Turma ITA - Álgebra Linear - Rumo ao ITA

IME ITA

01 - (FUVEST SP)
⎡sen
θ
⎢
A matriz ⎢
sen θ
⎢sen
θ
⎢
⎣ 0
somente se:
a. θ ≠ nπ / n ∈ Z
b. θ ≠ 2nπ/n
∈ Z
π
c. θ ≠ + nπ /n ∈z
2
π
d. θ ≠ + nπ/n
∈ Z
4
e. θ ∈ R
Álgebra Linear
cos θ
cos θ
1
0
0
0
0
1
1⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0⎥⎦
é inversível, se e
02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve
satisfazer para que a matriz A seja invertível.
⎛1
2 3 4⎞
⎜ ⎟
⎜1
3 x 5⎟
A = ⎜
1 3 4 3
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝1
6 5 x ⎠
03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3,
satisfazendo às relações AB = C -1 , B = 2 A. Se o
determinante de C é 32, qual é o valor do módulo
do determinante de A ?
a) 1/16
b) 1/8
c) 1/4
d) 8
e) 4
04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que
⎡ −11
⎢ 2
5
⎢⎣
2
a) –1
b) 3
7 ⎤
2
⎡ 3
⎥ seja a matriz inversa de
-3
⎢
2 ⎥⎦
⎣ a
7 ⎤
⎥ é:
11 ⎦
c) 1/5
d) 2
e) 5
05 - (ITA SP) Sejam as matrizes
⎡ 1
⎢
⎢
− 2
A =
⎢ 1
⎢
⎣−
5
0
5
−1
1
1/
2
2
2
3/
2
−1⎤
⎡ 1
⎥ ⎢
− 3
⎥ e ⎢
1
B =
1 ⎥ ⎢−1
⎥ ⎢
0 ⎥⎦
⎢⎣
5
3
− 2
1
−1
Determine o elemento c 34 da matriz
−1/
2
− 2
1
1/
2
C
1⎤
⎥
3
⎥
1⎥
⎥
5⎥⎦
−1
= ( A + B)
.
06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A é
−1
t
ortogonal se A é inversível e A = A .
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são
simétricas e ortogonais, expressando-as, quando
for o caso, em termos de seus elementos que
estão fora da diagonal principal.
07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P é
dita ortogonal se P T = P –1 , ou seja, se sua
transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os
valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P –1 P = I,
em que I é a matriz identidade.
⎡−
1/
3 − 2 / 3 − 2 / 3⎤
P = ⎢−
2 / 3 a −1
/ 3⎥
⎢
⎥
⎢⎣
− 2 / 3 b 2 / 3 ⎥⎦
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma
A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.
Sabendo que Q é ortogonal, determine a
solução do sistema Ax = b, para o vetor b
dado, sem obter explicitamente a matriz
A.
Dica: lembre-se de que x = A –1 b.
⎡ 1/
2 −1
/ 2 − 2 / 2⎤
⎡2
0 0 ⎤
⎢
⎥
Q = ⎢ 1/
2 −1
/ 2 2 / 2 ⎥ , R = ⎢0
− 2 0 ⎥ ,
⎢
⎥
⎢ 2 / 2 2 / 2 0 ⎥
⎣
⎦
⎢⎣
0 0 2 ⎥⎦
⎡ 6 ⎤
b = ⎢−
2⎥
.
⎢ ⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
⎡i
0 0⎤
08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = ⎢0
i 0⎥
,
⎢
⎣0
0 i⎥
⎦
na qual “i” é a unidade imaginária. É correto
afirmar que A 9 é igual a:
(I
3
⇒ identidade de ordem 3)
a) A.
b) – A.
c) i . A.
d) I
3
.
e) – I
3
.
09 - (ITA SP) Seja A ∈ M 3x3 tal que det A = 0.
Considere as afirmações:
I. Existe X ∈ M3x1 não nula tal que AX é
identicamente nula
II. Para todo Y ∈ M3x1, existe X ∈ M3x1 tal que AX
= Y.
1 5
III. Sabendo que A 0 = 1
0 2
então a primeira linha da transposta de A é [5 1
2]. Temos que:
a) todas são falsas
b) apenas (II) é falsa
c) todas são verdadeiras.
d) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
e) n.d.a

10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fábricas,
que serão representadas pelos números 1, 2, 3,
4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de
manutenção de máquinas em uma das fábricas.
Na matriz (C = cij) 5x5, o elemento cij representa o
custo (em mil Reais) de transporte de uma
máquina da fábrica i para a fábrica j. Na matriz
coluna M = (mi1) 5x1, o elemento mi1 fornece o
número de máquinas da fábrica i. Considere as
⎡ 0 5 4 5 4 ⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
6 0 2 3 1
⎥ ⎢
2
⎥
matrizes C = ⎢ 4 3 0 2 1 ⎥ e M = ⎢ 3 ⎥ e julgue
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ 6 4 3 0 1 ⎥ ⎢ 4 ⎥
⎢
⎣ 5 2 3 2 0 ⎥
⎦
⎢
⎣ 3 ⎥
⎦
os itens seguintes.
00. Para transportar todas as máquinas para a
fábrica 4, o custo é de 43.000 Reais.
01. Se x é o custo de transporte de todas as
máquinas das outras fábricas para a fábrica i,
então o custo de retorno dessas máquinas
para as fábricas de origem é x, qualquer que
seja 1 ≤ i ≤ 5.
02. Considerando que as máquinas encontram-se
em igual estado de conservação, como opção
mais econômica, o industrial deverá instalar a
oficina de manutenção na fábrica 5.
11 - (PUC RJ) Calcule a vigésima potência da matriz
⎛1
a ⎞
⎜
⎟ .
⎝0
1⎠
12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B:
A = ( a ij ) é quadrada de ordem n em que a
⎧ 1, se i é par
a ij = ⎨
⎩−1,
se i é ímpar
B = ( b ij ) é de ordem n x p em que b ij = j i
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal
principal da matriz A.
b) O elemento da quarta linha e da segunda
coluna da matriz produto AB é igual a 4094.
Calcule o número de linhas da matriz B.
⎡0
⎢
13 - (UERJ) Multiplicando-se A =
⎢
0
⎢⎣
1
1
0
0
0⎤
1
⎥
⎥
por X =
0⎥⎦
⎡a⎤
⎢ ⎥
⎢
b
⎥
⎢⎣
c⎥⎦
, obtêm-se AX
⎡b⎤
⎢ ⎥
=
⎢
c
⎥
⎢⎣
a⎥⎦
, que é uma
permutação dos elementos de X. Existem cinco
outras matrizes de mesma ordem da matriz "A",
com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas
por X, formam as outras permutações dos
elementos de X. A soma destas cinco matrizes é:
⎡1
a.
⎢
⎢
2
⎢⎣
2
2
1
2
2⎤
2
⎥
⎥
1⎥⎦
⎡2
b.
⎢
⎢
1
⎢⎣
2
1
2
2
2⎤
2
⎥
⎥
1⎥⎦
2
⎡2
c.
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
⎡1
e.
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
1
2
2
2
2
1
2⎤
1
⎥
⎥
2⎥⎦
2⎤
1
⎥
⎥
2⎥⎦
⎡2
d.
⎢
⎢
1
⎢⎣
1
1
2
2
2⎤
2
⎥
⎥
2⎥⎦
Matemática – Ney
14 - (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a,
m e p porções de 100 g de abacaxi, manga e
pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A
matriz A representa as quantidades de calorias,
vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica
os preços, em reais, dessas frutas em 3
diferentes supermercados. A matriz C mostra que
João ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e
93 mg de cálcio.
Considerando que as matrizes inversas de A e B
são A –1 e B –1 , o custo dessa salada de frutas,
em cada supermercado, é determinado pelas
seguintes operações:
a) B . A –1 . C
b) C . A –1 . B
c) A –1 . B –1 . C
d) B –1 . A –1 . C
15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de
ordem n tais que AB = A e BA = B . Então, [(A +
B) t ] 2 é igual a
a) (A + B) 2 .
b) 2(A t . B t ).
c) 2(A t + B t ).
c) A t + B t .
e) A t B t .
16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2.
Suponha que α e β sejam dois números distintos,
e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais
que AV = αV e AW = βW. Se a, b ∈ R são tais
que a V + b W é igual à matriz nula 2 x 1, então
a + b vale
a) 0
b) 1
c) –1
d)
1
2
e)
−
1
2

