Resolução de 11 itens da ficha de preparação - Oficina de ...

Apresentação Apresentação dos dos Conteúdos Conteúdos e Objectivos para o 1º Teste de Avaliação de Matemática
Data da Realização :
____ / 10 / 2010
Duração: 90 minutos
Conteúdos
Equações do 2° grau:
-Incompletas.
-Completas.
-Fórmula resolvente.
Soma e produto das raízes
de uma equação;
Função quadrática
Material necessário: material de escrita (esferográfica de cor azul ou preto) e
máquina de calcular científica. Não é permitido o uso de tinta correctora.
Objectivos
-Traduzir Traduzir o enunciado enunciado de de um problema da da linguagem linguagem corrente corrente para linguagem matemática.
- Operar com polinómios.
- Aplicar os casos notáveis da multiplicação.
-Decompor Decompor um um binómio ou ou trinómio em em factores, factores, com com vista vista à à resolução resolução de equações.
equações.
- Resolver equações do do 2° 2° grau, procurando procurando utilizar utilizar o o processo mais adequado adequado a cada cada situação situação (lei do
do
anulamento do produto, fórmula fórmu resolvente, noção de raiz quadrada, , soma e produto das raízes de
uma equação ou o artifício do quadrado do binómio). binómio
-Interpretar Interpretar e e analisar analisar as as soluções soluções ou ou a a impossibilidade impossibilidade de de uma uma equação, equação, no contexto de de um
problema.
-Discutir, Discutir, apresentando argumentos, o processo usado na resolução de um problema.
- Resolver problemas problemas envolvendo equações equações do do 2º 2º grau grau (os problemas problemas de de geometria geometria estão estão incluídos)
incluídos)
- Reconhecer os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros, dos racionais, dos irracionais
Os Números Reais. e e dos reais reais e e das das diferentes formas formas de de representações representações dos dos elementos elementos desses conjuntos e das das relações
-Dízimas.
entre eles.
-Números irracionais.
-Relacionar Relacionar números reais com as dízimas que representam.
-Indicar Indicar valores aproximados aproxim de um dado número real, controlando o erro.
-Os números reais.
-Comparar Comparar números reais.
♠Deves também saber: Resolver Resolver problemas de de estratégia e e comunicar, comunicar, por por escrito, as as estratégias estratégias e e os os procedimentos procedimentos usados na
resolução de problemas. Em todas as questões, deves deve apresentar entar todas as justificações, explicações e os cálculos que sustentem a tua
resposta.
♠ Por onde deves estudar: caderno diário (de Matemática atemática e de Estudo Acompanhado), A
fichas de trabalho, manual adoptado e caderno
de actividades.
Preparação para o Teste de Avaliação
1. Resolve as seguintes equações, , aplicando a fórmula resolvente, apenas quando for rigorosamente necessário necessário:
2
2
a. 2x
+ 5 = 0 ⇔ 2x
2
2x
= −5
⇔
5
2
= − ⇔ x
5
= − S = { } Equação impossível
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2x
= ( x − 1)
⇔ 2x
= x − 2x
+ 1 ⇔ −x
x + 2x
+ 2x
− 1 = 0 ⇔ −x
+ 4x
− 1 = 0 ⇔ x − 4x
+ 1 = 0 ⇔ x − 4x
+ 4 = −1
+ 4 ⇔
b.
2
x − 2 = 3 ⇔ x − 2 = 3 ∨ x − = − 3 ⇔ x = 2 + 3 ∨ x = 2 − 3 S = 2 − 3 ; +
c.
d.
( ) 2
Nota: Esta equação resolveu-se se fazendo surgir no primeiro membro o quadrado de um binómio.
( x − 6)
17 ± 145
⇔ x =
2
⎧17 − 145
S =
2
⎨
⎩
;
Nota: ota: Quando a raiz quadrada não é um número inteiro, indicam-se indicam as soluções exactas.
