3ª série EM - Análise Combinatória - Unificado

AN¡LISE COMBINAT”RIA
ARRANJO SIMPLES FORMUL¡RIO
ALTERA A ORDEM
ALTERA O AGRUPAMENTO
Disciplina: Matem·tica
SÈrie: 3EM - 4 BIMESTRE
Professor: Gilson
Assunto: An·lise CombinatÛria
Am, p m( m 1) ( m 2) ( m 3)...( m p 1 )
A
m, p
ou
m!
( m p)!
PERMUTA«’ES SIMPLES PERMUTA«’ES COM REPETI« O:
Pm = Am,m = m!
P
a, b, c,..., k !
m
COMBINA«’ES SIMPLES FORMUL¡RIO
ALTERA A ORDEM
N O ALTERA O AGRUPAMENTO
m
a!. b!. c!..... k!
C
m!
mp ,
p!.( mp)! ou
Am,
p
Cm,
p
p!
1

Importante: COMBINA«’ES COMPLEMENTARES
Exemplo: C
17
C
3
20 20
TESTES:
p m p
Cm Cm
01) Numa cidade os telefones s„o dados por n˙meros de sete algarismos. O prefixo de um bairro È
42. Nesse bairro, o n˙mero de telefones possÌveis, com todos os algarismos distintos, È:
(A) 40.320
(B) 30.320
(C) 10.720
(D) 8.320
(E) 6.720
02) Quantos n˙meros Ìmpares, de algarismos diferentes, situados entre 2.000 e 4.000, podem ser
formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ?
(A) 100
(B) 120
(C) 180
(D) 240
(E) 360
03)(UFRGS) - Os n˙meros dos telefones de uma cidade s„o constituÌdos por 6 dÌgitos. Sabendo que o
primeiro dÌgito nunca pode ser zero e que os n˙meros dos telefones passar„o a ser de 7 dÌgitos, o
aumento possÌvel na quantidade dos telefones ser·:
(A) 81.10 3
(B) 90.10 3
(C) 81.10 4
(D) 81.10 5
(E) 90.10 5
04)(CEFET-PR) - Dentre as permutaÁıes das letras da palavra TRI¬NGULO, o n˙mero das que
comeÁam por vogal È:
(A) P9
(B) P8
(C) 2.P 8
(D) 4.P8
(E) P4.P8
2

05) O n˙mero de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA È:
(A) 120
(B) 60
(C) 30
(D) 20
(E) 10
06)(PUCSP) - Quantas matrizes quadradas de ordem 3 podem ser formadas, usando os n˙meros 1,
2, 3 e seis zeros ?
(A) 84
(B) 120
(C) 504
(D) 720
(E) 3024
07) O n˙mero de tri‚ngulos que podem ser traÁados utilizando-se 12 pontos de um plano, n„o
havendo 3 pontos em linha reta, È:
(A) 4.368
(B) 220
(C) 180
(D) 144
(E) 48
08)(PUCRS) - Numa reuni„o de jovens, h· 10 rapazes e 5 garotas. O n˙mero de grupos de 5 jovens
que poderiam ser formados, tendo cada grupo no m·ximo 1 rapaz È:
(A) 42
(B) 50
(C) 51
(D) 84
(E) 102
09)(UFRGS) - Um professor organizou uma lista com 4 questıes de Geometria e 6 de ¡lgebra, da
qual indicou um conjunto diferente de 7 questıes para cada um de seus alunos resolver. O n˙mero de
alunos que recebeu todas as questıes de Geometria para resolver È, no m·ximo, de
(A) 15
(B) 20
(C) 35
(D) 42
(E) 120
3

10)(FGV-SP) - Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15
elementos, encontram-se em um certo local de um paÌs distante. Se todas as pessoas de um grupo
cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o n˙mero de cumprimentos ser· igual a:
(A) 35
(B) 300
(C) 595
(D) 1190
(E) 1200
11)(UFRGS) - De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C
existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem tambÈm 6 caminhos. Quantos caminhos
existem para ir do ponto A ao ponto D ?
(A) 17
(B) 30
(C) 180
(D) 680
(E) 4080
TESTES COMPLEMENTARES
12) Quantos n˙meros de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4
e 5 ?
(A) 60
(B) 240
(C) 300
(D) 360
(E) 420
13)(PUCRS) - Uma pessoa deseja viajar por via rodovi·ria de uma cidade A para uma cidade B,
passando obrigatoriamente por 2 outras cidades X e Y. Existem 3 estradas que ligam A a X, 4
estradas ligando X a Y e 2 estradas de Y a B. O n˙mero total de trajetos, nestas condiÁıes, ligando A
a B, È:
(A) 9
(B) 14
(C) 18
(D) 24
(E) 29
14) O n˙mero de permutaÁıes distintas possÌveis com as oito letras da palavra PARALELA,
comeÁando todas com a letra P, ser· de:
(A) 24
(B) 120
(C) 360
(D) 420
(E) 720
4