Exercícios Complementares
17 - (ITA SP) 1. Mostre que se uma matriz quadrada
não-nula A satisfaz a equação:
A3 + 3A2 + 2A = 0 (1)
então (A + I)3 = A + I, em que I é a matriz
identidade.
⎡−1
1 ⎤
2. Sendo dado que A = ⎢ ⎥ satisfaz à
⎣ 0 − 2⎦
equação (1) acima, encontre duas matrizes
não-nulas B e C tais que B 3 + C 3 = B + C =
A. Para essas matrizes você garante que o
⎡x⎤
⎡0⎤
sistema de equações ( B − C)
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣y⎦
⎣0⎦
⎡1
18 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢
⎣0
1⎤
1
⎥ de
⎦
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A
+ A2 + ... + An é igual a:
a)
⎡1
⎢
⎣0
n⎤
1
⎥
⎦
b)
⎡n
⎢
⎢⎣
0
2
n ⎤
⎥
n ⎥⎦
c)
⎡ 1
⎢
⎣0
n(
n + 1)
/ 2⎤
n
⎥
⎦
d)
⎡ n
⎢
⎢⎣
0
2
( n + n)
/ 2⎤
⎥
n ⎥⎦
e)
⎡n
⎢
⎣0
n⎤
n
⎥
⎦
19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte
código secreto para a transmissão de datas de
certos fatos importantes: o código transforma
uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a
representa os dois últimos algarismos do ano, em
uma nova tripla de números d´-m´,a´, de
acordo com a regra:
⎛ − 2 3 1 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d´
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −1
2 1 ⎟ ⎜ m ⎟ = ⎜ m´
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 2 3 1 ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a´
⎠
O código revelou-se um desastre. De fato, várias
datas originais distintas (d,m,a) correspondem a
um mesmo código transmitido (d´, m´, a´).
Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96
correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
⎛ − 2 3 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ - 2 3 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛98⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −1
2 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ -1
2 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜98⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ − 2 3 1 ⎠ ⎝ 97 ⎠ ⎝ - 2 3 1 ⎠ ⎝96⎠
⎝98⎠
Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da
matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k.
Determine, se possível, os valores de k que
fazem o código funcionar bem.
20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz A m x n e as
operações:
1. +/ A que transforma a matriz A numa outra
matriz A’ m x 1 onde cada elemento da única coluna
de A’ é obtido somando-se os elementos da linha
correspondentes de A.
3
2. +⊥ A que transforma a matriz A m x n numa
outra matriz A’’ 1 x n onde cada elemento da única
linha de A’’ é obtido somando-se os elementos
da coluna correspondente de A.
Nestas condições, se A for a matriz identidade de
ordem p a expressão +/(+⊥A) vale:
a) 2p
b) p
c) p 2
d) p . m
e) 2 x 2
21 - (UNIFICADO RJ) Cláudio anotou as suas
médias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura:
1º b 2º b 3º b 4º b
matemática⎛
5,0
⎜
português ⎜8,4
ciências ⎜9,0
⎜
est. sociais ⎜
⎝7,7
4,5
6,5
7,8
5,9
6,2
7,1
6,8
5,6
5,9⎞
⎟
6,6⎟
8,6⎟
⎟
6,2⎟
⎠
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm
o mesmo peso, isto é, para calcular a média
anula do aluno em cada matéria basta fazer a
média aritmética de suas médias bimestrais. Para
gerar uma nova matriz cujos elementos
representem as médias anuais de Cláudio, na
mesma ordem acima apresentada, bastaria
multiplicar essa matriz por:
a)
1
2
b)
⎡1
⎢
⎣4
1
4
1
4
1 ⎤
4
⎥
⎦
c)
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1⎥ ⎣ 2⎦
2
1 2
1 2
1
d)
1
4
e)
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1⎥ ⎣ 4⎦
4
1 4
1 4
1
⎡1
22 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎢
⎣0
1⎤
1
⎥ de
⎦
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A
+ A2 + ... + An é igual a:
a)
⎡1
⎢
⎣0
n⎤
1
⎥
⎦
b)
⎡n
⎢
⎢⎣
0
2
n ⎤
⎥
n ⎥⎦
c)
⎡ 1
⎢
⎣0
n(
n + 1)
/ 2⎤
n
⎥
⎦
d)
⎡ n
⎢
⎢⎣
0
2
( n + n)
/ 2⎤
⎥
n ⎥⎦
e)
⎡n
⎢
⎣0
n⎤
n
⎥
⎦

