-se que esta escolha é arbitrária e não influencia o resultado do<br />
problema). A velocidade inicial é v0 e tem componentes positivas segundo os dois eixos de referência.<br />
A equação do movimento (que é uniformemente acelerado) é<br />
r = r0 + v0t + 1<br />
2 at2 ,<br />
em que r é o vector posição do projéctil no instante t, r0 = r (t =0) e a é a aceleração, constante, do<br />
projéctil durante o movimento.<br />
Aescolhaquefizemos do sistema de referência implica r0 = 0 e a = −gj. As equações escalares<br />
correspondentes a esta equação vectorial são<br />
x = v0xt<br />
y = v0yt − 1<br />
2 gt2 .<br />
4<br />
4s<br />
5<br />
5s<br />
10<br />
x(m)
Se eliminarmos o tempo entre estas duas equações, obtemos uma equação do tipo y = y (x), queéaequação<br />
da trajectória.<br />
t = x<br />
v0x<br />
y = v0y<br />
x −<br />
v0x<br />
g<br />
2v2 x<br />
0x<br />
2 .<br />
A equação da trajectória é a a euação de uma parábola.<br />
O ponto de lançamento, (x =0,y =0), é, evidentemente solução desta equação. O ponto em que o<br />
projéctil atinge de novo a altura de que partiu, corresponde ao outro ponto da trajectória com y =0. O<br />
valor de x dar-nos-á a distância horizontal à origem, a que chamamos alcance. Substituindo, então y =0<br />
na equação da trajectória, obtemos<br />
0= v0y<br />
x −<br />
v0x<br />
g<br />
2v2 x<br />
0x<br />
2 .<br />
As soluções desta equação (ou seja, os valores de x que a satisfazem) são x = 0 (como esperávamos,<br />
corresponde ao ponto de partida do projéctil) e<br />
x = v0xv0y<br />
g<br />
= 2v2 0 cos θ0 sin θ0<br />
.<br />
g<br />
Utilizando a relação trigonométrica sin (A + B) =sinA cos B+cos A sin B,obtemossin (2θ0) =2sinθ0 cos θ0<br />
o que nos permite escrever a equação anterior na forma<br />
x = v2 0<br />
sin 2θ0<br />
.<br />
g<br />
Comparando agora este valor de x na Terra e na Lua, obtemos, para os mesmos valores de v0 e θ0,<br />
xLua<br />
xTerra<br />
= gTerra<br />
.<br />
gLua<br />
A nossa intuição estava correcta, o alcance é maior na Lua do que na Terra. (Nem sempre acontece assim,<br />
isto é, as nossas ideias intuitivas nem sempre estão correctas.)<br />
b) Qual dos dois atinge a maior altitude?<br />
Podemos obter a altura máxima atingida por um objecto lançado nas condições indicadas, calculando o<br />
tempo necessário para a subida (fazendo vy =0na equação vy = v0y − gt e substituindo-o na equação da<br />
coordenada y da posição, em função do tempo. y = v0yt − 1<br />
2 gt2 .) Obtemos tsubida = v0y<br />
g e ymax = v2 0y<br />
2g ,que<br />
é o resultado que pretendemos.<br />
Alternativamente, podemos obter o valor de y correspondente ao ponto mais alto da trajectória, ddiferenciamdo<br />
a equação da trajectória em ordem a x e igualando a zero. Obtemos<br />
Igualando a zero,<br />
v0y<br />
v0x<br />
dy v0y<br />
= −<br />
dx v0x<br />
g<br />
v2 x<br />
0x<br />
− g<br />
v2 x = 0<br />
0x<br />
x = v0xv0y<br />
.<br />
g<br />
5
Substituindo este valor de x na equação da trajectória, chegamos a<br />
como anteriormente.<br />
Concluímos, portanto que<br />
ymax = v0y<br />
v0x<br />
v0xv0y<br />
g<br />
= v2 0y<br />
g − v2 0y<br />
2g<br />
= v2 0y<br />
2g ,<br />
ymaxLua<br />
ymaxTerra<br />
A altura máxima é maior na Lua do que na Terra<br />
− g<br />
2v 2 0x<br />
= gTerra<br />
.<br />
gLua<br />
µ 2<br />
v0xv0y<br />
Q9 - Um projéctil é lançado com velocidade inicial fazendo um ângulo entre 0 o e90 o com<br />
a horizontal.<br />
a) Existe algum ponto da trajectória em que os vectores velocidade, v, e aceleração, a,<br />
sejam paralelos um ao outro? Em caso afirmativo, caracterize esse ponto.<br />
b) Existe algum ponto da trajectória em que os vectores velocidade, v, e aceleração, a,<br />
sejam perpendiculares um ao outro? Em caso afirmativo, caracterize esse ponto.<br />
c) Quais das seguintes grandezas permanecem constantes ao longo da trajectória: x, y, |v|,<br />
vx, vy, ax, ay?<br />
Q10 - O veio de distribuição de um determinado automóvel roda com velocidade angular<br />
de 3000 rpm (rotações por minuto). Qual é o valor da velocidade angular em revoluções por<br />
segundo?<br />
Q11 - A figura mostra os pontos do diagrama de movimento de um objecto com movimento<br />
circular uniforme. Complete o diagrama:<br />
a) Desenhe os vectores velocidade instantânea, v, em cada ponto indicado.<br />
b) Noutra cor, desenhe os vectores aceleração instantânea, a, emcadapontoindicado.<br />
0<br />
1<br />
7<br />
2<br />
6<br />
6<br />
3<br />
5<br />
4<br />
g
Q12 - A figura mostra três pontos num prato que roda com velocidade angular constante<br />
em torno de um eixo central.<br />
1 2<br />
3<br />
v 1<br />
v 2<br />
1 2<br />
a) Desenhe os vectores velocidade em cada um dos pontos indicados.<br />
Os vectores velocidade são tangentes à trajectória em cada ponto e apontam no sentido do deslocamento.<br />
Estão indicados na seguna figura.<br />
b) Coloque por ordem, do maior para o menor, os módulos das vectores velocidade, em<br />
cada um dos pontos indicados.<br />
No movimento circular uniforme, a velocidade angular, ω, podedefinir-se como o ângulo descrito pelo<br />
vector posição de um ponto, referido ao centro de rotação, num intervalo de tempo a dividir por esse<br />
intervalo de tempo.É evidente que a velocidade angular é igual para os três pontos indicados (na realidade<br />
é a mesma para todos os pontos do prato).<br />
ω = ∆θ<br />
∆t<br />
Para um determinado ponto do prato (por exemplo, o ponto 1, cuja posição em relação ao centro é<br />
definida em cada instante pelo vector r1,<br />
∆θ = ∆s<br />
,<br />
em que ∆s é o arco na trajectória do ponto 1 correspondente ao ângulo ao centro ∆θ, e<br />
ω = 1<br />
Mas<br />
∆s<br />
∆t = |v1| ,<br />
pelo que podemos escrever<br />
ω = v1<br />
.<br />
r1<br />
Repetindo o raciocínio para qualquer outro ponto, concluímos que, genericamente,<br />
ω = v<br />
r<br />
ou v = ωr.<br />
v 1<br />
s<br />
1<br />
r 1<br />
<br />
r1<br />
7<br />
v 2<br />
r1<br />
∆s<br />
∆t<br />
2<br />
v 3<br />
3<br />
v 3<br />
3
Consequentemente podemos ordenar as velocidades de acordo com os seus módulos:<br />
v1 = v2
v BR<br />
v RM<br />
v BM<br />
v BR<br />
Chegada<br />
v RM<br />
v BM<br />
Partida Partida<br />
(a) (b)<br />
Q15-ORui,aSandraeoTomásconduzemosseusautomóveisemtrajectóriasrectilíneas<br />
colineares e com velocidades constantes. Num dado instante, observam um avião a jacto que<br />
se desloca na mesma direcção com velocidade instantânea de módulo 200 m/s e aceleração de<br />
módulo5m/s 2 .<br />
a) Ordene, da maior para a menor, os valores da velocidade do avião a jacto, do ponto de<br />
vista do Rui, da Sandra e do Tomás. Justifique.<br />
b) Ordene, da maior para a menor, os valores da aceleração do avião a jacto, do ponto de<br />
vista do Rui, da Sandra e do Tomás. Justifique.<br />
Recorde que como os movimentos são unidimensionais e a direcção é comum, as velocidades<br />
e as acelerações podem ser expressas por escalares. Considere como positivo o sentido da<br />
velocidade do avião a jacto.<br />
200 m/s<br />
R S T<br />
20 m/s 20 m/s 40 m/s<br />
Q16 - Um passageiro, num comboio que viaja com velocidade constante em relação ao solo,<br />
deixa cair uma colher. Qual a aceleração da colher relativamente a) ao comboio e b) ao solo?<br />
9
Problemas:<br />
Nestes problemas, os vectores unitários que definem a direcção e sentido dos eixos coordenados<br />
x, y, z são denominados, respectivamente, por i,j, k.<br />
P1 - Uma mulher acrobata está sentada num ramo de uma árvore e deseja cair verticalmente<br />
sobre um cavalo a galope que passa sob a árvore. A velocidade do cavalo é 10.0 ms −1 ,ea<br />
distânciadoramoàselaé3.00 m.<br />
a) Qual deve ser a distância horizontal entre a sela e o ramo quando a mulher cai?<br />
Amulheracrobatadeveráiniciaromovimentodequedaantesdeocavalopassarnaverticaldoramoem<br />
que se encontra. Durante o tempo de queda, o cavalo percorre uma determinada distância, que é o resultado<br />
que pretendemos. Vamos colocar a origem do sistema de referência x0y na posição em que se encontra a<br />
sela do cavalo no instante em que a mulher inicia a queda, e fazemos t =0s nesse momento.<br />
Neste sistema de referência a coordenada - x daposiçãodocavaloé<br />
xc = vct (1)<br />
em que vc é o módulo da velocidade do cavalo (esta velocidade só possui componente não nula segundo o<br />
eixo dos x. No mesmo sistema de referência, as coordenadas x e y da posição da mulher acrobata são<br />
(<br />
x = xm<br />
y = h − 1<br />
2 gt2<br />
(2)<br />
em que h é a distância do ramo à sela quando o cavalo está directamente sob ao ramo. h =3.00 meg =10.<br />
ms−2 . xm dar-nos-á o resultado que pretendemos. Se tqueda é igual ao tempo de queda da acrobata, então,<br />
como no instante tqueda o cavalo estará directamente sob o ramo,<br />
vctqueda = xm (3)<br />
y = h − 1<br />
2 gt2 =0 (4)<br />
Eliminando t entre as equações (3) e (4), obtemos<br />
h = 1<br />
2 g<br />
µ 2<br />
xm<br />
vc<br />
ou<br />
µ 1/2<br />
2h<br />
xm =<br />
vc<br />
g<br />
µ<br />
2 × 3.0m<br />
=<br />
10. m/ s2 1/2<br />
10.0<br />
= 7. 75 m<br />
que é a distância na horizontal entre a sela e o ramo.<br />
b) Quanto tempo está ela no ar?<br />
O intervalo de tempo de queda obtém-se da equação (4), h − 1<br />
2 gt2 =0:<br />
µ 1/2<br />
2h<br />
t =<br />
=<br />
g<br />
µ 2 × 3.0m<br />
10. m/ s 2<br />
1/2<br />
= 7. 75 × 10 −1 s.<br />
10
P2-Umpeixequenadanumplanohorizontaltemvelocidadev0 =(4.0i +1.0 j) ms −1 num<br />
pontodooceanoondeoseuvectorposiçãoemrelaçãoaumarochafixa no porto é r0 =(1.0 i<br />
− 4.0 j) m. Depois de o peixe nadar com aceleração constante durante 20.0 s, a sua velocidade<br />
é v =(20.0i − 5.0 j) ms −1 .<br />
a) Quais as componentes da aceleração?<br />
Como o movimento é uniformemente acelerado, com aveleração a, a relação entre as velocidades no<br />
instante t enoinstantet =0é v = v0 + at, de onde se obtém<br />
a =<br />
v − v0<br />
t<br />
As componentes da aceleração são, assim,<br />
= (20.0i − 5.0 j)m/ s − (4.0i +1.0j)m/ s<br />
µ 20.0s<br />
16.0<br />
=<br />
20.0 i + −6.0<br />
20.0 j<br />
<br />
m/ s 2<br />
³<br />
´<br />
= 0.80i − 0.30j m/ s 2 .<br />
ax =0.80 m/ s 2<br />
ay = −0.30 m/ s 2<br />
b) Qual a direcção da aceleração em relação ao eixo do x?<br />
A direcção da aceleração em relação ao eixo dos x é dada por<br />
θ = arctan ay<br />
ax<br />
= arctan −0.30<br />
0.80<br />
= −0. 36 rad.<br />
c) Onde está o peixe no instante t =25s e em que direcção se move?<br />
Para obter a posição do peixe num determinado instante t, utilizamos a equação da posição<br />
r = r0 + v0t + 1<br />
2 at2<br />
= (1.0i−4.0j)m+(4.0i +1.0j)m/ s × 25 s+ 1<br />
³<br />
2<br />
= 3.5 × 10 2i<br />
´<br />
− 7.3 × 10j m<br />
A velocidade nesse instante é<br />
h³<br />
´i<br />
0.80i − 0.30j m/ s 2 × (25 s) 2<br />
v =<br />
=<br />
v0 + at<br />
h³<br />
´<br />
(4.0i +1.0j)m/ s+ 0.80 i − 0.30j m/ s 2i<br />
× 25 s<br />
=<br />
³<br />
´<br />
2.4 × 10i − 6. 5j m/ s<br />
A direcção segundo a qual o peixe se move é a da sua velocidade nesse instante, que faz um ângulo<br />
θ =<br />
−6. 5<br />
arctan<br />
2.4 × 10<br />
= −0. 26 rad<br />
11
P3 - As coordenadas de um objecto que se move no plano x0y variam no tempo, de acordo<br />
com as equações: x =(−5.0sint) mey =(4.0−5.0cost) m, onde t está em s.<br />
a) Determine as componentes da velocidade e da aceleração em t =0s.<br />
As coordenadas da posição da partícula e correspondenres derivadas são, com t em segundo.<br />
x =(−5.0sint) m<br />
y =(4.0−5.0cost) m<br />
vx = dx<br />
= −5.0cost = −5.0 ms−1<br />
dt<br />
vy = dy<br />
dt<br />
=5.0sint =0ms−1<br />
ax = d2x =5.0sint =0ms−2<br />
dt2 ay = d2y =5.0cost =5.0 ms−2<br />
dt2 b) Escreva expressões para o vector posição, o vector velocidade, e o vector aceleração para<br />
qualquer instante t>0.<br />
ou<br />
r<br />
−→<br />
v<br />
=<br />
=<br />
−5.0sinti +(4.0−5.0cost) j m<br />
³<br />
´<br />
−5.0costi +5.0sintj m/ s<br />
−→<br />
a =<br />
³<br />
´<br />
5.0sinti +5.0costj m/ s 2<br />
c) Descreva a trajectória do objecto num gráfico x0y.<br />
Eliminamos o tempo entre x e y, obtendo<br />
sin t = x<br />
cos t =<br />
−5<br />
y − 4.0m<br />
−5.0m<br />
x2 (y − 4.0m)2<br />
+<br />
25 m2 25 m2 = 1<br />
x 2 +(y − 4.0m) 2 = (5m) 2 .<br />
A trajectória é uma circunferência de raio 5 m, centrada no ponto x =0; y =4.0m.<br />
P4 - O João está na base de um monte, enquanto o Pedro está 30 m acima na encosta do<br />
monte. O João está na origem de um sistema de coordenadas x0y, e a linha que descreve a<br />
encosta do monte é dada pela equação, y =0.4 x, como se mostra na figura. Se o João atirar<br />
uma maçã ao Pedro segundo um ângulo de 50 o em relação à horizontal, com que velocidade<br />
deve atirá-la para que aquele a apanhe?<br />
12
Vamos supor que 30 m é a distância de João ao Pedro ao longo da encosta (como sugere o enunciado).<br />
Se xP e yP são as coordenadas de da posição do Pedro, então<br />
x 2 P + y 2 P =(30m) 2<br />
Por outro lado, como a encosta é dada por y =0.4x e (xP,yP) está sobre esta linha, temos também<br />
de onde, substituindo a eq. (6) na eq. (5),<br />
e, portanto,<br />
yP =0.4xP<br />
x 2 P +0.4 2 x 2 P = (30m) 2<br />
x 2 P =<br />
xP =<br />
(30 m)2<br />
1+0.4 2<br />
30 m<br />
√ 1+0.4 2<br />
= 27. 9m<br />
yP = 0.4 × 27.9m<br />
= 11. 2 m<br />
A trajectória da maçã atirada pelo João tem de passar pelo ponto (27.9, 11.2) m.<br />
A equação da trajectória obtém-se de<br />
x = v0xt = v0t cos 50 ◦<br />
y = v0yt − 1<br />
2 gt2 = v0t sen 50 ◦ − g<br />
2 t2<br />
Eliminando t entre estas equações, temos, com g =5.0m/ s 2<br />
ou<br />
t =<br />
x<br />
v0 cos 50 ◦<br />
sen 50◦ g x<br />
y = x −<br />
cos 50◦ 2<br />
2<br />
v2 0 cos2 50◦ y = x tan 50 ◦ − g x<br />
2<br />
2<br />
v2 0 cos2 50◦ e, por conseguinte, substituindo nesta equação as duas coordenadas de posição do Pedro,<br />
11.2m = (27.9 m) tan 50 ◦ − ¡ 5.0m/ s 2¢ (27.9m) 2<br />
v2 0 cos2 50◦ (27.9m) 2<br />
v2 0 cos2 50◦ =<br />
(27.9m)<br />
(5.0m/ s2 ) tan 50◦ − 11.2m<br />
(5.0m/ s2 )<br />
v0 = 20.7m/ s<br />
13<br />
(5)<br />
(6)
P5 - O super-homem sobrevoa Paris ao nível do topo das árvores quando vê que um elevador<br />
da Torre Eiffel começa a cair devido ao cabo se ter partido. A sua visão de raios X diz-lhe que<br />
Lois Lane está lá dentro. Se o super-homem está a 1.00 km da Torre Eiffel, e o elevador cai de<br />
uma altura de 240 m, quanto tempo tem ele para salvar Lois, e qual deve ser a sua velocidade<br />
média.<br />
O super-home deverá deslocar-se da sua posição inicial até à base da Torre Eiffel com velocidade média<br />
tal que consiga alcançar Lois Lane antes desta atingir o solo. Podemos ober o tempo de queda de Lois Lane<br />
utilizando a equação da sua posição em função do tempo<br />
y = y0 + v0t − 1<br />
2 gt2 .<br />
Se colocarmos a origem do eixo dos y (vertical na base da Torre Eiffel, isto é, no ponto em que a Lois Lane<br />
atinge o solo) teremos y =0, v0 =0, y0 = h = 240 m e g =10m/ s2 ,ou(comg =10m/ s2 ),<br />
0 = h − 1<br />
2 gt2<br />
s<br />
t =<br />
2h<br />
g<br />
s<br />
=<br />
2 × 240 m<br />
10 m/ s2 = 6.9s<br />
A velocidade média do super-homem, para atingir Lois Lane antes de esta atingir o solo deverá ter pelo<br />
menos o módulo<br />
vmin = 1.00 × 103 m<br />
6.9s<br />
= 1.45 × 10 2 m/ s.<br />
P6 - Um jogador de futebol chuta uma pedra, horizontalmente, da borda de uma falésia<br />
com 40.0 m de altura, para um lago de água. Se o jogador ouvir o som do ”chape” 3.0 sdepois<br />
do chuto, qual a velocidade inicial da pedra? Utilize para módulo da velocidade do som no ar<br />
ovalor343 ms −1 .<br />
Escolhendo um sistema de eixos, com origem no ponto em que a pedra é chutada, com o eixo dos x<br />
horizontal e o eixo dos y vertical orientado para cima, a velocidade inicial da pedra é v0 = v0 i. Seaaltura<br />
da falésia é h e o ponto em que a pedra toca na água dista da falésia na horizontal, esse ponto tem, neste<br />
referencial, as coordenadas:<br />
x = ; y = −h<br />
As equações do movimento da pedra, neste referencial são<br />
x = v0t<br />
y = − 1<br />
2 gt2<br />
a partir das quais, eliminando t entre as duas equações, obtemos a equação da trajectória da pedra:<br />
y = − 1 x2<br />
g<br />
2 v2 0<br />
14
Utilizando agora os valores das coordenadas do ponto de impacto na água, obtemos<br />
A distância do ponto de impacto à beira da falésia é<br />
ou ainda<br />
e<br />
h = 1 2<br />
g<br />
2 v2 0<br />
d = p h 2 + 2<br />
2 = d 2 − h 2<br />
=<br />
= (343 m/ s) × 3.0s<br />
= 1.03 × 10 2 m<br />
= ¡ 1.03 × 10 2 m ¢ 2 − (40.0m) 2<br />
q<br />
(1.03 × 10 2 m) 2 − (40.0m) 2<br />
= 94.9m<br />
Fianalmente, utilizando a equação (7), obtemos, com g =10.0m/ s 2<br />
Daqui resulta que a velocidade inicial é<br />
v0 =<br />
r<br />
1 2<br />
g<br />
s<br />
2 h<br />
(10 m/ s<br />
=<br />
2 ) × (94.9m) 2<br />
2 × 40 m<br />
= 33.6m/ s<br />
v0 =33.6 i ms -1<br />
P7 - Uma pulga pode saltar verticalmente até uma altura h.<br />
a)Qualéadistânciahorizontalmáximaqueelapodesaltar?<br />
b) Qual o tempo que ela leva no ar nos dois casos?<br />
No movimento vertical temos vy = v0y − gt e y = v0yt − 1<br />
2 gt2 . A altura máxima corresponde à posição<br />
y no instante em que vy =0. Da equação da velocidade obtemos<br />
que, substituindo na equação da posição resulta em<br />
tsub = v0y<br />
g ,<br />
1 v<br />
−<br />
g 2<br />
2 0y<br />
g<br />
= 1 v<br />
2<br />
2 0y<br />
g .<br />
h = v2 0y<br />
15<br />
(7)
Nesta caso, o valor absoluto da velocidade inicial é v0 = v0y e, portanto,<br />
h = 1 v<br />
2<br />
2 0<br />
g<br />
b) Qual o tempo que ela leva no ar nos dois casos?<br />
Se a velocidade inicial faz um ângulo θ0 com o eixo dos x, o alcance horizontal obtem-se de<br />
y = v0yt − 1<br />
2 gt2<br />
fazendo y =0, obtendo-se<br />
1<br />
2 gt2 − v0yt =0<br />
ou t =0(correspondendo ao instante de partida) e t = 2v0y<br />
ou<br />
g<br />
tvoo =2tsub.<br />
O alcance horizontal é dado pelo valor de x correspondente a t = tvoo:<br />
ou<br />
= v0xtvoo<br />
= 2v0xv0y<br />
g<br />
= 2v2 0 cos θ0 sin θ0<br />
g<br />
= v2 0 sin 2θ0<br />
g<br />
utilizando sin 2θ0 =sin(θ0 + θ0) =2sinθ0cos θ0.<br />
Se o valor absoluto da velocidade inicial for definido, entaõ o valor máximo do alcance horixonatal obtem<br />
encontrando o valor de θ0 para o qual<br />
d<br />
dθ0<br />
=0<br />
ou<br />
µ <br />
d v2 0 sin 2θ0<br />
=<br />
dθ0 g<br />
v2 0<br />
g 2cos2θ0 =0<br />
de onde<br />
e<br />
2θ0 = π<br />
2<br />
θ0 = π<br />
4 .<br />
Então se o valor absoluto da velocidade inicial da pulga for o encontrado na alínea anterior, temos, com<br />
θ0 = π<br />
4 ,<br />
=<br />
v 2 0<br />
= v2 0<br />
g<br />
16<br />
sin π<br />
2<br />
g
P8 - Uma bola ligada à extremidade de um fio é posta a rodar no ar segundo uma circunferência<br />
horizontal de raio 0.30 m. O plano da circunferência está 1.2 macimadochão. A<br />
corda parte-se e a bola aterra 2.0 m afastada do ponto no chão directamente por baixo da sua<br />
posição quando a corda parte. Determine o módulo da aceleração centrípeta da bola durante<br />
oseumovimentocircular.<br />
A velocidade horizontal da bola é segundo o eixo dos x (horizontal), ou v0 = v0x. Se o sistema de tiver<br />
origem no ponto em que a bola se encontra quando a corda se parte e o eixo dos y for dirigido para cima,<br />
A trajectória da bola é<br />
Então, y = −1.2m quando x =2.0m,<br />
x = v0xt<br />
y = − 1<br />
2 gt2 .<br />
y = − g<br />
2v2 x<br />
0x<br />
2<br />
10 m/ s2<br />
−1.2m = −<br />
2v 2 0x<br />
v0x = v0 =4.1m/ s<br />
(2.0m) 2<br />
Este é o módulo da velocidade da bola durante o movimento circular uniforme, correspondendo à aceleração<br />
centrípeta com módulo<br />
ac = v2<br />
r<br />
= (4.1m/ s)2<br />
0.30 m<br />
= 56.0m/ s 2 .<br />
P9 - Um comboio trava ao contornar uma curva apertada, passando de 90.0 km h −1 para<br />
50.0 km h −1 nos 15.0 s que demora a dar a curva. O raio da curva é 150 m. Calcule a aceleração<br />
do comboio no momento em que a sua velocidade comboio atinge o valor de 50 km h −1 .<br />
O módulo da velocidade inicial do comboio é<br />
No final da curva esse valor é de<br />
v0 = 90.0km/ h<br />
= 9.00 × 104 m<br />
3600 s<br />
= 25.0m/ s.<br />
v = 50.0km/ h<br />
= 5.00 × 104 m<br />
3600 s<br />
= 13.9m/ s.<br />
17
A componente tangencial da aceleração do comboio durante a curva é de<br />
aT =<br />
A componente radial da aceleração no fim dacurvaé<br />
A aceleração pedida é<br />
(13.9 − 25.0) m/ s<br />
15.0s<br />
= −0.74 m/ s 2 .<br />
aR = v2<br />
r<br />
= (13.9m/ s)2<br />
150 m<br />
= 1. 29 m/ s 2 .<br />
a = aR R + aT T<br />
³<br />
= 1. 29 R + −0.74 ´<br />
T m/ s 2 .<br />
P10 - A Joana conduz o seu Mercedes com uma aceleração de módulo (3.0 i − 2.0 j) ms −2<br />
enquanto que a Sofia imprime ao seu Jaguar uma aceleração de módulo (1.0 i +3.0 j) ms −2 .<br />
Ambas partem do repouso da origem de um sistema de coordenadas xy. Passados 5 s,<br />
a) qual é a velocidade da Joana em relação à Sofia?<br />
No referencial ligado ao chão e com origem no ponto de partida do movimento,<br />
v = at<br />
r = 1<br />
2 at2<br />
Então, em relação ao solo, as velocidades da Joana e da Sofia são, com t em segundo,<br />
vJ =<br />
h<br />
(3.0i − 2.0 j)m/ s 2i<br />
vS =<br />
t<br />
h<br />
(1.0i +3.0j)m/ s 2i<br />
t<br />
A velocidade da Joana em relação à Sofia é<br />
vJ − vS =<br />
No instante t =5s, a velocidade relativa é<br />
b) a que distância estão uma da outra?<br />
A posição de Joana é dada por<br />
h³ ´<br />
2.0i − 5.0j m/ s 2i<br />
t<br />
vJ − vS =10.0i − 25.0 j (m/ s) .<br />
rJ = 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
aJt 2<br />
h<br />
(3.0i − 2.0 j)m/ s 2i<br />
t 2<br />
18
enquanto que a posição da Sofia é dada por<br />
No instante t =5s,<br />
A distância entre as duas é<br />
=<br />
=<br />
rS = 1<br />
2<br />
q<br />
= 1<br />
2<br />
aSt 2<br />
h<br />
(1.0i +3.0 j)m/ s 2i<br />
t 2 .<br />
³<br />
´<br />
rJ = 37. 5i − 25.0j m<br />
³<br />
´<br />
rS = 12. 5i +37. 5j m<br />
(xJ − xS) 2 +(yJ − yS) 2<br />
q<br />
[(37. 5 − 12. 5) m] 2 +[(−25 − 37. 5) m] 2<br />
= 67. 3m.<br />
c) qual é a aceleração da Joana relativamente à Sofia?<br />
A aceleração da Joana em relação à Sofia é<br />
aJ − aS = (3.0i−2.0j)m/ s 2 − (1.0i +3.0j)m/ s 2<br />
³<br />
´<br />
= 2.0i − 5.0j m/ s 2 .<br />
Repare-se que o vector posição de Joana no referencial ligado à Sofia é,emgeral.<br />
rJ − rS =(v0J − v0S) t + 1<br />
2 (aJ − aS) t 2 .<br />
P11 - Um rio tem uma corrente de 0.500 ms −1 . Umestudantenadacontraacorrente<br />
a distância de 1.00 km e retorna ao ponto inicial. Dado que o estudante pode nadar com a<br />
velocidade de 1.20 ms −1 em água parada, quanto tempo demora a sua viagem? Compare este<br />
