CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL

CAPÍTULO 2
CÁLCULO VECTORIAL
2.1. Grandezas escalares e vectoriais.
Noção de Vector.
As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais.
As grandezas massa, comprimento, tempo ficam completamente
definidas pelo seu valor numérico e por uma unidade: 22 kg, por
exemplo. São grandezas escalares. As grandezas escalares combinamse
de acordo com as regras de álgebra ordinária.
Pelo contrário, a acção de um corpo sobre outro (uma força) só fica
caracterizada pelas suas intensidade, direcção e pelo seu sentido.
Trata-se de uma grandeza vectorial.
Os vectores são definidos como entes matemáticos que possuem
intensidade, direcção e sentido, e que se combinam segundo certas
regras específicas: a álgebra vectorial.
Representação gráfica
Considere-se o sistema
ortonormado representado na
figura. Os vectores representam-se
graficamente por segmentos
orientados.
Nos diagramas, escolhida uma
escala, o comprimento de um vector é proporcional ao seu módulo; a
direcção e o sentido do vector representam a direcção e o sentido da
grandeza em causa.
Estática 2003/04 – Pág. 10
ˆk
ˆj
î
r
P( xyz , , )

Vector livre / vector aplicado
Um vector utilizado para
representar uma força que actua
num determinado ponto material tem
bem definido o seu ponto de
aplicação, o ponto material. É um
vector aplicado; não pode ser
deslocado sem modificar as
condições do problema.
Outras grandezas físicas, e.g. os momentos, são representadas por
vectores que se podem deslocar paralelamente a si mesmos,
livremente no espaço. São vectores livres.
Finalmente, há ainda outras grandezas físicas, e.g. as forças actuantes
em corpos rígidos, que são representadas por vectores que se podem
deslocar ao longo da sua linha de acção. São vectores deslizantes.
Dois vectores P e P ’ de mesma intensidade, direcção e sentido são
ditos iguais quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação.
O vector oposto ou simétrico de um determinado vector P é definido
como sendo um vector com a mesma intensidade e direcção de P , e
sentido oposto ao de P . Representa-se por – P . Os vectores P e – P
são designados vectores directamente opostos.
A soma de dois vectores directamente opostos é o vector nulo, 0 .
P + (- P ) = 0
Estática 2003/04 – Pág. 11

2.2. Método gráfico de adição de vectores.
A adição de vectores efectuase
segundo a regra do
paralelogramo.
O vector soma é a diagonal do
paralelogramo.
Propriedades
Como o paralelogramo
construído com os vectores P e Q não depende da ordem segundo a
qual são tomados, verifica-se que a
adição de dois vectores é comutativa:
P + Q = Q + P
Ou alternativamente pela regra do
triângulo.
O vector soma obtem-se unindo a origem de
um vector com a extremidade do outro. (Propr. Comutativa)
Subtrair um vector é somar ao
primeiro vector o oposto do
segundo vector.
P - Q = P + (-Q )
Adição de três ou mais vectores
A adição de três ou mais vectores pode ser obtida pela aplicação
repetida da regra do paralelogramo ou do triângulo aos sucessivos
pares de vectores, até que todos os vectores tenham sido
substituídos por um único vector. Se os vectores iniciais forem
coplanares (i.e., contidos no mesmo plano), será facil obter a sua soma
graficamente.
Estática 2003/04 – Pág. 12

A adição de três vectores P , Q e S será, por definição, obtida pela
adição inicial dos vectores P e Q e, adicionando posteriormente S
ao vector P + Q
Aplicação sucessiva da regra do triângulo: regra do
polígono para a adição de vectores.
O resultado permanece inalterado se os vectores Q e S forem
substituídos pela sua soma Q + S , o que exprime o facto da adição
vectorial ser uma operação associativa:
P + Q + S = ( P + Q ) + S = P + ( Q + S )
A ordem pela qual os vários vectores são somados é irrelevante.
Estática 2003/04 – Pág. 13