15)(FUVEST) - Num programa transmitido diariamente, uma emissora de r·dio toca sempre as
mesmas 10 m˙sicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possÌveis seq¸Íncias
dessas m˙sicas ser„o necess·rios aproximadamente:
(A) 100 dias
(B) 10 anos
(C) 1 sÈculo
(D) 10 sÈculos
(E) 100 sÈculos.
16)(UFRGS) -Para colocar preÁos em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema
simplificado de cÛdigo de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaÁos. Podem ser
usadas linhas de trÍs larguras possÌveis e espaÁos de duas larguras possÌveis. O n˙mero total de
preÁos que podem ser representados por esse cÛdigo È
(A) 1440.
(B) 2880.
(C) 3125.
(D) 3888.
(E) 4320.
17)(UFSM) - No Brasil, as placas dos automÛveis ser„o formadas por 3 letras e 4 algarismos.
Considerando que nosso alfabeto tem 26 letras, o n˙mero de placas diferentes possÌveis, sem que
haja repetiÁ„o de letras e algarismos, È
(A) 26 3 x 10 4
(B) 26 x 25 x 24 x 10 4
(C) 3 x 26 x 4 x 10
(D) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7
(E) 26 3 x 10 x 9 x 8 x 7
18)(PUCRS) Formam-se todos os n˙meros compreendidos entre 2000 e 3000, com algarismos
distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5. O total de n˙meros assim formados È
(A) 24
(B) 48
(C) 60
(D) 120
(E) 240
19)(UFRGS) - O n˙mero m·ximo de quadril·teros com vÈrtices em 8 pontos distintos marcados em
um cÌrculo È:
(A) 24
(B) 70
(C) 840
(D) 350
(E) 1680
5

20)(PUC) - Em um plano h· 11 pontos, sendo que apenas 5 est„o em linha reta. O n˙mero de
tri‚ngulos distintos que se pode formar unindo-se 3 quaisquer desses pontos È:
(A) 165
(B) 155
(C) 145
(D) 135
(E) 125
21)(PUC) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se os n˙meros possÌveis de 3 algarismos
distintos. Dentre esses, os divisÌveis por 2 s„o em n˙mero de:
(A) 24
(B) 36
(C) 40
(D) 54
(E) 60
22)(PUC) - O n˙mero de fraÁıes diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formadas com os
n˙meros 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23 È:
(A) 35
(B) 42
(C) 49
(D) 60
(E) 120
23)(UFRGS) - Um trem de passageiros È constituÌdo de uma locomotiva e 6 vagıes distintos, sendo
um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir ‡ frente, e que o vag„o restaurante n„o
pode ser colocado imediatamente apÛs a locomotiva, o n˙mero de modos diferentes de montar a
composiÁ„o È:
(A) 120
(B) 320
(C) 500
(D) 600
(E) 720
24)(MACK) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetiÁ„o, pode-se escrever x n˙meros maiores
que 2500. Calcule x.
(A) 79
(B) 120
(C) 162
(D) 198
(E) 240
6

25)(UECE) - A quantidade de n˙meros inteiros compreendidos entre os n˙meros 1000 e 4500 que
podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que n„o figurem algarismos
repetidos, È:
(A) 48
(B) 54
(C) 60
(D) 72
(E) 90
26)(UFRGS) O n˙mero de circunferÍncias do plano cartesiano que contÈm trÍs pontos do conjunto {
(0,0) , (1,1) , (3,3) , (4,4) , (2,0) , (2,3) , (3,1) } È
(A) 4
(B) 31
(C) 35
(D) 186
(E) 221
27)(UFRGS) - Com os algarismos Ìmpares pode-se formar n n˙meros maiores que 200 e que tenham
apenas trÍs algarismos distintos. O valor de n È
(A) 10
(B) 48
(C) 60
(D) 72
(E) 96
28)(UFRGS) - Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 ser· selecionado para uma viagem. De
quantas maneiras distintas este grupo poder· ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 s„o
irm„os e sÛ poder„o viajar se estiverem juntos ?
(A) 30.240
(B) 594
(C) 462
(D) 408
(E) 372
29)(PUCRS) - O maior n˙mero de retas definidas por 12 pontos dos quais 7 s„o colineares È
(A) 44
(B) 45
(C) 46
(D) 90
(E) 91
7