23 - (UFG GO) Dadas as matrizes
⎛cos
θ −sen
θ⎞
M = ⎜
⎟ e
⎝sen
θ cos θ
⎟
⎠
⎟
⎛sen
θ cosθ
⎞
N = ⎜
⎝cosθ
− sen θ⎠
Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π/2
rad.
Abaixo estão relacionadas algumas operações
envolvendo estas matrizes. As igualdades
corretas são:
⎛0
1⎞
01. M . N = ⎜
⎟ ;
⎝1
0⎠
02. det M + det N = 2;
04. M.N = N.M;
⎛ ⎞
08. ⎜
2 0
M + N = ⎟ no caso em que θ = π/4 rd;
⎜ ⎟
⎝ 2 0⎠
16. N –1 = N, onde N –1 é a inversa de N;
32. det kM = k det M, onde K ∈ R.
24 - (ITA SP) Sejam A = (ajk) e B = (bjk) duas
matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são,
respectivamente, os elementos da linha j e
coluna k das matrizes A e B, definidos por
⎛ j ⎞
⎛ k ⎞
a jk = ⎜
⎟ , quando j ≥ k,
a jk =
⎝ k
⎜
⎟ quando j < k e
⎠
⎝ j ⎠
jk
p ⎛ jk ⎞
b jk = ∑ ( −2)
⎜
⎟ .
p=
0 ⎝ p ⎠
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n
n
x n é definido por ∑ . Quando n for ímpar, o
c
p=
1 pp
traço de A + B é igual a
a) n(n − 1)/3
b) (n −1)(n + 1)/4
c) (n 2 − 3n +2)/(n − 2)
d) 3(n − 1)/n
e) n − 1)/(n − 2)
25 - (UFU MG) Seja A uma matriz de ordem 3
inversível tal que (A – 2I) 2 = 0, em que I é a
matriz identidade de ordem 3. Assim, pode-se
afirmar que a matriz inversa A –1 é igual a
a) I − 1 A
b) 2 A
4
c) 4I – A d) 1 I
2
26 - (FGV ) O montante aplicado de R$ 50.000,00
foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo
rendido 1% em um mês, e a outra 10% no
mesmo período. O total dos rendimentos dessa
aplicação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as
⎡x⎤
⎡50⎤
⎡1
0,
01⎤
matrizes M = ⎢ ⎥ , P = ⎢ ⎥ e Q = ⎢ ⎥ , a
⎣y⎦
⎣ 4 ⎦
⎣1
0,
1 ⎦
matriz M pode ser obtida pelo produto:
a) 1 000 ⋅ (P t ⋅ Q) –1
b) P t ⋅ Q ⋅ 1 000
c) Q –1 ⋅ P ⋅ 1 000
d) 1 000 ⋅ (Q t ) –1 ⋅ P
e) (Q –1 ) t ⋅ P ⋅ 1 000
27 - (IME RJ) Considere uma matriz A, n x n, de
coeficientes reais, e k um número real diferente
de 1. Sabendo-se que A 3 = k A, prove que a
matriz A + I é invertível, onde I é a matriz
identidade n x n.
4
Matemática – Ney
28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes,
assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01. Se o determinante de uma matriz quadrada A
é 10 e se a segunda linha for multiplicada por
1
4 e a quinta linha por , então o
determinante da matriz resultante é 20.
02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que
seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para
todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0.
04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem
determinante satisfazendo a equação det(A 2 )
+ 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1
ou – 3.
⎡k 1 −1⎤
⎢ ⎥
08. Se A é a matriz dada por
⎢
1 1 2
⎥
, então o
⎢
⎣k
0 k ⎥
⎦
único valor de k que torna o determinante de
A 2 nulo é zero.
16. A equação matricial X t ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a
⎡ 3 4⎤
matriz dada por ⎢ ⎥ , tem como solução o
⎣−
4 3⎦
⎡x⎤
conjunto das matrizes X2 × 1 = ⎢ ⎥ , tais que x
⎣y⎦
2
+ y 2 = 1.
⎡1
0 0⎤
⎢ ⎥
32. Se A = B ⋅ C, onde B = 1
⎢ 1 0⎥
e
3
⎢ 4 ⎥
⎢ 1 1
⎣ 3 ⎥⎦
⎡3
⎢
C =
⎢
0
⎢
⎣0
2
1
3
0
4 ⎤
2 ⎥
⎥
, então o determinante de A é
3
− 4⎥
⎦
igual a – 4.
29 - (UFAC) Considere a função
∂ C → M ( R)
: 2
⎡ x y⎤
z = x + yi → ∂(
z)
= ⎢ ⎥
⎣−
y x⎦
que a cada número complexo em C associa uma
matriz quadrada de ordem 2 em M2(R). A
proposição errada dentre as dos itens abaixo é:
2
a) Det(
∂ ( z))
= z ; ∀z
∈ C
b) ∂ ( z.
w)
= ∂(
z).
∂(
w);
∀ z, w ∈ C
c) ∂ ( z + w)
= ∂(
z)
+ ∂(
w);
∀ z, w ∈ C
d)
−1
⎡1
- 1⎤
∂((
1−
i)
) = ⎢ ⎥
⎣1
1⎦
1 ) 1 ( = ∂
e) 2
2x
2
30 - (UFBA BA) Considerando-se a matriz
⎛ 2
2 ⎞
⎜
u + logv
0 u − logv
⎟
= ⎜
w
B 0 2 0 ⎟ , sendo u, w∈R e
⎜ 2
2 ⎟
⎜ u − logv
0 u + logv
⎟
⎝
⎠
v∈R * +, é correto afirmar:
01. A matriz B é simétrica, para quaisquer u,
w∈R, v∈R * +.
02. O determinante de B é negativo se e somente
se u ≠ 0 e v > 1 .
2

Exercícios Complementares
04. Se u = 6, e v = 0,0001, então existe um
único w∈R tal que os elementos da diagonal
principal de B são medidas de um triângulo
eqüilátero.
08. Se u = 0, existem v∈R * + e w∈R tais que B 2 é
uma matriz nula.
16. Para qualquer w∈R, o sistema de equações
BX = 0 tem uma infinidade de soluções
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
X = ⎜ y⎟
se e somente se v = 1.
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
31 - (UEM PR) Considere a equação matricial
⎡−
a
⎢
⎢
3
⎢
⎣ 2
2
a
− 4a
a ⎤⎡x⎤
⎡3⎤
⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
− a
⎥⎢
y
⎥
=
⎢
1
⎥
.
− 2⎥
⎦
⎢
⎣z⎥
⎦
⎢
⎣6⎥
⎦
a) Para qual(is) valor(es) de a a equação
matricial
Justifique.
possui uma única solução?
b) Determine a solução da equação matricial
para a = −1
, justificando sua resposta.
32 - (UFAL) Considere:
• a matriz A = (aij) 2x2, tal que aij = 2j − i;
• que traço de uma matriz quadrada A é a
soma dos elementos da diagonal principal de
A;
3n
⎛ 2 2 ⎞
• o binômio ⎜ x + ⎟ , em que n é um
⎝ x ⎠
número natural.
Use essas informações para concluir se as
afirmações seguintes são falsas ou verdadeiras.
3
00. O traço da matriz inversa de A é .
2
01. Se A t é a matriz transposta de A, então
⎡5
3⎤
A ⋅ A = ⎢ ⎥
⎣3
2⎦
t
.
02. Se n é o traço de A , então o 4 o termo do
desenvolvimento do binômio dado, segundo
as potências decrescentes de x, é 168x 9 .
03. Se n = 2, a soma dos coeficientes do binômio
dado é 243.
04. Se n = 3, então, no desenvolvimento do
binômio dado, o termo independente de x é
168.
33 - (UEM PR) Considere os números naturais
colocados ordenadamente em linhas da
disposição triangular mostrada na figura e
suponha que a distribuição continue,
indefinidamente, obedecendo ao mesmo padrão.
...
10
...
5
11
...
Sobre o exposto, é correto afirmar que:
2
6
...
...
1
3
7
...
...
4
8
...
...
9
...
...
...
...
...
5
01. a coluna central não contém números
compostos.
02. a linha de ordem k contém (2k −1) números
naturais, k =1,2, …
04. a quantidade de números naturais escritos
até o final da linha k é k 2 , k =1,2,…
08. a soma de todos os números naturais escritos
até o final da 20.ª linha é 80.200.
16. o número natural 628 é o quarto número da
26.ª linha.
34 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes reais quadradas
de ordem n tais que A é assimétrica (isto é, A =
A t ) e P é ortogonal (isto é, P . P t = I = P t . P), P
diferente da matriz identidade. Se B = P t AP
então:
a) AB é simétrica
b) BA é simétrica
c) det A = det B
d) BA = AB
e) B é ortogonal
35 - (ITA SP) Seja A uma matriz real quadrada de
ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz
identidade de ordem n. Supondo que A é
inversível e idempotente (isto é, A 2 = A)
considere as afirmações:
1. B é idempotente
2. AB = BA
3. B é inversível
4. A 2 + B 2 = I
5. AB é simétrica
Com respeito a estas afirmações temos:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas uma é verdadeira.
c) Apenas duas são verdadeiras.
d) Apenas três são verdadeiras.
e) Apenas quatro são verdadeiras.
36 - (UFG GO) Após uma prova de 4 questões
aplicada a 4 alunos, o professor construiu uma
matriz (A) onde cada linha corresponde a um
aluno e cada coluna às questões da prova,
colocou 0 (zero) se o aluno errou a questão e 1
(um) se acertou. Com base nesse enunciado
podemos afirmar:
01. Se cada aluno acertou apenas 1 questão a
matriz pode ser a matriz identidade se as
questões acertadas são distintas;
02. Se um aluno tirou zero na prova o
determinante da matriz é zero;
04. A única situação em que A 2 = 0 é se todos os
alunos tirarem zero na prova;
⎧1
se i ≥ j
08. Se A = [ Aij]
onde a =
4x4
ij ⎨ , então um
⎩0
se i < j
aluno acertou todas as questões
16. Considere a função f definida em { aij, 1 ≤ i, j
≤ 4}cuja lei de formação é f (aij) = aji Se A =
I (identidade) a função f é a função nula;
32. Se todos os alunos acertarem todas as
questões da prova então de A ≠ 0.
37 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes nxn inversíveis
e B = P –1 AP. Das afirmações:

I. B T é inversível e (B T ) –1 = (B –1 ) T .
II. Se A é simétrica, então B também o é.
III. det(A – λI) = det(B – λI), ∀λ ∈ R.
é (são) verdadeira(s):
a) todas
b) apenas I
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) apenas II e III
38 - (ITA SP) Se A é uma matriz real, considere as
definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só
se A for inversível e A− 1 = AT
.
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só
se a ij=
0 , para todo i, j = 1, ..., n, com i ≠ j
Determine as matrizes quadradas de ordem 3
que são, simultaneamente, diagonais e
ortogonais.
39 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que
AB = BA e que satisfazem à equação matricial A 2
+ 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que
(a) AB –1 = B –1 A e que (b) A é inversível
⎛2
0 1⎞
⎜ ⎟
40 - (ITA SP) Considere as matrizes A = ⎜0
2 0⎟
⎜ ⎟
⎝1
0 2⎠
⎛−1
0 1 ⎞
⎜
⎟
e B = ⎜ 0 − 2 0 ⎟ .
⎜
⎟
⎝ 1 0 −1⎠
Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det(A -
λI3) = 0 com o λ0 ≤ λ1 ≤ λ2. Considere as afirmações:
I. B = A - λ0I3 II. B = (A - λ1I3)A III. B = A(A - λ2I3) Então:
a) todas as afirmções são falsas.
b) todas as afirmações são verdadeiras
c) apenas I é falsa
d) apenas II é falsa
e) apenas III é falsa
41 - (UnB DF) Considere os sistema de coordenadas
cartesianas no plano, cuja origem é denotada por
O = (0,0). Sejam A e B pontos dessse plano,
distintos da origem. O paralelogramo P, gerado
pelos pontos A e B, é aquele que tem os
segmentos OA e OB como arestas. A área
desse paralelogramo é o determinante det M da
matriz quadrada M, de ordem 2, cujas linhas são
as coordenadas dos pontos A e B.
Tendo em vista essa informações, julgue os itens
que se seguem.
00. Se det M = 0, então os segmentos OA e OB
são colineares.
01. Sejam 2A o ponto cuja coordenadas são duas
vezes as coordenadas de A. Analogamente
6
Matemática – Ney
para o ponto 3B. Então, a área do
paralelogramo gerado por 2A e 3B é igual a 5
vezes a área de P.
02. O produto da matriz M pela matriz
⎛cos
30°
− sen 30°
⎞
⎜
⎟ é uma matiz 2 x 2 cujas
⎝sen
30°
cos 30°
⎠
linhas são as coordenadas dos pontos C e D.
Então, a área do paralelogramo gerado por C
e D é igual à área de P.
42 - (PUC SP) Seja a matriz A = (aij) 3x3, tal que
⎧ 7π
⎪ cos
a
i
ij ⎨ 7π
⎪sen
⎪⎩
j
se i = j
se i ≠ j
O determinante da matriz A é igual a:
a) −
3
2
b)
1
−
2
c) – 1
d)
1
2
e)
3
2
43 - (UFMS MS) Sejam ⎟ ⎛ x − 5 1⎞
A = ⎜
e B =
⎝ 0 5⎠
⎛3
0 ⎞
⎜
⎟ matrizes reais de ordem 2 e f : IR
⎝1
3 − x ⎠
→ IR a função definida por f(x) = 3.det.(A.B) ,
onde det.(A.B) denota o determinante da matriz
produto de A por B . Calcule o valor máximo da
função f.
kπ
44) Qualquer que seja x ∈R, tal que x ≠ (k ∈ z) , o
2
determinante
1
2
sec x
2
cossec x
2
sen x 1 1 é igual a:
2
cos x
2
tg x
2
cotg x
a) secx . cossecx
b) 1
c) –1
d) zero
e) n.d.a
45 - (FEI SP) Calcule;
cos2a
2
cos a
2
sen a
cos2b
2
cos b
2
sen b
cos2c
2
cos c
2
sen c
46 - (FEI SP) Seja M uma matriz quadrada de 3 a
ordem; constrói-se uma matriz N em que cada
coluna é a soma das outras duas colunas da
matriz M. Sendo A o determinante de M e B o
determinante de N, tem-se:
a) B = 0
b) B = A

Exercícios Complementares
c) B = 2A
d) A = 2B
e) n.d.a
47 - (UnB DF) Seja f(x) =
reais não-nulos e distintos.
As raízes de f(x) = 0 são:
00. x = a, x = b, x = c
01. x = a, x = c
02. x = b, x = c
03. x = a, x = b
1
x
bc
1
b
cx
1
c
bx
com a, b, c
48 - (PUC SP) Indica-se por det A o determinante
de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A =
(aij), de ordem 2, em que
⎧ ⎡ π ⎤
⎪sen
.( i j)
, se i j
a ⎢ + =
ij = 4
⎥
⎨ ⎣ ⎦ .
⎪
⎩sen[
x.(
i − j)],
se i ≠ j
quantos números reais x, tais que –2π < x < 2π,
1
satisfazem a sentença det A = ?
4
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
49 - (IME RJ) Calcule o determinante da matriz n x
n em função de b, onde b é um número real tal
que b 2 ≠ 1,
2
b + 1 b 0 0 … 0 0 ⎫
2
⎪
b b + 1 b 0 … 0 0 ⎪
2
0 b b + 1 b … 0 0 ⎪
⎪
2
0 0 b b + 1 … 0 0 ⎬n
linhas
⎪
… … … … … … … ⎪
2
0 0 0 0 … b + 1 b ⎪
2 ⎪
0 0 0 0 … b b + 1
⎭
n colunas
50 - (UFBA BA) Considere a matriz simétrica A =
(a ij), 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, que satisfaz as
seguintes condições:
I. Se j = i + 1 ou i = j + 1, então aij é a
distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q
interseções da parábola y = x 2 – 2x + 1 com
a reta y = – x + 1.
II. Se j = i + 2 ou i = j + 2, então a ij é a área do
triângulo PQR, sendo o ponto R o simétrico de
Q em relação à origem do sistema de
coordenadas xOy.
III. Se i = j, então a ij é o valor máximo da função
quadrática f(x) = – 2x 2 + 4x.
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu
determinante.
51 - (UFU MG) Sejam A, B e C matrizes reais
quadradas de ordem 3. Considere as seguintes
afirmações:
7
I. Se A = A t e B = B t , então AB = (AB) t .
II. det(A + B) = det A + det B.
III. Se AB = CB, então A = C.
IV. A 2 – B 2 = (A – B)(A + B).
A respeito dessas afirmações, assinale a
alternativa correta.
a) Todas as afirmativas são falsas.
b) Apenas a afirmação I é verdadeira.
c) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação II é falsa.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
52 - (ITA SP) Sejam A e I matrizes reais quadradas
de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T
denotamos o traço de A, ou seja, T é a soma dos
elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e
λ1, λ2 são raízes da equação det(A - λI) = det(A)
– det(λI), então:
a) λ1 e λ2 independem de T
b) λ1 . λ2 = T
c) λ1 . λ2 = 1
T
d) λ 1 + λ2
=
2
e) λ1 + λ2 = T
53 - (ITA SP) Considere a equação
⎡ 2 2 2 ⎤
det
⎢
G(
x)
2x
F(
x)
⎥
⎢
⎥
= 0
onde
⎢ 2 2 2
⎣[
G(
x)]
4x
[ F(
x)]
⎥⎦
4 3
F ( x)
= x + x −x
+ 1
e
x 1
2
x
x
2
G(
x)
= −
, com x ∈ R, x ≠ 0.
Sobre as raízes reais dessa equação, temos:
a) Duas delas são negativas.
b) Uma delas é um número irracional.
c) Uma delas é um número par.
d) Uma delas é positiva e outra negativa.
e) n.d.a.
54 - (ITA SP) Seja C = {X ∈ M 2x2; X 2 + 2x = 0}.
Dadas as afirmações:
I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível.
II. Se X ∈ C e det (X + 2I) ≠ 0 então X não é
inversível.
III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0.
podemos dizer que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas (I) é verdadeira.
e) n.d.a.
55 - (UnB DF) Para A e B matrizes quadradas
quaisquer, de ordem 3, denote por A² o produto
de A por si mesmo e por det A o derminante da
matriz A. julgue os itens.
00. (A + B) . (A – B) = A 2 . B 2 .
01. det (2A) = 2 det A