Produto de um escalar por um vector
Define-se o produto kP , de um escalar k por um vector P , como
um vector com:
a mesma direcção e sentido de P (se k for positivo)
ou
direcção igual e sentido oposto ao de P (se k for negativo),
e em qualquer caso, a intensidade igual ao produto de P pelo valor
absoluto de k.
As propriedades e os resultados
apresentadas para vectores são
válidos para qualquer sistema de
vectores, em particular para os
vectores que representam forças.
Na sequência utilizaremos forças
físicas em vez de vectores com o
objectivo de tornar este curso mais intuitivo.
Resultante de várias forças concorrentes
Considere-se um ponto material A sujeito à acção de diversas forças.
Como todas elas passam pelo ponto A, são chamadas forças
concorrentes.
Pela utilização repetida da regra do paralelogramo (regra do polígono)
obtém-se o vector R , que representa a força resultante das forças
concorrentes, i.e. uma força única que produz o mesmo efeito que as
forças originais sobre o ponto material A.
regra do polígono
Estática 2003/04 – Pág. 14
ordem irrelevante

2.3. Componentes cartesianas de vectores.
Sistema de coordenadas cartesianas. Versores.
Se duas ou mais forças actuantes sobre um ponto material
podem ser substituídas por uma única força resultante,
reciprocamente, uma única força F que actua sobre um ponto
material pode ser substituída por duas ou mais forças que,
juntas, tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. A estas
forças chamamos componentes da força original F , e este
processo de substituição denomina-se decomposição da força
F em componentes.
Facilmente se verifica que para cada força F existe um número
infinito de conjuntos possíveis de componentes.
Contudo, na maioria dos problemas é conveniente decompor a
força em componentes normais entre si, que são as mais
utilizadas: as componentes rectangulares, onde um vector se
exprime como a soma de dois vectores perpendiculares entre si.
Estática 2003/04 – Pág. 15

Forças no Plano (2 dimensões):
A força F é decomposta nas componentes x F , segundo o eixo
Ox, e Fy , segundo o eixo Oy, no caso bidimensional. O
paralelogramo desenhado para obtenção das duas componentes
é um rectângulo, e x F e y F são denominadas componentes
cartesianas.
Nos casos que envolvem apenas duas dimensões (i.e., podem ser
formulados e resolvidos num plano) os eixos Ox e Oy são
escolhidos segundo duas direcções perpendiculares quaisquer,
escolhidas convenientemente para cada problema. Ao sistema
ortogonal de eixos chama-se Sistema de Coordenadas
Cartesianas 2-D.
Se definirmos agora dois vectores de intensidade ou módulo 1,
orientados respectivamente segundo os eixos Ox e Oy; são
denominados vectores unitários ou versores, e representados por
î e jˆ , respectivamente.
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Relembrando a definição do produto de um escalar por um vector
podemos então escrever
Fx
= Fxiˆ
= F ˆj
e então temos
onde os escalares x F e F y podem ser positivos ou negativos,
dependendo do sentido dos vectores Fx e y F coincidir ou não com
o sentido do vector unitário (i.e., do eixo) correspondente. Os
valores absolutos de x F e F y são respectivamente iguais às
intensidades das forças componentes Fx e y F .
Não esquecer: F x e F y componentes escalares da força F
Fx e y F componentes vectoriais de F
Denominando F a intensidade da força F e θ o ângulo entre F
e o eixo Ox , medido sempre a partir do semi-eixo positivo e no
sentido anti-horário, as componentes escalares de F
exprimimem-se como
e tem-se que
Fy y
F = Fx
+ Fy
= Fxiˆ
+ F ˆ
y j
F x = F cos θ e F y = F sin θ
2 2 2
F = Fx+ Fy
e tanq = Fy Fx
As relações obtidas são válidas para quaisquer ângulos θ entre
0º e 360º, que definem os sinais e os valores absolutos das
componentes escalares F x e F y .
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Forças no Espaço (3 dimensões):
Consideremos agora a força F aplicada na origem O do Sistema de
Coordenadas Cartesianas 3-D, x, y e z. Para definir a direcção de F ,
considera-se o plano OBAC que contém simultaneamente F e um eixo,
neste caso, o eixo vertical. O ângulo φ, que o plano OBAC forma com o
plano xOy, define a orientação do plano OBAC, enquanto que a direcção
de F nesse plano é definida pelo ângulo θy, que F forma com o eixo
Oy.
A força F é decomposta numa componente vertical y F , e numa
componente horizontal Fh . Temos uma força no plano OBAC, e
podemos escrever as componentes escalares
F y = F cos θy
F h = F sen θy
Mas Fh encontra-se no plano xOz, pelo que pode ser decomposta
em duas componentes cartesianas Fx e Fz , segundo os eixos
Ox e Oz, respectivamente. Tem-se então
F x = F h cos φ = F sen θy cos φ
F z = F h sen φ = F sen θy sen φ
Estática 2003/04 – Pág. 18