valor com o tempo que a viagem duraria se a água estivesse parada.<br />
Vamos considerar o referencial S ligado à margem e o referencial S’ ligado à água. A velocidade da<br />
corrente é a velocidade de S’ em relação a S. O movimento é unidimensional. No 1. o percurso<br />
v1 = v 0 1 − u,<br />
com u1 =0.500 ms −1 . Como o estudante nadou uma distância =1.00 km, temos<br />
No 2.o percurso,<br />
e<br />
= v 0 1t1 − ut1<br />
v2 = v 0 2 + u<br />
= v 0 2t2 + ut2<br />
19
Como v 0 1 = v0 2 = v0 , a velocidade do estudante em relação à água, o tempo total é<br />
ou<br />
t =<br />
t = t1 + t2<br />
<br />
=<br />
v0 <br />
+<br />
− u v0 + u<br />
= v0 + u + v0 − u<br />
=<br />
=<br />
v02 − u2 2v0 v02 <br />
− u2 2v0 v02 µ<br />
1 − u2<br />
v02 <br />
= 2<br />
v0 µ<br />
1 − u2<br />
v02 −1<br />
2 × 1000 m<br />
1.20 m/ s<br />
= 2.02 × 10 3 s<br />
"<br />
1 −<br />
(0.50 m/ s)2<br />
(1.20 m/ s) 2<br />
# −1<br />
Se não houvesse corrente, o tempo que o estudante levaria seria<br />
t 0 = 2<br />
v 0<br />
= 2 × 1.000 × 103 m<br />
1.20 m/ s<br />
= 1.67 × 10 3 s.<br />
P12 - Um barco atravessa um rio, de largura L = 160 m, em que a corrente tem uma<br />
velocidade uniforme de 1.50 m s −1 . O piloto mantém a direcção em que aponta o barco<br />
perpendicular ao rio e uma velocidade constante de 2.0 ms −1 em relação à água.<br />
a) Qual o módulo da velocidade do barco relativamente a um observador parado na<br />
margem?<br />
Vamos utilizar a relação<br />
v = v 0 + u<br />
e<br />
de onde<br />
v 2 = v 02 + u 2<br />
v = p v02 + u2 q<br />
= (2.0m/ s) 2 +(1.50 m/ s) 2<br />
= 2. 5m/ s.<br />
b) A que distância abaixo, no sentido da corrente, da posição inicial está o barco quando<br />
atingeamargemoposta?<br />
20
O tempo que demora a atingir a outra margem é dado por<br />
t = L<br />
v0 Nesse tempo, o deslocamento no sentido da corrente é<br />
=<br />
=<br />
ut<br />
u<br />
L<br />
v0 = 1.50 m/ s<br />
× 160 m<br />
2.0m/ s<br />
= 120. m.<br />
P13-Umcarroviajaparalestecomvelocidadede50.0 km h −1 . Está a cair chuva verticalmente<br />
em relação à Terra. Os traços da chuva nas janelas laterais do carro fazem um ângulo<br />
de 60.0 o com a vertical. Determine a velocidade das gotas de água da chuva relativamente a)<br />
ao carro e b) à Terra.<br />
Se u for o módulo da velocidade do carro em relação à Terra, temos<br />
u = ¡ 50.0 × 10 3 m ¢ /3600 s<br />
= 13.9m/ s .<br />
v 0 é o módulo da velocidade das gotas de chuva ém relção ao carro. Então, u<br />
v 0 =sen60◦ e<br />
Por outro lado,<br />
ou<br />
v 0 =<br />
u<br />
sen 60◦ = 13.9m/ s<br />
sen 60◦ = 16. 1m/ s<br />
u<br />
v<br />
= tan 60◦<br />
v =<br />
u<br />
tan 60◦ = 13.9m/ s<br />
tan 60◦ = 8.03 m/ s.<br />
P14 - Um camião segue para norte com uma velocidade constante de 10.0 m s −1 numa<br />
estrada horizontal. Um rapaz que vai na parte de trás do camião deseja atirar uma bola<br />
enquanto o camião se move e apanhar a bola depois do camião ter percorrido 20.0 m. Despreze<br />
a resistência do ar.<br />
a) Com que ângulo em relação à vertical deve a bola ser atirada?<br />
0 ◦ .<br />
b) Qual deve ser o módulo da velocidade inicial da bola?<br />
No referencial do camião a velocidade inicial é vertical.Como o tempo de voo é tvoo = 20.0m<br />
=2.00 s,<br />
10.0m/ s<br />
ede<br />
v = v0 − gt<br />
21
temos<br />
ou<br />
tvoo = 2v0<br />
g<br />
v0 = gtvoo<br />
2<br />
= 10 m/ s2 × 2.00 s<br />
2<br />
= 10.0m/ s<br />
c)Qualaformadatrajectóriadabolavistapelorapaz?<br />
A trajectória vista pelo rapaz é rectilínea e vertical.<br />
d) Um observador fixo no solo vê o rapaz atirar e apanhar a bola. Determine a forma da<br />
trajectória da bola e a sua velocidade inicial para este observador<br />
No referencial ligado à Terra,<br />
µ<br />
r = v0xti + v0yt − 1<br />
2 gt2<br />
<br />
j<br />
ou<br />
Eliminando t entre as duas equações,<br />
e<br />
e<br />
Para o observador ligado á Terra,<br />
x = v0xt<br />
y = v0yt − 1<br />
2 gt2<br />
x<br />
y = v0y −<br />
v0x<br />
1<br />
2 g<br />
µ 2<br />
x<br />
v0x<br />
g<br />
y = x tan θ0 −<br />
2v0 cos2 x<br />
θ0<br />
2<br />
v0 =<br />
v0x = 10.0m/ s<br />
v0y = 10.0m/ s<br />
q<br />
(10.0m/ s) 2 +(10.0m/ s) 2<br />
= 14.1m/ s<br />
θ0 = arctan 1<br />
= 0.785 rad.<br />
22
Folha de Cálculo:<br />
S1 - A Polícia montou uma operação de ”caça” aos excessos de velocidade na estrada. De<br />
um carro de polícia colocado atrás de uma placa, um agente mede por radar que a velocidade<br />
de um condutor é de 35.0 ms −1 . Passados 3 s ele avisa o seu colega que está noutro carro da<br />
polícia 100 m adiante, na estrada. O segundo carro de polícia começa a perseguir o condutor<br />
2.00 s após ter recebido o alerta, partindo do repouso e acelerando a 2.00 ms −2 .<br />
a) Quanto tempo demora até o condutor ser alcançado?<br />
b) Qual é a velocidade do carro da polícia quando alcança o condutor?<br />
c) Qual é a distância entre o ponto em que o segundo carro da polícia estava inicialmente<br />
e o ponto em que o condutor foi alcançado?<br />
S2 - Um vendedor tem de visitar quatro clientes uma vez em cada período de vendas. Os<br />
quatro clientes estão em cidades diferentes e o vendedor quer visitar todos eles no tempo<br />
mínimo. A distância viajada depende da trajectória escolhida. Que trajectória deverá ele<br />
escolher?<br />
Suponha que o vendedor parte da origem O e visita os quatro clientes uma vez, antes de<br />
voltar à origem, viajando entre eles em linha recta. Os clientes estão localizados num plano,<br />
nos pontos:<br />
A =(−10, 5), B =(−8, −7), C =(1, 11), D =(12, 9).<br />
Utilize uma folha de cálculo para calcular o módulo do vector deslocamento para cada<br />
troço em linha recta da viagem e a distância total viajada, para diferentes sequências de visita<br />
a A, B, C e D. Confronte em cada caso, a distância total viajada com o gráfico da respectiva<br />
trajectória. Determine a trajectória que corresponde à menor distância total viajada. Pode<br />
encontrar esta trajectória por ”força bruta”, isto é, experimentando todas as trajectórias<br />
possíveis. Quantas tentativas fez até encontrar a trajectória pretendida? Em que ordem deve<br />
o vendedor visitar os quatro clientes? Qual o valor da distância então percorrida?<br />
Escolha outros quaisquer quatro pontos e repita o exercício.<br />
S3 - As coordenadas de um projéctil são:<br />
x = x0 + vx0t<br />
y = y0 + vy0t − 1<br />
2 gt2<br />
onde vx0 = v0 cos θ0 e vy0 = v0 sin θ0. Fazendo uso destas equações, utilize a folha de cálculo<br />
para calcular as coordenadas x e y de um projéctil e as componentes vx e vy como funções do<br />
tempo. A velocidade inicial e o ângulo de lançamento do projéctil devem ser parâmetros de<br />
entrada. Utilize a função gráfico da folha de cálculo para representar as coordenadas x e y em<br />
função do tempo. Represente também vx e vy em função do tempo.<br />
S4 - Utilize a folha de cálculo para resolver o seguinte problema:<br />
OBenfica está empatado com o Sporting, faltando apenas alguns segundos para o fim do<br />
jogo. A equipa do Benfica tem a posse da bola e vai tentar fazer golo. O jogador tem de chutar<br />
aboladeumadistânciade47.5 mparaenfiar na baliza. Se a trave da baliza tem 3.05 mde<br />
altura, com que ângulo e velocidade deve ele chutar a bola para marcar golo? existe apenas<br />
23
uma solução para este problema? Soluções podem ser encontradas variando os parâmetros e<br />
estudando o gráfico de y em função de x.<br />
24
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
5 a Série - Força e Movimento II - Resolução<br />
Q1 - Quando um avião faz um ”loop” por dentro num plano vertical, em que ponto parece o piloto<br />
estar mais pesado? Qual a força de constangimento que actua sobre o piloto?<br />
Q2 - Um balde de água pode ser posto a rodar segundo uma trajectória vertical de forma que a<br />
água não se espalha. Porque é que a água fica dentro do balde mesmo quando este passa por cima da<br />
sua cabeça?<br />
Problemas:<br />
P1 - Três corpos estão ligados e assentes numa mesa, como se mostra na figura. O coeficiente de<br />
atrito cinético entre as superfícies dos corpos e a da mesa é de 0.35 e as roldanas não têm atrito. As<br />
massas dos três corpos são, respectivamente, 4.0 kg, 1.0 kg, e 2.0 kg.<br />
Determine:<br />
a) O módulo da aceleração de cada bloco;<br />
Vamos isolar, em primeiro lugar, os três blocos e tratá-los separadamente.<br />
Para o bloco da esquerda (1):<br />
y<br />
T 1<br />
P 1<br />
Bloco 1<br />
ou, com um eixo vertical dirigido para baixo (y):<br />
4.0 kg<br />
4.0 kg<br />
1.0 kg<br />
T1 + P1 = m1a1<br />
−T1 + m1g = m1a1<br />
Bloco 2<br />
T 2<br />
1.0 kg<br />
n<br />
P 2<br />
1<br />
T 2’<br />
x<br />
y<br />
2.0 kg<br />
2.0 kg
Para o bloco do centro (2)<br />
T2 + P2 + N2 + T 0 2 + fc = m2a2<br />
ou, com o eixo dos x dirigido para a esquerda e com o eixo dos y dirigido para cima:<br />
Para o bloco da direita (3):<br />
ou, com um eixo dirigido para cima,<br />
x : T2 − T 0 2 − fc = m2a2<br />
y : −P2 + N2 =0<br />
fc = μ cN2<br />
4.0 kg<br />
1.0 kg<br />
T3 + P3 = m3a3<br />
T3 − m3g = m3a3<br />
Como o sistema se move solidariamente, temos ainda, com as direcções escolhidas para os eixos,<br />
e<br />
De modo que o conjunto de equações se reduz a<br />
a1 = a2 = a3 = a<br />
T1 = T2<br />
T 0 2 = T3<br />
−T1 + m1g = m1a<br />
T1 − T3 − fc = m2a<br />
fc = μcN2 −P2 + N2 =0<br />
T3 = m3 (a + g)<br />
−m3g − m3a − μcm2g − m2a + m1g = m1a<br />
a (m1+m2+m3)<br />
a<br />
=<br />
=<br />
g (m1 − μcm2 − m3)<br />
m1 − μcm2 − m3<br />
g<br />
m1+m2+m3<br />
= 4.0kg− 0.35 × 1.0kg− 2.0kg<br />
4.0kg+1.0kg+2.0kg<br />
= 0.24 m/ s 2 .<br />
b) a tensão em cada uma das duas cordas.<br />
Bloco 3<br />
2.0 kg<br />
T1 =<br />
=<br />
m1 (g − a)<br />
4.0kg ¡ 10 m/ s 2 − 0.24 m/ s 2¢<br />
= 39.0N<br />
T3 = m3 (a + g)<br />
= 2.0 × (0.24 + 10)<br />
= 20.5N.<br />
2<br />
y<br />
T 3’<br />
P 3
P2 - Um rapaz sobe a encosta de um monte, com 15 o de inclinação, arrastando o seu trenó com<br />
opesode60.0 N, a velocidade constante. Puxa o trenó através de uma corda atada a este último,<br />
exercendo uma força de módulo 25 N. Se a corda tiver uma inclinação de 35 o em relação à horizontal,<br />
qual é o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a neve? No cimo do monte, o rapaz salta para<br />
cima do trenó e escorrega pelo monte abaixo. Qual o módulo da sua aceleração na descida?<br />
As forças que actuam no trenó são<br />
T + N + P + fc = ma<br />
Com o eixo dos x dirigido para cima, obtemos as equações escalares:<br />
com θ =15 ◦ , α =20 ◦ .<br />
Temos, assim,<br />
ou<br />
e<br />
Na descida, as forças são<br />
x : T cos α − mg sin θ − fc =0<br />
y : T sin α − mg cos θ + N =0<br />
fc = μcN fc = T cos α − mg sin θ<br />
μc (mg cos θ − T sin α) = T cos α − mg sin θ<br />
μc =<br />
T cos α − mg sin θ<br />
mg cos θ − T sin α<br />
= 25 N × cos 20◦ − 60 N × sin 15 ◦<br />
60 N × cos 15 ◦ − 25 N × sin 20 ◦<br />
= 0.16<br />
N 0 + f 0 c + P 0 = m 0 a<br />
x : −f 0 c + P 0 sin 15 ◦ = m 0 a<br />
y : N 0 − P cos 15 ◦ =0<br />
f 0 c = μcN 0<br />
m 0 a = −μ cm 0 g cos 15 ◦ + m 0 g sin 15 ◦<br />
a = g (sin 15 ◦ − μc cos 15 ◦ )<br />
a = −0.16 × 10 × cos 15 ◦ +10× sin 15 ◦<br />
= 1.0 ms -2<br />
P3 - Uma caixa é transportada num camião que viaja horizontalmente com velocidade de módulo<br />
15 ms −1 .Ocoeficiente de atrito estático entre a caixa e o camião é 0.40. Determine a distância mínima<br />
de paragem para o camião de forma a que a caixa não escorregue.<br />
Na travagem, a caixa é actuada pelas forças:<br />
fe + P + N = ma<br />
x : −fe = ma<br />
y : N − P =0<br />
3
A distância mínima corresponde à aceleração provocada pela força de atrito estático máxima:<br />
e<br />
A distância mínima de travagem é, pois,<br />
femax = μeN = μemg a = −μeg = −0.40 × 10 m/ s 2<br />
= −4.0m/ s 2 .<br />
x = −v2 0<br />
2a<br />
=<br />
− (15 m/ s) 2<br />
−2 × 4.0m/ s2 = 28m.<br />
P4 - Um bloco A de massa m =2.00 kg está em repouso sobre a extremidade esquerda de um bloco<br />
B de comprimento L =3.00 memassaM =8.00 kg. O coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos<br />
é 0.300 e a superfície sobre a qual está o bloco B não tem atrito. Uma força constante horizontal de<br />
módulo F =10.0 NestáaplicadanoblocoA colocando-o em movimento como se mostra na figura.<br />
a) Quanto tempo demora o bloco A a chegar à extremidade direita do bloco B, (como se mostra em<br />
b)?<br />
Forças a actuar no bloco A:<br />
NA + PA + F + fe = mAaA<br />
x : F − fe = mAaA<br />
y : NA − PA =0<br />
fe = μ eNA<br />
aA =<br />
F<br />
mA<br />
− μ eg<br />
= 10 N<br />
− 0.300 × 10 m/ s2<br />
2kg<br />
= 2.0m/ s 2 .<br />
4
As forças que actuam no bloco B são<br />
AaceleraçãorelativadeAemrelaçãoaBé<br />
f 0 e + N 0 B + NB + PB = mBaB<br />
O deslocamento de A no referencial ligado a B é<br />
f 0 e = mBaB<br />
f 0 e = fe = μ emAg<br />
μ emAg = mBaB<br />
aB = μ eg mA<br />
mB<br />
= 0.300 × 10 m/ s × 2.0kg<br />
8.0kg<br />
= 0.75 m/ s 2<br />
a 0 A = aA − aB<br />
= 2.0 − 0.75<br />
x = 1<br />
t =<br />
=<br />
= 1.25 m/ s 2 .<br />
2 a0 At 2<br />
s<br />
2x<br />
a 0 A<br />
s<br />
2 × 3m<br />
1.25 m/ s2 = 2.2s.<br />
b)QualodeslocamentodoblocoB neste processo?<br />
Neste intervalo de tempo, B desloca-se de<br />
xB = 1<br />
=<br />
2<br />
aBt<br />
2 1<br />
2 × ¡ 0.75 m/ s 2¢ × (2.2s) 2<br />
= 1.8m.<br />
P5 - Um satélite de 300 kg está numa órbita circular em torno da Terra a uma altitude igual ao raio<br />
médio da Terra. Determine,<br />
a) a velocidade orbital do satélite,<br />
a) O raio da Terra pode ser determinado de:<br />
O metro é a décima milionésima parte do quarto do meridiano terreste, isto é<br />
em que R é o raio da terra.<br />
1m =<br />
1 1<br />
× × 2πR<br />
10000000 4<br />
R = 20000000<br />
m<br />
π<br />
= 6. 4 × 10 6 m<br />
O módulo da força gravitacional, ou gravítica, que actua no satélite é<br />
FG = G mM<br />
= mv2<br />
r2 r<br />
5
e<br />
Agora, o raio da trajectória, r, ér =2R etemos<br />
b)oseuperiododerevolução,<br />
Operíodo,T ,podesertiradode<br />
v 2 = GM<br />
r<br />
= GM<br />
2R<br />
c) a força gravitacional que é exercida sobre ele<br />
A força gravitacional é<br />
.ou<br />
= g<br />
2 R<br />
v =<br />
r<br />
9.8m/ s2 × 6. 4 × 10<br />
2<br />
6 m<br />
= 5600 m/ s.<br />
v = 2πR<br />
T<br />
T = 2πR<br />
v<br />
= 2π × 6. 4 × 106 m<br />
5600 m/ s<br />
= 7.18 × 10 3 s<br />
= 7.18 × 103 s<br />
3600 s/ h<br />
= 2.0h.<br />
FG = G mM<br />
(2R) 2<br />
= m GM<br />
4R 2<br />
= m g<br />
4<br />
= 300 kg ×<br />
= 735 N<br />
= m v2<br />
2R<br />
= 735 N<br />
FG = m v2<br />
2R<br />
= 735 N<br />
9.8m/ s2<br />
4<br />
P6 - O Tarzan (m =85.0 kg) tenta atravessar um rio agarrado a uma trepadeira baloiçando-se. A<br />
trepadeira tem um comprimento de 10.0 m e a velocidade do Tarzan no ponto mais baixo da oscilação<br />
é 8.00 ms −1 . Ele não sabe que a trepadeira parte sob uma tensão de 1000 N. Conseguirá ele atravessa<br />
orioemsegurança?<br />
6
No ponto mais baixo, temos<br />
T − P = mv2<br />
r<br />
T = mg + mv2<br />
r<br />
85 × 8.002<br />
= 85× 10 +<br />
10<br />
= 1.39 × 10 3 N.<br />
P7 - Um pequeno disco de massa 0.250 kg está ligado a um fio e roda segundo um círculo de raio<br />
1.00 m sobre uma mesa horizontal sem atrito, como se mostra na figura. O fio passaatravésdeum<br />
buraco no centro da mesa e uma massa de 1.00 kg está ligada à outra extremidade. A massa suspensa<br />
permanece em equilíbrio enquando o disco roda.<br />
a) Qual é a tensão na corda?<br />
As forças que actuam sobre o disco são o peso, a nornal à mesa e a tensão da corda, que é centrípeta. Segundo um<br />
eixo eadial apontando para o centro, a 2. a leideNewtonexprime-senaforma<br />
T1 = m1a<br />
=<br />
v<br />
m1<br />
2<br />
r<br />
As forças que actuam na massa pendurada são o seu peso e a tensão da corda:<br />
T2 + P2 =0<br />
ou<br />
T2 = m2g.<br />
Portanto T2 = T = m2g =1.00 × 10 = 10 N.<br />
b) Qual é o módulo da força central que actua no disco?<br />
ÉaforçaT1 = T =10. N.<br />
c) Qual é o módulo da velocidade do disco?<br />
Temos<br />
r<br />
T1r<br />
v =<br />
m1<br />
s<br />
10 N × 1m<br />
=<br />
0.250 kg<br />
= 6. 3m/ s.<br />
P8-Namontanharussaquesemostranafigura, o carro tem uma massa de 500 kg quando cheio<br />
de passageiros.<br />
7
a) Se o carro tem uma velocidade de 20.0 ms −1 no ponto A, qual é o módulo da força exercida pelo<br />
carril no carro nesse ponto?<br />
No ponto A<br />
P + N = ma<br />
ou<br />
−P + N = m v2<br />
µ<br />
r<br />
N = m g + v2<br />
<br />
r<br />
Ã<br />
= 500 kg 10 m/ s 2 +<br />
= 2.5 × 10 4 N.<br />
!<br />
(20 m/ s)2<br />
10 m<br />
b) Qual é o módulo da velocidade máxima que o carro pode ter em B para permanecer no carril?<br />
No ponto B,<br />
P − N 0 = m v0 2<br />
r 0<br />
A velocidade máxima para permanecer no carril é dada pela equação anterior, com N 0 =0,ou<br />
v 0<br />
= p gr 0<br />
= p 10 m/ s2 × 15 m<br />
= 12m/ s.<br />
P9 - Um carro contorna uma curva inclinada como se mostra na figura. O raio de curvatura da<br />
estrada é R, ângulo de inclinação é θ, eocoeficiente de atrito estático é μ. Determine:<br />
a) o domínio de módulos da velocidade que o carro podetersemqueescorregueparacimaoupara<br />
baixo na estrada,<br />
A2. a lei de Newton exprime-se na forma<br />
P + N + fa = ma<br />
ou<br />
x : −N sin θ + αfa cos θ = max<br />
y : −mg + N cos θ + αfa sin θ = may<br />
8
e<br />
ax = − v2<br />
r<br />
fa ≤ μN<br />
e α =1se a força de atrito aponta para cima, α = −1 se a força de atrito aponta para baixo. Não escorregamento<br />
significa ay =0.<br />
ou. com fa = μN<br />
e<br />
obtendo-se<br />
−mg + N cos θ + αfa sin θ = 0<br />
−N sin θ + αfa cos θ = −m v2<br />
r<br />
−mg + N (cos θ + αμ sin θ) = 0<br />
N (sin θ − αμ cos θ) = m v2<br />
r<br />
N = mg/ (cos θ + αμ sin θ)<br />
v 2 = rg (sin θ − αμ cos θ) / (cos θ + αμ sin θ)<br />
v 2 max = rg (sin θ + μ cos θ) / (cos θ − μ sin θ) α = −1<br />
v 2 min = rg (sin θ − μ cos θ) / (cos θ + μ sin θ) α =+1<br />
b) o valor mínimo de μ que permita que a que a velocidade tenha módulo mínimo nulo.<br />
vmin = 0 ⇒ μ =<br />
= tanθ<br />
sin θ<br />
cos θ<br />
c) o domínio de módulos de velocidades possível para R = 100 m, θ =10 ◦ ,eμ =0.10.<br />
P10 - Um objecto de 0.500 kg está suspenso por um fio do tecto de um camião em movimento<br />
acelerado. Se o módulo da aceleração do camião é a =3.00 ms −1 , determine:<br />
a) o ângulo que a corda faz com a vertical,<br />
b) a tensão na corda.<br />
Asforçasqueactuamnoobjectosãoatensãodacordaeopeso:<br />
ou<br />
e<br />
ou<br />
T + P = ma<br />
x : T sin θ = ma<br />
y : T cos θ − P =0<br />
tan θ = a<br />
g<br />
θ = arctan<br />
= 16.7 ◦<br />
9<br />
3.00 m/ s2<br />
10.0m/ s 2
E<br />
T = ma<br />
sin θ<br />
= 0.500 kg × 3.00 m/ s2<br />
sin 16.7◦ = 16.7 ◦ .<br />
P11 - Num parque de diversões, uma das atracções consiste num grande cilindro colocado verticalmente<br />
rodando em torno do seu eixo com suficiente rapidez para que qualquer pessoa dentro dele<br />
fique presa contra a parede quando o chão é retirado, como se mosta na figura. O coeficiente de atrito<br />
estático entre a pessoa e a parede é μ s e o raio do cilndro é R.<br />
a) Mostre que o período de revolução máximo necessário para impedir que a pessoa caia é T =<br />
(4π 2 Rμ s/g) 1/2 . Obtenha o valor numérico para T se R =0.40 meμ s =0.400.<br />
b) Quantas revoluções por minuto dá o o cilindro neste caso?<br />
P12-Umobjectode9.00 kgpartedorepousoemove-seatravésdeumfluido viscoso sujeito a uma<br />
força resistiva R = −bv, onde v é a velocidade do objecto. Se o objecto atinge em 5.54 s uma velocidade<br />
cujo módulo é metade do valor do módulo da sua velocidade terminal, determine:<br />
a) a velocidade terminal do objecto,<br />
b) o instante em que a velocidade do objecto é igual a três quartos da sua velocidade terminal,<br />
c) a distância viajada pelo objecto nos primeiros 5.54 sdomovimento.<br />
P13 - Considere um pêndulo cónico com uma massa de 80.0 kg e um fio com10.0 mquefazum<br />
ângulo de 5.00 ◦ com a vertical. Determine:<br />
a) as componentes horizontal e vertical da força exercida pelo fio sobre a massa,<br />
b) a aceleração radial da massa.<br />
10
Folha de Cálculo:<br />
S1 - Uma pessoa tem de mover uma caixa de 65 kg que está em repouso no chão. O coeficiente de<br />
atrito estático entre a caixa e o chão é 0.48. Uma força de módulo F é aplicada na caixa, fazendo um<br />
ângulo de θ com a horizontal.<br />
a) Utilize uma folha de cálculo para calcular a força necessária para mover a caixa para uma sequência<br />
de ângulos. Considere o ângulo θ como positivo se a força tem uma componente para cima, e negativo<br />
se a força tem uma componente para baixo. Faça um gráfico de F em função de θ, e a partir dele<br />
determine a força mínima necessária para mover a caixa. Com que ângulo deve a força ser aplicada?<br />
b) Investigue o que acontece quando se muda o coeficiente de atrito.<br />
S2 - Um paraquedista de 50.0 kg salta de um avião e cai para a Terra sofrendo uma força resistiva<br />
de módulo R = Kv 2 . Considere K =0.200 kg m −1 quando o páraquedas está fechado e K =20.0 kg m −1<br />
quando ele está aberto. Considere que o páraquedista começa a descer a uma altitude de 1000 m, e cai<br />
em queda livre durante 10 s antes de abrir o páraquedas.<br />
a) Determine a velocidade terminal do páraquedista antes e depois de o paráquedas se abrir.<br />
b) Utilize uma folha de cálculo para determinar a posição e a velocidade do páraquedista em função<br />
do tempo.<br />
(Sugestão: Quando o páraquedas se abre dá-se um súbito aumento da aceleração, pelo que pode ser<br />
necessário usar intervalos de tempo mais pequenos nesta região).<br />
S3 - Um projéctil de 10.0 kg é lançado com uma velocidade inicial de 150 ms −1 , fazendo um ângulo<br />
de 35.0 ◦ com a horizontal. A força resistiva que actua no projéctil é R = bv, onde b =15.0 kg s −1 .<br />
a) Utilize uma folha de cálculo para determinar as posições horizontal e vertical do projéctil em<br />
função do tempo.<br />
b) Determine o alcance deste projéctil.<br />
c) Determine o ângulo de lançamento que dá o alcance máximo para este projéctil. (Sugestão:<br />
ajuste o ângulo por tentativas para encontrar o alcance máximo).<br />
Nota: Quando a resistência do ar é incluída o alcance máximo não ocorre necessariamente para<br />
θ0 =45 ◦ .<br />
11
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
6 a Série - Energia - Resolução<br />
Questões:<br />
Q1 - Identifique dois processos através dos quaisa pode ser transferida energia do ambiente para um<br />
sistema?<br />
Q2 - Identifique as transformações de energia em cada um dos seguintes processos (por exemplo:<br />
Ec → Ug → ETérm)<br />