30)(UFRGS) - O n˙mero de m˙ltiplos de trÍs, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3 , 4 ,
6 , 8 e 9 È
(A) 24
(B) 36
(C) 48
(D) 72
(E) 96
31)(UFRGS) - No sistema de emplacamento de veÌculos que comeÁa a ser implantado, as placas tÍm
3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas. Usando apenas as vogais, o n˙mero m·ximo de
prefixos È
(A) 15
(B) 35
(C) 60
(D) 90
(E) 125
32)(UFRGS) - O n˙mero m·ximo de tri‚ngulos que se pode obter quando se escolhem, para seus
vÈrtices, 10 pontos distintos, sobre uma elipse, È
(A) 40
(B) 60
(C) 120
(D) 300
(E) 720
33)(PUCRS) - Num torneio internacional de voleibol participam 5 paÌses, cada um com uma seleÁ„o e
um juiz. Levando em conta que todos os times devem se confrontar duas vezes e que os juÌzes n„o
podem apitar as partidas das quais o seu paÌs participa, o n˙mero m·ximo de partidas que um juiz
apita no torneio È
(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10
(E) 6
8

TEORIA DAS PROBABILIDADES
Em um experimento aleatÛrio chamamos de n(U) o n˙mero de elementos do espaÁo amostral e de
n(A) o n˙mero de um determinado evento. A probabilidade de ocorrÍncia do evento A ser·
representada por P(A) e calculada por:
TESTES:
n( A)
P( A)
n( U)
01)(FGV) - Uma urna contÈm 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a
probabilidade de que o n˙mero observado seja m˙ltiplo de 8 È:
(A) 3/25
(B) 7/50
(C) 1/10
(D) 8/50
(E) 1/5
02) No lanÁamento de um dado n„o viciado o resultado foi um n˙mero maior do que 3, qual È a
probabilidade de esse ser um n˙mero par ?
(A) 1/6
(B) 1/2
(C) 1/3
(D) 2/5
(E) 2/3
03) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 s„o sÛcios de um clube A, 300 de um clube B e 200
de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sÛcia de A ou
de B ?
(A) 75%
(B) 60%
(C) 50%
(D) 45%
(E) 30%
04) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro
jogadas ?
(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 1/8
(D) 1/16
(E) 1
9

05)(UPF) - Uma urna contÈm 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas.
Ent„o a probabilidade das bolas serem da mesma cor, È:
(A) 1/7
(B) 2/7
(C) 3/7
(D) 4/7
(E) 5/7
06)(CESGRANRIO) - Um prÈdio de trÍs andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas trÍs
apartamentos ocupados. A probabilidade de cada um dos trÍs andares tenha exatamente um
apartamento ocupado È:
(A) 2/5
(B) 3/5
(C) 1/2
(D) 1/3
(E) 2/3
07)(VUNESP) - Dois jogadores, A e B v„o lanÁar um par de dados. Eles combinam que, se a soma
dos n˙meros dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B È quem ganha. Os dados s„o
lanÁados. Sabe-se que A n„o ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?
(A) 10/36
(B) 5/32
(C) 5/36
(D) 5/35
(E) n„o se pode calcular sem saber os n˙meros sorteados
08) Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comiss„o,
qual a probabilidade de que essa comiss„o seja formada por 2 homens e 1 mulher?
(A) 3 56
(B) 9 56
(C) 15 56
(D) 27 56
(E) 33 56
10

09)(UFRGS) - Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, trÍs pessoas s„o
escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres È de
(A) 25%.
(B) 30%.
(C) 33%.
(D) 50%.
(E) 60%.
10)(UFRGS) - Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias est„o misturados. Retirando-se ao
acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par È de
(A) 1/10.
(B) 1/9.
(C) 1/5.
(D) 2/5.
(E) 1/2.
11)(UFRGS) - As m·quinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos
defeituosos produzidos, respectivamente, pelas m·quinas A e B È de 15% e de 5%. Foram
misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um
parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela m·quina A È
de
(A) 10%
(B) 15%
(C) 30%
(D) 50%
(E) 75%
12) Uma urna contÈm 10 bolas numeradas de 1 a 10. S„o sorteadas duas bolas sem reposiÁ„o e
verifica-se que o n˙mero da primeira È maior do que o n˙mero da segunda. Qual a probabilidade de
que esses n˙meros sejam consecutivos?
(A) 2 39
(B) 4 39
(C) 2 13
(D) 4 13
(E) 6 13
11