1
x − =
2
14 ±
x =
⎨
⎩
( x − 3)
2
14
− 4
2 ×
⎧ − 14 + 44 − 14 −
S =
;
4
4
2 1 2
2
2
2
⇔ x − = x − 6x
+ 9 ⇔ 2x
− 1 = 2x
− 12x
+ 18 ⇔ −2x
+ 2x
+ 12x
− 1 − 18 = 0 ⇔ −2x
+ 14x
− 19 = 0 ⇔
2
× ( − 2)
× ( − 19)
( − 2)
44
⎫
⎬
⎭
Escola Secundária Secundár com 3ºCEB de Lousada
Ficha de Trabalho de Matemática do 9º ano - nº___ Data ____ ___ / ___ / 20 2010
Assunto: Preparação para o teste Lições nº ____ , ____, ____ e _____
17 +
⎫
⎬
⎭
{ 2
2 2
2
2
− − 17
= 5x
⇔ x − 12x
+ 36 = 5x
⇔ x − 12x
− 5x
+ 36 = 0 ⇔ x − 17x
+ 36 = 0 ⇔ x =
2
145
14 −
⇔ x
=
44 14 +
∨ x =
44
⇔ x =
− 14 +
− 4
− 4
4
(
3}
) ± ( − 17)
44
∨ x =
− 14 −
4
44
2 × 1
2
− 4 × 1 × 36

2
2. Considera a equação: x + x − 6 = 0 . Sem a resolveres, indica o seu conjunto-solução, justificando a tua resposta resposta.
Resposta: Nesta equação completa os coeficientes são: a = 1 ; b = 1 ; c = −6
. Então é necessário recorrer ecorrer à soma e ao produto das
raízes (soluções) de uma equação. Sendo, Soma = − b
c
e o Produto = , então a soma das soluções é -1 e o produto é -6. Teremos assim de
a
a
pensar em dois números cuja soma seja -1 e cujo produto seja
2
3. Considera a equação: x − 2x
− 5 = 0 Determina o valor do binómio discriminante. Quantas soluções oluções tem a equação equação?
2
Resposta: ∆ = b − 4ac
∆ = ( −
2
2)
− 4 × 1 × − 5 ⇔ ∆ = 2 + 20 ⇔ ∆ = Pelo facto do binómio discriminante
discriminante, ∆ , ser
um número maior do que zero (é positivo), itivo), a equação terá duas soluções reais diferentes.
4. O quadrado da soma de um número com três é igual ao dobro da sua soma com três. Qual é esse número?
Resposta: x → número desconhecido. Então,
2
x + 3 = 2 x + 3
2
( x + 3)
= 2(
x + 3)
2
2
2
2
⇔ x + 6x
+ 9 = 2x
+ 6 ⇔ x + 6x
− 2x
+ 9 − 6 = 0 ⇔ x + 4x
+ 3 = 0 ⇔ x + 4x
+ 4 = −3
+ 4 ⇔
2 ( x + 2)
= 1 ⇔ x + 2 = 1 ∨ x + 2 = − 1
Os números são -3 e -1.
5. Brincar com os números… Encontra dois números diferentes, sabendo que a sua soma é 21 e o seu produto é 104.
Resposta: Partindo da soma e do produto das raízes de uma equação e da sua relação com os coeficientes, podemos descobrir que:
2
a = 1 ; b = −21
; c = 104 . Logo a equação de 2º grau que se obtém, na forma canónica é x − 21x
+ 104 = 0
Utilizando a fórmula resolvente para determinar os números pedidos, vem:
−
x =
Os números são 8 e 13.
( − 21)
± ( − 21)
6. Um losango tem de área 16. . Sabendo que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor, determina com
aproximação às centésimas o valor do perímetro do losango.
Resposta: Sendo x → comprimento da diagonal menor e 2 x → comprimento da diagonal maior e sabendo que a
D × d
fórmula de cálculo da área de um losango é A = ,
2
2x
× x
fica: 16 =
2
2x
2
⇔ 16 =
2
2
⇔ 16 = x ⇔ x = 16 ∨ x = − 16 ⇔ x = 4 ∨ x = −4
S = − 4 ; 4
A diagonal menor mede 4 m e a diagonal maior mede 8 mm.
De seguida será necessário utilizar o Teorema de Pitágoras na determinação do comprimento do lado do losango
2
Então, l
2 2
= 2 + 4 ⇔ l = 20 . O perímetro ímetro será assim P = 4 × 20 ≈ 17,
89 cm
1
7. O número de ouro. Prova que φ = (1 +
2
Resposta: Resolvendo a equação
2
−
φ − φ − 1 = 0 ⇔ φ =
( − 1)
± ( − 1)
1 e cujo produto seja -6. Logo, = { − 3 ; 2}
S .