a) Uma bola cai do topo de um arranha-céus;<br />
O sistema é a bola e a Terra (interactuando através da gravidade).<br />
Se não considerarmos a resistência do ar, temos apenas Ug → Ec.<br />
Se tivermos em conta a resistência do ar, temos<br />
.<br />
½<br />
Ec<br />
Ug →<br />
ETérm<br />
b) Um helicóptero sobe com velocidade constante;<br />
O sistema é o helicóptero a Terra e o ar (um helicóptero não subiria na Lua)<br />
As transformações serão<br />
½<br />
Ug<br />
EQ(combustível) → Ec (hélices) →<br />
ETérm<br />
c) Uma seta é lançada por um arco e atinge o centro de um alvo;<br />
d) Um saltador à vara corre, assenta a vara e salta sobre a barra.<br />
Q3 - Identifique um sistema apropriado para a aplicação da conservação de energia a cada um dos<br />
seguintes casos:<br />
a) Uma mola em hélice é utilizada para lançar uma bola;<br />
Mola+bola+Terra.<br />
Formas de energia envolvidas:<br />
Energia potencial elástica (mola); Energia potencial gravítica (bola - Terra); Energia cinética da bola.<br />
Estamos a desprezar a massa da mola.<br />
b) Uma mola em hélice é utilizada para lançar um carrinho numa calha de ar;<br />
Se a calha de ar estiver colocada na horizontal: mola+carrinho<br />
Se a calha de ar estiver colocada obliquamente em relação à horizonta, termeos de acrescentar a Terra.<br />
c) Uma mola em hélice é utilizada para empurrar um corpo sobre uma mesa. o qual se move até<br />
parar;<br />
d) Um carrinho, que se move numa calha de ar, choca com uma mola em hélice e volta para trás<br />
com velocidade de módulo aproximadamente igual à que tinha antes do choque.<br />
Q4 - Caracterize um sistema isolado.<br />
É um sistema em que não existem transferências de energia e de matéria através das suas fronteiras.<br />
Q5 - a) Num determinado processo. a energia potencial de um sistema diminui ao mesmo tempo<br />
que o ambiente efectua trabalho sobre o sistema. A energia cinética do sistema aumenta, diminui ou<br />
mantém-se constante? Ou não tem informação suficiente para poder responder? Justifique.<br />
1
) Num determinado processo. a energia potencial de um sistema aumenta ao mesmo tempo que<br />
a o ambiente efectua trabalho sobre o sistema. A energia cinética do sistema diminui, aumenta ou<br />
mantém-se constante? Ou não tem informação suficiente para poder responder? Justifique.<br />
Q6 - Para cada sistuação descrita<br />
• Identifique todas as forças que actuam no corpo;<br />
• Desenhe um diagrama das forças aplicadas ao corpo;<br />
• Determine se o trabalho realizado por cada força é positivo, negativo ou nulo.<br />
a) Um elevador está a subir.<br />
deslocamento<br />
As forças são:<br />
T → Tensão da corda;<br />
P → Peso do elevador.<br />
Num deslocamento vertical para cima, o trabalho da tensão é positivo e o trabalho do peso é negativo.<br />
b) Um elevador está a descer.<br />
deslocamento<br />
As forças são:<br />
T → Tensão da corda;<br />
P → Peso do elevador.<br />
Num deslocamento vertical para baixo, o trabalho da tensãoénegativoeotrabalhodopesoépositivo.<br />
c) Uma pessoa empurra uma caixa sobre uma superfície rugosa.<br />
Se a superfície é rugosa, existe atrito entre a superfície da caixa e aquela em que assenta.<br />
F<br />
deslocamento<br />
As forças são:<br />
F → Força que empurra a caixa;<br />
P → Peso da caixa;<br />
fc → forçadeatritocinético.<br />
Num deslocamento horizontal o trabalho da força F é positivo, o trabalho da força fc é negativo e o trabalho do<br />
peso é nulo.<br />
2<br />
P<br />
f c<br />
T<br />
T<br />
P<br />
P
d) Uma bola é atirada verticalmente para cima. Considere a situação desde que a bola sai da mão<br />
do lançador até atingir o ponto mais alto da trajectória.<br />
e) Um automóvel efectua uma curva com velocidadedemóduloconstante.<br />
Q7 - Um carrinho de plástico com massa 0.2kg e um carrinho de chumbo com massa 20 kg são<br />
empurrados com forças iguais sobre uma superfície sem atrito, partindo do repouso. Após percorrerem<br />
a distância de 1 m, a energia cinética do carrinho de plástico é maior, menor ou igual à do carrinho de<br />
chumbo? Justifique.<br />
Aplicando o teorema da energia cinética, concluímos imediatamente que a energia cinética dos dois carrinhos é<br />
igual após efectuarem deslocamentos iguais sob a acção de forças iguais.<br />
Q8 - Nos sistemas de eixos apresentados, trace gráficos da energia cinética de:<br />
a) Um automóvel com massa 1000 kg, cuja módulo da velocidade varia uniformemente de 0 a 20 m/ s<br />
em 20 s.<br />
E C(J)<br />
2.5x10 5<br />
2.0x10 5<br />
1.5x10 5<br />
1.0x10 5<br />
0.5x10 5<br />
0<br />
t(s)<br />
0 5 10 15 20 25<br />
A aceleração constante do automóvel pode ser obtida, utilizando a equação do movimento uniformemente acelerado<br />
unidimensional que relaciona velocidade, aceleração e tempo:<br />
que conduz a<br />
a =<br />
v − v0<br />
,<br />
t − t0<br />
a =<br />
20 m/ s − 0<br />
20 s − 0<br />
= 1.0m/ s 2<br />
o que permite obter valores da velocidade e da energia cinética, para diferentes instantes de tempo:<br />
ou<br />
v = v0 + at<br />
v (m/ s) = 1 m/ s 2 t (s)<br />
t v Ec = 1<br />
2 mv2<br />
(s) (m/ s) ( J)<br />
0 0 0<br />
5 5 0.125 × 10 5<br />
10 10 0.500 × 10 5<br />
15 15 1. 125 × 10 5<br />
20 20 2.000 × 10 5<br />
Marcamos agora os pontos no gráfico e unimo-los com uma curva suave.<br />
3
E C(J)<br />
2.5x10 5<br />
2.0x10 5<br />
1.5x10 5<br />
1.0x10 5<br />
0.5x10 5<br />
0<br />
t(s)<br />
0 5 10 15 20 25<br />
b) Um automóvel com massa 1000 kg, com velocidade de módulo 20 m/ s, que trava com aceleração<br />
constante atingindo o repouso em 4s.<br />
E C(J)<br />
2.5x10 5<br />
2.0x10 5<br />
1.5x10 5<br />
1.0x10 5<br />
0.5x10 5<br />
0<br />
t(s)<br />
0 5 10 15 20 25<br />
c) Um automóvel com massa 1000 kg, que descreve uma vez uma trajectória circular de 40 m de<br />
diâmetro, com velocidade de módulo constante igual a 20 m/ s.<br />
E C(J)<br />
2.5x10 5<br />
2.0x10 5<br />
1.5x10 5<br />
1.0x10 5<br />
0.5x10 5<br />
0<br />
t(s)<br />
0 5 10 15 20 25<br />
Q9 - A figura mostra um corpo com massa de 1kg, inicialmente 1m acima do solo, que sobe até à<br />
altura de 2m. O Joaquim e a Luísa medem, independentemente a posição do corpo, utilizando sistemas<br />
de coordenadas diferentes. Indique na tabela os valores iniciais e finais da energia potencial gravítica<br />
medidos pelo Joaquim e pela Luísa, bem como as correspondentes variações.<br />
2m<br />
fim<br />
inicio<br />
Joaquim Luisa<br />
Energia potencial gravítica:<br />
ParaoJoaquim,Ug i =0ao nível do solo. Assim, as medidas pelo Joaquim serão: Ug i =1kg×1m×10 m/ s 2 =10J;<br />
Ug f =1kg× 2m× 10 m/ s 2 =20J; ∆Ug =20J− 10 J = 10 J.<br />
4<br />
0<br />
0
ParaaLuísa,Ug i =0àalturade1m, oquesignifica que, para a Luísa, Ug = −1kg× 1m× 10 m/ s 2 = −10 J ao<br />
nível do solo. Então, para a Luísa, Ug i =0J; Ug f =1kg× 1m× 10 m/ s 2 =10J; ∆Ug =10J− 0J=10J.<br />
A variação da energia potencial (que é o que tem significado físico) é igual apar os dois observadores.<br />
Q10 - Três bolas com massas iguais são lançadas simultaneamente com velocidades de módulo<br />
igual, da mesma altura em relação ao solo. A bola 1 é lançada verticalmente para cima, a bola 2<br />
verticalmente para baixo e a bola 3 na horizontal. Coloque por ordem, do menor para o maior, os<br />
módulos das velocidades das bolas, v1, v2 e v3, quando atingem o solo.<br />
bola 1<br />
bola 2<br />
Q11 - Um objecto de massa elevada é largado do repouso na posição 1 por cima de uma mola em<br />
hélice. O objecto cai e entra em contacto com a mola na posição 2. A compressão máxima da mola<br />
éatingidanaposição3. Indiquenatabelaseasgrandezas indicadas são negativas, positivas ou nulas<br />
nosintervalosdetempoentreasdiferentesposições.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
bola 3<br />
1 → 2 2 → 3 1 → 3<br />
∆Ec + - -<br />
∆Ug - - -<br />
∆Uel 0 + +<br />
Q12 - a) Se uma pessoa empurra um corpo num deslocamento de módulo 10 m com uma força de<br />
módulo 10 N na direcção e sentido do movimento, qual é o trabalho que realiza sobre o corpo?<br />
b) Qual é a potência que a pessoa tem de fornecer para empurrar o corpo em 1s? 10 s? 0.1s?<br />
Q13 - Estime o tempo que lhe demora a subir um lance de escadas. Calcule então a potência<br />
requerida para realizar esta tarefa.<br />
Q14 - Um pêndulo simples balança de um lado para o outro, sendo as forças que actuam sobre a<br />
massa suspensa, o peso, a tensão na corda de suspensão e a resistência do ar.<br />
a) Qual destas forças, se alguma, não realiza trabalho sobre o pêndulo?<br />
A tensão da corda é a única que não realiza trabalho sobre o corpo, porque é, em cada instante, perpendicular ao<br />
deslocamento.<br />
b) Qual destas forças realiza trabalho negativo em todos os instantes do movimento do pêndulo?<br />
A resistência do ar. O seu sentido é, em cada instante, oposto ao deslocamento.<br />
c) Descreva o trabalho realizado pela força da gravidade enquanto o pêndulo balança<br />
O trabalho realizado pela força da gravidade quando o pêndulo desce do ponto mais alto ao ponto mais baixo é<br />
positivo. Quando o pêndulo sobe do ponto mais baixo ao ponto mais alto, o trabalho realizado pela força da gravidade<br />
é negativo e igual, em valor absoluto ao trabalho efectuado na descida. Consequentemente, o trabalho realizado pela<br />
forçadagravidadenumaoscilaçãocompletaénulo..<br />
Q15 - Uma bola de bowling está suspensa do tecto de uma sala de aula por uma corda forte. A<br />
bola é desviada da sua posição de equilíbrio e largada do repouso a partir da ponta do nariz de uma<br />
5
pessoa. Se a pessoa se mantiver parada, explique porque é que ela não será atingida pela bola quando<br />
esta regressar da sua oscilação. Estaria a pessoa segura se tivesse empurrado a bola quando a largou?<br />
Problemas:<br />
P1 - Uma força F =(4.0xi+3.0yj) N actua numa partícula que se desloca ao longo do eixo do x desde<br />
aorigematéx =5.0 m. Determine o trabalho realizado pela força sobre a partícula.<br />
Utilizando a definição de trabalho sobre uma partícula ao longo de um percurso, obtemos<br />
W =<br />
=<br />
=<br />
Z x=5<br />
F · dr<br />
x=0<br />
Z x=5<br />
(4.0xi +3.0yj) ·idx<br />
x=0<br />
Z x=5<br />
4.0xdx<br />
x=0<br />
= 4.0 x2<br />
2<br />
¯<br />
5<br />
0<br />
= 2.0 × 5 2<br />
= 50. J<br />
P2 - Uma carroça carregada de tijolos tem uma massa total de 18 kg e é puxada a velocidade constante<br />
por uma corda. A corda tem uma inclinação de 20.0 ◦ acima da horizontal e a carroça desloca-se 20.0m<br />
sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o chão e a carroça é 0.500.<br />
Determine:<br />
a) a tensão na corda.<br />
As forças que seexercem na carroça são o peso P , a força exercida pelo pavimento, normal a este, n, aforçade<br />
atrito cinético, fc (estamos a supor que, de alguma forma a carroça está a escorregar), a tensão da corda. O diagrama<br />
deforçaéoseguinte:<br />
A2. a lei de Newton exprime-se na forma:<br />
f e<br />
n<br />
P<br />
T<br />
n + P + fc + F = ma<br />
com a = 0, porque a velocidade é constante: As equações escalares correspondentes, no sistema de referência da figura,<br />
são<br />
x : T cos 20 ◦ − fc =0<br />
y n+ T sin 20 ◦ − P =0<br />
fc = μn<br />
6<br />
y<br />
x
Vindo, então,<br />
fca = μ (P − T sin 20 ◦ )<br />
T cos 20 ◦ − μ (P − T sin 20 ◦ ) = 0<br />
T (cos 20 ◦ + μ sin 20 ◦ ) = μP<br />
T =<br />
μP<br />
(cos 20◦ + μ sin 20◦ )<br />
= 81. N.<br />
b) a trabalho realizado pela corda sobre a carroça.<br />
W F<br />
=<br />
= T ∆ cos 20◦<br />
= 81N× 20 m × cos 20 ◦<br />
= 1.5 × 10 3 J<br />
c) o trabalho realizado pela força da gravidade.<br />
0.500 × 18 kg × 10 m/ s2<br />
(cos 20◦ +0.500 × sin 20◦ )<br />
W P =0,<br />
porque a força da gravidade tem direcção perpendicular à do deslocamento.<br />
d) o trabalho realizado pela força normal exercida pelo chão.<br />
W N =0,<br />
porque a força normal tem direcção perpendicular à do deslocamento.<br />
e) a energia "perdida"devido ao atrito.<br />
W fa = −μ (P − T sin 20 ◦ ) ∆<br />
= −0.500 × ¡ 18 kg × 10 m/ s 2 − 81 m/ s 2 sin 20 ◦¢ × 20 m<br />
= −1.5 × 10 3 J<br />
que é a energia transformada em energia térmica, devido ao atrito<br />
P3 - Um arqueiro puxa a corda do seu arco para trás 0.400 m, exercendo uma força cujo módulo<br />
cresce uniformemente de zero a 230 N.<br />
a) Qual é a constante elástica equivalente do arco?<br />
Se F é a força cresce uniformemente, o arco comporta-se como uma mola elástica, pelo que lhe podemos associar<br />
uma constante elástica "equivalente"keq, talque<br />
F = keqx.<br />
Substituindo os valores dados, obtemis<br />
230 N = k × 0.400 m<br />
230 N<br />
k =<br />
0.400 m<br />
= 575 N/ m<br />
b)Qualotrabalhorealizadoquando a corda do arco é puxada?<br />
Como o arco se comporta de forma análoga à de uma mola elástica, podemos escrever o trabalho realizado pela<br />
forçaqueestáaplicadaaoarconaforma<br />
W = 1 2<br />
keqx<br />
2<br />
= 1<br />
× 575 N/ m × (0.400 m)2<br />
2<br />
= 46.0J.<br />
7
P4 - Uma pequena massa m é puxada para o cimo de um meio cilindro (de raio R) sematrito,como<br />
se mostra na figura.<br />
a) Se a massa se move com uma velocidade de módulo constante, mostre que F = mg cos θ.<br />
As forças aplicadas ao corpo de massa m são: a força F,a força normal, em cada ponto, à superfície do cilindro,<br />
N, eopeso, P . Como o corpo se move com velocidade contante, a 2. a lei de Newton exprime-se na forma:<br />
F + N + P = 0<br />
Escolhendo agora um sistema de referência com origem no corpo de massa m e com um eixo na direcção radial e outro<br />
na direcção tangencial à superfície do cilindro, obtemos as correspondentes equações escalares<br />
de onde<br />
r : N − P sin θ =0<br />
t : −F + P cos θ =0<br />
F = P cos θ<br />
= mg cos θ.<br />
b) Determine o trabalho realizado pela força F quando se move a massa, com módulo da velocidade<br />
constante, da base para o topo do cilindro.<br />
Utilizamos o facto de um elemento de arco na superfície do cilindro pode ser escrito na forma dr = Rdθut, deonde<br />
resulta<br />
W =<br />
=<br />
Z<br />
Z π<br />
2<br />
0<br />
F · dr<br />
FRdθ<br />
Z π<br />
2<br />
= mgR cos θdθ<br />
=<br />
0<br />
³<br />
mgR sin π<br />
´<br />
− sin 0<br />
2<br />
= mgR.<br />
P5-Umlançadordebolasdeumamáquinadejogos,comosemostranafigura, tem uma mola<br />
com uma constante de força 1.20 N/ cm. A superfície em que a bola se move tem uma inclinação de 10 ◦<br />
em relação à horizontal. Se a mola está inicialmente comprimida de 5.00 cm, determine a velocidade de<br />
lançamento de uma bola de 100 g quando o lançador é solto. Despreze o atrito e a massa da mola.<br />
8
Como não se consideram forças de atrito, a energia total do sistema Terra+bola+lançador não varia. Vamos<br />
calcular todas as formas de energia em diferentes instantes. No instante inicial, com a mola inteiramente comprimida,<br />
a energia potencial gravítica é Ug = −mg∆xmax sin 10◦ , em que considerámos que a energia potencial gravítica é nula<br />
na posição eme que a mola está em equilíbrio (isto é, na posição em que a força elástica é nula). Ainda no instante<br />
inicial, a energia potencial elástica (acumulada na mola) é Uel = 1<br />
2 k (∆xmax) 2 ,emquekéaconstantedamola. Consequentemente,<br />
Ei = −mg∆xmax sin 10 ◦ + 1<br />
2<br />
k (∆xmax)<br />
Oinstantefinal é aquele em que a bola deixa de estar em contacto com o lançador, no ponto exacto em que a mola<br />
está em equilíbrio. Neste ponto, tanto a energia potencial elástica como a energia potencial gravítica são nulas. A<br />
única forma de energia não nula é a energia cinética, associada ao movimento da bola<br />
Ef = 1<br />
2 mv2<br />
Aplicando a expressão da conservação da energia, Ei = Ef, obtemos<br />
1<br />
2 mv2 = −mg∆xmax sin 10 ◦ + 1<br />
2<br />
k (∆xmax)<br />
2<br />
v 2 = −2mg∆xmax sin 10◦ +<br />
m<br />
k (∆xmax) 2<br />
m<br />
e<br />
v 2 = −2 × 0.100 kg × 10 m/ s2 × 5.00 × 10 −2 m × sin 10 ◦<br />
0.100 kg<br />
= 2. 83 ( m/ s) 2<br />
v =1.68 m/ s<br />
2<br />
+ 120 N/ m × ¡ 5.00 × 10 −2 m ¢ 2<br />
0.100 kg<br />
P6 - Imprime-se a um bloco de 4.00 kg, situado na base de um plano com uma inclinação de 20.0 ◦ ,<br />
uma velocidade inicial de 8.00 m/ s fazendo o bloco subir o plano. A força de atrito que retarda o<br />
movimento do bloco tem módulo 15.0N.<br />
a) Qual a distância percorrida pelo bloco até parar?<br />
O trabalho das forças que actuam no bloco durante a subida é<br />
W =(−fc − P sin θ) ∆<br />
e, pelo teorema da energia cinética<br />
W = ∆E<br />
de onde, sendo v0 o módulo da velocidade inicial do bloco,<br />
A distância percorrida pelo bloco até parar é, então,<br />
∆ =<br />
=<br />
(−fc − P sin θ) ∆ =0− 1<br />
2 mv2 0<br />
1<br />
2mv2 0<br />
(fc + P sin θ)<br />
1<br />
24.00 kg × (8.00 m/ s)2<br />
15.0N+4.00 kg × 10 m/ s2 × sin 20◦ = 4.5m.<br />
b) Será que o bloco escorrega depois pelo plano abaixo?<br />
Quando o bloco está imóvel no topo. a componente do peso segundo a direcção do plano é<br />
mg sin 20 ◦ = 4.00 kg × 10 m/ s 2 × sin 20 ◦<br />
= 13.7N.<br />
9
A força de atrito tem módulo máximo de 15 N, superior a esta força, e portanto o bloco não se deslocará.<br />
P7 - Um bloco de 4.0kg ligado a uma corda de 2.0m de comprimento, roda em círculo sobre uma<br />
superfície horizontal.<br />
a) Considerando que a superfície não tem atrito, identifique todas as forças que actuam no bloco e<br />
mostre que o trabalho realizado por cada uma delas é zero para qualquer deslocamento do bloco.<br />
Peso P ;Normalàsuperfície N;Tensãodacorda T.<br />
Todas as forças são perpendiculares ao deslocamento, consequentemente o trabalho realizado por cada uma das<br />
forças sobre o bloco é nulo.<br />
b) Se o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície fôr 0.25, determine a energia perdida devido<br />
ao atrito em cada revolução.<br />
Em cada revolução o bloco percorre a distância<br />
O módulo da força de atrito é<br />
2πR = 2π × 2.0m<br />
= 12.6m<br />
fc = μN<br />
= μP<br />
= 0.25 × 4.0kg× 10 m/ s 2<br />
= 10.0N<br />
A energia "perdida"(isto é, transformada em energia térmica) devido ao atrito em cada revolução é igual ao módulo<br />
do trabalho da força de atrito numa revolução:<br />
ou seja, 1.26 × 10 2 J.<br />
W fc<br />
= −10.0N× 12.6m<br />
= −1.26 × 10 2 J.<br />
P8 - Nas Cataratas do Niagara tem-se uma queda de água de 1.2 × 10 6 kg/ s de uma altura de 50 m.<br />
Quantas lâmpadas de 60 W podem ser acesas com esta potência?<br />
A energia produzida por segundo (potência produzida) é mgh =1.2 × 10 6 kg/ s × 10 m/ s 2 × 50 m = 6.0 × 10 8 W.<br />
Poderia acender 6.0 × 10 8 W/60 W = 1.0 × 10 7 lâmpadas.<br />
P9 - Uma caixa de 200 kg é puxada ao longo de uma superfície por um motor. O coeficiente de atrito<br />
entreacaixaeasuperfícieé0.40.<br />
a) Qual é a potência fornecida pelo motor para mover a caixa a 5.0m/ s?<br />
O módulo da força de atrito é fc = μP =0.40 × 200 kg × 10 m/ s 2 =8.0 × 10 2 N. Vamos supor que a aceleração<br />
da caixa é nula. Como a força do motor e a força de atrito têm a mesma direcção mas sentidos opostos, o módulo da<br />
força do motor resulta de<br />
F − fa = 0<br />
F = 8.0 × 10 2 N<br />
O trabalho desta força durante um segundo (a potência do motor) é<br />
P = 8.0 × 10 2 N × 5.0m/ s<br />
= 4.0 × 10 3 J/ s<br />
= 4.0 × 10 3 W.<br />
b)Qualotrabalhorealizadopelomotordurante3.0min?<br />
W = P×∆t<br />
= 4.0 × 10 3 W × 180 s<br />
= 7. 2 × 10 5 J.<br />
10
P10 - Duas massas estão ligadas por uma corda leve que passa por uma roldana sem atrito como se<br />
mostra na figura. A massa de 5.0 kg é largada do repouso. Utilizando a lei de conservação da energia,<br />
determine:<br />
a) a velocidade da massa de 3.0 kg quando a massa de 5.0 kg toca no chão,<br />
Como se considera que as forças de atrito são desprezáveis (e também supomos que a massa da roldana é nula), a<br />
soma das veriações da energia cinética e da energia potencial gravítica é nula, ou<br />
∆EC + ∆U = 0<br />
2∆EC1 + ∆EC 2 + ∆U1 + ∆U2 = 0<br />
1<br />
2 (m1 + m2) v 2 + m1gh − m2gh = 0,<br />
em que m1 e m2 são as massas dos dois corpos e v é o módulo (comum) das suas velocidades. Resolvendo em ordem<br />
a v2 ,obtemos<br />
e<br />
v =<br />
s<br />
= 4.5m/ s.<br />
v 2 =2 m2 − m1<br />
gh<br />
m1 + m2<br />
2 × 10 m/ s 2 × 4.0m×<br />
5.0kg− 3.0kg<br />
5.0+3.0kg<br />
A velocidade do corpo de massa 3.0kgtem direcção vertical, sentido para cima e módulo v =4.5m/ s.<br />
b)aalturamáximaaqueamassade3.0 kg sobe.<br />
Quando a massa 2 toca no chão, a outra massa continua a subir porque possui velocidade não nula, sendo actuada<br />
apenas pela força gravítica, uma vez que a corda deixou de estar tensa. Utilizando a conservação da energia mecânica<br />
do sistema massa 1 + Terra, a partir do momento em que a massa m2 toca no chão, a massa m1 continua a mover-se<br />
de uma distância h0 tal que<br />
m1gh 0 = 1 2<br />
m1v<br />
2<br />
h 0 =<br />
2 m1v<br />
2m1g<br />
= v2<br />
2g<br />
= (4.5m/ s)2<br />
2 × 10/ s2 = 1.0 m<br />
A massa 1 sobe 1.0 ma contar da posição em que estava quando a massa 2 tocou no chão.<br />
P11 - Considere o sistema representado na figura. O coeficiente de atrito entre a massa de 3.0 kg<br />
easuperfícieéde0.40. O sistema parte do repouso. Qual a velocidade da massa de 5.0 kg após ter<br />
descido 1.5 m?<br />
11
Figura 1:<br />
O trabalho da força de atrito sobre o corpo, Wfc , quando este se desloca de uma determinada distância, é igual à<br />
variação da energia mecânica do sistema, isto é,<br />
W fa = ∆EC + ∆U,<br />
em que EC é a nergia cinética do sistema e U a enrgia potencial (neste caso, gravítica). Esta equação pode ser escrita<br />
na forma<br />
1<br />
2 (m1 + m2) v 2 +(−m2gh) − (−μm1gh) =0<br />
de onde obtemos<br />
v =<br />
s<br />
2(m2 − μm1) gh<br />
(m1 + m2)<br />
s<br />
=<br />
2 × (5.0kg− 0.40 × 3.0kg)× 10 m/ s2 × 1.5m<br />
5.0kg+3.0kg<br />
= 3.8ms −1 .<br />
P12 - Um berlinde escorrega sem atrito ao longo de uma calha, como se mostra na figura. Se o<br />
berlinde fôr largado de uma altura h =3.50R qual a sua velocidade no ponto A? Qual o valor da força<br />
normalqueactuasobreelenaqueleponto,seasuamassaéde5.00 g?<br />
No ponto de partida a energia potencial gravítica, referida à base do traço circular, é Ui = mgh e a energia cinética<br />
é ECi =0, porque o berlinda está em repouso. No ponto A, UA =2mgR e ECA<br />
1<br />
2 mv2 A +2mgR = mgh<br />
vA = p 2gh − 4gR<br />
= p 3gR<br />
12<br />
= 1<br />
2 mv2 A .Portanto
No ponto A, as forças que actuam sobre o berlinde são o peso e a normal, no mesmo sentido, para baixo, portanto:<br />
N + mg = mv2 A<br />
R<br />
N = 3gm − gm<br />
= 2× 0.005 kg × 10 m/ s 2<br />
= 0.1N<br />
P13-Umblocode3.0 kg escorrega ao longo de um plano inclinado que faz um ângulo de 30 o com a<br />
