Matematica Essencial: Divisão Proporcional

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Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 26 de Março de 2010.
Prof. Ulysses Sodré
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais 1
2 Divisão em várias partes diretamente proporcionais 1
3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais 2
4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais 3
5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente proporcionais 4
6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente proporcionais 5
7 Regra de Sociedade 6
‘O ladrão não vem senão para roubar, matar e destruir; eu Jesus, vim para que tenham vida
e a tenham em abundância.’ A Bíblia Sagrada, Livro de João 10:10

Seção 1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais 1
1 Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais
aos pesos p1 e p2, montando um sistema com 2 equações e 2
incógnitas, de modo que a soma das partes seja X1 + X2 = M, mas
X1
p1
= X2
p2
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1
= X2
p2
= X1 + X2
p1 + p2
O valor de K é que proporciona a solução pois:
= M
= K
p1 + q2
X1 = K p1 e X2 = K p2
Exemplo: Decompomos o número 100 em duas partes X1 e X2 diretamente
proporcionais a 2 e 3, montando o sistema tal que X1 + X2 = 100, cuja
solução segue de:
X1 X2
=
2 3 = X1 + X2
=
5
100
= 20
5
Segue que X1 = 40 e X2 = 60.
Exemplo: Obtemos números X1 e X2 diretamente proporcionais a 8 e 3,
sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema
basta tomar X1 − X2 = 60 e escrever:
X1
8
Segue que X1 = 96 e X2 = 36.
X2
=
3 = X1 − X2
=
5
60
= 12
5
2 Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Decompomos um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais
aos pesos p1, p2, ..., pn, montando um sistema com n equações e n
incógnitas, tomando X1+X2+...+Xn = M e p1+p2+...+pn = p, satisfazendo
X1
p1
= X2
p2
= ... = Xn
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pn

Seção 3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais 2
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1
= X2
p2
= ... = Xn
pn
= X1 + X2 + ... + Xn
p1 + p2 + ... + pn
= M
p
Exemplo: Decompomos o número 120 em três partes X1, X2 e X3 diretamente
proporcionais a 2, 4 e 6, montando um sistema com 3 equações e 3
incógnitas tal que X1 + X2 + X3 = 120 e p = 2 + 4 + 6 = 12. Assim:
X1
2
= X2
4
logo X1 = 20, X2 = 40 e X3 = 60.
X3
=
6 = X1 + X2 + X3 120
= = 10
2 + 4 + 6 12
Exemplo: Determinamos números X1, X2 e X3 diretamente proporcionais
a 2, 4 e 6, de modo que 2X1 + 3X2 − 4X3 = 120. A solução segue das
propriedades das proporções:
X1
2
= X2
4
logo X1 = −30, X2 = −60 e X3 = −90.
= K
X3
=
6 = 2X1 + 3X2 − 4X3 120
= = −15
2(2) + 3(4) − 4(6) −8
Observação: Também existem proporções com números negativos!
3 Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 inversamente proporcionais
a q1 e q2, decompondo o número M em duas partes X1 e X2
diretamente proporcionais a 1
e
q1
1
, que são, respectivamente, os inversos
q2
de q1 e q2.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas X1 e X2
tal que X1 + X2 = M. Desse modo:
X1
1
q1
= X2
1
q2
= X1 + X2
1
+ 1
= M
1
+ 1
O valor de K proporciona a solução pois: X1 = K
q1
q2
q1
q2
= M · q1 · q2
q1 + q2
q1
e X2 = K
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= K
q2
.

Seção 4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais 3
Exemplo: Decompomos o número 120 em duas partes X1 e X2 inversamente
proporcionais a 2 e 3, montando o sistema tal que X1 + X2 = 120,
de modo que:
X1
1
2
= X2
1
Assim X1 = 72 e X2 = 48.
3
= X1 + X2
1 1
+
2 3
= 120
5
6
= 120 · 6
= 144
5
Exemplo: Determinamos números X1 e X2 inversamente proporcionais a
6 e 8, se a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos
X1 − X2 = 10. Assim:
Assim X1 = 40 e X2 = 30.
X1
1
6
= X2
1
8
= X1 − X2
1 1
−
6 8
= 10
1
24
= 240
4 Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Decompomos um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente
proporcionais aos pesos q1, q2, ..., qn, decompondo este número M em n
partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1 1 1
, , ..., q1 q2 qn .
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1 +
X2 + ... + Xn = M e além disso
X1
1
q1
= X2
1
q2
= ... = Xn
1
cuja solução segue das propriedades das proporções:
X1
1
q1
= X2
1
q2
= ... = Xn
1
qn
q1
q2
qn
= X1 + X2 + ... + Xn
1
+ 1
+ ... + 1
=
qn
M
1
+ 1
+ ... + 1
Exemplo: Decompomos o número 220 em três partes X1, X2 e X3 inversamente
proporcionais a 2, 4 e 6, constrindo um sistema com 3 equações e 3
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q1
q2
qn