TESTES COMPLEMENTARES
13)(FUVEST - SP) - Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a
probabilidade de que ele seja primo È:
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/5
(E) 1/6
14)(VUNESP - SP) - Numa gaiola est„o 9 camundongos rotulados , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se
conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos tÍm igual possibilidade de serem escolhidos) , a
probabilidade de que na seleÁ„o ambos os camundongos tenham rÛtulo Ìmpar È:
(A) 0,3777...
(B) 0,47
(C) 0,17
(D) 0,2777...
(E) 0,1333...
15)(FEI-SP) - Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos.
Cento e vinte responderam ìsimî a ambas; 300 responderam ìsimî ‡ primeira; 250 responderam ìsimî
‡ segunda e 200 responderam ìn„oî a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual È a
probabilidade de ele ter respondido ìn„oî ‡ primeira pergunta?
(A) 1/7
(B) 1/2
(C) 3/8
(D) 11/21
(E) 4/25
16)(FATEC-SP) - Considere todos os n˙meros de cinco algarismos distintos obtidos pela permutaÁ„o
dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses n˙meros, ao acaso, a probabilidade de ele ser
um n˙mero Ìmpar È:
(A) 1
(B) 1/2
(C) 2/5
(D) 1/4
(E) 1/5
12

17)(F . Objetivo - SP) - Uma urna contÈm apenas 10 bolas. Essas bolas s„o de diversas cores, e
somente 4 s„o brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e
em seguida retira-se outra bola, sem reposiÁ„o da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que
n„o sejam ambas brancas È:
(A) 2/15
(B) 13/15
(C) 1/3
(D) 3/5
(E) 2/9
18)(EFOA-MG) - Uma pessoa tem em m„os um chaveiro com 5 chaves parecidas, das quais apenas
uma abre determinada porta. Escolhe uma chave ao acaso, tenta abrir a porta, mas verifica que a
chave escolhida n„o serve. Na segunda tentativa, com as chaves restantes, a probabilidade de a
pessoa abrir a porta È de:
(A) 20%
(B) 25%
(C) 40%
(D) 75%
(E) 80%
19)(U.C.SALVADOR) - das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% tÍm nÌvel
universit·rio e 60% s„o do sexo masculino. Se 25% do n˙mero de mulheres tÍm nÌvel universit·rio, a
probabilidade de selecionar-se um funcion·rio dessa empresa que seja do sexo masculino e n„o
tenha nÌvel universit·rio È:
(A) 5/12
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 1/5
(E) 5/36
20)(F .Maring· - PR) - Um n˙mero È escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade
de o n˙mero escolhido ser primo ou quadrado perfeito È:
(A) 1 5
(B) 2 25
(C) 4 25
(D) 2 5
(E) 3 5
13

21)(FASP) - Um colÈgio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam Matem·tica , 80 estudam FÌsica , 100
estudam QuÌmica , 20 estudam Matem·tica , FÌsica e QuÌmica , 30 estudam Matem·tica e FÌsica , 30
estudam FÌsica e QuÌmica e 50 estudam somente QuÌmica. A probabilidade de um aluno , escolhido
ao acaso , estudar Matem·tica e QuÌmica È:
(A) 1/10
(B) 1/8
(C) 2/5
(D) 5/3
(E) 3/10
22)(CESCEM-SP) - De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matem·tica, FÌsica e
QuÌmica, sabe-se que:
1) 30 destinam-se ‡ Matem·tica e, destes, 20 s„o do sexo masculino;
2) o total de alunos do sexo masculino È 50, dos quais 10 destinam-se ‡ QuÌmica;
3) existem 10 moÁas que se destinam ao curso de QuÌmica.
Nestas condiÁıes, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se que È do sexo
feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matem·tica vale:
(A) 1 5
(B) 1 4
(C) 1 3
(D) 1 2
(E) 1
23)(UFRGS) - Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os
dados s„o lanÁados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos n˙meros sorteados seja 5 È
(A) 1
15 .
(B) 2
21 .
(C) 1
12 .
(D) 1
11 .
(E) 1
9 .
14

24)(ENEM) ñ As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino MÈdio h· 10 anos se
encontraram em uma reuni„o comemorativa. V·rias delas haviam se casado e tido filhos. A
distribuiÁ„o das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, È mostrada no gr·fico abaixo.
Um prÍmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a crianÁa
premiada tenha sido um(a) filho(a) ˙nico(a) È
(A) 1 3 .
(B) 1 4 .
(C) 7 15 .
(D) 7 23 .
(E) 7 25 .
GABARITOS
AN¡LISE COMBINAT”RIA
01) E 04) D 07) B 10) B 13) D 16) D 19) B 22) B 25) C 28) E 31) E
02) D 05) E 08) C 11) C 14) D 17) D 20) B 23) D 26) B 29) C 32) C
03) D 06) C 09) B 12) C 15) E 18) A 21) A 24) D 27) B 30) D 33) C
TEORIA DAS PROBABILIDADES
01) A 04) D 07) B 10) B 13) C 16) C 19) B 22) A
02) E 05) C 08) D 11) E 14) D 17) B 20) E 23) E
03) C 06) A 09) E 12) C 15) D 18) B 21) A 24) E
15