horizontal, partindo do repouso de uma altura h =60cm, como se indica na figura. Depois de atingir<br />
a base, o bloco escorrega ao longo de uma superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito em ambas<br />
as superfícies fôr 0.20, qual a distância percorrida pelo bloco sobre a superfície horizontal até parar?<br />
(Sugestão: Divida a trajectória em duas partes rectas).<br />
Utilizando a mesma nomenclatura do problema anterior, no percurso no plano inclinado, temos Wfc = ∆EC + ∆U,<br />
ou<br />
÷<br />
∆EC + ∆U − Wfc <br />
1<br />
2 mv2 µ<br />
<br />
h cos θ<br />
1 − mgh − −μmg ×<br />
sin θ<br />
Na trajectória horizontal.<br />
= 0<br />
= 0<br />
v 2 1 = 2gh<br />
v1 =<br />
s<br />
∙ ¸<br />
cos θ<br />
1 − μ<br />
sin θ<br />
2 × 10 m/ s 2 × 0.60 m ×<br />
= 2.8 m/ s.<br />
∆EC = Wfa <br />
− 1<br />
2 mv2 1 = −μmg∆<br />
∆ = v2 1<br />
2μg<br />
=<br />
(2.8 m/ s) 2<br />
2 × 0.20 × 10 m/ s 2<br />
= 2.0m.<br />
13<br />
∙<br />
1 − 0.20 ×<br />
µ ¸ ◦ cos 30<br />
sin 30 ◦
P14 - Um pára-quedista com massa 80 kg salta de um avião a uma altitude de 1000 meabreopáraquedas<br />
a uma altitude de 200 m. Suponha que a força retardadora sobre o pára-quedista é constante e<br />
igual a 50.0 N quando o pára-quedas está fechado e igual a 3600 N quando o pára-quedas está aberto.<br />
a) Determine a velocidade do pára-quedista quando aterra.<br />
b) Acha que o pára-quedista ficará ferido? Explique.<br />
c) A que altura deve o pára-quedas ser aberto para que a velocidade do pára-quedista quando chega<br />
ao solo seja de 5.0 m/s?<br />
d) Quão realista é a suposição de que a força retardadora é constante? Explique.<br />
a)Asúnicaforçasqueactuanoparaquedistaéadagravidade e de atrito. No percurso com o paraquedas fechado:<br />
ou, com o eixo dos y dirigido para baixo,<br />
P + fa = ma<br />
P − fa = ma<br />
a = g − fa<br />
m<br />
= 10m/ s 2 − 50.0N<br />
80 kg<br />
= 9.4m/ s 2<br />
A velocidade no momento em que o paraquedas abre obtém-se de<br />
No percurso com o pára-quedas aberto,<br />
e a velocidade do páraquedista ao chegar ao solo é<br />
Por processos de energia:<br />
No 1. o Percurso:<br />
v 2 1 − v 2 0 = 2a (x1 − x0)<br />
v1 = p 2 × 9.4m/ s2 × 800 m<br />
= 1.2 × 10 2 m/ s<br />
= 1.2 × 10 2 m/ s × 3600 s/ h<br />
= 4.3 × 10 2 km/ h.<br />
P + f 0 a = ma 0<br />
a 0 = g − f 0 a<br />
m<br />
= 10m/ s 2 −<br />
= −35 m/ s 2<br />
3600 N<br />
80 kg<br />
v 2 2 = v 2 1 +2a 0 (x2 − x1)<br />
= ¡ 1.2 × 10 2 m/ s ¢ 2 2<br />
− 2 × 35 m/ s × 200 m<br />
= 400 ( m/ s) 2<br />
v2 = 20m/ s<br />
= 72km/ h<br />
1<br />
2 mv2 1 = mg (h0 − h1) − fa (h0 − h1)<br />
14
e<br />
No 2. o percurso:<br />
1<br />
2 mv2 2 − 1<br />
v 2 µ<br />
1 = 2<br />
= 2×<br />
g − fa<br />
<br />
(h0 − h1)<br />
m<br />
µ<br />
10 m/ s 2 <br />
50 N<br />
− (1000 m − 200 m)<br />
80 kg<br />
= 1.5 × 10 4 (m/ s) 2<br />
v = p 1.5 × 10 4<br />
= 1.2 × 10 2 m/ s.<br />
2 mv2 1 = mgh1 − f 0 ah1<br />
v 2 2 = v 2 1 +2<br />
v2 =<br />
s<br />
= 20m/ s.<br />
µ<br />
g − f 0 a<br />
m<br />
<br />
h1<br />
(1.2 × 10 2 m/ s) 2 +2<br />
µ<br />
10 m/ s 2 −<br />
<br />
3600 N<br />
200 m<br />
80 kg<br />
P15 - Um corpo com massa igual a 3.0 kg parte do repouso e escorrega ao longo de um plano<br />
inclinado, sem atrito, uma distância d até que encontra uma mola de massa negligível (ver figura).<br />
O plano tem uma inclinação de 30 ◦ em relação à horizontal. O corpo escorrega em seguida uma<br />
distância adicional de 0.20 matéficar momentaneamente em repouso comprimindo a mola (k = 400<br />
N/m). Determine a separação inicial d entre o corpo e a mola.<br />
P16 - Um pau de saltitar, como se mostra na figura, guarda energia numa mola (k =2.5 × 10 4 N/m).<br />
Na posição A (x1 = −0.10 m)acompressãodamolaémáximaeacriançaestámomentaneamenteem<br />
repouso. Na posição B (x =0) a mola é descomprimida e a criança move-se para cima. Na posição C<br />
a criança está de novo momentaneamente em repouso no cimo do salto. Considere que a massa total<br />
da criança e do pau é 25 kg.<br />
a) Calcule a energia total do sistema se ambas as energias potenciais forem zero em x =0.<br />
b) Determine x2.<br />
c) Calcule a velocidade da criança em x =0.<br />
d) Determine o valor de x para o qual a energia cinética do sistema é máxima.<br />
e) Obtenha a velocidade máxima, para cima, da criança.<br />
15
Na posição A:<br />
Na posição B:<br />
Na posição C:<br />
EC A<br />
EC B<br />
a) A energia mecânica total conserva-se e, portanto:<br />
Podemos calcular ETot apartirda1. a expressão, ou<br />
b) Como<br />
obtemos<br />
vem<br />
c) De<br />
=0; UelA = 1<br />
2 kx2 1; Ug A = mgx1.<br />
= 1<br />
2 mv2 B; UelB =0; Ug B =0.<br />
EC B =0; UelB =0; Ug B = mgx 2 .<br />
ETot = 1<br />
2 kx2 1 + mgx1<br />
= 1<br />
2 mv2 B<br />
= mgx 2<br />
ETot = 1<br />
2 kx2 1 − mgx1<br />
= 1<br />
2 × 2.5 × 104 N/ m × (0.10 m) 2 +25kg× 10 m/ s 2 × (−0.10 m)<br />
= 100 J.<br />
x 2<br />
v 2 B<br />
ETot = mgx 2<br />
= 100 J,<br />
100 J<br />
=<br />
25 kg × 10 m/ s2 = 0.40 m.<br />
1<br />
2 mv2 B = 100 J,<br />
vB =<br />
2 × 100 J<br />
=<br />
s<br />
m<br />
2 × 100 J<br />
25 kg<br />
= 83m/ s.<br />
d) O ponto em que a energia cinética é máxima é o ponto em que a soma das energias potenciais é mínima, isto é,<br />
para x
A2. a derivada é<br />
d2U = k>0<br />
dx2 oquesignifica que nessse ponto a energia potencial total é um mínimo (a energia cinética é máxima). nesse ponto,<br />
e<br />
U = 1<br />
2 × 2.5 × 104 N/ m × (−0.01 m) 2 +25kg× 10 m/ s 2 × (−0.01 m)<br />
= −1, 3J.<br />
EC = 100. J − (−1.3J)<br />
= 101. 3J.<br />
Na região x>0, temos sempre<br />
ETot = 1<br />
2 kx2 + mgx = 100 J.<br />
O valor máximo de EC corresponde, nesta região, a x =0, obtendo-se<br />
EC = 100 J<br />
Consequentemente o ponto em que a eenrgia cinética é máxima é x = −0.01 m.<br />
e) A velocidade máxima para cima da criança é<br />
s<br />
vmax =<br />
2 × 100 J<br />
25 kg<br />
= 2.8m/ s.<br />
P17 - A Jane que tem uma massa de 50.0 kg, precisa de oscilar através de um rio de largura D, cheio<br />
de crocodilos, para salvar o Tarzan de perigo. Contudo ela tem de oscilar contra a força do vento F<br />
horizontal e constante, agarrada a uma trepadeira de comprimento L, que inicialmente faz um ângulo<br />
θ com a vertical, como se mostra na figura. Considere D =50.0 m, F = 110 N, L =40.0 m, θ =50.0 o e<br />
queoTarzantemumamassade80.0 kg.<br />
a) Qual a velocidade mínima com que a Jane tem de iniciar a sua oscilação para conseguir alcançar<br />
o outro lado?<br />
b) Quando a Jane chega ao outro lado, ela e o Tarzan têm de oscilar de volta ao lado de partida da<br />
Jane. Com que velocidade mínima têm eles de iniciar a sua oscilação?<br />
17
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
7 a Série - Oscilações - Resolução<br />
Q1 - Será que a amplitude A eaconstantenafaseφ de um oscilador, podem ser<br />
determinadas, se apenas for especificada a posição no instante t =0? Explique.<br />
Q2 - Uma massa ligada a uma mola tem um movimento harmónico simples com<br />
amplitude A. Será que a energia total varia se a massa duplicar mas a amplitude se<br />
mantiver? As energias cinética e potencial dependem da massa? Explique.<br />
Q3 - Uma massa é pendurada numa mola segundo a vertical e é posta em oscilação.<br />
Porque é que o seu movimento acaba por parar?<br />
Q4 - Um relógio de pêndulo está atrasado. Como se deveria ajustar o comprimento<br />
do pêndulo para acertar as horas?<br />
Problemas:<br />
P1 - Uma partícula move-se ao longo do eixo dos x com movimento harmónico simples,<br />
tendo partido da origem no instante t =0deslocando-se para a direita. A amplitude do<br />
movimento é 2.00 cm e a frequência é 1.50 Hz.<br />
a) Escreva a equação para o deslocamento.<br />
b) Determine a velocidade máxima e o primeiro instante em que a partícula atinge<br />
essa velocidade; faça o mesmo para a aceleração.<br />
c) Qual a distância total percorrida no intervalo de tempo entre t =0e t =1.00 s.<br />
a) A equação do movimento, que exprime a coordenada de posição em função do tempo, é do tipo<br />
x = A cos (ωt + φ) ,<br />
em que A é a amplitude, ω é a frequência angular e φ a constante de fase. ω =2πν =2π × 1.50 Hz =<br />
9. 42 rad/ s; A =2.00 cm. Comox (0 s) = 0.0cm,vem<br />
x (0) = A cos φ =0<br />
e φ = π 3π<br />
ou φ = . A escolha entre estes dois valores para a constante de fase é determinada pela<br />
2 2<br />
indicação de que no instante inicial, a velocidade é positiva (se para t =0a partícula se desloca para<br />
a direita, a velocidade nesse instante tem o sentido positvo dos eixo dos x e é, portanto, positiva). A<br />
velocidade, em função dotempo, é dada por<br />
e, para t =0,<br />
v = dx/dt<br />
= −Aω sin (ωt + φ)<br />
v (0) = −Aω sin φ<br />
1
Se v (0) > 0, entãosin φ
P2 - Uma bola deixada cair de uma altura de 4.00 m colide de uma forma perfeitamente<br />
elástica com o solo. Presuma que não há perda de energia devido à resistência do ar.<br />
a) Mostre que o movimento é periódico.<br />
b) Determine o período do movimento.<br />
c) O movimento é harmónico simples? Explique.<br />
a) Na descida, e com origem do referencial no ponto em que a bola bate no solo, a equação do<br />
movimento é<br />
y = h − 1<br />
2 gt2 .<br />
A velocidade da bola ao atingir o solo é dada por<br />
ou<br />
O tempo de descida é dado por tdesc, emque<br />
A equação para a subida é<br />
v = p 2gh<br />
0=h − 1<br />
2 gt2 desc<br />
tdesc =<br />
s<br />
2h<br />
g<br />
y = v0t − 1<br />
2 gt2<br />
em que v é igual ao valor da velocidade da bola ao atingir o solo, isto é, v0 = √ 2gh. Utilizando esta<br />
última equação, podemos obter o tempo de subida, tsub:<br />
h = p 2ght − 1<br />
2 gt2<br />
e<br />
tsub =<br />
=<br />
√ 2gh ± √ 2gh − 2gh<br />
g<br />
s<br />
2h<br />
= tdesc<br />
g<br />
Para que o movimento seja efectivamente periódico é necessário que todas as suas características<br />
(neste caso, posição e velocidade) se repitam em intervalos de tempo iguais (dos quais o menor será o<br />
período). Sabemos que efctivamente isto acontece no movimento que estamos a estudar e por isso ele<br />
é periódico.<br />
b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida. Este resultado sugere que o período do<br />
movimento será T =2tsub.<br />
c) a equação do movimento é<br />
ou, com o eixo dos y dirigido para cima,<br />
F = mg<br />
= m d2y j<br />
dt2 m d2y = −mg<br />
dt2 d2y + g = 0<br />
dt2 3
e o movimento não é harmónico simples (porque a respectiva equação não é do tipo d2y + Cy =0,<br />
dt2 com C = const.).<br />
P3-Umcorpocommassa2.00 kg estáligadoaumamolaeencontra-sesobreuma<br />
superfície horizontal. É necessária uma força horizontal de 20.0N para manter o corpo em<br />
repouso quando este é puxada 0.200 m da posição de equilíbrio (a origem do eixo dos x). O<br />
corpoélargadodorepousocomumdeslocamentoinicialx0 =0.200 m, e subsequentemente<br />
realiza oscilações harmónicas simples. Determine:<br />
a) a constante de força da mola;<br />
b) a frequência das oscilações;<br />
c) a energia total do sistema;<br />
d) a velocidade, a aceleração, a energia cinética e a energia potencial, quando o deslocamento é<br />
igual a um-terço do seu valor máximo.<br />
a) A constante da mola obtem-de de F = kx, emqueFéo valor absoluto da força que um agente<br />
exterior tem de efectuar sobre a mola quando esta é puxada de x da posição de equilíbrio. Assim<br />
k = F<br />
x<br />
= 20.0N<br />
0.200<br />
= 100 N/ m.<br />
b) A frequência das oscilações é ν = ω/2π, emqueω = p k/m. Portanto,<br />
ν =<br />
p<br />
k/m<br />
r<br />
2π<br />
100 N/ m<br />
=<br />
2.00 kg<br />
2π<br />
= 1.13 Hz.<br />
c) A energia total do sistema é dada pela soma da energia cinética da massa com a energia potencial<br />
da mola, isto é,<br />
EC = 1<br />
2 mv2 + 1<br />
2 kx2<br />
= 1<br />
2 mA2 ω 2 sin 2 (ωt + φ)+ 1<br />
2 kA2 cos 2 (ωt + φ)<br />
= 1<br />
2 A2 k ¡ sin 2 (ωt + φ)+cos 2 (ωt + φ) ¢<br />
= 1<br />
2 A2 k<br />
= 1<br />
2 × (0.200 m)2 × 100 N/ m<br />
= 2.00 J<br />
d) A posição e a velocidade da massa são dadas, respectivamente, por<br />
x = A cos (ωt + φ)<br />
v = −Aω sin (ωt + φ)<br />
No instante inicial ( t =0), temos x = A e v =0, de onde<br />
A cos φ = A<br />
−Aω sin φ = 0<br />
4
e<br />
e a equação do movimento é<br />
φ =0rad<br />
x = A cos ωt<br />
= (0.200 cos 2.26πt) m<br />
Se o deslocamento é igual a um terço do seu valor máximo então<br />
Nesse instante a velocidade é<br />
e a aceleração<br />
A energia cinética é<br />
e a enrgia potencial<br />
0.200 m<br />
3<br />
= 0.200 m × cos 2.26πt<br />
2.26πt = arccos 1<br />
3<br />
t = 0.173 s.<br />
v = −Aω sin ωt<br />
= −0.200 m × (2.26π) rad/ s × sin [(2.26π) rad/ s × 0.173 s]<br />
= −1. 34 m/ s.<br />
a = −Aω 2 cos ωt<br />
= −0.200 m × [(2.26π) rad/ s] 2 cos [(2.26π) rad/ s × 0.173 s]<br />
= −3.39 m/ s 2 .<br />
EC = 1<br />
× 2.00 kg × (−1. 34 m/ s)2<br />
2<br />
= 1.80 J<br />
EP = 1<br />
µ 2<br />
1<br />
× 100 N/ m × × 0.200 m<br />
2 3<br />
= 0.222 J.<br />
P4 - Um corpo de massa m oscila livremente estando pendurado numa mola vertical,<br />
como se mostra na figura. Quando m =0.810 kg operíodoé0.910 s. Outro corpo de massa<br />
desconhecida pendurado na mesma mola tem um período de 1.16 s. Determine:<br />
a) a constante da mola;<br />
b) a massa desconhecida.<br />
5
a) Com uma massa m suspensa, a mola oscila em torno da posição de equilíbrio (obtida de mg =<br />
ky0, istoéy0 = mg<br />
) com frequência angular dada por ω =<br />
k<br />
período é, portanto, T = 2π<br />
ω<br />
r<br />
k<br />
,emquekéaconstantedamola.O m<br />
= 2π<br />
p k/m . A constante da mola obtem-se a partir desta última relação:<br />
p 2π<br />
k/m =<br />
T<br />
k<br />
m =<br />
µ 2<br />
2π<br />
T<br />
µ 2<br />
2π<br />
k = m<br />
T<br />
= 0.810 kg ×<br />
= 38. 6N/ m.<br />
µ<br />
2π<br />
0.910 s<br />
2<br />
b) A massa desconhecida, m0 , obtem-se agora de<br />
m 0 =<br />
=<br />
µ <br />
T 0 2<br />
k<br />
2π<br />
µ 2<br />
1.16 s<br />
38. 6N/ m ×<br />
2π<br />
= 1.32 kg.<br />
P5 - Um pêndulo simples tem 5.0m de comprimento. Qual o período do movimento<br />
harmónico simples deste pêndulo se ele estiver pendurado num elevador que se desloca:<br />
a) Para cima com aceleração de módulo 5.0m/ s 2 ,<br />
b) Para baixo com aceleração de módulo 5.0m/ s 2 .<br />
a) Considere-se a figura.<br />
Asforçasqueactuamnocorposãooseupeso P e a tensão do fio T . A equação que exprime a 2. a<br />
lei de Newton é, neste caso,<br />
P + T = ma = m ¡ a 0 ¢<br />
+ ae ,<br />
em que a 0 é a aceleração do corpo quando a aceleração do elevador (ae) é nula. Esta equação pode ser<br />
escrita na forma<br />
P + T − mae = ma 0 ,<br />
6
cujas componentes segundo a direcção radial (dirigida para o centro da trajectória) e segundo a direcção<br />
tangencial são<br />
e obtemos<br />
ou<br />
−mg sin θ 0 − mae sin θ 0 = ma 0 t<br />
T − mg cos θ 0 − mae cos θ 0 = ma 0 n<br />
−m (g + ae)sinθ 0 = m d2 θ 0<br />
d2θ 0<br />
(g + ae)<br />
+ sin θ<br />
dt2 <br />
0 =0.<br />
Aqui, é o comprimento do pêndulo. Para valores de θ 0 pequenos, sin θ 0 ' θ 0 e atingimos uma equação<br />
de oscilador harmónico simples<br />
d2θ0 (g + ae)<br />
+ θ<br />
dt2 <br />
0 =0.<br />
A frequência angular da oscilação será<br />
b)<br />
r<br />
(g + ae)<br />
ω =<br />
<br />
dt 2<br />
T =<br />
s<br />
<br />
2π<br />
g0 s<br />
=<br />
<br />
2π<br />
g + ae<br />
s<br />
= 2π<br />
5.0m<br />
(10 + 5) m/ s2 = 3.63 s.<br />
T =<br />
s<br />
<br />
2π<br />
g00 s<br />
=<br />
<br />
2π<br />
g − ae<br />
s<br />
= 2π<br />
5.0m<br />
(10 − 5) m/ s2 = 6.3s.<br />
P6 - A roda de uma balança de relógio tem um período de oscilação de 0.250 s. Aroda<br />
tem massa de 20.0g concentrada num aro com raio 0.500 cm. Determine:<br />
a) o momento de inércia da roda;<br />
O momento de inércia da roda é<br />
I = MR 2<br />
= 2.0 × 10 −2 kg × ¡ 5.00 × 10 −3 m ¢ 2<br />
= 5.0 × 10 −7 kg m 2<br />
b) a constante de torção da mola associada.<br />
7
Utilizamos a equação<br />
I d2θ = −Kθ,<br />
dt2 em que K é a constante de torção da mola associada. A expressão da frequência angular do movimento<br />
é<br />
r<br />
K<br />
ω =<br />
I ,<br />
pelo que o período é<br />
r<br />
I<br />
T =2π<br />
K .<br />
A constante de torção é, então,<br />
K = 4π2 I<br />
T 2<br />
= 4π2 5.0 × 10 −7 kg m 2<br />
(0.250 s) 2<br />
= 3.16 × 10 −4 Nm<br />
8
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
8 a Série - Momento Linear - Resolução<br />
Questões:<br />
Q1 - Pode o centro de massa de um corpo situar-se fora do corpo? Em caso afirmativo,<br />
dê exemplos.<br />
Todosconhecemosexemplosdecorposemqueocentrodemassasesituaforadocorpo. Um<br />
exemplo é o de um corpo homogéneo em forma de "donut"perfeito. Neste caso, o centro de massa<br />
encontra-se no centro geométrico, que está fora do corpo.<br />
Q2 - O gráfico seguinte apresenta a posição, em função de tempo, de um corpo com<br />
massa 500 g, num movimento unidimensional. Desenhe o correspondente gráfico do valor<br />
do momento linear em função do tempo. Inclua uma escala apropriada no eixo vertical.<br />
Vamos utilizar a relação, válida para o movimento unidimensional,<br />
p = mv<br />
= m dx<br />
dt<br />
O valor da velocidade, constante, entre os instantes t =0e t =2sé<br />
v =<br />
x (2 s) − x (0 s)<br />
2s− 0s<br />
= 10 m − 0m<br />
2s− 0s<br />
= 5.0m/ s.<br />
Nesse intervalo de tempo, o valor do momento linear é<br />
p = mv<br />
= 0.500 kg × 5.0m/ s<br />
= 2.50 kg m/ s<br />
Analogamente, entre os instantes t =2se t =6so valor da velocidade, também constante, é<br />
e o correspondente valor do momento linear é<br />
v =<br />
x (6 s) − x (2 s)<br />
6s− 2s<br />
= 0m− 10 m<br />
6s− 2s<br />
= −2.5m/ s,<br />
p = mv<br />
= 0.500 kg × (−2.5m/ s)<br />
= −1.25 kg m/ s<br />
1
x(m) p(kg m/s)<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
t(s)<br />
6 1 2 3 4 5<br />
t(s)<br />
6<br />
Q3 - O gráfico seguinte apresenta o valor do momento linear, em função de tempo, de<br />
um corpo com massa 500 g, num movimento unidimensional.. Desenhe o correspondente<br />
gráfico da aceleração em função do tempo. Inclua uma escala apropriada no eixo vertical.<br />
p(kg m/s)<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
-2<br />
a(m/s )<br />
2<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
t(s)<br />
6 1 2 3 4 5<br />
t(s)<br />
6<br />
Podemos utilizar a relação, válida para movimento unidimensional, entre o momento linear e a<br />
aceleração:<br />
dp<br />
= ma,<br />
dt<br />
de onde<br />
a = 1 dp<br />
m dt .<br />
Ográfico obtém-de de modo análogo ao anterior.<br />
Q4 - Um corpo com massa 2kg move-se numa trajectória rectilínea no sentido positivo<br />
do eixo dos x comvelocidadedemódulo1m/ s, quando sofre o impulso da força na direcção<br />
do movimento, cujo sentido é descrito, em cada caso, pelos gráficos. Qual é o módulo e<br />
o sentido da velocidade do corpo após sofrer este impulso?<br />
a)<br />
c)<br />
F(N)<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
F(N)<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
0.5 s<br />
0.5 s<br />
t(s)<br />
t(s)<br />
2<br />
b)<br />
d)<br />
F(N)<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
F(N)<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
2.0 s<br />
1.0 s<br />
t(s)<br />
t(s)
O impulso é é o integral, relativamente ao tempo, da força exercida sobre o corpo:<br />
Z<br />
J = F (t) dt.<br />
Da 2. a Lei de Newton, F = dp<br />
dt ,emque F é a força exercida sobre o corpo e p o momento linear deste,<br />
resulta<br />
Z<br />
F (t) dt = dp<br />
Z<br />
F (t) dt = dp<br />
J = ∆p = pf − pi,<br />
em que pi e pf representam os valores do momento linear do corpo, imediatamente antes e imediatamente<br />
depois de lhe ser aplicada a força F . Concluímos assim que, se o corpo tinha inicialmente<br />
velocidade vi, asuavelocidadefinal é<br />
vf = vi + J<br />
m .<br />
No caso presente, sendo o movimento rectilíneo, e considerando que a força aplicada tem a direcção<br />
do movimento, esta equação assume a forma escalar<br />
vf = vi + J<br />
m .<br />
O sinal que afecta cada grandeza indicará o sentido que essa grandeza possui. Vamos arbitrar como<br />
positivo o sentido da velocidade inicial. Assim,<br />
e<br />
a) Neste caso,<br />
d) Aqui J =0e, consequentemente vf = vi.<br />
vi =1m/ s.<br />
J = 10N× 0.5s<br />
= 5.0Ns<br />
vf = 1m/ s+ 5.0Ns<br />
2kg<br />
= 3.5m/ s<br />
Q5 - Num parque de diversões, as pessoas são convidadas a tentar derrubar um poste<br />
de madeira, atingindo-o com uma bola. Pode ser escolhida uma bola de borracha, que<br />
ressalta muito facilmente ou uma bola de plasticina, de massa igual, que fica colada ao<br />
alvo. Suponha que pode atirar as bolas com velocidade inicial igual (e pontaria igual).<br />
Só pode ter uma tentativa.<br />
a) Qual das bolas escolheria? Porquê?<br />
b) Considere a situação com maior cuidado. Ambas as bolas possuem a mesma componente<br />
horizontal do momento linear, pix, imediatamente antes de atingir o poste. A<br />
bola de plasticina fica colada, a bola de borracha ressalta com velocidade de módulo<br />
aproximadamente igual ao que tinha antes do choque. Qual é a componente do momento<br />
linear imediatamente após o choque de cada bola?<br />
3
Bola de plasticina: pfx = _____________; Bola de borracha: pfx =____________<br />
Atenção: Teve em conta o sinal da componente do momento linear?<br />
c) Qual é a variação do momento linear de cada bola?<br />
Bola de plasticina: ∆px = _____________; Bola de borracha: ∆p x =___________<br />
d) Qual das bolas sofre impulso de maior módulo durante a colisão? Justifique.<br />
e) Partindo da 3. a Lei de Newton, o impulso que a bola exerce no poste é igual em<br />
módulo, mas de sentido oposto, ao impulso que o poste exerce na bola. Qual é a bola<br />
que exerce no poste impulso de maior módulo?<br />
f) Concorda ainda com a sua resposta à alínea a)? Se não, como é que a altera?<br />
Justifique.<br />
Q6 - Uma bola pequena e leve, L, e uma bola grande e pesada, G, aproximam-se uma<br />
da outra, colidem e separam-se.<br />
L G<br />
a)CompareaforçaqueLexerceemGcomaforçaqueGexerceemL,ouseja,FLG<br />
é maior, menor ou igual a FGL? Justifique.<br />
As forças que L exerce em G e G exerce em L constituem um par de acção e reacção, consequentemente<br />
FLG = − FGL<br />
e, no que respeita aos módulos,<br />
FLG = FGL.<br />
b) Compare o intervalo de tempo durante o qual L sofre uma força com o intervalo<br />
de tempo durante o qual G sofre uma força. São iguais ou um é maior do que o outro?<br />
Estesintervalosdetemposãoiguaisecorrespondem ao intervalo de tempo de duração da colisão.<br />
c) Desenhe um gráfico plausível, mostrando a força FLG em função do tempo e outro<br />
gráfico plausível, mostrando a força FGL em função do tempo. Não se esqueça do sinal<br />
