Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>JURO</strong> <strong>COMPOSTO</strong><br />
No regime de capitalização simples, o juro produzido por um<br />
capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro,<br />
pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o<br />
montante correspondente ao período anterior.<br />
Já no regime de capitalização composto, o juro, a partir do<br />
segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior.<br />
Daí afirmamos que neste regime, “o juro rende juros”.<br />
A título de ilustração, comparemos a evolução de um capital<br />
de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, no regime de juro simples e<br />
juro composto.<br />
Regime de Juro simples Regime de Juro composto<br />
Mês Juro Montante Mês Juro Montante<br />
0 – 100,00 0 – 100,00<br />
1 100 x 0,02 x 1 = 2 102,00 1 100,00 x 0,02 x 1 = 2,00 102,00<br />
2 100 x 0,02 x 1 = 2 104,00 2 102,00 x 0,02 x 1 = 2,04 104,04<br />
3 100 x 0,02 x 1 = 2 106,00 3 104,04 x 0,02 x 1 = 2,08 106,12<br />
– Juro composto<br />
Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a<br />
partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período<br />
anterior.<br />
Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de<br />
cada período é somado ao capital que o produziu, passando os<br />
dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.<br />
– Cálculo do montante<br />
Consideremos, agora, um capital inicial C, aplicado em regime<br />
de juro composto à taxa i. Temos:
Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto.<br />
O fator (1+i) n é denominado fator de capitalização ou fator de<br />
acumulação de capital.<br />
Exemplo<br />
Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em<br />
regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.<br />
Obs.: A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro<br />
composto é a determinação do valor do fator de capitalização (1+ i) n .<br />
Entretanto, podemos contorná-la se nos valermos de uma calculadora científica<br />
ou de uma tábua financeira ou de logaritmos.<br />
Exercícios resolvidos<br />
01) Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao<br />
mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta.<br />
Qual o montante a ser devolvido?<br />
02) Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de<br />
3,5% ao mês, durante 35 meses.<br />
03) Calcule o montante de R$ 5.000,00, a juros compostos de<br />
2,25% ao mês, no fim de 4 meses.
– Cálculo do capital<br />
A fórmula do montante em regime de juro composto pode ser<br />
escrita como:<br />
O fator (1 + i) –n é denominado fator de descapitalização.<br />
Exercícios resolvidos<br />
01) Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao<br />
mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.<br />
02) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de<br />
R$ 3200,00, sem entrada, para pagamento em uma única<br />
prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa<br />
mensal cobrada pela loja?
03) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode<br />
ser quitado em um único pagamento de R$ 22,125,00, sabendo<br />
que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro<br />
composto.<br />
– Taxas proporcionais<br />
Sendo ia uma taxa anual e is, it, ib, im e id taxas,<br />
respectivamente, semestral, trimestral, bimestral, mensal e diária,<br />
temos:<br />
isto é:<br />
i<br />
is = a<br />
2<br />
i<br />
; it = a<br />
4<br />
i<br />
; ib = a<br />
6<br />
i<br />
; im = a<br />
12<br />
i<br />
e id = a<br />
360<br />
1 ia Assim, para um período do ano, a taxa proporcional será ,<br />
k<br />
k<br />
– Taxas equivalentes<br />
ia ik =<br />
k<br />
Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos<br />
de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo<br />
montante num mesmo tempo.<br />
Consideremos o seguinte problema:<br />
Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a<br />
um capital de R$1.000,00 empregado:<br />
1º) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano;<br />
2º) durante 12 meses, à taxa de 2º ao mês.
Como M12 ≠ M1 e as taxas empregadas (2%a.m. e 24%a.a.)<br />
são proporcionais, podemos concluir que:<br />
Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes<br />
– Cálculo da taxa equivalente<br />
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o<br />
montante produzido pelo capital C, à taxa anual ia, durante 1 ano,<br />
tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C,<br />
durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia.<br />
Temos, então:<br />
(1 + id) 360 = (1 + im) 12 = (1 + it) 4 = (1 + is) 2 = 1 + ia<br />
Exemplos<br />
01) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?<br />
02) Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?<br />
– Montante para períodos não-inteiros<br />
Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja<br />
um número inteiro. Neste caso, a fórmula fundamental não tem<br />
sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem<br />
formados apenas no fim de cada período de capitalização.<br />
Desse modo, a obtenção do montante para períodos nãointeiros<br />
só pode ser feita mediante convenções adicionais.