02. Somando-se 4 a todos os elementos da
⎡1
matriz A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
3
1
1
a
1⎤
1
⎥
⎥
, o determinate da nova
1⎥⎦
matriz será 4det A
03. Se (det A) 2 = 1, então
⎡1
A =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
ou
1⎥⎦
⎡−1
A =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
−1
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
.
−1⎥⎦
04. Se
⎡ 2
a
⎢ 2
A = ⎢(a
+ 2)
⎢ 2
(a + 4)
⎣
2
(a + 2)
2
(a + 4)
2
(a + 6)
2
(a + 4) ⎤
2 ⎥
(a + 6) ⎥ , o det A
2
(a + 8) ⎥
⎦
não dependerá do valor de a.
56 - (MACK SP) A é uma matriz quadrada de ordem
4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x
– 97 é:
a) -12
b) zero
c) 1
d) 97/2
e) 194
1 2 3
x y z
57 - (UNIP SP) Se 6 9 12 = −12
, então 2 3 4
x y z
1 2 3
vale:
a) -4
b) –4/3
c) 4/3
d) 4
e) 12
58 - (VUNESP SP) Considere as matrizes reais 3x3
⎛ a b c⎞
⎛m
n p⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x y z⎟
e ⎜ x y z⎟
. Se indicarmos por A e
⎜ ⎟
⎝ 1 1 1 ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 1 1 1⎠
B, respectivamente, os determinantes dessas
matrizes, o determinante da matriz
⎛ a + m + 1 b + n + 1 c + p + 1⎞
⎜
⎟
⎜ 1 1 1 ⎟ é igual a:
⎜
⎟
⎝ 2x
2y
2z
⎠
a) – 2 A – 2 B
b) 2 A + 2 B + 1
c) 2 A + 2B
d) – 2 A – 2 B – 1
e) 2 A – 2 B – 1.
59 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes quadradas
quaisquer de ordem dois.
Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira.
a) (A + B) (A – B) = A 2 – B 2 .
b) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 .
c) se AB é a matriz nula então A ou B são nulas.
d) se A e B são inversíveis então A + B é
inversível.
e) se A e B são inversíveis então AB é inversível.
8
Matemática – Ney
60 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes de elementos
reais, quadradas de ordem 3, e represente por I
a matriz identidade de ordem 3. Se A + B = 3 I e
det(A – B) = 1, determine det(A 2 + AB – BA –
B 2 ).
61 - (ITA SP) Considere as afirmações dadas a
seguir, em que A é uma matriz quadrada n× n,
n ≥ 2 :
I. O determinante de A é nulo se e somente se
A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A ( a i j )
= é tal que a = 0 para
i > j, com i, j = 1,2,..., n ,
então
A= a a a .
11 22 ...
det nn
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a
primeira coluna por 2 + 1 e a segunda por
2 − 1,
mantendo-se inalteradas as
demais colunas, então det B = det A .
Então, podemos afirmar que é (são)
verdadeira(s):
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
62 - (UECE) Seja X = M + M + M + ... + M , em que M
⎡1
1⎤
é a matriz ⎢ ⎥ e k é um número natural. Se o
⎣0
1⎦
determinante da matriz X é igual a 324, então o
valor de k 3k
1
2
+ − é:
a) 207
b) 237
c) 269
d) 377
63 - (ITA SP) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis
1
tais que det( I + C A)
= 1/
3
−
e det A = 5 . Sabendo-se
que ( ) t −1
2
− 1
B = 3 A + C
igual a
, então o determinante de B é
a) 3 n
b)
n
3
2 ⋅
2
5
1
c)
5
e)
5 ⋅ 3
n−1
d)
5
3
3 1 n−
64 - (MACK SP) O menor valor positivo de α, para
⎧ (sen α) x − y = 0
que o sistema ⎨
tenha mais de
⎩x
+ (4 cos α)y = 0
uma solução, é igual a:
a) 75°
b) 105°
c) 120°
d) 165°
e) 225°
ij
k

Exercícios Complementares
65 - (FUVEST SP) Dado um número real a,
considere o seguinte problema:
“Achar números reais x 1, x 2, …, x 6, não todos
nulos, que satisfaçam o sistema linear:
(r – 2) (r – 3)x r – 1 + ((r – 1) (r – 3) (r – 4) (r –
6)a + (-1) r )x r + (r – 3)x r + 1 = 0, para r = 1, 2, …,
6, onde x 0 = x 7 = 0”.
a) Escreva o sistema linear acima em forma
matricial.
b) Para que valores de a o problema cima tem
solução?
c) Existe, para algum valor de a, uma solução
do problema com x 1 = 1? Se existir,
determine tal solução.
66 - (ITA SP) A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma
progressão geométrica de razão q ∈ R * com q ≠
⎧a1x
+ a2
y = c
1 e a1 ≠ 0. Com relação ao sistema ⎨
⎩a3x
+ a4
y = d
podemos afirmar que:
a) é impossível para c, d ∈ [-1, 1]
b) é possível e determinado somente se c = d.
c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d ∈
R.
d) é impossível quaisquer que sejam c, d ∈ R * .
e) é indeterminado somente se d = cq 2
67 - (ITA SP) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y
e z,
⎧ a a
a
3 x − 9 y + 3z
= 2
⎪ a+
1
a+
1
⎨3
x − 5y
+ 9z
= 2
⎪ a−1
a+
1
⎪ x + 3 y + 3 z = 1
⎩
é possível e determinado quando o número a é
diferente de:
1
a) log3 2 e ( − 1+
log2
5)
.
2
1
b) log2 3 e log2
5 .
2
1
c) log2 1 e log2
3 .
2
1
1
d) ( − 1+
log2
1)
e ( − 1+
log2
3)
.
2
2
1
e) log3 1 e ( − 1+
log3
5)
.
2
68 - (ITA SP) Sejam a, b, c, d números reais não
nulos que estão nesta ordem em progressão
aritmética. Sabendo que o sistema abaixo:
⎧ a c
⎪ 4.2 .x + 2 .y = 2 b
.2
3
⎨
⎪⎩
d b
3 .x + 9.3 .y = 81
é possível e indeterminado, podemos afirmar que
a soma desta progressão aritmética é:
a) 13
b) 16
c) 28
d) 30
e) n.d.a.
9
69 - (ITA SP) Considere o sistema linear
homogêneo nas incógnitas x1, x2, ..., xn dado
por:
⎧ a1x1
+ ( a1
+ 1)
x2
+ ... + ( a1
+ n −1)
xn
= 0
⎪
a 2x1
+ ( a 2 + 1)
x2
+ ... + ( a 2 + n −1)
xn
= 0
⎨
⎪ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...
⎪
⎩a
nx1
+ ( a n + 1)
x2
+ ... + ( a n + n −1)
xn
= 0
Onde a1, a2, ..., an são números reais dados.
Sobre a solução deste sistema podemos afirmar
que:
a) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui
uma única solução.
b) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui
uma única solução.
c) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é
impossível.
d) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é
impossível.
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer
que sejam os valores dos números a1, ..., an dados.
70 - (FUVEST SP) Discutir o sistema de equações:
⎧ ax + by = 0
⎪
⎨ bx + ay = 0
⎪ 2 2 2 2
⎩x
+ y = a + b + 1
71 - (UnB DF) Sendo um número real qualquer,
considere o sistema de equações:
⎧ x + y + 3z = 1-
m
⎪
S : ⎨2x
− y + z = 2 + m
⎪
⎩ 3x + 2y
- mz = m
Analise os itens a seguir:
00. O sistema S é sempre possível e determinado
01. O sistema S, sempre que possível, é também
determinado
02. Se m = 0 então a única solução de S é tal
que x = 10/22
03. Se m torna possível uma solução de de S,
então qualquer tal soluação satisfaz a
equação 2y – (4+m) z = m – 3
04. Exixtema pelo menos 2 valores de m para os
quais S é impossível
⎛ 0 −1⎞
72 - (UFU MG) Considere a matriz A = ⎜
⎟ .
⎝−1
0 ⎠
Determine quantas soluções tem o sistema linear
( ) ⎟ 2 3 222 333 ⎛ x ⎞ ⎛0
⎞
A + A + A + A ⎜
⎟ = ⎜ .
⎝ y⎠
⎝0
⎠
73 - (ITA SP) Considere o sistema Ax = b, em que
⎛ 1 - 2 3 ⎞ ⎛1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = ⎜ 2 k 6 ⎟ , b = ⎜6⎟
e k ∈R
.
⎜
⎟
⎝-1
3 k - 3 ⎜
⎠ 0 ⎟
⎝ ⎠
Sendo T a soma de todos os valores de k que
tornam o sistema impossível e sendo S a soma
de todos os valores de k que tornam o sistema
possível e indeterminado, então o valor de T– S é
a) −4 b) −3 c) 0
d) 1 e) 4