de cada força.<br />
Considerando como positivo o sentido da força FLG,<br />
F LG<br />
F GL<br />
F GL<br />
L G<br />
d) Compare o impulso fornecido a L com o impulso fornecido a G.<br />
4<br />
FLG<br />
t<br />
t
Sendo ti e tf os instantes em que se inicia e termina a colisão, o impulso fornecido a L é<br />
JL =<br />
=<br />
Z tf<br />
ti<br />
FGL (t) dt<br />
Z tf<br />
− FLG (t) dt<br />
ti<br />
= − JG.<br />
Consequentemente, JL = − JG.<br />
e) Compare a variação do momento linear de L com a variação do momento linear de<br />
G.<br />
A variação do momento linear de L é<br />
∆pL = JL<br />
= − JG<br />
= −∆pG.<br />
Portanto as variações dos momentos lineares dos dois corpos são simétricas.<br />
f) Compare a variação da velocidade de L com a variação da velocidade de G.<br />
A partir do resultado da alínea anteriorm,<br />
∆pL = mL∆vL<br />
= −∆pG<br />
= −mG∆vG.<br />
Consequentemente,<br />
∆vL = − mG<br />
vG.<br />
mL<br />
g) Qual é a variação da soma dos momentos lineares das duas bolas? É positiva,<br />
negativa ou nula?<br />
O facto de as variações dos momentos lineares dos dois corpos serem simétricas é equivalente à<br />
conservação do momento linear total dos dois corpos. Com efeito,<br />
∆pL = −∆pG<br />
∆pL + ∆pG = 0<br />
pL + pG = c. te<br />
Portanto, a variação da soma dos momentos lineares das duas bolas é nula.<br />
Q7 - Para responder às questões seguintes, faça um diagrama da situação "antes"e<br />
"depois", defina as quantidades relevantes para a resolução, identifiqueosdadoseas<br />
grandezas desconhecidas. Em ambos os casos os movimentos são unidimensionais.<br />
a) O Daniel desliza no seu "skate"numa trajectória rectilínea, com velocidade de 4m/ s.<br />
De repente, salta do "skate"para trás, passando este último a deslocar-se com velocidade<br />
de 8m/ s.Qual é a velocidade do Daniel quando toca no solo? A massa do Daniel é de<br />
50 kg e a do "skate"é de 5kg.<br />
b) Conduzindo carrinhos de feira, o José colide directamente na traseira do carro do<br />
Noé, quando ambos se deslocavam no mesmo sentido. Imediatamente antes da colisão, a<br />
velocidade do Noé era de 1.8m/ s, enquanto que a do José era de 2.0m/ s. A massa total<br />
do Noé e do seu carro é de 80 kg, enquanto que a do José mais o seu carro é de 100 kg.<br />
Imediatamente após o choque, o carro do Noé move-se para a frente com velocidade de<br />
2.0m/ s. Qual é o módulo e o sentido da velocidade do José após o choque?<br />
5
Q8 - Quando se larga uma bola ela cai - aumentando o módulo da sua velocidade e o<br />
módulo do seu momento linear. Neste processo, o momento linear conserva-se?<br />
a) Responda a esta questão na perspectiva de o sistema ser constituído apenas pela<br />
bola.<br />
Se o sistema é constituído apenas pela bola, existe uma força exterior a ser exercida no sistema,<br />
a força gravítica da Terra. Consequentemente, com a resultante das dorças exteriores é não nula, o<br />
momento linear do sistema (a bola) não se conserva.<br />
b)Respondaaestaquestãonaperspectivadeosistemaserconstituídopelabolamais<br />
a Terra.<br />
Sendo o sistema constituído pela bola mais a Terra, as forças envolvidas, a força gravítica da Terra<br />
sobre a bola e a força gravítica da bola sobre a Terra, são internas. Consequentemente a resultante<br />
das forças exteriores que se exercem no sistema é nula e o momento linear do sistema (bola+Terra)<br />
conserv-se durante o movimento.<br />
Q9 - Se dois objectos colidem estando um deles inicialmente em repouso, será possível<br />
que ambos fiquem em repouso depois da colisão? Será possível que um deles fique em<br />
repouso depois da colisão? Explique.<br />
Numa colisão, o momento linear total dos objectos que colidem conserva-se, porque as forças<br />
envolvidas são apenas forças interiores ao sistema constituído por esses corpos, ou seja, o momento<br />
linear total do sistema imediatamente antes da colisão é igual ao momento linear total do sistema<br />
imediatamente após a colisão.<br />
Assim, num referencial em que um dos objectos está em repouso antes da colisão, o momento linear<br />
total do sistema imediatamente antes da colisão não pode ser nulo (porque o momento linear do outro<br />
objecto tem que ser diferente de zero, senão nunca havia colisão). Consequentemente, imediatamente<br />
depois da colisão o momento linear total não pode ser nulo, o que impede uma situação em que os<br />
dois objectos ficassem em repouso após a colisão.<br />
Pelo mesmo raciocínio, a conservação do momento linear total do sistema não impede que um dos<br />
objectos fique em repouso depois da colisão, desd e que o outro objecto não fique em repouso.<br />
Q10 - Um atirador dispara uma espingarda estando de pé com a parte de trás da<br />
espingarda encostada ao ombro. Sendo o momento linear da bala, apontando para a<br />
frente, igual ao momento linear da espingarda, que aponta para trás, por que é que é<br />
menos perigoso ser atingido pela espingarda do que pela bala?<br />
Q11-Umapatinadoraestáparadadepénumrinquedegelosematrito. Umamigo<br />
atira-lhe um Frisbee directo a ela. Em qual dos seguintes casos se dá a maior transferência<br />
de momento para a patinadora? (i) ela agarra o Frisbee e segura-o; (ii) ela apanha o<br />
Frisbee momentaneamente mas deixa-o cair; (iii) ela apanha o Frisbee e atira-o de volta<br />
ao amigo.<br />
Q12-Umovocrudeixadocairnochãoparte-seapósoimpacto. Contudo,umovo<br />
cru deixado cair sobre um colchão de espuma de uma altura de cerca de 1 mressalta<br />
sem partir. Porque é que tal é possível?<br />
Q13 - Um objecto, inicialmente em repouso, explode em três fragmentos. Os vectores<br />
momento linear de dois dos fragmentos estão representados no gráfico. Desenhe o vector<br />
momento linear, p3, do terceiro fragmento.<br />
6
p 1<br />
-2<br />
p y(kg m/s)<br />
2<br />
-2<br />
2<br />
p 2<br />
p x(kg m/s)<br />
Q14 - Um objecto, inicialmente em repouso, explode em três fragmentos. Os vectores<br />
momento linear de dois dos fragmentos estão representados no gráfico. Desenhe o vector<br />
momento linear, p3, do terceiro fragmento.<br />
-2<br />
p y(kg m/s)<br />
2<br />
-2 p2 p 1<br />
2<br />
p x(kg m/s)<br />
Q15 - Uma bola, com massa 500 g desloca-se para a direita com velocidade de módulo<br />
4.0m/ s, colide com outra bola, que está em repouso, e ressalta. O gráfico mostra o vector<br />
momento linear, p1, daprimeirabolaimediatamenteapósacolisão. Desenheovector<br />
momento linear, p2, da segunda bola, imediatamente após a colisão.<br />
-2<br />
p y(kg m/s)<br />
2<br />
-2<br />
7<br />
p 1<br />
2<br />
p x(kg m/s)
Problemas:<br />
P1-Umbolacommassade60 g é deixada cair de uma altura de 2.0m. Ela ressalta<br />
até uma altura de 1.8m. Qual a variação do seu momemto linear durante a colisão com<br />
ochão?<br />
Imediatamente antes da colisão.<br />
pi = mvi<br />
Imediatamente após a colisão,<br />
pf = mvf<br />
A variação do momento é<br />
∆p = m (vf − vi) .<br />
Agora vi é vertical e dirigido para baixo, vi = −vij, com<br />
e<br />
1<br />
2 mv2 i = mghi<br />
vi = p =<br />
2ghi<br />
√ 2 × 10 × 2.0<br />
= 6.3ms -1 .<br />
Por outro lado, vf é vertical e dirigido para cima, vf = vfj, com<br />
1<br />
2 mv2 f = mghf<br />
ou<br />
Consequentemente<br />
vi = p =<br />
2ghf<br />
√ 2 × 10 × 1.8<br />
= 6 ms -1 .<br />
∆p = m (vf − vi)<br />
= m (vf + vi)j<br />
= 6× 10 −2 × (6.3+6.0)j<br />
= 0.74j kg m s -1 .<br />
P2 - Uma mangueira de jardim é segurada da forma que se mostra na figura. Qual<br />
a força necessária para manter a mangueira estacionária se a taxa de descarga (isto é, a<br />
massa de água por unidade de tempo) é de 0.60 kg/s com uma velocidade de módulo 25<br />
m/s?<br />
8
A força exercida pela água pela mangueira é<br />
F1 = dp1<br />
dt<br />
No intervalo de tempo ∆t =1s, a variação do momento linear é, considerando que todos os vectores<br />
só possuem componente horizontal,<br />
de onde<br />
∆p1 = v∆m<br />
= 25m/ s × 0.60<br />
= 15kgm/ s.<br />
F1 = ∆p1<br />
∆t<br />
= 15<br />
1 N.<br />
De acordo coma 3. a lei de Newton, a água exerce na mangueira uma força de igual módulo e sentido<br />
oposto, que se transmite à mão que a segura, ou seja, a força necessária para manter a mangueira<br />
estacionária terá módulo igual 15 N.<br />
P3 - Uma bola de aço de 3.0kg é atirada contra uma parede com uma velocidade<br />
de módulo 10 m/ s e segundo um ângulo de 60 ◦ com a superfície. Ela ressalta com uma<br />
velocidade,comomesmomóduloesegundoomesmoângulo,comosemostranafigura.<br />
Seabolaestáemcontactocomaparededurante0.20 s, qual é a força média exercida<br />
pela parede sobre a bola?<br />
∆p = m (vf − vi)<br />
= m<br />
h<br />
vfx i −<br />
³<br />
−vix i<br />
´i<br />
= m (vfx + vix)i<br />
= 2× 3 × 10 × cos 30 ◦i<br />
= 52ikg m s -1 .<br />
Consequentemente<br />
F = ∆p<br />
∆t<br />
= 52<br />
0.20 i<br />
= 2.6 × 10 2 N.<br />
9
P4 - Uma criança com massa 40.0kg está de pé numa das extremidades de um barco de<br />
massa 70 kg ecom4.00 m de comprimento. O barco inicialmente em repouso está a 3.00 m<br />
do cais. A criança repara que sobre uma rocha, situada junto da outra extremidade do<br />
barco, está uma tartaruga, e começa a andar para aquela extremidade para apanhar a<br />
tartaruga. (Despreze o atrito entre o barco e a água).<br />
a) Descreva o movimento subsequente do sistema criança mais barco.<br />
b) Onde está a criança relativamente ao porto, quando ela atinge a extremidade do<br />
barco?<br />
c) Será que ela apanha a tartaruga?( Presuma que a criança se pode debruçar até<br />
1.00 m para fora da extremidade do barco).<br />
P5 - Uma bola de massa m está suspensa de uma corda de comprimento L sobre um<br />
bloco que está apoiado numa das suas extremidades, com se mostra na figura 4. A bola<br />
é largada de um ângulo θ. Na tentativa A, a bola ressalta elasticamente após chocar com<br />
o bloco. Na tentativa B, fita-colaforçaabolaaficar agarrada ao bloco numa colisão<br />
totalmente inelástica. Em qual dos casos é maisprovávelqueabolafaçatombarobloco?<br />
No 1. caso, a conservação do momento linear exprime-se na forma<br />
mvi = mvf + MVf<br />
em que M e Vf são, respectivamente, a massa e a velocidade do topo do bloco após a colisão. Como<br />
temos<br />
No 2. o caso,<br />
e<br />
vf = −vi,<br />
Vf = 2m<br />
M<br />
mvi =(m + M) V 0<br />
f<br />
V 0<br />
f =<br />
É mais provável o bloco tombar no 1. o caso.<br />
m<br />
m + M vi<br />
10
P6 - Um homem de 75.0kg está de pé sobre um barco de 100.0kg, em repouso sobre<br />
água parada. Ele está de frente para a parte de trás do barco e atira uma pedra de 5.00 kg<br />
para fora do barco com uma velocidade de 20.0m/ s. O barco desloca-se para a frente e<br />
acaba por parar a 4.2m da sua posição inicial. Calcule:<br />
a) a velocidade inicial do barco;<br />
b) a perda de energia mecânica devida à força de atrito exercida pela água;<br />
c) o coeficiente de atrito entre a água e o barco.<br />
a) O momento linear total inicial do sistema homem+barco+pedra é Pi= 0. Imediatamente após<br />
o lançamento, como as únicas forças envolvidas são internas, temos Pf = 0. Mas<br />
Pf =mpvp +(mh + mb)vb = 0<br />
e segundo um eixo horizontal,<br />
−mpvp +(mh + mb) vb =0<br />
de onde, a velocidade inicial do barco é<br />
vb =<br />
mp<br />
vp<br />
mh + mb<br />
5.00<br />
=<br />
× 20.0<br />
75.0 + 100.0<br />
= 0.57 ms -1 .<br />
b) A perda de energia mecânica devida ao atrito é igual à energia cinética inicial do sistema<br />
barco+homem:<br />
e<br />
∆E = 1<br />
2 (mh + mb) v 2 b<br />
c) A força de atrito é obtida ∆E = Fa∆x, ou<br />
ecomo<br />
= 1<br />
(75.0+100.0) 0.572<br />
2<br />
= 28.4J. Fa = ∆E<br />
∆x<br />
= 28.4<br />
4.2<br />
= 6.7 J.<br />
Fa = μN = μP<br />
= μ (mh + mb) g<br />
μ =<br />
Fa<br />
(mh + mb) g<br />
=<br />
6.7<br />
175 × 10<br />
= 0.004<br />
P7 - Um canhão está rigidamente ligado a um carro, o qual se pode mover ao longo de<br />
um carril horizontal, mas que está ligado a um poste por uma grande mola com constante<br />
11
de força k =2.00 × 10 4 N/ m, comosemostranafigura. O canhão dispara um projéctil<br />
de 200 kg com velocidade de módulo 125 m/ s dirigido 45 ◦ acima da horizontal. Considere<br />
que a massa do canhão mais a do carro é 5000 kg.<br />
a) Determine a velocidade de recuo do canhão.<br />
b) Qual a extensão máxima da mola?<br />
c) Considere que o sistema é constituído pelo canhão, carro e projéctil, e diga, justificando,<br />
se o momento deste sistema se conserva ou não durante o disparo.<br />
A componente do momento linear total do sistema carro+canhão+bala mantem-se nula durante o<br />
processo. Portanto, imediatamente após a bala ser disparada,<br />
de onde<br />
MV − mv cos 45 ◦ =0<br />
V = m<br />
v cos 45◦<br />
M<br />
= 200<br />
125 cos 45◦<br />
5000<br />
= 3.54 ms -1<br />
b) A energia cinética inicial do canhão+carro trnsformou-se em energia potencial da mola quando<br />
a extensão desta é máxima:<br />
1<br />
2 Kx2 = 1<br />
ou<br />
2<br />
MV<br />
2<br />
x =<br />
r<br />
M<br />
V<br />
K<br />
r<br />
5000<br />
= 3.54<br />
2.00 × 10 4<br />
= 1. 77 m.<br />
c) Só se conserva a componente horizontal do momento. O momento total não se conserva.<br />
P8 - Uma bala de 20.0g é disparada horizontalmente sobre um bloco de madeira de<br />
1.0kg, em repouso sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito μ =0.25.<br />
Abalaatravessaoblocoeemergedelecomumavelocidadede250 m/ s. Se o bloco se<br />
deslocar então de 5.0m antes de parar, qual era a velocidade inicial da bala?<br />
Durante a colisão o momento linear segundo o eixo dos x (horizontal) conserva-se:<br />
de onde,<br />
mbavbai = mbavbaf + mblvblf<br />
vbai = mbavbaf + mblvblf<br />
mba<br />
12
Por outro lado, a força de atrito que actua no bloco é<br />
fa = μmblg<br />
O trabalho realizado pela força de atrito é igual a variação da energia cinética do bloco:<br />
de onde<br />
e<br />
fa = − 1<br />
2 mblv 2 blf<br />
vblf = p 2μg<br />
vbai = mbavbaf<br />
√<br />
+ mbl 2μg<br />
mba<br />
= 0.02 × 250 + 1 × √ 2 × 0.25 × 10 × 5<br />
0.02<br />
= 5.0 × 10 2 .<br />
P9 - Um núcleo instável de massa 17×10 −27 kg, inicialmente em repouso, desintegra-se<br />
em três partículas. Uma das partículas, de massa 5.0×10 −27 kg, move-seaolongodoeixoy<br />
com uma velocidade de módulo 6.0 × 10 6 m/ s. Outra partícula de massa 8.4 × 10 −27 kg,<br />
move-se ao longo do eixo-x com uma velocidade de módulo 4.0 × 10 6 m/ s. Determine:<br />
a) a velocidade da terceira partícula;<br />
b) a energia total "perdida"no processo.<br />
P10 - Uma molécula de água é consistituída por um átomo de oxigénio ligado a dois<br />
átomos de hidrogénio, como se mostra na figura. O ângulo entre as duas ligações é 106 ◦ e<br />
cada ligação tem 0.100 nm de comprimento. Onde se situa o centro de massa da molécula?<br />
P11 - Uma folha uniforme de metal, de forma quadrada com lado 2a, temcortado<br />
um buraco circular de diâmetro a, como se mostra na figura. Onde se situa o centro de<br />
massadafolha?<br />
13
P12-Umblocodemassam =2.0kg está colocado no topo de um plano inclinado de<br />
massa M =8.0kg, altura h =2.0m ebaseL =6.0m. Se o bloco é largado a partir do<br />
repouso (a), qual a distância de que se deslocou o plano inclinado quando o bloco atinge<br />
abase(b)?<br />
(Sugestão: a coordenada x do centro de massa do sistema bloco mais plano inclinado<br />
não se altera, porquê?)<br />
Inicialmente, a coordenada segundo o eixo dos x da posição do centro de massa do sistema é dada,<br />
num referencial com origem no ponto maos baixo do plano inclinado, por<br />
XCM = Mxcmb + mL<br />
M + m<br />
Após o bloco chegar à base, a posição do centro de massa do sistema é:<br />
X 0 CM = M (xcmb + )+m<br />
,<br />
M + m<br />
em que é a distância de que se deslocou, no sentido positivo do eixo dos xo plano inclinado. Como<br />
XCM = X0 CM ,temos<br />
Mxcmb + mL<br />
M + m<br />
= M (xcmb + )+m<br />
M + m<br />
mL = (M + m) <br />
=<br />
m<br />
M + m L<br />
=<br />
2.0<br />
2.0+8.0 6.0<br />
= 1.2m. (Sugestão: a coordenada x do centro de massa do sistema bloco mais plano inclinado é fixa,<br />
porquê?)<br />
14
Folha de Cálculo:<br />
S1 - Um foguetão tem uma massa inicial de 20000 kg, da qual 20% écargadecombustível.<br />
O foguetão queima combustível a uma taxa de 200 kg/ s e expele gás a uma<br />
velocidade relativa de 2.00 kg/ s. A sua aceleração, dv/dt,é determinada pela equação de<br />
movimento<br />
M dv<br />
dt<br />
¯<br />
= ve ¯<br />
dM<br />
¯ dt<br />
¯ + Fext.<br />
Considere que não existem forças externas aplicadas e que a velocidade inicial do<br />
foguetão é zero. A velocidade do foguetão é então dada por<br />
v(t) =v e ln (M i /M)<br />
onde M éamassanoinstantet e Mi é a massa inicial do foguetão. Faça uma folha de<br />
cálculo para calcular a aceleração e a velocidade do foguetão e representar graficamente<br />
aquela velocidade em função do tempo.<br />
a) Determine a máxima aceleração e velocidade do foguete.<br />
b) Em que instante é a velocidade igual a metade do seu valor máximo? Porque é<br />
queesteinstantenãoémetadedotempodequeima?<br />
S2 - Modifique a folha de cálculo de S1 para calcular a distância viajada pelo foguetão.<br />
Introduza uma coluna na folha de cálculo para determinar a nova posição xi+1 por<br />
xi+1= xi+ 1<br />
2 (v i+1 +vi)∆t<br />
onde xi and vi são, respectivamente, a posição e velocidade anteriores, e vi+1 éanova<br />
velocidade.<br />
15
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
9 a Série - Rotação - Resolução<br />
Questões:<br />
Q1 -. Um pêndulo oscila desde a extremidade da trajectória, à esquerda (ponto 1),<br />
até à outra extremidade, à direita (ponto 5). Em cada um dos pontos indicados, marque<br />
as componentes vectoriais centrípeta, ac, etangencial,at, da aceleração, tendo em conta<br />
o comprimento relativo de cada vector. Marque, com cor diferente o vector aceleração<br />
(total), a, tambémemcadaponto.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5 1<br />
A encarnado estão indicados os vectores aceleração total, em cada ponto.<br />
Q2 - As figuras mostram a componente vectorial centrípeta, ac, em quatro posições<br />
sucessivas da trajectória de uma partícula que se move descrevendo uma trajectória<br />
circular no sentido directo.<br />
2 2<br />
2<br />
3 1 3<br />
1 3<br />
1<br />
a c<br />
4 4<br />
4<br />
a) Em cada figura, desenhe o vector componente tangencial da aceleração , at, nos<br />
pontos 2 e 3 (se esse vector fôr nulo, escreva at = 0.)<br />
b) Considerando positiva a rotação no sentido directo, e negativa no sentido retrógrado,<br />
determine, para cada caso, se a aceleração angular, α, em torno do centro da<br />
trajectória é positiva, negativa ou nula.<br />
Q3 - Considere os seguintes gráficos da velocidade angular de um corpo, em torno<br />
de um eixo, em função do tempo. Para cada caso, desenhe o correspondente gráfico da<br />
aceleração angular em função do tempo.<br />
<br />
a c<br />
2<br />
t t t<br />
<br />
t t t<br />
1<br />
3<br />
4<br />
5<br />
a c
Q4 - Uma roda rola para a esquerda sobre uma superfície horizontal, desce em seguida<br />
uma rampa, e continua depois a rolar noutra superfície horizontal. Desenhe os gráficos da<br />
velocidade e aceleração angulares da roda (em torno do seu eixo), em função do tempo.<br />
<br />
<br />
Q5 - Suponha a = b e M>mno sistema de partículas representado na figura 1. Em<br />
torno de que eixo (x, y ou z) é que o momento de inércia tem o menor valor? e o maior<br />
valor? Justifique.<br />
Estamos a utilizar a aproximação de massas pontuais (partículas). O momento de inércia do<br />
sistema em relação a um eixo é dado por<br />
I =<br />
4X<br />
i=1<br />
mid 2 i ,<br />
em que di éadistânciadapartículademassami ao eixo de rotação. Atendendo à relação entre as<br />
massas, facilmente concluiremos<br />
Ix
Q6 - O momento de inércia de uma barra rígida homogénea em torno de um eixo que<br />
passa pelo centro é 1<br />
12 ML2 ,emqueM éamassadabarraeL o seu comprimento. O<br />
momento de inércia da mesma barra em torno de um eixo passando por uma extremidade<br />
é 1<br />
3 ML2 . Sem efectuar cálculos, dê uma explicação física para o facto de o momento de<br />
inércia ser maior no último caso do que no primeiro.<br />
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado, genericamente, por<br />
I =<br />
NX<br />
i<br />
mir 2 i ,<br />
em que estamos a considerar que o corpo é constituído por N partículas, estando a partícula com<br />
massa mi àdistânciari doeixo. Nocasoemqueoeixopassapelocentro,ovalormáximodadistância<br />
de um partícula ao eixo é L/2. No caso em que o eixo passa por uma das extremidades da barra,<br />
apenas metade das partículas estão a disância inferior a L/2do eixo de rotação. Como consequência,<br />
o momento de inércia da barra será maior no último caso.<br />
Q7. Considere duas esferas, com a mesma massa, o mesmo raio e com a mesma<br />
aparência exterior. Contudo, uma delas é maciça e a outra é oca. É possível determinar<br />
qual delas é maciça e qual é oca, sem as abrir? Justifique.<br />
O momento de inércia da esfera maciça, em relação a um eixo que passa pelo centro, é I1 = 2<br />
5 MR2 ,<br />
em que M e R são, respectivamente, a massa e o raio da esfera. O momento de inércia da esfera oca,<br />
em relação a um eixo que passa pelo centro, é I2 ' MR2 (esta,os a supor, neste último caso, que a<br />
esfera oca é uma calote esférica fina, mas é evidente que, em qualquer caso, o valor do momento de<br />
inérciadeumaesferaocaemrelaçãoaumeixoquepassapelocentroésuperioraovalordomesmo<br />
momento de inércia para uma esfera maciça).<br />
Se deixarmos as esferas rolar ao longo de um plano inclinado de altura h, a partir do repouso, a<br />
conservação da energia mecânica conduz a<br />
MgH = 1<br />
2 Mv2 CM + 1<br />
2 Iω2 ,<br />
em que vCM é o módulo da velocidade do centro de massa da esfera na base do plano inclinado e ω é<br />
o módulo da velocidade angular da esfera emtorno deumeixoquepassapelocentro,tambémnana<br />
base do plano. Utilizando, agora, a relação vCM = ωR, obtemos<br />
de onde<br />
MgH = 1<br />
2 Mv2 CM + 1<br />
2 I v2 CM ,<br />
R2 v 2 CM = 2MgH<br />
M + I<br />
Concluímosqueomódulodavelocidadedocentrode massa na base do plano será maior para a esfera<br />
com menor valor de momento de inércia em relação a um eixo que passe pelo centro. Podemos então<br />
identificar as esferas medindo o tempo de descida do mesmo plano inclinado. O tempo de descida da<br />
esfera oca será inferior ao da esfera maciça.<br />
Apenas por palavras, poderíamos dizer que:<br />
• A energia potencia gravítica inicial das esfera se vai distribuir por energia cinética de rotação e<br />
energia cinética de traslação.<br />
3<br />
R 2<br />
.
