Estatistica Inf - Probabilidade

PROBABILIDADE
Prof. Weber Campos
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1. CONCEITOS INICIAIS
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PROBABILIDADE
Ocorre que a Teoria da Probabilidade faz uso de uma nomenclatura própria, de modo que há três
conceitos fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer: Experimento Aleatório,
Espaço Amostral e Evento.
# Experimento Aleatório: é o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as mesmas
condições, podem apresentar resultados diferentes.
Exemplos de experimento aleatório:
à lançar um dado e observar o resultado;
à lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas;
à selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe.
# Espaço Amostral: é nada mais, senão o “conjunto dos resultados possíveis” de um Experimento
Aleatório.
Designaremos o Espaço Amostral por “S”. Consideremos os exemplos abaixo, e determinemos os
respectivos espaços amostrais:
a) lançar um dado, e observar a face de cima.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) lançar duas moedas e observar as faces de cima.
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }
c) lançar duas moedas e observar o número de caras.
S = {0, 1, 2}
d) Verificar, uma a uma, o número de peças defeituosas em um lote de 15 peças.
S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15}
O terceiro conceito essencial ao estudo da Probabilidade é o conceito de Evento.
# EVENTO: um evento será um subconjunto do Espaço Amostral. Designaremos um evento por uma letra
maiúscula.
Diremos que ocorreu um evento A, quando o resultado do Experimento Aleatório for pertencente
ao subconjunto A.
Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo:
à Experimento Aleatório: lançar um dado e observar a face para cima.
à Espaço Amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} à n(S) = 6
à Evento A: obter um resultado par no lançamento do dado.
A = { 2, 4, 6 } à n(A)=3
à Evento B: obter um múltiplo de 2 no lançamento do dado.
B = { 2, 4, 6 } à n(B)=3
à Evento C: obter um resultado maior ou igual a 7 no lançamento do dado.
C = { } (ou seja: vazio!) à n(C)=0
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento impossível”!
à Evento D: obter um resultado menor do que 7 no lançamento do dado.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espaço amostral) à n(D)=6
Quando isso acontecer, estaremos diante de um “evento certo”!
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2. FÓRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE
à Fórmula da Probabilidade: a probabilidade de ocorrência de um evento “X”, dado determinado
experimento aleatório, e considerando que cada elemento do espaço amostral deste experimento tem a
mesma probabilidade, será calculada por:
Prob(X) = n(X) = número de resultados favoráveis ao evento X
n(S) número de resultados possíveis
Onde: à n(S) é o número de elementos do espaço amostral do experimento; e
à n(X) é o número de elementos do evento X.
Como dissemos, a fórmula acima é aplicável quando os elementos do espaço amostral tiverem a
mesma probabilidade. Por exemplo, num lançamento de uma moeda “honesta” (não viciada), com faces
cara e coroa, essas duas faces têm a mesma chance de serem sorteadas, daí terão a mesma
probabilidade. No entanto, se tivermos uma moeda viciada, a chance de sorteio de uma das faces é maior
que a da outra, daí as probabilidades das faces serão diferentes.
Portanto, podemos usar a fórmula da probabilidade supracitada para o primeiro caso (o da moeda
honesta), mas, para o segundo caso (o da moeda viciada), não é possível.
3. TEOREMAS DA PROBABILIDADE
Destacamos os seguintes teoremas:
1. O menor valor que a probabilidade de um evento pode ter é 0 (indicando que o evento é impossível) e o
maior valor é 1 (indicando que o evento certamente irá ocorrer). Então, em geral:
0 ≤ P(X) ≤ 1
2. A soma das probabilidades de cada elemento do espaço amostral é igual a 1.
No caso do lançamento de um dado, teremos, então, que:
à P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1
3. A probabilidade de ocorrência de um evento X somada com a probabilidade de não ocorrência desse
mesmo evento é igual a 1.
Prob(X ocorrer) + Prob(X não ocorrer) = 1
Dizemos que os eventos “X ocorrer” e “X não ocorrer” são eventos complementares. Portanto, a
soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1.
Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem ser representados como:
A
São também exemplos de eventos complementares:
à P(ganhar o jogo) + P(não ganhar o jogo) = 1
à P(réu inocente) + P(réu culpado) = 1
à P(cara) + P(coroa) = 1
à P(par no dado) + P(ímpar no dado) = 1
à P(a nota é no mínimo 2) + P(a nota é menor do que 2) = 1
à P(a nota é no máximo 9) + P(nota igual a 10) = 1
B
à P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1
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Esta relação será utilizada muitas vezes nas soluções de questões de probabilidade. Através
dela, podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir da probabilidade do evento
complementar. Por exemplo, se uma questão pede a probabilidade de ocorrer pelo menos uma cara no
lançamento de três moedas viciadas. É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, ou
seja, calcular P(nenhuma cara), pois só temos uma situação favorável, a qual é: (coroa, coroa, coroa).
Achada esta probabilidade, é só lançar na nossa relação para encontrar a probabilidade da ocorrência do
evento desejado na questão. Resolveremos exemplos deste tipo mais adiante.
4. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos, A e B, são independentes quando a ocorrência, ou não-ocorrência, de um deles não
afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Por exemplo, ao efetuarmos dois lançamentos sucessivos de uma moeda, os eventos “cara no
primeiro lançamento” e “coroa no segundo lançamento” são eventos independentes, uma vez que o
resultado do primeiro lançamento da moeda não afeta a probabilidade de ocorrência do resultado coroa
no segundo lançamento.
Porém, ao retirarmos duas cartas sem reposição de um baralho, os eventos “às na primeira
retirada” e “valete na segunda retirada” são eventos dependentes, porque ao retirarmos a primeira carta,
dada a ocorrência, ou não, do “ás”, o total de cartas do baralho sofrerá uma redução, alterando desta
forma a probabilidade da segunda carta.