74 - (UFOP MG) Considerando que um sistema de
equações lineares homogêneo 3x3, nas
incógnitas x, y e z , com coeficientes reais, é
possível e indeterminado, assinale a alternativa
que não representa uma solução geral desse
sistema.
a) { x = 2t,
y = t, z = − 3t,
t ∈ R}
b)
⎧ t
⎫
⎨x
= , y = − t, z = t,
t ∈ R⎬
⎩ 2
⎭
c) { x = 2t,
y = t + 1, z = t,
t ∈ R}
x = t,
y = t, z = t,
t ∈ R
d) { }
75 - (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer
compras. Para comprar um par de tênis, uma
camisa e uma calça, faltarão R$ 30,00. Se eu
comprar a calça e a camisa, sobrarão R$ 90,00; e
se eu comprar a calça e o par de tênis, sobrarão
R$ 10,00. Nessas condições, é correto afirmar:
01. Se eu comprar só a calça, sobrarão R$
130,00.
02. Se eu comprar o par de tênis e a camisa,
gastarei R$ 160,00.
03. O par de tênis custa R$ 110,00.
04. A camisa custa R$ 50,00.
76 - (FUVEST SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada
filho tem o número de irmãos igual ao número
de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos
igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total
de filhos e filhas do casal?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
77 - (UnB DF) A distância entre duas cidades, A e
B, é de 156 km. De A para B, a extensão das
descidas e 0,7 vezes a extensão das subidas.
Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas
da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h,
nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e
o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos.
Calcule, em quilômetros, a extensão da parte
plana do trajeto, desconsiderando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
78 - (UnB DF) Em uma corrida de motocross, os
competidores devem seguir um percurso de um
ponto A até um outro ponto B e, em seguida,
retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos
motociclistas desenvolve uma velocidade
constante de 12km/h em trechos de subida,
30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos
de descida. Um segundo motociclista desenvolve
uma velocidade de 10km/h em trechos de subida,
40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos
de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A até
B e 1h e 10 min para ir de B até A, enquanto o
segundo gasta 1h e 3min para ir de A até B.
Calcule, em quilômetros, a distância que, no
sentido de A para B, corresponde ao trecho de
subida. Despreze a parte fracionária de seu
resultado, caso exista.
10
Matemática – Ney
79 - (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas
por Mariana:
Loja Produto Preço/unid.(R$) Despesa(R$)
caneta 3,00
A
50,00
lapiseira 5,00
caderno
B
4,00
44,00
corretor 2,00
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade
de canetas e cadernos, além do maior número
possível de lapiseiras, o número de corretores
comprados foi igual a:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
80 - (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00,
adquirindo as mercadorias A e B para revender.
Observando a tabela abaixo, calculou e comprou
o número de unidades de A e B para obter o lucro
máximo.
Preço por unidade(R$)
Mercadoria
máximo de unidades libe
rado para o comerciante
de custo de venda
A 1,00 2,50
100
B 2,00 3,00 200
Com a venda de todas unidades compradas, o
lucro máximo, em reais, foi:
a) 225
b) 250
c) 275
d) 325
81 - (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de
3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16
mesas.Ocupando todos os lugares nas mesas de
3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente
acomodadas. Sabendo-se que o restaurante
acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas
mesas de cada tipo existem?
82 - (UFF RJ) Um biscoito é composto por açúcar,
farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade
de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os
preços por quilograma do açúcar, da farinha e da
manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80
e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do
biscoito, considerando apenas esses ingredientes,
é R$ 2,42.
Calcule a quantidade, em gramas, de cada
ingrediente presente em 1 kg de massa do
biscoito.
83 - (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar
uma mistura de amendoim, castanha de caju e
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de
amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de
caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará,
R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da
mistura e o custo total dos ingredientes de cada
lata deve ser de R$5,75. Além disso, a
quantidade de castanha de caju em cada lata
deve ser igual a um terço da soma das outras
duas.