• A energia cinética de rotação é maior (para a mesma velocidade angular) quando o momento de<br />
inércia em relação a um eixo que passa pelo centro é menor.<br />
• Consequentemente, como o módulo da velocidade angular é directamente proporcional ao da<br />
velocidade do CM, a razão entre os valores da energia cinética de rotação e de translação é<br />
maior se o valor do momento de inércia é menor, em que ponto da descida.<br />
• O valor da energia cinética total na base do plano inclinado é o mesmo para ambas as esferas.<br />
• o módulo da velocidade do centro de massa na base do plano será maior para a esfera maciça e<br />
consequentemente o tempo de descida é menor.<br />
Q8 - Três objectos de densidade uniforme, uma esfera maciça, um cilindro maciço, e<br />
um cilindro oco, são colocados no topo de um plano inclinado, como se mostra na figura<br />
2. Se os três forem largados do repouso, a partir de uma mesma altura e rolarem sem<br />
escorregar pelo plano inclinado, qual deles chega à base em primeiro lugar e em último<br />
lugar? Será o resultado dependente da massa ou do raio dos objectos?<br />
O raciocínio para este problema é idêntico ao do anterior. O tempo de descida vai depender do<br />
momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. Neste caso, temos<br />
Iesfera maciça = 2<br />
5 MR2<br />
Icilindro maciço = 1<br />
2 MR2<br />
Icilindro oco = MR 2 .<br />
Utilizando agor o resultando da questão Q6, a velocidade do centro de massa do corpo na base do<br />
plano inclinado, de altura H, será<br />
em que<br />
v 2 CM = 2MgH<br />
M + I<br />
=<br />
R 2<br />
2gH<br />
(1 + β) ,<br />
β esfera maciça = 2<br />
5<br />
β cilindro maciço = 1<br />
2<br />
β cilindro oco = 1.<br />
Concluímos que a velocidade do CM na base do plano é maior para a esfera maciça, seguida do<br />
cilindro maciço e por dim pelo cilindro oco. Os valores dos tempos de descida estarão ordenados de<br />
forma inversa e não dependem nemdamassanemdoraiodocorpo.<br />
4
Q9 - Dois cilindros com as mesmas dimensões e massa igual são postos a rodar em<br />
torno dos seu eixos longitudinais com a mesma velocidade angular. Um é oco e o outro<br />
está cheio de água. Qual dos dois cilindros é mais fácil fazer parar de rodar?<br />
Para o mesmo valor da velocidade angular, a energia cinética do cilindro oco é superior à do cilindro<br />
com água. Para fazer chegar ao repouso é necessário que uma força exterior exerça trablho sobre o<br />
cilindro, que será maior no primeiro caso. É portanto mais fácil fazer parar o cilinfro cheio de água.<br />
Q10 - Suponha que apenas duas forças externas actuam num corpo rígido, e que as<br />
duas forças têm o mesmo módulo e direcção mas sentidos opostos. Em que condições<br />
este sistema de forças terá como consequência a rotação do corpo?<br />
É necessário que as forças se exerçam em dois pontos cujas distâncias ao eixo de rotação sejam<br />
diferentes, para que os momentos de força em relação a esse eixo possuam módulos diferentes.<br />
Q11 - Cinco forças são aplicadas a uma porta. Indique, para cada força, se o valor do<br />
momento angular em relação ao eixo de rotação da porta é positivo, negativo, ou nulo,<br />
utilizando a convenção de sinais habitual.<br />
F 1<br />
F 2<br />
τ 1 < 0;<br />
τ 2 > 0;<br />
τ 3 > 0;<br />
τ 4 < 0;<br />
τ 5 = 0.<br />
Q12 - Seis forças, com módulo F ou 2F , são aplicadas a uma porta. coloque por<br />
ordem, de módulo maior para o menor, os momentos de força τ 1 a τ 6, em relação ao eixo<br />
de rotação da porta.<br />
F<br />
L/2 L/2 L/2 L/2<br />
F<br />
F<br />
2F 2F<br />
Numerando as forças da esquerda para a direita,<br />
5<br />
F 3<br />
F 5<br />
F 4<br />
F
|τ 1| = L<br />
× 2F = LF<br />
2<br />
|τ 2| = L × F × sin φ<br />
|τ 3| = L × F<br />
|τ 4| = L × F × sin φ<br />
|τ 5| = 3L<br />
× 2F =3LF<br />
2<br />
|τ 6| = 2L × F × sin 0 = 0.<br />
em que φ é o ângulo entre a direcção da força e a da régua no caso da força F2. Concluímos<br />
|τ 5| > |τ 1| = |τ 3| > |τ 2| = |τ 4| > |τ 6|<br />
Q13. a) Desenhe um vector força aplicado no ponto A, cujo momento em relação ao<br />
eixo indicado seja negativo.<br />
b) Desenhe um vector força aplicado no ponto B, cujo momento em relação ao eixo<br />
indicado seja nulo.<br />
c) Desenhe um vector força aplicado no ponto C, cujo momento em relação ao eixo<br />
indicado seja positivo.<br />
B<br />
Eixo<br />
Vamos adoptar como positivo o momento de força perpendicular ao plano do papel, dirigido para<br />
fora deste ou, alternativamente, vamos considerar como positivo o momento de uma força que, isoladamente,<br />
faça rodar a porta no sentido directo, visto de cima. Exemplos das forças pedidas (mas<br />
não os únicos possíveis) encontram-se na figura seguinte:<br />
B<br />
Eixo<br />
A<br />
C<br />
6<br />
A<br />
C
Q14-Oprimeirográfico indica o valor do momento, em relação ao eixo, da força<br />
resultante exercida numa roda de amolador, em função do tempo.<br />
O momento de inércia da roda em relação ao eixo é I =10kgm 2 . Desenhe os correspondentes<br />
gráficos da aceleração angular em função do tempo, α = α (t), e da velocidade<br />
angularemfunçãodotempo,ω = ω (t). Suponha ω (0) = 0.<br />
N/m 20<br />
0<br />
-20<br />
rad s <br />
2<br />
/<br />
rad/s 2 4 6 8 t(s)<br />
t(s)<br />
2 4 6 8<br />
t(s)<br />
2 4 6 8<br />
A relação entre o momento da força e a aceleração angular (no caso de eixo de rotação fixo, que<br />
dispensa a notação vectorial) é<br />
τ = Iα,<br />
em que I é o momento de inércia do corpo, em relação ao eixo de rotação. POr outro lado, no<br />
movimento de rotação em torno de um eixo fixo, com aceleração angular, α, constante, a relação entre<br />
esta última grandez, a velocidade angular, ω, eotempo,t, é<br />
ω = ω0 + α (t − t0) ,<br />
em que ω0 é o valor da velocidade angular no instante t0. Oresultadoserá<br />
N/m 20<br />
0<br />
-20<br />
rad s <br />
2<br />
/<br />
2.0<br />
-2.0<br />
rad/s 4.0<br />
-4.0<br />
2 4 6 8 t(s)<br />
t(s)<br />
2 4 6 8<br />
t(s)<br />
2 4 6 8<br />
7
Q15 -A roda da figura tem movimento de rotação em torno de um eixo central, sem<br />
atrito. Existe um bloco suspenso de uma corda, enrolada num num cilindro de menor<br />
raio que a roda, mas movendo-se solidariamente com esta, em torno do mesmo eixo. O<br />
blocoélargadonoinstantet =0se atinge o solo no instante t = t1.<br />
a) Desenhe um gráfico de ω = ω (t), com início em t =0se continuando por algum<br />
tempo t>t1.<br />
Ográfico é análogo (mas com valores diferentes) ao dos primeiros 2 s da questão Q14.<br />
b) O módulo da aceleração do bloco, durante a descida é menor, igual ou superior a<br />
g? Justifique.<br />
O módulo da aceleração do bloco é inferior a g porque há conservação da energia mecânica do<br />
sistema e parte da energia potencial inicial é convertida em energia cinética de rotação do cilindro, o<br />
que conduz a um valor do módulo da aceleração do bloco inferior ao que teria se caisse livremente.<br />
8
Problemas:<br />
P1 - O prato de um gira-discos roda a uma taxa de 33 1 3<br />
ficar em repouso quando é desligado. Determine:<br />
a) o valor da sua aceleração angular;<br />
b) o número de revoluções que dá até parar.<br />
Utilizando<br />
ω − ω0 = αt<br />
α =<br />
ω − ω0<br />
t<br />
α =<br />
0 − 33.33rev/ min<br />
60.0s 2<br />
= −9.3 × 10 −3 rev s -2 .<br />
rev/ min edemora60.0s até<br />
Agora podemos utilizar a relação entre a posição, a velocidade e a acelaração angulares,<br />
para obter<br />
µ<br />
33.33rev/ min<br />
0 −<br />
60 s<br />
ω 2 − ω 2 0 =2α (θ − θ0)<br />
2<br />
θ − θ0 =<br />
= −2 × 9.3 × 10 −3 (θ − θ0)<br />
µ 33.33rev/ min<br />
60 s<br />
2<br />
2 × 9.3 × 10 −3 rev s -2<br />
= 16.6 rev<br />
P2 - Considere um disco sólido uniforme, que rola por um plano inclinado abaixo.<br />
a) Determine a aceleração do centro de massa do disco, e compare esta aceleração<br />
com a que teria um arco uniforme.<br />
a) As forças que actuam em cada corpo são:<br />
f e<br />
N → Força,normal ao plano inclinado, exercida pelo plano no disco;<br />
P → Peso do disco;<br />
fe → Forçadeatritoestáticoentreoplanoepdisco(éestaforçaqueoriginaorolamento).<br />
Em ambos os casos, disco sólido e arco, temos:<br />
P<br />
<br />
N<br />
N + P + fe = Ma<br />
τ N + τ P + τ fe<br />
+<br />
= Iα,<br />
em que M éamassadocorpo,aaaceleração do centro de massa, τ N, τ P e τ fe são os momentos<br />
da forças N , P e fe emrelaçãoaumeixoderotação,eIeαsão, respectivamente, o momento de<br />
9<br />
y<br />
x
inércia e a aceleração angular do corpo em relação a esse eixo. Vamos utilizar o sistema de referência<br />
indicado na figura e o eixo de rotação que passa pelo centro de massa do corpo (que coincide com<br />
o centro geométrico do corpo). As equações escalares correspondentes às duas equações vectoriais<br />
apresentadas, são<br />
N − Mgcos θ = 0<br />
Mgsin θ − f = Ma<br />
−τ fe<br />
= ICMα<br />
ou<br />
feR = −ICMα<br />
Neste caso, com o sistema de referência escolhido, α = − a<br />
, em que R é o raio do cilindro, e,<br />
R<br />
consequentemente,<br />
a<br />
fe = ICM<br />
R2 e<br />
a<br />
Mgsin θ − ICM = Ma<br />
R2 <br />
a<br />
= Mgsin θ<br />
µ<br />
M + ICM<br />
R 2<br />
a =<br />
g sin θ<br />
³<br />
1+ ICM<br />
MR2 ´<br />
O momento de inércia do disco (que é um cilindro) em torno do seu eixo principal é ICM = 1<br />
2 MR2 ,<br />
de onde<br />
g sin θ<br />
a = ¡ ¢<br />
1 1+ 2<br />
= 2<br />
g sin θ<br />
3<br />
Por outro lado, o momento de inércia do arco é MR2 ,ou<br />
aa = 1<br />
g sin θ<br />
2<br />
b) Qual o valor mínimo do coeficiente de atrito que é necessário para manter o disco<br />
em rolamento puro?<br />
Para que haja rolamento, a = −αR, condição utilizada acima. Portanto<br />
ou<br />
e<br />
μ ≥<br />
fe = ICM<br />
a<br />
≤ μN<br />
R2 μgM cos θR2<br />
a ≤<br />
≥<br />
ICM<br />
ICM<br />
a<br />
gM cos θR2 MR 2<br />
gM cos θR 2<br />
≥ 2<br />
tan θ<br />
3<br />
10<br />
2<br />
g sin θ<br />
3
P3 - Uma lata de sopa que tem de massa 215 g, altura10.8cm,ediâmetro6.38 cm, é<br />
colocada em repouso no topo de um plano inclinado que tem 3.00 m de comprimento e<br />
faz um ângulo de 25.0 ◦ com a horizontal. Utilizando um método que envolva energia,<br />
calcule o momento de inércia da lata, sabendo que ela demora 1.50 s aatingirabasedo<br />
plano inclinado.<br />
Notopoaenergiaétodapotencial,nabaseécinética de translação e rotação, em que I éo<br />
momento de inércia da lata em relação ao seu eixo principal:<br />
Mgh = 1<br />
2 Mv2 + 1<br />
2 Iω2<br />
com a velocidade do centro de massa dada por v = ωR, de onde<br />
ou<br />
Mgh = 1<br />
2 Mv2 + 1<br />
2<br />
1<br />
2 v2<br />
µ<br />
M + I<br />
R2 <br />
v 2 =<br />
= Mgh<br />
I v2<br />
R 2<br />
2Mgh<br />
¡<br />
I M + R2 ¢<br />
M + I 2Mgh<br />
=<br />
R2 v2 A velocidade do CM na base do plano é dada por<br />
ou, com v0 =0,<br />
e<br />
I = 2MghR2<br />
v 2<br />
= v0 + v<br />
t<br />
2<br />
v = 2<br />
t<br />
= 2 × 3.00 m<br />
1.50 s<br />
= 4.0ms −1 .<br />
− MR 2<br />
I = MR 2<br />
µ<br />
g sin 25 ◦t2 − MR<br />
2<br />
2<br />
<br />
I = 0.215 kg × ¡ 3.19 × 10 −2 m ¢ 2 ×<br />
= 1. 28 × 10 −4 kg m 2 .<br />
"<br />
10 m/ s 2 × (1.50 s) 2 × sin 25 ◦<br />
2 × 3.0m<br />
Se calcularmos o mesmo momento de inércia utilizando a fórmula I = 1<br />
2MR2 ,obtemos<br />
I = 1<br />
2 × 0.215 kg × ¡ 3.19 × 10 −2 m ¢ 2<br />
= 1. 10 × 10 −4 kg m 2<br />
11<br />
− 1<br />
#
P4 - Um carro que viaja sobre uma pista circular plana, acelera uniformemente a<br />
partir do repouso, com uma aceleração tangencial de 1.70 m/ s 2 . O carro percorre um<br />
quarto de círculo até que derrapa para fora da pista. Determine o coeficiente de atrito<br />
estático entre o carro e a pista.<br />
P5 - Três partículas estão ligadas por barras rígidas, de massa negligível., ao longo<br />
do eixo dos y, comosemostranafigura. Se o sistema rodar em torno do eixo dos x com<br />
uma velocidade angular de magnitude 2.0 rad/ s, determine:<br />
a) o momento de inércia em torno do eixo dos x e a energia total de rotação;<br />
b) a velocidade linear de cada partícula e a energia total do sistema.<br />
a) O momento de inércia do sistema em relação ao eixo dos x é dado por<br />
I = m1y 2 1 + m1y 2 2 + m1y 2 3,<br />
em que yi é a coordenada no eixo dos y do centro de massa da esfera i. Temos, assim,<br />
I = 4.00 kg × 3.00 m 2 +2.00 kg × ¡ −2.00 m 2¢ 2 +3.00 kg × (−4.00 m) 2<br />
= 92.0kgm 2<br />
A energia cinética de rotação do sistema é<br />
E = 1<br />
2 Iω2<br />
= 1<br />
2 × 92.0kgm2 × (2.0rad/ s) 2<br />
= 1.8 × 10 2 J.<br />
b) A velocidade linear de cada esfera é, em módulo,<br />
v1 = ωr1 =2.0 × 3.00 = 6.0m/ s −1<br />
v2 = ωr2 =2.0 × 2.00 = 4.0m/ s −1<br />
v3 = ωr3 =2.0 × 4.00 = 8.0m/ s −1<br />
A energia cinética total é<br />
E = 1 ¡<br />
m1v<br />
2<br />
2 1 + m2v 2 2 + m3v 2 =<br />
¢<br />
3<br />
1<br />
2 ×<br />
h<br />
4.00 kg × (6.0m/ s) 2 +2.00 kg × (4.0m/ s) 2 +3.00 kg × (8.0m/ s) 2i<br />
= 1.8 × 10 2 J<br />
que evidentemente coincide com o valor acima.<br />
12
P6 - Uma roda de bicicleta tem de diâmetro 64.0cm emassade1.80 kg. A bicicleta<br />
está colocada sobre uma passadeira rolante estacionária, estando uma força resistiva de<br />
120 N aplicada na borda do pneu. Presuma que toda a massa da roda está concentrada<br />
no raio exterior. Para imprimir à roda uma aceleração de 4.5rad/ s2 ,qualaforçaque<br />
deve ser aplicada por uma corrente que passa através de uma roda dentada de diâmetro:<br />
i) 9.0cm, ii) 5.6cm?<br />
O momento total aplicado à roda de bicicleta em relação ao centro desta é a soma vectorial do<br />
momentodaforçaresistivaaplicadanabordadaroda(τFR ) e do momento da força aplicada através<br />
da roda dentada (τ FD ). Estes momentos têm sentidos (e a mesma linha de acção, perpendicular ao<br />
plano da roda). Portanto,<br />
τ res = τ FD − τ FR<br />
= Iα,<br />
em que α é o módulo da aceleração angular da roda e I o momento de inércia deste em relação ao seu<br />
eixo principal.. Temos assim, sendo R oraiodaroda,<br />
i)<br />
ou<br />
ii)<br />
τ res = r1FD − RFR<br />
= Iα<br />
(0.045 m) F1 − 0.32 m × 120 N = 1.80 kg × (0.32 m) 2 × 4.5rad/ s 2<br />
F1 = 1.80 kg × (0.32 m)2 × 4.5rad/ s 2 +0.32 m × 120 N<br />
0.045 m<br />
= 8.72 × 10 2 N<br />
F1 = 1.80 kg × (0.32 m)2 × 4.5rad/ s 2 +0.32 m × 120 N<br />
0.028 m<br />
= 1.40 × 10 3 N<br />
P7-Umcorpocommassade15 kg e outro corpo com massa de 10 kg estão suspensos<br />
porumaroldanaquetemderaio10 cm e massa de 3kg,comosemostranafigura. A corda<br />
tem massa negligível. e faz rodar a roldana sem escorregar. A roldana roda sem atrito.<br />
Os corpos partem do repouso quando distam um do outro 3.0m. Considere a roldana<br />
como um disco uniforme e determine as velocidadesdosdoiscorposquandopassamum<br />
pelo outro.<br />
13
a) Vamos utilizar a conservação de enegia mecânica:<br />
Vamos considerar o valor zero da energia potencial gravítica o nível a que estão ambas as massas<br />
quando passam uma pela outra.<br />
A energia cinética quando se inicia o movimento é:<br />
ECi =0<br />
porque o sistema está em repouso. A energia potencial nesse instante é<br />
EPi = m1gh1 + m2gh2 + MgH<br />
em que M e H são a massa e altura da roldana, respectivamente.<br />
Quando as massa passam uma pela outra, temos<br />
e<br />
Como<br />
temos<br />
ECf<br />
= 1<br />
2 m1v 2 + 1<br />
2 m2v 2 + 1<br />
2 Iω2<br />
EPf<br />
= MgH.<br />
Etoti = Etotf<br />
m1gh1 + m2gh2 + MgH = 1<br />
2 m1v 2 + 1<br />
2 m2v 2 + 1<br />
2 Iω2 + MgH<br />
m1gh1 + m2gh2 = 1<br />
2 m1v 2 + 1<br />
2 m2v 2 + 1<br />
2 Iω2<br />
Agora<br />
v = ωR<br />
em que R é o raio da roldana, e I = 1<br />
2 MR2 ,vindo,então<br />
1<br />
2 m1v 2 + 1<br />
2 m2v 2 + 1 v2<br />
MR2<br />
4 R2 = m1gh1<br />
µ<br />
1<br />
m1 + m2 +<br />
2<br />
+ m2gh2<br />
1<br />
2 M<br />
<br />
v 2 v<br />
=<br />
=<br />
m1gh1 + m2gh2<br />
v<br />
u<br />
t 2g (m1h1 + m2h2)<br />
m1 + m2 + 1<br />
2 M<br />
=<br />
v<br />
u<br />
t 2 × 10 m/ s2 (15 kg × 1.5m− 10 kg × 1.5m)<br />
15 kg + 10 kg + 1<br />
× 3kg<br />
2<br />
= 2.4m/ s.<br />
P8 - Uma barra cilíndrica com 24 cm de comprimento, massa 1.2kg eraio1.5cm,tem<br />
ligadaaumadasextremidadesumabolademassa20 kg, ediâmetro8.0cm. O conjunto<br />
está inicialmente na posição vertical, com a bola no topo, e é livre de rodar em torno da<br />
outra extremidade. Depois do conjunto ter caído um quarto de uma volta, determine:<br />
a) a sua energia cinética rotacional;<br />
Este problema pode ser resolvido por dois processos:<br />
14
1. o Processo - Consideramos o movimento do sistema como de rotação pura em torno de um eixo<br />
horizontal que passa na extremidade inferior da barra.<br />
A energia cinética rotacional do sistema, após ter caído 1/4 de volta é igual a<br />
EC = 1<br />
2 ITotalω 2 ,<br />
em que ITotal é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação e ω é a velocidade<br />
angular do sistema após 1/4 de volta. Podemos agora utilizar ITotal = Ibarra + Ibola, emqueIbarra<br />
e Ibola são, respectivamente, os momentos de inércia da barra e da bola, ambos em relação ao eixo<br />
horizontal que passa na extremidade inferior da barra.<br />
Recorrendo a uma tabela de momentos de inércia, Ibarra = 1<br />
3 MbarraL2 ,emqueLéocomprimento da barra, I0 2<br />
bola =<br />
5 MbolaR2 ,emrelaçãoaumeixoquepassapelocentrodabola,deraioR. Utilizando<br />
o teorema dos eixos paralelos, obtemos Ibola = 2<br />
5 MbolaR 2 + Mbola (L + R) 2 , agora em relação ao eixo<br />
que passa pela base da barra cilíndrica.<br />
Consequentemente, a energia cinética total do sistema é<br />
ECtotal<br />
= 1<br />
2<br />
e, utilizando a conservação da energia mecânica,<br />
1<br />
2<br />
∙ 1<br />
3 MbarraL 2 + 2<br />
5 MbolaR 2 + Mbola (L + R) 2<br />
∙ 1<br />
3 MbarraL 2 + 2<br />
5 MbolaR 2 + Mbola (L + R) 2<br />
A energia cinética total do sistema, após 1/4 de volta será, neste caso<br />
¸<br />
¸<br />
ω 2 ,<br />
ω 2 = Mbarrag L<br />
2 + Mbola (L + R) g,<br />
L<br />
ECtotal = Mbarrag<br />
2 + Mbola (L + R) g,<br />
2. o Processo - Consideramos o movimento do sistema como uma combinação, para cada corpo, de<br />
rotação em torno de um eixo horizontal que passa pelo respectivo centro de massa e de translação<br />
pura desse centro de massa.a barra.<br />
Após 1/4 de volta, a energia cinética total da barra é,<br />
ECbarra<br />
enquanto que a energia cinética total da bola é<br />
ECbola<br />
1 1<br />
= ×<br />
2 12 MbarraL 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbarrav 2 CMbarra<br />
= 1 1<br />
×<br />
2 12 MbarraL 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbarra<br />
µ L<br />
2 ω<br />
1 2<br />
= ×<br />
2 5 MbolaR 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbolav 2 CMbola<br />
2<br />
= 1 2<br />
×<br />
2 5 MbolaR 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbola [(L + R) ω] 2 ,<br />
15<br />
,
Portanto a energia cinética total do sistema é<br />
1 1<br />
ECtotal = ×<br />
2 12 MbarraL 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbarra<br />
µ<br />
L<br />
2 ω<br />
2<br />
(<br />
1 1<br />
= ×<br />
2 12 MbarraL 2 + 1<br />
2 Mbarra<br />
µ 2<br />
L<br />
2<br />
½<br />
1 1<br />
= ×<br />
2 12 MbarraL 2 + 1<br />
8 MbarraL 2 + 1<br />
2<br />
= 1<br />
½<br />
1<br />
2 12 MbarraL 2 + 1<br />
4 MbarraL 2 + 2<br />
5 MbolaR 2 + Mbola [(L + R)] 2<br />
¾<br />
ω 2<br />
= 1<br />
½<br />
1<br />
2 3 MbarraL 2 + 2<br />
5 MbolaR 2 + Mbola [(L + R)] 2<br />
¾<br />
ω 2 ,<br />
que é o resultado acima.<br />
A energia cinética rotacional será apenas a que está associada á rotação, ou seja,<br />
+ 1 2<br />
×<br />
2 5 MbolaR 2 ω 2 + 1<br />
2 Mbola [(L + R) ω] 2<br />
+ 1 2<br />
×<br />
2 5 MbolaR 2 + 1<br />
2 Mbola [(L + R)] 2<br />
× 2<br />
5 MbolaR 2 + 1<br />
2 Mbola [(L + R)] 2<br />
¾<br />
ω 2<br />
EC rotacionaltotal = EC rotacionalbarra + EC rotacionalbola<br />
= 1 1<br />
×<br />
2 12 MbarraL 2 ω 2 + 1 2<br />
×<br />
2 5 MbolaR 2 ω 2 ,<br />
que só pode ser obtida após se conhecer a velocidade angular do sistema, após 1/4 de volta<br />
b) a sua velocidade angular;<br />
Da equação que exprime a conservação da energia mecânica, obtemos,<br />
ω 2 =<br />
c) a velocidade linear da bola;<br />
Será<br />
vCMbola<br />
Mbarrag L<br />
2 + Mbola (L + R) g<br />
∙<br />
1 1<br />
2 3 MbarraL2 + 2<br />
5 MbolaR2 + Mbola (L + R) 2<br />
¸.<br />
)<br />
ω 2<br />
= (L + R) ω (1)<br />
v<br />
u Mbarrag<br />
= (L + R)<br />
u<br />
t<br />
L<br />
2 + Mbola (L + R) g<br />
∙<br />
1 1<br />
2 3 MbarraL2 + 2<br />
5 MbolaR2 + Mbola (L + R) 2<br />
¸ (2)<br />
d) a velocidade que a bola teria se tivesse caído livremente de uma altura igual ao<br />
raio; compare este valor com o obtido em c).<br />
Partindo da expressão da conservação da energia mecânica da bola,<br />
1<br />
2 Mbolav 2 CMbola = Mbolag (L + R)<br />
obtamos a velocidade que a vola teria se tivesse caído livremente<br />
vCMbola = p 2g (L + R) (3)<br />
P9-Umpião,comoorepresentadonafigura, tem um momento de inércia 4.00 ×<br />
10 −4 kg m 2 e está inicialmente em repouso. Ele é livre de rodar em torno do eixo estacionário<br />
AA 0 . Acordaenroladaàvoltadapegadopiãoépuxadadeformaasemanter<br />