( ) 22
. Então, a equação que traduz o problema é: ( ) ( )
⇔ x = 1 − 2 ∨ x = −1
− 2 ⇔ x = −1
∨ x = −3
2
− 4 × 1 × 104 21 − 5 21 + 5
⇔ x = ∨ x = ⇔ x = 8 ∨ x = 13
2 × 1
2
2
5 ) .
( )
2
− 4 ×
1 × − 1 1 + 5 1 − 5
⇔ φ = ∨ φ = .
2 × 1
2
2
8. Do cimo de uma torre de um castelo junto ao mar é largada uma bola. A distância ao nível da água do mar, d, em
2
metros, é dada, aproximadamente, pela fórmula:
d = 40 − 5t
, em que t representa o tempo de queda do corpo, em
segundos.
a. O que representa o valor 40 na fórmula? Resposta: 40 metros é a altura da torre em relação ao nível do mar. Ou seja,
no instante em que a bola é largada, esta encontra-se encontra a 40 metros de altura.
b. Ao fim de um segundo de ser largada a que distância se encontrava a bola do nível do mar? Resposta: Substituindo, na fórmula
2
dada, t por 1,5, fica: d = 40 − 5 × 1 ⇔ d = 35 m
S =
{
{ }
φ =
1 +
− 3;
−1
S =
2
}
{ 8 ; 13}
5 1
=
2
4 m
( 1 + 5)
2 m

c. Ao fim de 1,5 segundos que distância tinha a bola percorrido? Resposta: Substituindo, ndo, na fórmula dada dada, t por 1, fica:
2
d = 40 − 5 × 1,
5 ⇔ d = 28,
75 m . Se ao fim de 1,5 segundos a bola estava a 28,75 metros do nível do mar, percorreu
40 − 28,
75 =
11,
75
d. Resolve a equação
m
Resposta:
2
20 = 40 − 5t
2
2
2
⇔ 5t
+ 20 − 40 = 0 ⇔ 5t − 20 = 0 ⇔ t
20
= ⇔ t = 2 ∨ t = −2
S =
5
− 2;
2 e interpreta a solução no
contexto do problema. Significa que a bola vai encontrar encontrar-se a 20 metros de altura ao fim de 2 segundos.
e. Determina, com aproximação às décimas, o tempo que a bola levou a cair no mar.
2
Resposta: A bola quando atingir o nível do mar, encontra-se encontra a 0 metros de altura. Logo, basta resolver a equação 0 = 40 − 5t
2 2
2 2 40
0 = 40 − 5t
⇔ 5t
− 40 = 0 ⇔ 5t
= 40 ⇔
t = ⇔ t = 8 ∨ t = − 8 ⇔ t ≈ 2,
8
5
9. Determina K de modo que a equação 2
x − 12 x + k = 0 tenha uma raiz dupla. Resposta: Para ter uma solução dupla é necessário
2 2
que o binómio discriminante seja 0 (zero). Então, sendo ∆ = b − 4ac
, fica ( − 12) − 4 × 1 × k = 0 ⇔ 144 − 4k
= 0 ⇔ k = 36 . A
2
equação ficaria então, x − 12x
+ 36 = 0
10. Ao adicionarmos oito unidades ao quadrado rado do do número de gatos que a Catarina tem, obtemos obtemos o o sêxtuplo sêxtuplo do do número de gatos.
Quantos gatos tem a Catarina?
2
Resposta: Sendo x → o número de de gatos que a Catarina tem, tem a equação que traduz o problema, fica: 8 + x = 6x
2
8 + x
Resolvendo a equação
2
2
= 6x
⇔ x − 6x
+ 8 = 0 ⇔ x − 6x
+ 9 = −8
+ 9 ⇔
x = 4 ∨ x = 2 S = 2 , 4
O problema tem duas soluções: A Catarina pode ter 2 gatos mas também pode ter 4 gatos.
Nota: Esta equação foi resolvida fazendo surgir no primeiro membro o quadrado de um binómio.
11. A figura representa um quadrado. Determina o valor de x .
Resposta: É de referir que os lados de um quadrado são todos iguais, por isso,
2 2 2 2
2
2x + 3 = 5x
+ 3 ⇔ 2x
− 5x
= 0 ⇔ −3x
Cada lado do quadrado mede 3 unidades.
{ }
= 0 ⇔ x =
0
( x − 3)
segundos.
{ }
2
= 1 ⇔ x − 3 = 1 ∨ x
− 3 = −1
⇔