Exercícios Complementares
a) Escreva o sistema linear que representa a
situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as
quantidades, em gramas, de cada ingrediente
por lata
84 - (UFV MG) Em uma urna vazia são colocadas 20
bolas nas cores vermelha e branca. Se
acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o
número de bolas brancas passaria a ser igual à
metade do número de bolas vermelha.
Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas
existem na urna?
85 - (UNIFOR CE) Um grupo de amigos comprou
um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir
essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2
membros do grupo não puderam cumprir o
compromisso, cada um dos restantes teve sua
parcela aumentada de R$ 360,00. O número de
pessoas do grupo era, inicialmente,
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
86 - (UNICAMP SP) O IBGE contratou um certo
número de entrevistadores para realizar o
recenseamento em uma cidade. Se cada um
deles recenseasse 100 residências, 60 delas não
seriam visitadas. Como, no entanto, todas as
residências foram visitadas e cada recenseador
visitou 102, quantas residências tem a cidade?
87 - (INTEGRADO RJ) Num concurso, a prova de
Matemática apresentava 20 questões. Para cada
questão responda corretamente, o candidato
ganhava 3 pontos e, para cada questão
respondida erradamente ou não respondida,
perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser
aprovado deveria totalizar, nessa prova, um
mínimo de 28 pontos, o menor número de
questões respondidas corretamente para que o
candidato fosse aprovado era de:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
88 - (FGV ) “Um galo custa 5 moedas; uma galinha,
3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100
moedas, compram-se 100 dessas aves.
Quantos galos, galinhas e frangos são?”
Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que
foi enunciado pela primeira vez no livro Manual
Matemático, de Zhang Quijian, editado no século
V. O problema ficou famoso e apareceu, mais
tarde, em diversos textos matemáticos na Índia,
no mundo islâmico e na Europa.
a) Expresse o enunciado do problema chinês
mediante um sistema de equações.
b) Dê a solução geral do sistema.
c) Nessa época, o zero não era considerado um
número e, por isso, não entrava na solução
dos problemas. Então, quais as prováveis
respostas que o matemático chinês deve ter
encontrado para o problema do Cento de
Aves?
11
89 - (FUVEST SP) Considere o sistema de equações
lineares
⎧x
+ y + z = −2m
⎪
⎨x
− y − 2z
= 2m
⎪
⎩2x
+ y − 2z
= 3m
+ 5
a) Para cada valor de m, determine a solução
(xm, ym, zm) do sistema.
b) Determine todos os valores de m, reais ou
complexos, para os quais o produto xmymzm é
igual a 32.
90 - (ITA SP) Sejam a, b, c ∈ R * com a 2 = b 2 + c 2 .
Se x, y e z satisfazem o sistema
⎧c
cos y + b cos z = a
⎪
⎨c
cos x + a cos z = b então cos x + cos y + cos z é
⎪
⎩b
cos x + a cos y = c
igual a:
a)
a − b
.
c
b)
a + b
.
c
c)
b + c
.
a
d)
c + a
b
e)
2 2
b + c
a
91 - (ITA SP) Se (x, y, z, t) é solução do sistema
⎧ x − y + 2z − t = 0
⎪
⎨3x
+ y + 3z + t = 0 qual das alternativas abaixo é
⎪
⎩ x − y − z − 5t = 0
verdadeira?
a) x + y + z + t e x tem o mesmo sinal.
b) x + y + z + t e t tem o mesmo sinal.
c) x + y + z + t e y tem o mesmo sinal.
d) x + y + z + t e z tem sinais contrários.
e) n.d.a.
⎧x
+ y - z = 0
92 - (PUC RJ) Resolva o sistema ⎨
.
⎩x
- y + z = 0
Descreva geometricamente o seu conjunto de
soluções.
93 - (UFMA) Sendo (a, b, c) solução do sistema
⎧x
− y + 2Z = 1
⎨
tal que ab = 2c, então um valor de
⎩ y + 3Z = 5
a é:
a) –3 b) –4 c) 2
d) 3 e) 4
94 - (FUVEST SP) João, Maria e Antônia tinham,
juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu
sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano.
Depois de creditados seus juros no final desse
ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o
dobro do novo capital de João. No ano seguinte,
os três reinvestiram seus capitais, ainda com
juros de 10% ao ano. Depois de creditados os
juros de cada um no final desse segundo ano, o
novo capital de Antônia era igual à soma dos
novos capitais de Maria e João. Qual era o capital
inicial de João?

a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
95 - (UNICAMP SP) Encontre o valor de a para que
⎪
⎧ 2x−y+
3z=
a
o sistema: ⎨ x+
2y−z=
3 seja possível. Para o valor
⎪⎩ 7x+
4y+
3z=
13
encontrado de a ache a solução geral do sistema,
isto é, ache expressões que representem todas as
soluções do sistema. Explicite duas dessas
soluções.
96 - (UNICAMP SP) Considere o sistema:
⎧ 1
⎪x
+ ( y + z)
= p
2
⎪ 1
⎨y
+ ( x + z)
= p
⎪ 2
⎪ 1
z + ( x + y)
= p
⎪⎩
2
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y,
z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p
é múltiplo inteiro de 17.
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro
p for múltiplo inteiro de 17, então este
sistema tem solução (x, y, z) com x, y e z
inteiros.
⎧x
+ y + z = 28
97 - (MACK SP) As soluções do sistema ⎨
⎩ 2x - y = 32
onde x > 0, y > 0 e z > 0 obedecem às seguintes
restrições:
a) 2 < x < 8 e 2 < y < 8
b) 16 < x < 20 e 0 < y < 8
c) 10 < x < 20 e 2 < y < 10
d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12
e) 7 < x < 15 e 9 < y < 11
98 - (FUVEST SP)
São dados três números naturais a, b e c, com a
< b < c. Sabe–se que o maior deles é a soma dos
outros dois e o menor é um quarto do maior. Se
a – b + c = 30 então o valor de a + b + c será:
a) 45
b) 60
c) 900
d) 120
e) 150
99 - (ITA SP) Sendo x, y, z e w números reais,
encontre o conjunto solução do sistema
log[(x + 2y)(w − 3z) −1 ] = 0,
2 x+3z − 8 . 2 y−3z+w = 0,
3 2x
+ y + 6z
− 2w
− 2 = 0
100 - (UNICAMP SP) Seja dado o sistema linear:
⎧−
x1
+ 2x2
= 2
⎪
⎨2x1
- x2
= 2
⎪
⎩ x1
+ x2
= 2
12
Matemática – Ney
a) Mostre graficamente que esse sistema não
tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de
um sistema linear Ax = b impossível, utilizase
o método dos quadrados mínimos, que
consiste em resolver o sistema A T Ax = A T b.
Usando esse método, encontre uma solução
aproximada para o sistema dado acima.
Lembre-se de que as linhas de M T (a
transposta de uma matriz M) são iguais às
colunas de M.
101 - (UFAC) Os números reais positivos a e b,
ambos diferentes de 1, soluções do sistema de
⎧ b 1
⎪a
=
equações ⎨ 16 , quando multiplicados, têm
⎪log
1 a = b
⎩ 2
como produto o número:
a) 2
b) 4
1
c)
2
1
d)
4
e) 8
102 - (FGV ) a. Mostre que existem infinitas triplas
ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a
equação matricial:
⎡ 1 ⎤ ⎡2⎤
⎡ −1
⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
x ⋅
⎢
2
⎥
+ y ⋅
⎢
0
⎥
+ z ⋅
⎢
−10
⎥
=
⎢
0
⎥
⎢
⎣−1⎥
⎦
⎢
⎣1⎥
⎦
⎢
⎣ 7 ⎥
⎦
⎢
⎣0⎥
⎦
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas
incógnitas x e y, usando o conceito de matriz
inversa:
⎧2x
+ y = a
⎨
⎩5x
+ 3y
= b
Use o fato de que a inversa da matriz
⎡2
1⎤
− ⎡ 3 −1⎤
A = ⎢ ⎥ é A = ⎢ ⎥
⎣5
3⎦
⎣−
5 2 ⎦
1
103 - (UFC CE) Sejam x e y os números reais
positivos que satisfazem o sistema de equações:
⎪
⎧log
x + log y = 3 + log 2
3 1/
3
3
⎨
.
⎪⎩
log3
x + log3
y = 3 + log 2
3
Assinale a alternativa na qual consta o valor
numérico de x + y .
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
e) 36