uma tensão constante de 5.57 N. Supondo que a corda não escorrega enquanto é desenrolada,<br />
determine a velocidade angular do pião depois de terem sido puxados 80.0cm de<br />
corda.<br />
16
O trabalho realizado pela corda é<br />
F = 5.57 N × 0.80 m<br />
= 4.46 J<br />
Este trabalho será igual à energia cinética adquirida pelo pião, ou<br />
de onde<br />
ω =<br />
1<br />
2 Iω2 =4.46 J<br />
s<br />
2 × 4.46 J<br />
4.00 × 10−4 kg m2 = 1.49 × 10 2 rad s −1 .<br />
P10-Umaesferasólidatemraiode0.200 m emassade150 kg. Qual o trabalho que<br />
é necessário realizar para pôr a esfera a rolar com uma velocidade angular de 50.0rad/ s<br />
numa superfície horizontal? (Presuma que a esfera parte do repouso e rola sem escorregar).<br />
P11 - Um ringue de massa 2.4kg,raiointerior6.0cm eraioexterior8.0cm,rolasem<br />
escorregar por um plano inclinado acima, que faz um ângulo θ =37 ◦ com a horizontal,<br />
como se mostra na figura. No momento em que o ringue atinge a posição x =2.0m sobre<br />
o plano a sua velocidade é 2.8m/ s. O ringue continua a subir o plano até atingir uma<br />
certa altura e depois rola pelo plano abaixo. Presumindo que o plano é suficientemente<br />
longo para que o ringue não role para fora no topo, determine o alcance máximo daquele<br />
sobre o plano.<br />
17
P12 - Um pêndulo cónico tem um corpo de massa m ligado a um fio decomprimento<br />
, descrevendo o corpo uma trajectória circular num plano horizontal, enquanto o fio<br />
mantém um ângulo constante θ com a vertical, como se mostra na figura. Mostre que<br />
omódulodomomentoangulardamassaemtornodopontodesuspensãoédadopor<br />
q ¡m ¢<br />
L = 2gl3 2 sin θ / cos θ.<br />
O módulo do momento angular do corpo em relação ao ponto de suspensão é L = mv. Asforças<br />
que se exercem ma massa são o peso e a tensão. A força centrípeta é Fr = T sin θ. ComoT cos θ = P ,<br />
temos<br />
Fr = mg tan θ = m v2<br />
r<br />
de onde<br />
e<br />
Consequentemente<br />
v 2 = gr tan θ<br />
= g sin θ tan θ<br />
L = mv =<br />
v = p g sin θ tan θ<br />
q<br />
m 2 g 3 sin 2 θ/ cos θ<br />
P13-Umcorpodemassa4.0kg está ligado a uma corda leve, a qual está enrolada<br />
em torno de uma roldana, como se mostra na figura. A roldana é um cilindro maciço<br />
homogéneo com raio 8.0cm emassa2.0kg. Calcule:<br />
a)omomentototaldasforçasqueestãoaactuar,emtornodocentrodaroldanaO,<br />
b) o momento angular total do sistema em relação a O,<br />
c) a aceleração do corpo.<br />
18
P14-Umdiscouniformedemassa3.0kg eraio0.200 m roda em torno de um eixo fixo<br />
perpendicular à sua superfície. Se a frequência angular de rotação é 6.00 rad/ s, calculeo<br />
momento angular do disco quando o eixo de rotação passa:<br />
a) através do seu centro de massa;<br />
b)atravésdeumpontosituadonopontomédioentreocentroeaorladodisco.<br />
P15 - Uma mulher com massa 60 kg está de pé junto da orla de um gira-discos na<br />
horizontal que tem momento de inércia de 500 kg m 2 e 2.00 m de raio. O gira-discos está<br />
inicialmente parado e é livre de rodar sem atrito em torno de um eixo vertical que passa<br />
pelo seu centro. A mulher começa então a caminhar ao longo da orla no sentido dos<br />
ponteiros do relógio (vista de cima do sistema) a uma velocidade constante com módulo<br />
1.50 m/ s relativamente à Terra.<br />
a) Em que direcção e com que velocidade angular roda o gira-discos?<br />
b)Qualotrabalhorealizadopelamulherparapôrogira-discosemmovimento?<br />
P16 - Um estudante segura dois halteres, cada um com massa 10.0kg, como se mostra<br />
na figura. Quando os seus braços estão estendidos horizontalmente, os halteres estão a<br />
1.00 m do eixo de rotação, e rodam com uma velocidade angular de módulo 2.00 rad/ s.<br />
O momento de inércia do estudante mais o banco, em relação ao eixo de rotação é 8.00<br />
kg m 2 e presume-se que é constante. Se o estudante puxar os pesos horizontalmente para<br />
0.250 m do eixo de rotação, calcule:<br />
a) o módulo da velocidade angular final do sistema, em relação ao eixo de rotação;<br />
No processo, as forças envolvidas são interiores ao sistema estudante+banco+halteres, pelo que<br />
omomentodeinérciadosistema,emrelaçãoaqualquereixodeumreferencialdeinércianãovaria.<br />
Considerande o eixo de rotação do estudante mais o banco, teremos<br />
Iiωi = Ifωf,<br />
em que Ii (If) e ωi (ωf) são, respectivamente o momento de inércia inicial (final) e a velocidade inicial<br />
(final) do sistema, em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia total é a soma do momento<br />
de inércia do estudante mais o banco e dos halteres, ou<br />
e<br />
Ii = 8.00 kg m 2 +2× 10.0kg× (1.00 m) 2<br />
= 28.0kgm 2<br />
If = 8.00 kg m 2 +2× 10.0kg× (0.250 m) 2<br />
= 9.25 kg m 2<br />
19
:Obtemos, assim,<br />
Ii<br />
ωf = ωi<br />
If<br />
= 2.00 rad/ s 28.0kgm2<br />
9.25 kg m 2<br />
= 6.05 rad/ s<br />
b) a variação de energia mecânica do sistema.<br />
A variação da energia mecânica do sistema resume-se à variação da energia cinética, ou<br />
∆Emec = ∆Ec<br />
= 1<br />
2 Ifω 2 1<br />
f −<br />
2 Iiω 2 i<br />
= 1<br />
2 9.25 kg m2 × (6.05 rad/ s) 2 − 1<br />
2 28.0kgm2 × (2.00 rad/ s) 2<br />
= 1.13 × 10 2 J.<br />
P17 - Uma partícula de massa m é lançada com uma velocidade inicial de módulo v0<br />
segundo um ângulo θ com a horizontal. A partícula move-se sob a acção da gravidade.<br />
a) Determine o momento angular da partícula em relação à origem quando a partícula<br />
está: i) na origem; ii) no ponto mais alto da trajectória; iii) mesmo antes de bater no<br />
chão.<br />
b) Qual o momento da força, em relação à origem, que faz variar o momento angular<br />
da partícula?<br />
P18 - Um projéctil de massa m move-se horizontalmente para a direita com velocidade<br />
v0, (verfigura a). O projéctil bate na extremidade de uma barra em repouso, de massa<br />
M ecomprimentod, e fica agarrado a ela, rodando então o conjunto, sem atrito, em<br />
tornodeumeixoquepassapelocentrodabarraO (ver figura b). Determine:<br />
a) a velocidade angular do sistema após a colisão,<br />
b) a fracção de energia mecânica perdida na colisão.<br />
P19 - Uma placa de massa M =6.0kg desloca-se sobre dois cilindros maciços idênticos,<br />
cada um de raio R =5.0cm emassam =20kg, como se mostra na figura. A placa é<br />
puxada por uma força constante horizontal F =6.0N aplicada na sua extremidade, que<br />
é perpendicular aos eixos dos cilindros. Os cilindros rolam sem escorregar sobre uma<br />
superfície plana, não havendo também escorregamento entre a placa e os cilindros.<br />
a) Determine a aceleração da placa e a dos cilindros.<br />
b)Quaisasforçasdeatritoqueestãoaactuar?<br />
20
Folha de Cálculo:<br />
S1 - Um disco com um momento de inércia de 100 kg·m 2 , é livre de rodar em torno de um eixo fixo<br />
que passa pelo seu centro, como se mostra na figura 8. Uma força tangencial de magnitude que varia<br />
entre F =0e F =50.0 N é aplicada a uma distância que varia entre R =0e R =3.0 m, medida a<br />
partir do eixo de rotação. Faça uma folha de cálculo para determinar os valores de F e R que levam<br />
odiscoacompletar2 revoluções em 10.0 s. São estes valores de F e R únicos?<br />
21
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
10 a Série - Equilíbrio<br />
Questões:<br />
Q1 - Considere o haltere representado na figura, com massas m e 2m.A força F1 actua<br />
na massa m com a direcção e sentido indicados. É possível encontrar uma força F2 que,<br />
actuando na massa 2m, façacomqueohalteresedesloquecommovimentodetranslação<br />
puro, isto é, sem rotação? Em caso afirmativo, desenhe o vector que representa F2,<br />
tendo em conta que o seu comprimento deve indicar correctamente o módulo de F2<br />
relativamente a F1. Em caso negativo, justifique.<br />
m<br />
F 1<br />
Para que o haltere se desloca com movimento de translação pura, é necessário que o momento<br />
resultante dos momentos das forças exteriores aplicadas ao sistema, em relação ao centro de massa do<br />
sistema, seja nulo. A posição do centro de massa do sistema está na linha que une as duas massas à<br />
distância 2L/3 do centro da esfera de menos massa. Se aplicarmos à esfera de massa 2m uma força<br />
F2 com a direcção da força F1, o momento resultante, em relação à posição do centro de massa, terá<br />
a direcção perpendicular à figura e o seu valor é<br />
τ res = τ 1 + τ 2<br />
= 2<br />
3 LF1 sin θ − 1<br />
3 LF2 sin θ,<br />
em que θ é o ângulo indicado na figura. Para que este valor seja nulo,<br />
2m<br />
F2 =2F1.<br />
Consequentemente a resposta é afirmativaeovectorquerepresentaaforça F2 está indicado na figura.<br />
m<br />
<br />
CM<br />
F 1<br />
2m<br />
Q2 - As forças F1 e F2 possuem o mesmo módulo e estão aplicadas nos cantos de uma<br />
placa quadrada. É possível encontrar uma força F3 que,aplicadaaumpontoapropriado<br />
da placa, consiga, só por si, que a placa esteja em equilíbrio (de translação e rotação,<br />
simultaneamente)? Em caso afirmativo, desenhe-a, na posição e com o comprimento e<br />
orientação correctos. Em caso negativo, dê uma justificação.<br />
1<br />
F 2
F 1<br />
Paraqueaplacaestejaemequilíbriodetranslação,énecessárioqueasomaalgébricadastrês<br />
forças aplicadas seja nula, ou<br />
F1 + F2 + F3 = 0.<br />
Utilizando o sistema de referência da figura abaixo, esta equação vectorial é equivalente às seguintes<br />
equações escalares,<br />
F 2<br />
−F1 + F3x = 0<br />
−F2 + F3y = 0,<br />
oquesignifica que a força F3 tem de possuir componentes positivas segundo os eixos dos x edosy.<br />
Seja L o comprimento do lado da placa. Vamos aplicar F3,por exemplo, ao canto superior direito<br />
da placa. Para que esta esteja em equilíbrio de rotação, é necessário que a resultante dos momentos<br />
das três forças em relação a qualquer eixo seja nula. Vamos escolher um eixo perpendicular à placa<br />
epassandopelocantosuperioresquerdodaplaca,istoé,pelopontodeaplicaçãodaforça F1. O<br />
momento resultante, em relação a este eixo tem componente segundo a direcção perpendicular à placa<br />
dada por<br />
τ res = τ 1 + τ 2 + τ 3<br />
= 0+LF2 − √ 2LF3x sin 45 ◦ + √ 2LF3y sin 45 ◦ .<br />
Como queremos equilíbrio rotacional, temos de impor τ res =0,ou<br />
LF2 − √ √<br />
2<br />
2<br />
2 LF3x + √ √<br />
2<br />
2<br />
2 LF3y = 0<br />
LF2 − LF3x + LF3y = 0<br />
Uma vez que F3x = F1, F3y = F2 e F1 = F2, concluimos que F3x = F3y, o que conduz a LF2 =0,oque<br />
contraria os dados. Concluimos portanto que não é possível encontrar uma força F3 que, aplicada a<br />
um ponto apropriado da placa, consiga, só por si, que a placa esteja em equilíbrio. É fácil de verificar<br />
que o resultado é independente do ponto de aplicação da força F3.<br />
Um raciocínio mais curto (e mais elegante) seria:<br />
- Da condição de equilíbrio translacional conclui-se que as componentes de F3 têm de ser iguais.<br />
- Uma dessas componentes fará rodar o sistema (em torno de qualquer eixo), no mesmo sentido em<br />
que F1 e F2 fariam rodar. A outra componente teria que equilibrar os momentos das restantes forças<br />
em torno do eixo de rotação. Mas o momento desta componente terá de ser igual em módulo, e de<br />
sentidoopostoaomomentodaoutracomponente.Consegue portanto equilibrá-la, mas não consegue<br />
equilibrar os momentos das forças F1 e F2.<br />
Q3 - Uma caixa alta e uma caixa baixa com iguais massas são colocadas lado a lado,<br />
sem se tocar, sobre um plano inclinado. Ao aumentarmos o ângulo do plano inclinado,<br />
qual das duas caixas tombará primeiro? Explique.<br />
Q4 - Acha que o centro de gravidade e o centro de massa do Cristo Rei coincidem?<br />
Justifique.<br />
2
Q5 - Que espécie de deformação apresenta um cubo de gelatina quando treme?<br />
Problemas:<br />
P1 - Um estudante tem o seu carro atolado na neve. Tendo estudado <strong>Física</strong>, ele amarra<br />
uma extremidade de uma corda forte ao carro e a outra extremidade da corda ao tronco<br />
de uma árvore que está próxima, deixando a corda um pouco bamba. O estudante exerce<br />
então uma força F no centro da corda numa direcção perpendicular à linha carro-árvore,<br />
como se mostra na figura. Sendo a corda inextensível e o módulo da força aplicada 500 N,<br />
determine a força exercida no carro. (Presuma a condição de equilíbrio).<br />
Opontoemqueaforça F está aplicada está em equilíbrio. Consequentemente neste ponto estão<br />
também aplicadas as forças F 0 e F 00 ,taisque<br />
de onde<br />
F 0 cos θ − F 00 cos θ = 0<br />
F 0 sin θ + F 00 sin θ = F<br />
F 0 = F 00<br />
e<br />
2F 0 sin θ = F.<br />
Num sistema de eixos em que oeixo dos x é horizontal e dirigido para a direita e o eixo dos y vertical<br />
e apontando para cima, a força exercada no carro é<br />
f = ¡ F 0 + F 0 cos θ ¢ i − F 0 sin θj<br />
Como<br />
e<br />
tan θ =<br />
0.50 m<br />
6m<br />
θ = arctan<br />
= 4. 76 ◦ .<br />
0.50 m<br />
6m<br />
F 0 =<br />
F<br />
2sin4.76 ◦<br />
=<br />
500 N<br />
2sin4.76 ◦<br />
= 3.01 × 10 3 N.<br />
P2 - Uma escada de densidade uniforme e com massa m está encostada contra uma<br />
parede vertical sem atrito fazendo um ângulo de 60 ◦ . A base da escada está em repouso<br />
sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático μ s =0.40. Um estudante<br />
com massa M =2m tenta subir a escada. Que fracção do comprimento L da escada terá<br />
o estudante atingido quando a escada começa a escorregar?<br />
As forças aplicadas à escada são (ver figura) :<br />
3
• No ponto de apoio na parede: H (não há força vertical porque não há atrito entre a parede e a<br />
escada;<br />
• No ponto de apoio no solo: H 0 (na direcção horizontal) e V 0 na direcção vertical;<br />
• No centro de gravidade (que coincide com o centro de massa), à distância L/2 da extremidade<br />
da escada: P (o peso da escada, que tem a direcção vertical);<br />
• No ponto em que o estudante se apoia na escada (à distância L 0 da extremidade inferior da<br />
escada) a força N 0 que o estudante exerce na escada (na direcção vertical dirigida para baixo).<br />
Repare-se que esta força N 0 não é o peso do estudante, apesar de o seu módulo ser<br />
igual ao do peso do estudante.Porquê?<br />
A condição de equilíbrio estático é:<br />
X Fext = 0<br />
X τ ext = 0,<br />
isto é, o somatório das forças exteriores que se exercem na escada e o somatório dos momentos das<br />
forças exteriores que se exercem na escada têm de ser nulos.<br />
A1. a relação corresponde à seguinte:<br />
ou, utilizando o referencial da figura,<br />
H + P + N 0 + V 0 + H 0 = 0<br />
x : −H + H 0 =0<br />
y : −P − N 0 + V 0 =0<br />
Sabemos que, numa situação de equilíbrio, se o momento das forças exteriores é nulo em relação a um<br />
ponto de um referencial de inércia, é nulo em relação a qiualquer outro ponto. Somos assim livres de<br />
escolher o ponto em relação ao qual calculamos os momentos das forças exteriores e por isso devemos<br />
escolher o que for mais conveniente. Vamos escolher o ponto de contacto da escada com o chão, porque<br />
deste modo os momentos das forças V 0 e H 0 são automaticamente nulos. A relação dos momentos<br />
pode exprimir-se na seguinte forma:<br />
LH sin (π − θ) k − L<br />
2 sin<br />
³<br />
π<br />
´ ³<br />
+ θ k 0 π<br />
´<br />
− L sin + θ k =0<br />
2 2<br />
4
em que k é o vector unitário na direcção do eixo dos z. Esta relação pode colocar-se na forma:<br />
µ<br />
LH (sin π cos θ − sin θ cos π) − mg L<br />
2 +2mgL0<br />
³<br />
sin π<br />
π<br />
´<br />
cos θ +sinθcos 2 2<br />
µ<br />
LH sin θ − mg<br />
= 0<br />
L<br />
2 +2mgL0<br />
<br />
cos θ = 0<br />
Esta última expressão pode ser obtida de uma forma mais rápida, utilizando o seguinte processo:<br />
Como as forças estão todas no plano xOy, os seus momentos têm a direcção do eixo dos z<br />
ou a oposta. Assim, não precisamos de recorrer a vectores e temos apenas que determinar o<br />
sentido (positivo ou negativo) e módulo dos momentos. Podemos escolher arbitrariamente<br />
um sentido positivo para a rotação da escada (na figura escolheu-se como positivo o sentido<br />
directo) e considerar como positivos os momentos das forças que, actuando isoladamente,<br />
fizessem rodar a escada nesse sentido e negativos os momentos das forças que, actuando,<br />
isoladamente, fizessem rodar a escada no sentido directo.<br />
Assim, em relação ao ponto de contacto da escada com o chão, o momento da força<br />
H é positivo (porquee se actuasse sozinha, faria rodar a escada no sentido que escolhemos<br />
como positivo) e o seu módulo é HLsin θ (na realidade o ângulo que a força H faz com<br />
o vector posição a partir do ponto de contacto da escada com o chão é sin (π − θ) mas<br />
sin (π − θ) =sinθ).<br />
Os momentos das forças P e N 0 são negativos (porque se actuassem isoladamente,<br />
cada uma delas faria rodar a escada no sentido oposto ao que escolhemos como positivo)<br />
e os seus valores absolutos são dados, respectivamente, por L<br />
2 sin<br />
³<br />
π<br />
´<br />
− θ =<br />
2 L<br />
cos θ e<br />
2<br />
L0 ³<br />
π<br />
´<br />
sin − θ = L<br />
2 0 cos θ. Desta forma chegamos mais rapidamente à equação (1).<br />
Obtivemos assim três equações:<br />
−H + H 0 = 0<br />
−P − N 0 + V 0 = 0<br />
µ<br />
L<br />
LH sin θ − mg<br />
2 +2L0<br />
<br />
cos θ = 0<br />
A escada permanece em equilíbrio, no entanto, enquanto se verificar H 0 ≤ μV 0 ,emqueμ éocoeficiente<br />
de atrito estático entre a escada e o chão. Quando se vericar H 0 >V 0 , a escada move-se. Podemos<br />
assim concluir quen situação limite correpondente ao início do movimento da escada é dada por<br />
H 0 = μV 0 ,<br />
que é assim a 4. a equação de que dispomos.<br />
Vamos supor que o ângulo a que o enunciado se refere é o ângulo θ da figura, isto é θ =60 ◦ .Então<br />
Por outro lado,<br />
V 0 = P 0 + N 0<br />
= mg +2mg<br />
= 3mg<br />
H 0 = H = μV 0<br />
= 3μmg<br />
= 3× 0.40mg<br />
= 1.2mg<br />
5<br />
(1)
e<br />
1.2Lmg sin 60 ◦ µ<br />
L<br />
− mg<br />
2 +2L0<br />
<br />
cos 60 ◦ =0<br />
ou, escrevendo L0 = fL,emqueféumnúmeroentre0e1, 1.2 cos 60 ◦ µ<br />
1<br />
−<br />
2 +2f<br />
<br />
cos 60 ◦ µ<br />
1<br />
2<br />
= 0<br />
+2f<br />
<br />
cos 60 ◦ = 1.2sin60 ◦<br />
1<br />
+2f<br />
2<br />
2f<br />
=<br />
=<br />
◦<br />
1.2tan 60<br />
1.2tan 60 ◦ − 0.5<br />
f = 1.2 tan 60 ◦ − 0.5<br />
2<br />
= 0.79<br />
P3 - Uma tábua uniforme de comprimento 6.0m e massa 30 kg está colocada horizontalmente<br />
sobre um andaime, com 1.5m da tábua suspensa fora do andaime. Qual a<br />
distância que um pintor de 70 kg pode andar sobre a parte suspensa da tábua antes desta<br />
virar?<br />
A resposta ao problema consiste na determinação da distância L 0 (ver figura) entre o pintor o a<br />
borda do andaime correspondente ao instante em que a tábua começa a rodar.<br />
Quandoopintorseencontrasobreoandaime,aresultantedopesodatábuaadaforçacomqueo<br />
pintor actua na tábua (ambas estas forças são vertiucais e dirigidas para baixo) é igual, em módulo, à<br />
forçacom que o andaime actua na tábua (vertical e dirigida para cima). No limite (instante em que a<br />
tábua começará a rodar) a tábua encontra-se em equilíbrio sob a acção don seu peso P ,daforça N<br />
com que o pintor actua ña tábua e da força N 0 com que a borda do andaime acta também na tábua,<br />
no ponto O. Nestas condições, as seguintes equações exprimem a condição de equilíbrio:<br />
P + N + N 0 = 0 (2)<br />
τ P + τ N + τ N = 0, (3)<br />
em que τ F éomomentodaforça F em relação a um ponto de um referencial de inércia. Se escolhermos<br />
comoreferencialumeixoverticaldirigidoparacimaecomosentidopositivoparaosmomentosdas<br />
forças (calculados em relação ao ponto O) o indicado na figura (de acordo com o método explicado no<br />
problema anterior) obtemos as seguintes equações, apartir das equações (2) e (3):<br />
−P − N + N 0 = 0 (4)<br />
P × 1.5m− N 0 × L 0 = 0 (5)<br />
6
Omódulodaforça N 0 é numericamente igual ao do peso do pintor (de acordo com o raciocínio<br />
apresentado no problema anterior). As equações (4) e (5) conduzem agora a:<br />
L 0 = Mg<br />
mg 1.5m<br />
em que M e m são as massas da tábua e do pintor, respectivamente. Obtemos assim o resultado<br />
L 0 =<br />
30 kg<br />
× 1.5m<br />
70 kg<br />
= 0.64 m.<br />
P4 - Um tubarão de 10000 N está pendurado por uma corda numa barra de 4.00 m que<br />
pode rodar em torno da sua base. Determine a tensão na corda quando o sistema se<br />
encontra na posição indicada na figura. Determine também as forças horizontal e vertical<br />
exercidas na base da barra. (Despreze o peso da barra).<br />
De acordo com o raciocínio desenvolvido no problema P2, e<br />
Considerando a figura seguinte, as condições de equilíbrio da barra são:<br />
F + T 0 + P + V + H = 0<br />
τ F + τ T 0 + τ P + τ V + τ H = 0<br />
em que τ Fi éomomentodaforça Fi calculado em relação a um ponto qualquer de um referencial<br />
inercial.Nonossoproblemaopesodabarra P é nulo. Se utilizarmos o referencial indicado na figura<br />
e como positivos os momentos das forças que, isoladamente, fariam rodar a barra no sentido indicado<br />
com o sinal +, moentos esses calculados em relação ao ponto O, vamos obter as seguintes equações<br />