Seção 5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente proporcionais 4
incógnitas, de modo que X1 + X2 + X3 = 220. Desse modo:
X1
1
2
= X2
1
4
= X3
1
6
= X1 + X2 + X3
1 1 1
+ +
2 4 6
A solução é X1 = 120, X2 = 60 e X3 = 40.
= 220
11
12
= 240
Exemplo: Obtemos números X1, X2 e X3 inversamente proporcionais a 2, 4
e 6, de modo que 2X1 + 3X2 − 4X3 = 10, montando as proporções:
X1
1
2
= X2
1
4
= X3
1
logo X1 = 60
13 , X2 = 30
13 e X3 = 20
13 .
6
= 2X1 + 3X2 − 4X3
2 3 4
+ −
2 4 6
= 10
13
12
= 120
13
Observação: Também existem proporções com números fracionários!
5 Divisão em duas partes diretamente e inversamente proporcionais
Decompomos um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais
a p1 e p2 e inversamente proporcionais a q1 e q2, decompondo este
número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1
e
q1
p2
,
q2
montando um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que
X1 + X2 = M e além disso:
X1
p1
q1
= X2
p2
q2
= X1 + X2
p1
q1
+ p2
q2
=
p1
q1
M
+ p2
q2
O valor de K garante a solução pois: X1 = K p1
= M · q1 · q2
= K
p1(q2) + q1(p2)
q1
e X2 = K p2
.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes X1 e X2 diretamente
proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, devemos tomar
X1 + X2 = 58 e montar as proporções:
X1
2
5
= X2
3
7
= X1 + X2
2 3
+
5 7
= 58
29
35
= 70
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q2

Seção 6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente proporcionais 5
Assim X1 = 2
5 (70) = 28 e X2 = 3
(70) = 30.
7
Exemplo: Para obter números X1 e X2 diretamente proporcionais a 4 e 3 e
inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é
21. Para resolver este problema basta escrever que X1 − X2 = 21 resolver as
proporções:
X1
4
=
6
X2
=
3
8
X1 − X2
4 3
−
6 8
Assim X1 = 4
6 (72) = 48 e X2 = 3
(72) = 27.
8
= 21
7
24
= 72
6 Divisão em várias partes diretamente e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente
proporcionais aos pesos p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais aos
pesos q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2,
..., Xn diretamente proporcionais às divisões: p1
q1
, p2
q2
, ..., pn
.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas assume que X1 +
X2 + ... + Xn = M e além disso
X1
p1
q1
= X2
p2
q2
= ... = Xn
pn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1
q1
= X2
p2
q2
= ... = Xn
pn
qn
qn
= X1 + X2 + ... + Xn
p1
q1
+ p2
q2
+ ... + pn
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes X1, X2 e X3 diretamente
proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6,
devemos montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de
X1 + X2 + X3 = 115 e tal que:
X1
1
4
= X2
2
5
= X3
3
6
= X1 + X2 + X3
1 2 3
+ +
4 5 6
= 115
23
20
qn
qn
= 100
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Seção 7 Regra de Sociedade 6
logo X1 = 1
4 (100) = 25, X2 = 2
5 (100) = 40 e X3 = 3
(100) = 50.
6
Exemplo: Determinar números X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 1,
10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2X1+3X2−4X3 =
10.
A montagem do problema fica na forma:
X1
1
2
= X2
10
4
= X3
2
5
= 2X1 + 3X2 − 4X3
1 30 8
+ −
2 4 5
A solução é X1 = 50
69 , X2 = 250
69 e X3 = 40
69 .
7 Regra de Sociedade
= 10
69
10
= 100
69
Regra de sociedade é um procedimento matemático para indicar a distribuição
de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, em que
os membros podem participar com capitais distintos e também em tempos
distintos. Os capitais dos participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os
respectivos tempos de participação de tais capitais por t1, t2, ..., tn.
Os pesos p1, p2, p3,..., pn dos participantes são diretamente proporcionais
aos produtos:
p1 = C1t1, p2 = C2t2, p3 = C3t3, ..., pn = Cntn
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 +C2 + ... +Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição
de um valor C diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Uma sociedade foi formada por três pessoas X1, X2 e X3, sendo
que X1 entrou com um capital de R$50.000 e nela permaneceu por 40
meses, X2 entrou com um capital de R$60.000 e nela permaneceu por 30
meses e X3 entrou com um capital de R$30.000 e nela permaneceu por 40
meses. Se o resultado (lucro ou prejuízo) da empresa após um certo período
posterior, foi de R$25.000, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
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Seção 7 Regra de Sociedade 7
Os pesos dos sócios são indicados em milhares para evitar muitos zeros nas
expressões dos pesos. Desse modo:
p1 = 50(40) = 2000, p2 = 60(30) = 1800, p3 = 30(40) = 1200
A montagem do problema estabelece que X1+X2+X3 = 25000 e além disso:
X1 X2 X3
= =
2000 1800 1200
A solução segue das propriedades das proporções:
X1 X2 X3
= =
2000 1800 1200 = X1 + X2 + X3
=
5000
25000
= 5
5000
Resultado: X1 = 5(2000) = 10000, X2 = 5(1800) = 9000 e X3 = 5(1200) = 6000.
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