LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – 2ª PROVA Parte I – Variáveis ... - ICEB
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Universidade Federal de Ouro Preto<br />
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas <strong>–</strong> Departamento de Matemática<br />
MTM 153 <strong>–</strong> Bioestatística <strong>–</strong> Turma 21<br />
Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara<br />
<strong>Parte</strong> I <strong>–</strong> <strong>Variáveis</strong> Aleatórias Discretas<br />
<strong>LISTA</strong> <strong>DE</strong> <strong>EXERCÍCIOS</strong> 2 <strong>–</strong> <strong>2ª</strong> <strong>PROVA</strong><br />
Questão 1 <strong>–</strong> Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois<br />
lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X :<br />
número de caras obtidas no experimento.<br />
Obtenha:<br />
a) A distribuição de probabilidade. d) E (X ) .<br />
b) A função de probabilidade. e) Interprete o valor E (X ) .<br />
c) O gráfico da função de probabilidade. f) V (X ) .<br />
Questão 2 <strong>–</strong> Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após<br />
alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso,<br />
ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de<br />
recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$<br />
0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as<br />
mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja X a variável aleatória ganho por<br />
muda produzida.<br />
Obtenha:<br />
a) A distribuição de probabilidade. d) E (X ) .<br />
b) A função de probabilidade. e) Interprete o valor E (X ) .<br />
c) O gráfico da função de probabilidade. f) V (X ) .<br />
Questão 3 <strong>–</strong> Uma comissão de formatura decide realizar uma rifa contendo 1500<br />
bilhetes que serão vendidos a R$ 2,00 cada. Serão sorteados 4 prêmios nos valores de<br />
R$ 500,00; R$ 250,00; R$ 150,00 e R$ 75,00. Você compra um bilhete.<br />
a) Qual o valor esperado do seu lucro?<br />
b) Interprete esse valor.
<strong>Parte</strong> II <strong>–</strong> Distribuição Binomial<br />
Questão 4 <strong>–</strong> Sabe-se que 60% dos camundongos inoculados com soro estão protegidos<br />
contra determinada doença. Se cinco camundongos são inoculados, determine a<br />
probabilidade de que:<br />
a) Nenhum contraia a doença. c) Mais de três contraiam a doença.<br />
b) Menos de dois contraiam a doença.<br />
Questão 5 <strong>–</strong> A probabilidade de que um paciente se recupere de uma delicada operação<br />
cardíaca é 0,9. Qual é a probabilidade de que exatamente cinco dos próximos sete<br />
pacientes operados se recuperem?<br />
Questão 6 <strong>–</strong> Um estudo examinou as atitudes nacionais relacionadas a antidepressivos e<br />
revelou que aproximadamente 70% acreditam que ‘os antidepressivos não curam nada,<br />
só mascaram os verdadeiros problemas’. De acordo com esse estudo, qual é a<br />
probabilidade de que pelo menos três das próximas cinco pessoas selecionadas<br />
aleatoriamente tenham essa mesma opinião?<br />
Questão 7 <strong>–</strong> Um importante médico afirma que 70% daqueles que sofrem de câncer de<br />
pulmão são fumantes inveterados. Se sua declaração estiver correta, determine a<br />
probabilidade de que:<br />
a) De dez pacientes recentemente internados num hospital para tratamento desse câncer,<br />
menos da metade seja fumante inveterado.<br />
b) De 20 pacientes recentemente internados num hospital para tratamento desse câncer,<br />
menos da metade seja fumante inveterado.<br />
Questão 8 <strong>–</strong> Se amostrarmos 500 casais (marido e esposa) com quatro filhos cada um,<br />
quantos casais nós esperamos que tenham:<br />
a) Pelo menos um filho homem? b) Exatamente dois filhos homens?
<strong>Parte</strong> III <strong>–</strong> Distribuição de Poisson<br />
Questão 9 <strong>–</strong> A variável aleatória Y tem densidade de Poisson com parâmetro 2 .<br />
Obtenha:<br />
a) PY ( 2) . c) PY ( 0) .<br />
b) P(2Y 4) . d) P( Y 1 | Y 3) .<br />
Questão 10 <strong>–</strong> A aplicação do fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 2<br />
m é feita<br />
mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura) de acordo com a<br />
2<br />
variável aleatória de Poisson de parâmetro 1<br />
por m . Uma chapa é sorteada ao<br />
acaso para ser inspecionada, pergunta-se a probabilidade de:<br />
a) Encontrarmos pelo menos 1 defeito.<br />
b) No máximo 2 defeitos serem encontrados.<br />
c) Encontrarmos de 2 a 4 defeitos.<br />
d) Não mais de 1 defeito ser encontrado.<br />
Questão 11 <strong>–</strong> Suponha que o número médio de carros abandonados semanalmente em<br />
uma rodovia seja igual a 2,2. Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que:<br />
a) Nenhum carro seja abandonado na semana que vem.<br />
b) Pelo menos dois carros sejam abandonados na semana que vem.<br />
Questão 12 <strong>–</strong> Na pintura de paredes aparecem defeitos na proporção média de um<br />
defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede<br />
2<br />
de 2 2 m ?<br />
Questão 13 <strong>–</strong> Numa central telefônica são atendidas 300 chamadas por hora. Qual a<br />
probabilidade de:<br />
a) Serem atendidas 2 chamadas num período de 2 minutos?<br />
b) Em t minutos, não acorrerem chamadas telefônicas?<br />
RESPOSTAS:<br />
Questão 1<br />
a) x 0 1 2 d) 0,8.<br />
p(x) 0,36 0,48 0,16 f) 0,48.<br />
Questão 2<br />
a) x <strong>–</strong>1 1,5 2,0 d) R$ 1,91.
p(x) 0,025 0,025 0,95 f) 0,23315 reais 2 .<br />
Questão 3 <strong>–</strong> Seja X a variável aleatória lucro obtido por um comprador.<br />
Distribuição de probabilidade:<br />
x <strong>–</strong> 2 73 148 248 498<br />
p(x)<br />
1496<br />
1500<br />
1<br />
1500<br />
1<br />
1500<br />
1<br />
1500<br />
1<br />
1500<br />
a) E(<br />
X ) x p(<br />
x)<br />
<br />
<strong>–</strong> R$ 1,35<br />
b) Como o valor esperado é negativo, você pode esperar perder R$ 1,35 por cada bilhete<br />
que comprar.<br />
Questão 4 a) 0,07776. b) 0,33696. c) 0,08704.<br />
Questão 5 0,1240.<br />
Questão 6 0,8369.<br />
Questão 7 a) 0,0474. b) 0,0171.<br />
Questão 8 a) 469. b) 188.<br />
Questão 9 a) 0,4060. b) 0,4511. c) 0,8647. d) 0,4000.<br />
Questão 10 a) 0,632. b) 0,920. c) 0,261. d) 0,736.<br />
Questão 11 a) 0,1108. b) 0,6454.<br />
Questão 12 Resp.: 0,1953.<br />
Questão 13 a) 0,00227. b)<br />
t<br />
e 5 <br />
.