escalares:<br />
7
−F cos 20 ◦<br />
+ H = 0<br />
F sin 20 ◦<br />
− T 0 + V = 0<br />
F sin 20 ◦<br />
− T 0 sin 20 ◦<br />
O módulo da tensão da corda F é obtido imediatamente:<br />
◦<br />
0 sin 20<br />
F = T<br />
sin 20 ◦<br />
= 10 4 N ×<br />
sin 20 ◦<br />
sin 20 ◦<br />
= 0<br />
= 5.1 × 10 3 N.<br />
Consequentemente, em relação ao referencial indicado na figura,<br />
³<br />
F<br />
3<br />
=5.1 × 10 − cos 20 ◦i + cos 70 ◦j<br />
´<br />
N<br />
Por sua vez, as forças H e V no ponto de apoio da escada no chão são dadas por:<br />
H = F cos 20 ◦<br />
e<br />
= 5.1 × 10 3 N × cos 20 ◦<br />
= 4.8 × 10 3 N<br />
V = T 0 − F sin 20 ◦<br />
= 10 4 N − 5.1 × 10 3 N × sin 20 ◦<br />
= 8.3 × 10 3 N.<br />
H = 4.8 × 10 3 i ( N)<br />
V = 8.3 × 10 3 j ( N).<br />
P5 - Quando uma pessoa está de pé na ponta do pé, este tem uma posição como<br />
indicado na figura (a). O peso total do corpo w é suportado pela força n exercida pelo<br />
chão na ponta do pé. Um modelo mecânico para esta situação é apresentado na figura<br />
(b), onde T é a força exercida pelo tendão de Aquiles no pé e R é a força exercida pela<br />
tíbia no pé. Determine os valores de T, R e θ quando w = 700 N.<br />
8
Questões:<br />
<strong>Física</strong> I -<strong>2009</strong>/<strong>2010</strong><br />
11 a Série - Gravitação - Resolução<br />
Q1 - Faça uma estimativa do módulo da força gravítica entre duas pessoas que distam<br />
de 1 m.<br />
Vamos supor que a massa de cada uma das pessoas é m =70kg. O módulo da força gravítica<br />
exercida por uma das pessoas na outra é<br />
Fg = G m2<br />
.<br />
d2 Substituindo G =6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 ; m =70kge d =1m, obtemos<br />
Fg = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 −2 (70 kg)2<br />
s<br />
(1 m) 2<br />
= 3. 27 × 10 −7 N.<br />
ComoopesodacadapessoaéP = 700 N, o módulo da força gravítica exercida por uma das pessoas<br />
na outra é 10 ordens de graneza inferior ao peso.<br />
Q2 - Explique por que é que é necessário mais combustível para viajar da Terra para<br />
a Lua do que da Lua para a Terra.<br />
Um gráfico da energia potencial gravítica do sistema Terra-Lua é o seguinte<br />
Energia potencial (J)<br />
0.00E+00<br />
-5.00E+05<br />
-1.00E+06<br />
-1.50E+06<br />
-2.00E+06<br />
-2.50E+06<br />
-3.00E+06<br />
Energia Potencial Gravítica do Sistema Terra Lua<br />
Distância ao Centro da Terra (m)<br />
1.7E+06 1.0E+08 2.0E+08 3.0E+08 4.2E+08 5.2E+08<br />
Energia que é necessário<br />
fornecer a um corpo com<br />
1 kg para vencer a força<br />
gravítica da Terra<br />
Distância do centro<br />
da Lua ao Centro da Terra<br />
Energia que é necessário<br />
fornecer a um corpo com<br />
1 kg para vencer a força<br />
gravítica da Lua<br />
ParaseviajardaTerraparaaLuaénecessáriafornecerànaveespacialenergiasuficiente para<br />
vencer a barreira de energia potencial gravítico do sistema nave+Terra+Lua.<br />
Numa aproximação simples, que ignora os movimentos relativos da Lua e da Terra, bem como os<br />
movimentos de rotação destes planetas em torno dos seus eixos, a energia potencial gravítica de uma<br />
nave com massa m , numa posição à distância r do centro da Terra, é<br />
Ug = −Gm<br />
µ MT<br />
r<br />
1<br />
<br />
ML<br />
+ ,<br />
|r − ROL|
em que MT e ML sãoasmassasdaTerraedaLua,respectivamenteeROL é o raio da órbita da<br />
Lua. Esta expressão é válida para RT
Vamos tentar obter a massa da Lua, utilizando a expressão da força gravítica exercida pela Terra na<br />
Luaea2. a Lei de Newton. A trajectóriar da Lua no seu movimento em torno da Terra é aproxidamente<br />
circular, sendo o seu movimento circular uniforme. A força centrípeta é a força gravítica da Terra que,<br />
em módulo, é<br />
Fg = G MLMT<br />
R2 ,<br />
OL<br />
em que ML e MT sáo, respectivamente, as massas da Lua e da Terra, e ROL é o raio da órbita da Lua.<br />
Utilizando agora a 2. a Lei de Newton,<br />
Fg = MLac,<br />
em que ac é a aceleração centrípeta da Lua, obtemos<br />
G MLMT<br />
R 2 OL<br />
= ML<br />
em que v é o módulo da velocidade (constante) da Lua na sua órbita circular, de raio ROL. O módulo<br />
da velocidade orbital da Lua pode ser escrito na forma<br />
que conduz a<br />
G MT<br />
ROL<br />
v = 2πROL<br />
,<br />
T<br />
=<br />
v 2<br />
ROL<br />
,<br />
µ 2<br />
2πROL<br />
T<br />
GMT = 4π2 R 2 OL<br />
T 2<br />
Conhecendo a massa da Terra e o período do movimento orbital da Lua, podemos utilizar esta expressão<br />
para obter o raio da órbita da Lua, mas a massa da Lua não entra nesta equação, o que nos<br />
leva a concluir que este processo não nos permite obter a massa da Lua.<br />
Se suposermos que a densidade da Lua é igual à da Terra, podemos utilizar a relação entre os<br />
volumes, vindo<br />
ML = VL<br />
MT.<br />
VT<br />
Esta expressão conduz a um valor aproximado, mas com um erro demasiado grande. Na realidade a<br />
densidade média da Lua é cerca de 3/5 da densidade média da Terra.<br />
Outro processo é medir na superfície da Lua a aceleração da gravidade, gL, e, conhecendo o raio<br />
da Lua e G, utilizar a expressão<br />
para obter<br />
gL = G ML<br />
R2 ,<br />
L<br />
ML = gLR 2 L<br />
G .<br />
Na realidade, a Terra e a Lua rodam, efectivamente, em torno da posição do centro de massa do<br />
sistema Terra+Lua. Observações astronómicas permitem determinar essa posição, que se encontra no<br />
interior da Terra. O conhecimento dessa posição e da massa da Terra permite obter a massa da Lua.<br />
Q8 - Um pequeno projéctil é lançado paralelamente à superfície, a uma altitude<br />
h =1m, com velocidade tal que lhe permite permanecer em órbita circular em torno de<br />
um planeta perfeitamente esférico sem atmosfera. Um insecto encontra-se numa pequena<br />
cavidade no interior do projéctil. O insecto encontra-se em situação de imponderabilidade?<br />
Justifique.<br />
3
Como a única força que actua no projéctil é a força da gravidade resultante do planeta, a aceleração<br />
do projéctil é centrípeta e o seu módulo é<br />
ac = G M<br />
2 ,<br />
(R + h)<br />
em que M e R são a massa e o raio do planeta, respectivamente. Esta aceleração não depende da<br />
massa do projéctil e podemos concluir que é também. a aceleração do insecto. Como o insecto<br />
e o projéctil não exercem, portanto, forças entre eles (estamos a desprezar a intensidade da força<br />
gravítica entre o insecto e o projéctil, quando comparada com a intensidade das forças gravíticas entre<br />
o planeta e o projéctil e entre o planeta e o insecto), podemos afirmar que o insecto está em situação de<br />
imponderabilidade (recorde-se que nós não estamos, em geral, em situação de impoderabilidade porque<br />
a força que o chão exerce em nós equilibra a força da gravidade. Se estivermos num elevador e o cabo<br />
deste se partir, o chão deixa de exercer força em nós e passamos à situação de imponderabilidade. A<br />
nossa aceleração será igual à do elevador. Mas é melhor não tentarmos essa experiência num elevador).<br />
Q9 - A nave espacial Voyager foi acelerada pela gravidade de Júpiter de forma a<br />
atingir a velocidade de escape em relação ao Sol. Justifique.<br />
Q10 - A nave Apollo 13 teve um problema com o sistema de oxigénio quando ia a<br />
meio caminho da Lua. Explique por que é que a missão continuou de forma a que a<br />
nave efectuou uma trajectória em torno da Lua, só depois regressando à Terra, em vez<br />
de voltar imediatamente para a Terra.<br />
A trajectória da nave estava programada para que ao aproximar-se da Lua, uma pequena diminuição<br />
da velocidade (provocada por um fogute) permitisse que a nave ficasse em órbita em torno da Lua.<br />
Uma pequena variação do impulso desse foguete permitiu também que a órbita em torno da Lua fosse<br />
parabólica e a nave, depois de rodear a Lua, "escapasse para a Terra.<br />
A utilização do foguete para travar a viagem de modo a que a nave voltasse para a Terra imediatamente<br />
após o incidente, implicaria um gasto muito maior de combustível do foguete (combustível esse<br />
que provavelmente não existia) e uma trajectória de regresso que poderia não permitir um regresso<br />
futuro.<br />
Foi assim utilizada, de forma económica, a força gravítica da Lua para permitir que anave seguisse<br />
uma trajectória que permitiu o regresso em segurança.<br />
Q11 - De que percentagem é reduzida a aceleração devida à gravidade no equador<br />
Terrestre, como resultado da rotação da Terra? Como varia este efeito com a latitude?<br />
Problemas:<br />
P1-Umsatélitedemassam encontra-se numa órbita circular de raio R em torno de<br />
um planeta de massa M no plano equatorial do planeta. O satélite está sempre sobre o<br />
mesmo ponto do planeta (na Terra chamar-se-ia geoestacionário). Se a aceleração devida<br />
à gravidade à superfície do planeta é g, determine:<br />
a) O módulo da velocidade do satélite;<br />
A força centrípeta que actua no satélite é a força gravítica do planeta, pelo que podemos escrever<br />
o que nos permite obter, imediatamente,<br />
G mM mv2<br />
=<br />
R2 R ,<br />
4
e<br />
ou<br />
r<br />
GM<br />
v =<br />
R .<br />
b) O período do satélite;<br />
Se T é o período do movimento orbital do satélite, então<br />
c) A energia cinética do satélite;<br />
A energia cinética do seu satélite é<br />
v = 2πR<br />
T<br />
G M<br />
R = 4π2R2 T 2<br />
T 2 = 4π2<br />
GM R3<br />
EC = 1<br />
2 mv2<br />
= GmM<br />
2R<br />
d) A energia potencial do sistema satélite + planeta;<br />
Esta energia é<br />
Ug = −G mM<br />
R<br />
e)Oraiodoplaneta;<br />
A força gravítica à superfície do planeta, de raio r, é<br />
Fg = G mM<br />
= mg.<br />
r2 Como conhecemos g, podemos obter o raio do planeta,<br />
s<br />
GM<br />
r =<br />
g<br />
e<br />
f) O período mínimo possível do movimento do satélite;<br />
O período mínimo possível do movimento do satélite corresponde a R = r, ouseja,<br />
T 2 = 4π2<br />
GM r3<br />
2 (GM)1/2<br />
= 4π<br />
g3/2 T =2π (GM)1/4<br />
g 3/4<br />
g) O módulo da velocidade de escape do satélite.<br />
Omódulodavelocidadedeescapedosatéliteéomódulodavelocidadequeosatélitedevepossuir<br />
à superfície da Terra para atingir uma distância infinita ao planeta com velocidade nula, isto é, para<br />
que a energia mecânica a distância infinita seja nula. Como a força gravítica é conservativa, a energia<br />
5
mecânica é cosntante, o que significa que a energia mecânica à superfície do planeta tem de ser nula,<br />
ou<br />
1<br />
2 mv2 esc − G mM<br />
r =0<br />
de que resulta<br />
vesc =<br />
r<br />
2GM<br />
.<br />
r<br />
= 2 1/2 (gGM) 1/4 .<br />
P2. - A caminho da Lua, os astronautas das missões Apollo (nas décadas de 1960 e<br />
1970) passam por um ponto em que a atracção gravítica da Lua é igual à da Terra.<br />
a)CalculeadistânciadessepontoaocentrodaTerra.<br />
b) Qual é o módulo da aceleração resultante da gravidade da Terra nesse ponto?<br />
P3 - Dois corpos, com massas 200 kg e 500 kg, respectivamente, distam um do outro de<br />
0.400 m.<br />
a) Obtenha a força gravítica resultante exercida por estes corpos num terceiro corpo<br />
com massa 50.0kg colocado no ponto médio entre os dois primeiros.<br />
é<br />
m 1=200 kg<br />
m 3=50 kg<br />
x<br />
m 2=500 kg<br />
Utilizando o eixo de referência na figura a força gravítica resultante que se exerce no terceiro corpo<br />
Fres = −G m1m3<br />
r 2 13<br />
+ G m2m3<br />
r 2 23<br />
= 6.67259 × 10−11 m 3 kg −1 s −2<br />
(0.200 m) 2<br />
= 2. 50 × 10 −5 N<br />
(−200 kg × 50.0 kg + 500 kg × 50.0kg)<br />
:<br />
b) Em que posição (não incluindo os pontos a distância infinita) é que o terceiro corpo<br />
é actuado por uma força gravítica nula?<br />
Essa posição é dada pela condição de equilíbrio<br />
com<br />
−G m1m3<br />
r 2 13<br />
+ G m2m3<br />
r 2 23<br />
− m1<br />
r2 +<br />
13<br />
m2<br />
r2 23<br />
r13 + r23 =0.400 m.<br />
P4 - a) Calcule a variação absoluta e relativa do módulo da força gravítica que o Sol<br />
exerce numa pessoa com massa 50.0kg, colocada no equador ao meio dia e à meia-noite<br />
(Sugestão: Como ∆r é pequeno, utilize diferenciais).<br />
6<br />
= 0<br />
= 0
O módulo da força gravítica que o sol exerce numa pessoa com massa m ao meio dia é<br />
mMS<br />
Fg = G<br />
2 ,<br />
(ROT − RT)<br />
em que ROT é o raio da órbita da Terra e RT é o raio da Terra. À meia noite esse valor será<br />
mMS<br />
Fg = G<br />
2 .<br />
(ROT + RT)<br />
A variação do módulo da força é muito pequena é muito pequena, porque RT
O módulo da resultante das forças de atracção gravítica da Lua e do Sol sobre a pessoa, actuando<br />
concorrentemente é<br />
F 0 ∙<br />
mML mMS<br />
g = G<br />
2 +<br />
(ROL − RT) R2 ¸<br />
OT<br />
A variação relativa do peso é<br />
= 6.67259 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 ×<br />
∙<br />
50.0kg× 7.55 × 10<br />
×<br />
22 kg<br />
(3.84 × 108 m − 1.70 × 106 m) 2 + 50.0kg× 1.99 × 1030 kg<br />
(1.50 × 1011 m) 2<br />
¸<br />
= 0.297 N<br />
F 0 g<br />
Fg<br />
0.297 N<br />
=<br />
6.90 × 103 N<br />
= 4.30 × 10 −5<br />
= 4.30 × 10 −3 %.<br />
P5 - A Lua dista 384400 km do centro da Terra e completa um órbita em 27.3 dias.<br />
a) Determine o módulo da velocidade orbital da Lua.<br />
Mais uma vez, utilizamos o facto de a força centrípeta que actua na Lua ser a força de atracção<br />
gravítica da Terra,<br />
G MLMT<br />
R 2 OL<br />
= MLv 2<br />
ROL<br />
em que v é o módulo da velocidade orbital da Lua. Resulta<br />
v =<br />
r<br />
G MT<br />
ROL<br />
s<br />
=<br />
6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 × 5.98 × 1024 kg<br />
3.844 × 10 8 m<br />
= 1.02 × 10 3 m/ s.<br />
Este valor pode também ser obtido, considerando que a Lua percorre uma órbita completa em cerca<br />
de29.5dias.Assim,omódulodavelocidadeorbitaléigualaoperímetrodaórbitaadividirpor29.5<br />
dias,<br />
v = 2πROL<br />
T<br />
=<br />
2π × 3.844 × 108 m<br />
29.5d× 24 h/ d × 3600 s/ h<br />
= 0.95 × 10 3 m/ s,<br />
que é aproximadamente igual ao valor obtido acima.<br />
b)Dequedistância"cai"aLuaparaaTerraem1.00 s?<br />
O módulo da aceleração devida à gravidade da Terra na posição em que se encontra a Lua é<br />
g = G MT<br />
R 2 OL<br />
= 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 × 5.98 × 1024 kg<br />
(3.844 × 10 8 m) 2<br />
= 2.70 × 10 −3 m/ s 2<br />
8<br />
,
Utilizando agora a expressão das posições no movimento uniformemente acelerado unidimensional,<br />
y = 1<br />
2 gt2 , podemos calcular a distância de que a Lua "cai"num segundo, obtendo o valor de y para<br />
t =1.00 s, queresultaem<br />
y = 1<br />
2 2.70 × 10−3 m/ s 2 × (1.00 s) 2<br />
= 1.35 × 10 −3 m.<br />
Podemos comparar este valor com o que obtemos por outro processo. Considerando a figura<br />
seguinte, se não existisse a gravidade da Terra a Lua, a partir do ponto P seguiria uma trajectória<br />
rectilínea e não a órbita circular. A distância de que a Lua cai para a Terra quando se desloca de<br />
uma distância a é dada por Q (as dimensões do triângulo rectângulo da figura estão, evidentemente<br />
exageradas).<br />
e<br />
A<br />
Q<br />
Podemos estimar o valor de Q, considerando as relações entre os lados do triângulo rectângulo,<br />
R<br />
a<br />
A 2 = R 2 + a 2<br />
Q = A − R.<br />
Nestas equações R é o raio da órbita da Lua e a é a distância que a Lua percorre num segundo. Esta<br />
distância pode ser estimada a partir da velocidade orbital da Lua,<br />
Consequentemente,<br />
e<br />
a = v × 1.0s<br />
= 1.02 × 10 3 m/ s × 1.0s<br />
= 1.02 × 10 3 m.<br />
A = p a 2 + R 2<br />
Q = p a2 + R2 − R<br />
q<br />
= (1.02 × 103 m) 2 +(3.844 × 108 m) 2 − 3.844 × 10 8 m<br />
= 1. 35 × 10 −3 m,<br />
que coincide com o valor apresentado acima<br />
P6 - Io, uma pequena lua de Júpiter, tem um período orbital de 1.77 dias e o raio da<br />
suaórbitaé4.22 × 10 5 km. Utilizando estes dados, obtenha a massa de Júpiter.<br />
9<br />
P
e<br />
com<br />
Utilizamos a expressão, já encontrada,<br />
obtendo<br />
ou<br />
s<br />
v =<br />
G MJ<br />
ROIo<br />
v = 2πROIo<br />
T<br />
T = 1.77 d = 1.77 d × 24 h/ d × 3600 s/ h<br />
= 1. 53 × 10 5 s,<br />
MJ = 4π2 R 3 OIo<br />
GT 2<br />
=<br />
4π 2 R 2 OIo<br />
T 2<br />
= G MJ<br />
ROIo<br />
4π 2 ¡ 4.22 × 10 5 km ¢ 3<br />
6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 × (1. 53 × 10 5 s) 2<br />
= 1.90 × 10 27 kg.<br />
P7-UmsatélitedaTerratemmassa100 kg e encontra-se a uma altitude de 2.00×10 6 m.<br />
a) Qual é a energia potencial do sistema satélite+Terra? (Suponha Ug =0para r = ∞.)<br />
b) Qual é o módulo da força gravítica exercida pela Terra neste satélite?<br />
P8 - Qual é o trabalho exercido pela força gravítica da Lua sobre um meteoro com<br />
massa 1000 kg, que vem do espaço exterior esmagar-se na superfície da Lua?<br />
Otrabalhoexercidoéigualaonegativodadiferençadeenergiapotencialgravíticaentreosistema<br />
Lua+meteoro quando este está na superfície da Lua e quando os dois corpos estão a uma distância<br />
infinita um do outro (este último valor é nulo). Consequentemente, o trabalho pedido é<br />
W = G MLm<br />
,<br />
RL<br />
em que m é a massa do meteoro. Obtemos, então,<br />
W = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 7.55 × 1022 kg × 1000 kg<br />
6.40 × 10 6 m<br />
= 7. 87 × 10 8 J.<br />
P9 - Qual é a quantidade de energia necessária para mover um corpo de massa m<br />
desde a superfície da Terra até à altitude h?<br />
P10 - Após ter esgotado o seu combustível nuclear, o destino final do nosso Sol será,<br />
muito provavelmente, colapsar numa anã branca. EstaéumaestrelacomamassadoSol<br />
e um raio igual ao da Terra. Calcule:<br />
10<br />
,
a) A massa volúmica média da anã branca;<br />
Esta massa volúmica é<br />
ρ anã branca = MS<br />
4<br />
3 πR3 T<br />
= 3 × 1.99 × 1030 kg<br />
4π (1.70 × 10 6 m) 3<br />
= 9.7 × 10 10 kg/ m 3<br />
b) A aceleração resultante da gravidade à sua superfície;<br />
Temos<br />
g = G MS<br />
R 2 T<br />
= 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 1.99 × 1030 kg<br />
(1.70 × 10 6 m) 2<br />
= 4.5 × 10 8 m/ s 2 ,<br />
7 ordens de grandeza superior à aceleração devida à gravidade à superfície da Terra.<br />
c) A energia potencial gravítica de um objecto com massa 1.00 kg na sua superfície.<br />
Esta energia é dada por<br />
Ug = G MSm<br />
,<br />
com m =1.00 kg, ou<br />
RT<br />
Ug = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 1.99 × 1030 kg × 1.00 kg<br />
1.70 × 10 6 m<br />
= 7. 8 × 10 13 J.<br />
P11 - Calcule o módulo da velocidade de escape para um foguete na superfície de<br />
Ganimedes, no lado oposto ao de Júpiter. Ganimedes, o maior satélite de Júpiter, tem<br />
raio igual a 2.64 × 106 m emassaiguala1.495 × 1023 kg. A massa de Júpiter é 1.90 × 1027 kg<br />
e a distância entre Júpiter e Ganimedes é 1.071 × 109 m. Não se esqueça de incluir o<br />
efeito gravítico de Júpiter, mas pode desprezar os movimentos de rotação de Júpiter e<br />
Ganumedes e torno dos respectivos centros de massa.<br />
A velocidade de escape pode ser obtida igualanado a zero a energia mecânica do sistema quando<br />
o fogute parte da superfície de Ganimedes com v = vesc. Neste caso, é necessário acrescentar à<br />
energia potencial gravítica resultante da interacção foguete+Ganimedes a energia potencial gravítica<br />
resultante da interacção foguete+Júpiter, ambas à superfície da Ganimedes. Encontramos, assim, se<br />
o fogute tem massa m,<br />
1<br />
2 mv2 esc − G mMG<br />
− G<br />
RG<br />
mMJ<br />
=0,<br />
ROG + RG<br />
em que MG e MJ são, respectivamente, as massas de Ganimedes e de Júpiter, RG é o raio de Ganimedes<br />
e ROG é o raio da órbita de Ganimedes (assim ROG + RG é a distância inicial do foguete ao centro de<br />
11
Júpiter). Obtemos<br />
vesc =<br />
s<br />
2G<br />
µ MG<br />
RG<br />
+<br />
MJ<br />
ROG + RG<br />
q<br />
= 2 × 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 ×<br />
s<br />
1.495 × 10<br />
×<br />
23 kg<br />
2.64 × 106 m +<br />
1.90 × 1027 kg<br />
1.071 × 109 m+2.64 × 106 m<br />
= 1.56 × 10 4 m/ s.<br />
P12 - Um foguete é disparado na vertical, ejectando massa suficiente para se mover<br />
com aceleração constante igual a 2g. Após 40.0s, o combustível esgota-se e o foguete<br />
desloca-se apenas sob a acção da gravidade, com resistência do ar desprezável. Ignore a<br />
variação de g comaaltitudeeavariaçãodamassadofoguete.<br />
a) Calcule a altitude máxima atingida pelo foguete.<br />
b) Calcule o tempo de voo total do foguete desde que é lançado até tocar de novo a<br />
Terra.<br />
c) Esboce um gráfico qualitativo da variação da velocidade do foguete em função do<br />
tempo para a duração total do voo.<br />
Sugestão: Este problema é essencialmente um problema de cinemática num movimento unidimensional.<br />
Até o combustível se esgotar, o movimento é na vertical, no sentido ascendente, com aceleração<br />
constante a =2g. Após o esgotamento do combustível o movimento é ainda uniformemente acelerado<br />
mas agora a aceleração é −g (o sinal - resulta de estarmos a considear positivo o sentido "para cima").<br />
Imediatamente após o esgotamento do combustível o foguete continua a subir porque tem velocidade<br />
não nula dirigiada para cima.<br />
12