Exercícios Complementares
Gabarito
01 a
02 x ≠ 2
03 a
04 e
05
2
−
11
⎛1
0⎞
⎛-
1
06 ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
,
⎜
⎝0
1⎠
⎝ 0
⎛
0⎞
⎜
⎟
, ⎜
-1⎠
⎜
⎝
2
1-
b
b
-
b
1-
b
⎛ 2 b ⎞
⎜−
1−
b ⎟
2 com -1
≤ b ≤ 1.
⎜
b 1-
b ⎟
⎝
⎠
2 1
07 a) a = ; b = −
3 3
⎡ 1 ⎤
b) ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
− 4⎥⎦
08 a
09 b
10 CEC
11 ⎟ ⎛1
20a⎞
⎜
⎝0
1 ⎠
12 a) -1 +1 –1 +1 ...(-1) 0 ⎧ 0, se n é par
= ⎨
⎩−1,
se n é impar
b) n = 11
13 c
14 a
15 c
16 a
17 1. (A + I)³ = (A + I).(A + I).(A + I) =
(A² + 2A + I).(A + I) = A³ + 3A² + 2A + A + I = A + I ,
como A³ + 3A² + 2A + A = 0, temos que: 0 + A
+ I = A + I, ou seja, A + I = A + I
⎡0
1 ⎤
⎡-1
0 ⎤
2. B = ⎢ ⎥ e C = ⎢ ⎥ e o sistema
⎣0
- 1⎦
⎣ 0 - 1⎦
apresentado admite solução (x, y) ≠ (0, 0)
18 d
19 não há valores de k que solucionem o problema
com o código.
20 b
21 e
22 d
23 VFFVVF
24 c
25 a
26 DE
1 2 1
27 A − A + I é a inversa de A + I
1−
k 1−
k
28 53
29 d
30 05
31
32 VFFFF
33 14
34 c
35 e
36 VVFVFF
37 d
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
e
13
38 As matrizes de ordem 3 que são,
simultaneamente, diagonais e ortogonais são da
⎡a
0 0⎤
⎢ ⎥
forma
⎢
0 b 0
⎥
tais que a, b, c ∈ {–1, 1}
⎢⎣
0 0 c⎥⎦
39 a) 1)Se B é inversível, então existe B –1 , tal que
B ⋅ B –1 = I .
2) Sendo AB = BA, temos:
A = A ⇔ A ⋅ I = A ⇔ A ⋅ B ⋅ B –1 = A ⇔
⇔ B ⋅ A ⋅ B –1 = A ⇔ B –1 ⋅ B ⋅ A ⋅ B –1 = B –1 ⋅ A
⇔ I ⋅ A ⋅ B –1 = B –1 ⋅ A ⇔ A ⋅ B –1 = B –1 ⋅ A
b) A 2 + 2AB – B = 0 ⇔ B = A 2 + 2AB ⇔
⇔ B = A ⋅ (A + 2B) ⇔
det B = det [A ⋅ (A + 2B)] = det A ⋅ det (A +
2B) ≠ 0,
pois B é inversível.
Se det A ⋅ det (A + 2B) ≠ 0, então det A ≠ 0 e,
portanto,
A é inversível.
40 e
41 00-C; 01-E; 02-C.
42 a
43 45
44 d
45 zero
46 c
47 00-F; 01-F; 02-V; 03-F
48 b
2n+
2
b −1
49 D n =
2
b −1
50 Sendo A = (aij) uma matriz simétrica tem-se que
aij = aij. • Da condição I, obtém-se os elementos a12, a21, a23 e a32 cujos valores correspondem à distância
dos pontos P e Q, intersecções da parábola y = x 2
− 2x + 1 com a reta y = −x + 1
⎪⎧
2
y = x − 2x
+ 1
Resolvendo-se o sistema ⎨
, obtem−se
⎪⎩ y = −x
+ 1
x = 0 ou x = 1.
Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1
encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1,
0) e Q(0, 1) e a distância entre P e Q é 2
Logo, a12 = a21= a23 = a32 = 2
• Da condição II. obtém-se os elementos a13 e a 31
cujos valores correspondem à área do triângulo
PQR, sendo R o simétrico de Q em relação à
origem e portanto R(−1, 0) se Q (1, 0) ou R (0,
−1) se Q (0,1)
A área do triângulo PQR em qualquer caso é igual
a 1.
Logo, a 13 = a 31 = 1.
• Da condição III, obtém-se os elementos da
diagonal a11, a22 e a33. cujos valores
correspondem ao valor máximo da função
quadrática f(x) = −2x 2 + 4x.
A função quadrática tem valor máximo que ocorre
−4
para x = = 1 . Logo, o valor máximo é f(1) =
2(
−2)
2 e a11 = a22 = a33 = 2.

A matriz é
2
2
1
2
2
2
1
2
2
⎛
⎜
2
⎜
2
⎜
⎜1
⎝
2
2
2
1 ⎞
⎟
2
⎟
⎟
2 ⎟
⎠
e o determinante
= 8 + 2 + 2 − 2 − 4 − 4 = 2
51 a
52 d
53 e
54 c
55 EEEEC
56 c
57 d
58 a
59 e
60 det(A 2 + AB – BA – B 2 ) = 27
61 d
62 d
63 d
64 b
⎛ −1
−2
0 0 0 0 ⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛0
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 ( −8a+
1)
−1
0 0 0 ⎜ x
⎟ 2 ⎟ ⎜0
⎟
65 a) ⎜ 0 0 −1
0 0 0 ⎟ ⎜ x3
⎟ ⎜0
⎟ ;
⎜
⎟ ⎜ ⎟ =
0 0 2 1 1 0 x ⎜0
⎟
⎜
⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 6 ( −8a−1)
2 ⎟ ⎜ x5
⎟ ⎜0
⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 0 0 12 1 ⎠ ⎝ x6
⎠ ⎝0
⎠
b) a = 1 ou a = − 31 ;
8
8
c) (1, -1/2, 0, 0, 0, 0)
66 e
67 e
68 e
69 e
70 a = b = 0 → SPI
a = ± b ≠ 0 → SPD
a ≠ + b e a ≠ −b
→ SI
71 FVVVF
72
73 a
74 c
75 VVFF
76 e
77 46
78 08
79 b
80 a
81 4 mesas de 3 lugares
6 mesas de 4 lugares
6 mesas de 6 lugares
82 Açúcar 200g, Farinha 400g, Manteiga 400g
⎧
⎪ x + y + z = 0,5
⎪
83 a) ⎨5x
+ 68z = 17,25
⎪ (x + z)
⎪ y =
⎩ 3
b) 250g de amendoim, 125g de castanha de
caju e 125g de castanha-do-pará.
84 13 vermelha e 7 brancas
85 e
86 3060 residências
87 a
14
Matemática – Ney
88 a) Sejam x o número de galos, y o número de
galinhas e z o número de ternos de frangos
comprados. Então:
5⋅
x + 3⋅
y + 1⋅
z = 100 5x + 3y + z = 100
⇔
x + y + 3z
= 100 x + y + 3z = 100
E, supondo que a moeda não tenha
3
U = N .
subdivisões, temos
5x
+ 3y
+ z = 100 5x
+ 3y
= 100 − z x = −100
+ 4z
b)
⇔
⇔
x + y + 3z
= 100 x + y = 100 − 3z
y = 200 − 7z
c) 4 galos; 18 galinhas; 3 . 26 = 78 frangos;
8 galos; 11 galinhas; 3 . 27 = 81 frangos;
12 galos; 4 galinhas; 3 . 28 = 84 frangos.
89 a) (-m – 1, m + 3, -2m – 2);
b) 1, -3 –2i e –3 + 2i
90 c
91 c
92 x = 0, y = z. O conjunto solução é a reta y = z
no plano x = 0.
93 b
94 a
95 a = 2 { Z∈ ℜ / ( 7 − Z,
7 + Z,
−Z)
}
5 5
96 a) A proposição é falsa
b) A proposição é falsa
97 b
98 d
99 { } ⎬
⎭ ⎫
⎧⎛
31 - 8 − 5 ⎞
V = ⎨⎜
+ w;
; ; w ⎟ t.q.w ∈R
- - 5
⎩⎝
3 3 3 ⎠
100
a)
Cada equação pode ser representada por uma reta no plan
b) x1 = 4/3, x2 = 4/3
101 c
102 a)
⎡ 1 ⎤ ⎡2⎤
⎡ −1
⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
x ⋅
⎢
2
⎥
+ y ⋅
⎢
0
⎥
+ z ⋅
⎢
−10
⎥
=
⎢
0
⎥
⇔
⎢
⎣−1⎥
⎦
⎢
⎣1⎥
⎦
⎢
⎣ 7 ⎥
⎦
⎢
⎣0⎥
⎦
⎧x
+ 2y
− z = 0
⎪
⇔ ⎨2x
−10z
= 0
⎪
⎩−
x + y + 7z
= 0
Como no sistema linear homogêneo da
página anterior,
1 2 −1
D = 2 0 −10
= 0 , conclui-se que o sistema
−1
1 7
possível e indeterminado e, portanto, infinitas
triplas ordenadas (x, y, z) de números
satisfazem a equação matricial dada.
b) V = {(3a – b; – 5a + 2b)}
103 c

IME ITA