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD, pode
escrever-se
2
2
2
2 2 2
F = ( OA)
= ( OB)
+ ( BA)
= Fy
+ Fh
2
F h
donde se obtem
= OC = OD + DC = F + F
2
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) x z
F = F + F + F
Denominando θx e θz respectivamente os
ângulos que F forma com os eixos Ox e Oz,
podemos escrever
2
x
2
y
Estática 2003/04 – Pág. 19
2
z
F x = F cos θx
F y = F cos θy
F z = F cos θz
Os três ângulos θx, θy e θz definem a direcção da força F . Os cosenos
de θx, θy e θz são conhecidos por cosenos directores da força F , e
obtém-se como
cos θx = x F F cos θy = y
Introduzindo os vectores î , jˆ e kˆ ,
orientados segundo os eixos Ox, Oy e Oz,
respectivamente, a força F escreve-se
F = Fx
+ Fy
+ Fz
= Fxiˆ
+ F ˆ
y j + Fzkˆ
onde as componentes escalares x F , F y
e F z são definidas atrás.
Substituindo as componentes escalares
F x , F y e F z obtemos
F = F(
cosθ iˆ
cosθ
ˆj
cosθ
kˆ
) F ˆ
x + y + z = λ com
ˆ λ = cosθ
ˆ + cosθ
ˆj
+ cosθ
kˆ
xi
y
z
Força como produto de escalar F por vector
unitário da direcção de F .
F F cos θz = FzF triedro positivo de eixos
ortogonais

2.4. Método analítico de adição de vectores
Quando pretendemos adicionar três ou mais forças, torna-se
complicado obter uma solução gráfica, pelo que convém utilizar uma
solução analítica, através da decomposição de cada força nas suas
componentes cartesianas.
Se considerarmos, por exemplo, a acção de três forças complanares
sobre um ponto material, A.
Determinaremos a sua resultante, definida por i
i
pela soma das suas componentes cartesianas. R = Rx+ Ry.
Estática 2003/04 – Pág. 20
R = F = P+ Q+ S
Decompondo cada força nas suas componentes cartesianas, temos
ou seja
R = Rx + Ry = R ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
xi + Ry j = Pi x + Py j + Qi x + Qy j + Si x + Sy j =
= P + Q + S iˆ+ P + Q + S ˆj
Â
( x x x) ( y y y)
R = P + Q + S
R = P + Q + S
x x x x
y y y y
ou, de forma compacta, para o caso bidimensional,
RxFx R = Â
F
= Â y y
,

Genericamente, no espaço tridimensional, as componentes escalares
Rx, Ry e Rz da resultante R de várias forças que actuam sobre um
ponto material obtém-se pela adição algébrica das correspondentes
componentes escalares das forças iniciais.
( F i + F ˆj
+ F kˆ
) = ( F ) iˆ
+ ( F ) ˆj
+ ( F )kˆ
R
= Rx
+ Ry
+ Rz
= ∑ ˆ
x y z ∑ x ∑ y ∑ z
ou seja
R x = Fx
R y = ∑ Fy
R z = ∑ Fz
∑
O módulo da resultante R e os ângulos θx, θy e θz formados com os
eixos coordenados são obtidos analogamente:
2 2
R = Rx
+ Ry
+ R
e os cosenos directores da resultante R
cos θx = x R R cos θy = y
2.5. Produto escalar ou interno de dois vectores
O produto escalar ou interno de dois vectores, P e Q , é definido
como sendo o produto dos módulos de P e Q pelo coseno do ângulo θ
formado por P e Q (θ ≤180º).
Estática 2003/04 – Pág. 21
2
z
R R cos θz = z
P • Q =
PQ cosθ
R R
Muito importante: o resultado não é um vector, mas
um escalar.

Em termos das suas componentes cartesianas, o produto escalar de
dois vectores, P e Q , escreve-se
( Pxiˆ
+ P ˆ
y j + Pz
kˆ
) • ( Qxiˆ
+ Q ˆ
y j + Qzkˆ
) = PxQ
x + PyQ
y PzQ
z
P • Q =
+
e.g.
Estática 2003/04 – Pág. 22
(prop. distrib)
O produto escalar de dois vectores é comutativo, i.e.,
P • Q = Q • P
O produto escalar é também distributivo, i.e.,
P •
( Q1
+ Q2
) = P • Q1
+ P • Q2
Determinação do ângulo formado por dois vectores
Dados os mesmos vectores P e Q ,
escritos em termos das suas componentes:
= P iˆ
+ P ˆj
+ P kˆ
= Q iˆ
+ Q ˆj
+ Q kˆ
P x y z
Q x y z
igualando as expressões obtidas atrás para o seu produto escalar,
tem-se
que nos permite escrever
iˆ
• iˆ
= 1
iˆ
• ˆj
= 0
P • Q = PQcosθ
= P Q + P Q + P Q
x
cos
θ =
ˆj
• ˆj
= 1
ˆj
• kˆ
= 0
x
y
y
kˆ
• kˆ
= 1
kˆ
• iˆ
= 0
Px Qx
+ PyQ
y + PzQ
z
PQ
z
z

