Lista 2

Apostila de Exercícios de
Sistemas de Controle 1
Semestre 2 – 2012
Nome:_________________________________________________________________________
PRONTUÁRIO
1 2 3 4 5 6 7
Esta lista poderá ser utilizada como material de consulta durante as avaliações da disciplina.
Nos exercícios a seguir considere sempre β igual ao número composto pelo quarto e pelo quinto algarismos
da esquerda para a direita do seu prontuário. Exemplo 0963893 → β = 38 (Obs.: Se esse número for 00
faça β = 12). Escreva seu β no quadro a seguir:
Prof. Alexandre Brincalepe Campo
www.cefetsp.br/edu/brinca/engenharia.html

Prof. Alexandre Brincalepe Campo Sistemas de Controle I Lista de Exercícios 2 – semestre 2– 2012 β=____
7) A função de transferência que relaciona o ângulo dos defletores traseiros de um avião com o ângulo de
arfagem (“pitch”) resultante é dada, após linearização, por:
θ ( s)
( s + 0,
2)
F(
s)
= = 3 2
δ ( s)
( s + s + 1,
25s)
Foi projetado um compensador Gc(s) para o sistema em malha fechada que possui a seguinte função de
transferência:
Gc s)
= Gc1
( ( s)
= K
a) Desenhe um esboço detalhado do lugar geométrico das raízes do sistema acima.
- Identifique no plano complexo os pólos e zeros de malha aberta do sistema.
- Desenhe o LR no eixo real.
- Determine os ângulos das assíntotas e seu ponto de encontro.
- Sabe-se que não existem valores de K1 que instabilizam o sistema acima.
- Calcule o ângulo de partida do LR na região próxima aos pólos complexos do sistema.
- Faça um esboço do lugar das raízes sabendo que não existem pontos de partida no eixo real.
- Analise a veracidade da seguinte afirmação após o término da construção do seu Gráfico de Lugar
das Raízes: “O sistema possui comportamento de primeira ordem quando o ganho K1 é ajustado para
valores baixos.”
b) Faça uma discussão clara sobre os erros estacionários do sistema acima para as entradas
padronizadas degrau unitário (R(s)=1/s), rampa unitária (R(s)=1/s 2 ) e parábola unitária (R(s)=1/s 3 ).
c) Foi projetado um novo compensador Gc2(s) para o sistema em malha fechada. Calcule pc para
que o pólo s=-0,546 ± 1,2j pertença ao Lugar das Raízes, quando K2 é ajustado para 0,5.
G
c2
( s + 0,
5)
( s)
= K 2
( s + p )
d) O compensador do item c foi adicionado ao sistema para que este tenha uma maior estabilidade
relativa, pois os pólos de malha fechada se afastam do eixo complexo. Determine o novo ponto de encontro
das assíntotas quando é utilizado o compensador do item c.
e) Procurando aperfeiçoar as características de resposta em regime permanente do sistema, o
projetista adicionou um pólo na origem de um compensador de avanço de fase, substituindo o
compensador projetado no item c) por um novo, com esta função de transferência:
Gc 3
( s + 0,
5)
( s)
= K 3
s(
s + 2)
Determine para quais valores de K3 o sistema em malha fechada será estável.
c
1

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8) Dado o diagrama de blocos abaixo:
E sabendo que as funções de transferência F(s) e Gc(s) do sistema são dadas por:
G c
K(
s + 3)
( s)
=
s(
s + 10)
10
F ( s)
= 2
( s + 5s
+ 4)
a) Identifique no plano complexo os pólos e zeros de malha aberta do sistema.
b) Desenhe o LR no eixo real.
c) Determine os ângulos das assíntotas e seu ponto de encontro.
d) Existe algum valor de K que instabiliza o sistema acima? Qual?
e) Faça um esboço detalhado do Lugar Geométrico das Raízes do sistema descrito sabendo que o
ponto de partida no eixo real está localizado em -0,5.
f) O que se pode afirmar sobre o erro estacionário do sistema C(s)/R(s) para K=1 supondo entrada
degrau (R(s)=1/s), rampa (R(s)=1/s2 ) e parábola (R(s)=1/s3 )?
g) Para K = 1 os pólos dominantes do sistema estão posicionados em -0,5+/-0,7j. Faça um esboço da
resposta do sistema em malha fechada quando é aplicado um degrau unitário em sua entrada.
h) Substituindo o controlador acima por um compensador do tipo LEAD (Avanço de Fase) de segunda
ordem:
K c ( s + z )
Gc
( s)
=
s(
s + p
Foi adicionado um zero em -5 (zc = 5) e ajustado o ganho do compensador para 5,55. Calcule pc
para que o LR passe pelos pontos -0,563+/- 0,77j.
i) Foi adicionado um compensador de atraso de fase ao sistema original, levando a uma função de
transferência de malha aberta igual a:
K ˆ
c ( s + 3)
K atraso ( s + z
FTMA s)
=
s(
s + 10)
( s + p
Sendo:
zatraso=0,05
patraso=0.001
Katraso=1
Kc=0.942
atraso
( 2
atraso ) ( s
)
10
+ 5s
+
4)
Explique a utilidade deste controlador e apresente numericamente qual a vantagem obtida
ao adicioná-lo ao sistema.
2
c
2
c )

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9) Um sistema de controle em malha fechada possui o seguinte diagrama de blocos:
Sabe-se que:
2
( s + 20)
G ( s)
= K ,
c
c
2
s(
s + 100)
500(
s + 20)
F ( s)
= e H ( s)
= 1
2
s + 900
Construa o Lugar das Raízes do sistema acima respondendo aos seguintes itens:
a) Identifique no plano complexo os polos e zeros de malha aberta do sistema.
b) Desenhe o LR no eixo real.
c) Determine os ângulos das assíntotas e seu ponto de encontro.
d) Determine o ângulo de partida do lugar das raízes na região ao redor dos polos
complexos.
e) Existe algum valor de Kc que instabiliza o sistema acima? Justifique sua resposta.
f) Faça um esboço do lugar das raízes sabendo que os pontos de partida e de chegada
no eixo real são: -100 e -20.
g) Qual é a contribuição de ângulo do compensador de Avanço de Fase no ponto:
-16+33,8j?
h) Calcule o erro estacionário do sistema em malha fechada quando é aplicada uma
rampa unitária no sistema acima (R(s) = 1/s 2 ).
i) Adicionando o compensador de Atraso de Fase abaixo, qual será o novo erro
estacionário do sistema em malha fechada para a mesma entrada aplicada no item acima.
G atraso
( s)
( s + 0,
01)
=
( s + 0,
002)