É comum serem adotadas duas convenções: a convenção<br />
linear e a convenção exponencial.<br />
Na convenção linear os juros do período não-inteiro são<br />
calculados por interpolação linear. Na convenção exponencial os<br />
juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa<br />
equivalente.<br />
Utilizaremos a convenção exponencial por ser mais lógica.<br />
Suponhamos um capital C, aplicado em regime de juro composto à<br />
p<br />
taxa i, durante o período n + , sendo p < q.<br />
q<br />
Pela convenção exponencial, o capital C renderá juros<br />
compostos à taxa i durante os primeiros n períodos. A seguir, seu<br />
montante Mn passará a render juros compostos à taxa iq<br />
1<br />
(equivalente à taxa i e relativa à fração do período) durante os p<br />
q<br />
1<br />
períodos iguais a .<br />
q<br />
Por dedução, chegamos, então, à fórmula:<br />
que nos dá o montante para períodos não-inteiros.<br />
Exemplo<br />
Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de<br />
47% ao ano, em 4 anos e 3 meses?<br />
– Taxa nominal<br />
n + p/q<br />
Mn + p/q= C.(1+i)<br />
Vimos que o juro só é formado no final de cada período.<br />
Entretanto, são freqüentes, na prática, enunciados do tipo:<br />
Juros de 48% ao ano capitalizados semestralmente<br />
Juros de 36% ao ano capitalizados mensalmente<br />
Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar<br />
de taxas nominais.
Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não<br />
coincide com aquele a que ela se refere.<br />
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.<br />
Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado<br />
uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por<br />
período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.<br />
Exemplo<br />
Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2<br />
anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente?<br />
– Taxa efetiva<br />
É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga<br />
não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva.<br />
Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos<br />
semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos, a taxa nominal.<br />
A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo,<br />
sendo if a taxa efetiva, temos:<br />
1 + if = (1 + 0,03) 2 ⇒ if = 1,06090 – 1 = 0,06090, isto é, a taxa<br />
efetiva é de 0,0609 a.a. ou 6,09% a.a.<br />
Assim, sendo:<br />
i a taxa nominal<br />
if a taxa efetiva<br />
k o número de capitalizações para um período da taxa<br />
nominal<br />
⎛ i ⎞<br />
ik a taxa por período de capitalização ⎜ik<br />
= ⎟<br />
⎝ k ⎠<br />
como if é equivalente a ik, temos:<br />
1 + if = (1 + ik) k<br />
i<br />
Mas ik =<br />
k<br />
⎛ i ⎞<br />
Logo: 1 + if = ⎜1<br />
+ ⎟⎠<br />
⎝ k<br />
k
Exemplo<br />
Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada<br />
semestralmente. Calcule a taxa efetiva.<br />
– Taxa real e taxa aparente<br />
Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas<br />
operações correntes.<br />
Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real;<br />
porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois<br />
componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente<br />
ao juro real.<br />
Sendo:<br />
C o capital inicial<br />
r a taxa real<br />
i a taxa aparente<br />
l a taxa de inflação<br />
podem acontecer os seguintes casos:<br />
• Com uma inflação igual a zero e uma taxa de juros r, o capital<br />
inicial se transformará, ao final de um período, em C(1+ r)<br />
• Com uma taxa de inflação l, o capital inicial, ao final de um<br />
período, equivalerá a C(1 + l)<br />
• Com uma taxa de juros r e uma taxa de inflação l,<br />
simultaneamente, o capital inicial equivalerá a C(1+ r)(1 + l) (a)<br />
• Com uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao<br />
final de um período, em C(1 + i) (b)<br />
Como (a) e (b) são expressões equivalentes, já que ambas<br />
traduzem o valor efetivamente recebido, temos:<br />
Daí<br />
C(1 + i) = C(1 + r)(1 + l)<br />
1 + i = (1 + r)(1 + l)
Exemplos<br />
01) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real<br />
de 0,8% a.m. e a uma inflação de 20% no período?<br />
02) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a<br />
resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%.<br />
Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação,<br />
nesse período, foi de 15%?