Projecção de um vector sobre um eixo
Consideremos um vector P que forma um
ângulo θ com um eixo ou recta orientada
OL. A projecção de P sobre o eixo OL é
definida como sendo o escalar
POL = P cosθ
.
Se considerarmos que o vector Q está
orientado segundo o eixo OL, o produto
escalar entre P e Q escreve-se
de onde se deduz
ou ainda
P • Q = PQcosθ
= POLQ
OL
P
OL
P • Q PxQ
= =
Q
x
+ PyQ
Q
Estática 2003/04 – Pág. 23
x
x
y
y
+ P Q
P = P • ˆ λ = P cosθ
+ P cosθ
+ P cosθ
2.6. Produto vectorial ou externo de dois vectores
O produto vectorial ou externo de
dois vectores, P e Q , representado
pela expressão matemática
V = P ×Q
é definido como sendo o vector V
que satisfaz as seguintes condições:
y
z
z
z
z

1. A linha de acção de V é perpendicular ao plano que contém os
vectores, P e Q ;
2. O módulo de V é o produto dos módulos de
P e Q pelo seno do ângulo θ formado
por P e Q (θ ≤180º).
Estática 2003/04 – Pág. 24
V =
PQsenθ
3. O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na extremidade de
V observará como sendo anti-horária a rotação θ que traz o vector
P sobre o vector Q . Os três vectores P , Q e V formam um
triedro positivo ou directo.
NOTA: Se P e Q não tiverem,
inicialmente, o mesmo ponto
de aplicação, deverão ser
colocados com as origens no
mesmo ponto.
Determinemos os produtos vectoriais dos diversos pares possíveis de
vectores unitários î , jˆ e k ˆ .
iˆ
× iˆ
= 0
iˆ
× ˆj
= kˆ
iˆ
× kˆ
= − ˆj
ˆj
× iˆ
= −kˆ
ˆj
× ˆj
= 0
ˆj
× kˆ
= iˆ
kˆ
× iˆ
=
ˆj
kˆ
× ˆj
= −iˆ
kˆ
× kˆ
= 0

Determinação do sinal do produto vectorial ou
externo de dois vectores unitários: será positivo
se se seguirem um ao outro no sentido antihorário
e negativo em caso contrário.
Em termos das suas componentes cartesianas, o
produto vectorial de dois vectores, P e Q , escreve-se
( ˆ ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ˆ
x y z x y z )
V = P¥ Q= Pi + P j + Pk ¥ Qi + Q j + Qk =
( ) ( ) ( ) ˆ
P ˆ ˆ
yQz PQ z y i PQ z x PQ x z j PQ x y PQ y x k
= - + - + -
(prop. distrib)
As componentes cartesianas do produto
vectorial V são então:
Estática 2003/04 – Pág. 25
V
V
V
x
y
z
=
P
y
z
x
Q
z
= P Q
x
= P Q
y
− P Q
z
− P Q
x
− P
O produto vectorial V pode ser expresso através de um determinante.
Da 3ª condição resulta que o produto vectorial não é comutativo:
Q × P = −
( P × Q)
A propriedade associativa também não se verifica no produto
vectorial. Em geral,
por exemplo:
( P × Q)
× S ≠ P × ( Q × S )
( iˆ
× ˆj
) × ˆj
≠ iˆ
× ( ˆj
× ˆj
)
Mas o produto vectorial é distributivo, i.e., verifica-se a seguinte
relação, de extrema importância neste curso de Estática:
P ×
( Q1
+ Q2
) = P × Q1
+ P × Q2
y
Q
y
z
x

2.7. Produto misto de três vectores
O produto misto de três vectores, S , P e Q , é definido como sendo
o produto escalar de S pelo produto vectorial de P e Q ; é dado pela
expressão
( P × Q)
PQ cosθ
S • =
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