E se retirarmos duas cartas com reposição, esses eventos serão independentes? Quando
repomos a carta retirada, o número de cartas de cada tipo (às, valete, dama,...) não se altera e nem, é
claro, o total de cartas. Desta forma, a probabilidade da segunda carta retirada não dependerá da primeira
carta, por conseguinte, os eventos são independentes!
Quando dois eventos, A e B, são independentes a probabilidade do evento B ocorrer dado que A
ocorreu, simbolizada por P(B|A), será sempre igual a P(B), porque, por definição, não existe relação entre
a ocorrência de tais eventos. Logo, temos a igualdade:
à Prob(B|A) = Prob(B)
Naturalmente, também teremos:
à Prob(A|B) = Prob(A)
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer simultaneamente.
Quer dizer que se um evento ocorreu, o outro certamente não ocorreu.
Por exemplo, em apenas dois lançamentos de uma moeda, os resultados possíveis são:
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) }
Os eventos “ocorrer duas caras” e “ocorrer duas coroas” são mutuamente exclusivos, pois eles não
podem ocorrer simultaneamente. Se um deles ocorre, o outro não ocorre. Mas os eventos “ocorrer
exatamente 1 cara” e “ocorrer exatamente 1 coroa” não são mutuamente exclusivos, pois se o resultado do
primeiro lançamento for cara e o resultado do segundo lançamento for coroa, já teremos uma situação em
que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo.
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se eles não podem ocorrer
simultaneamente (ou em termos de conjunto: A ∩ B = ∅), então teremos:
à P(A|B) = 0;
à P(B|A) = 0;
à Prob(A e B) = 0.
Dois eventos mutuamente exclusivos são representados graficamente por dois círculos sem
interseção.
Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado, e os seguintes eventos:
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Solução:
Evento A: “resultado no dado menor do que 3”
Evento B: “resultado no dado maior do que 4”
Evento C: “resultado no dado maior do que 1 e menor do que 6”
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C?
O conjunto dos resultados do evento A é: {1, 2}.
O conjunto dos resultados do evento B é: {5, 6}.
O conjunto dos resultados do evento C é: {2, 3, 4, 5}.
Observe que A e B não têm elementos em comum (A ∩ B = ∅). Logo os eventos A e B são
mutuamente exclusivos.
No entanto, temos elementos em comum entre A e C, e entre B e C. Logo “A e C” e “B e C” não
são mutuamente exclusivos.
A representação por diagramas de conjuntos para esses três eventos é:
Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos:
1) Evento A: “Em uma retirada, resultar um ás”
Evento B: “Em uma retirada, resultar um valete”
2) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninas”
Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer 2 meninos”
3) Evento A: “time do Inter ganhar”
Evento B: “time do Inter perder”
4) Evento A: “Em dois lançamentos, obter duas caras”
Evento B: “Em dois lançamentos, obter duas coroas”
5) Evento A: “o atleta brasileiro ganhar medalha de ouro”
Evento B: “o atleta brasileiro não ganhar medalha de ouro”
6) Evento A: “o número sorteado é ímpar”
Evento B: “o número sorteado é par”
A
7) Evento A: “No nascimento de 2 crianças, nascer pelo menos 1 menina”
Evento B: “No nascimento de 2 crianças, nascer nenhuma menina”
C
Existe, frequentemente, alguma confusão com respeito à distinção entre eventos mutuamente
exclusivos, eventos independentes e eventos complementares.
Se dois eventos são complementares, então certamente eles são mutuamente exclusivos; mas a
recíproca nem sempre é verdadeira. (Para dois eventos serem complementares, um evento deve ser a
negação do outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os três últimos (5, 6 e 7) são
eventos complementares.
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B

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Por que os eventos do terceiro exemplo da lista acima não são complementares? Para serem
complementares, a negação do evento A deveria ser o evento B; mas não é, pois a negação do “Inter
ganhar” é o “Inter perder ou empatar”.
E os eventos do segundo exemplo, por que não são complementares? A negação de “nascer 2
meninas” não é “nascer dois meninos”, e sim “nascer no máximo 1 menina” que inclui os resultados:
(menina, menino); (menino, menina); (menino, menino).
Dois eventos complementares ou dois eventos mutuamente exclusivos apresentam a mesma
característica de que não ocorrem simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um evento implica na nãoocorrência
do outro; enquanto eventos independentes são aqueles em que a probabilidade de ocorrência
de um, não é afetada pela ocorrência do outro. Portanto, os eventos complementares e os eventos
mutuamente exclusivos são altamente dependentes!
6. PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regra do “e”)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B é igual a:
à Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A)
Onde Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo que A já tenha ocorrido.
Se A e B forem eventos independentes (a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de
ocorrência do outro), então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada
pelo produto das probabilidades individuais! Assim, a regra do “e” fica simplificada para:
à Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B)
E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos (eventos que não podem ocorrer
simultaneamente, ou em termos de conjunto: A∩B=∅). Assim, no nascimento de uma criança, o evento
“nascer menina” e o evento “nascer menino” são mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um
deles, o outro não se realiza. Desta forma, a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será
igual a zero. Na notação simbólica, teremos:
à Prob(A e B) = 0.
7. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (Regra do “ou”)
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A e B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: Prob(A e B). Esta parcela trata acerca da
probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de
ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais!
Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do “ou” fica simplificada para:
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) – Prob(A)xProb(B)
E também sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de
ocorrência desses dois eventos, ao mesmo tempo, será igual a zero. Assim, para eventos mutuamente
exclusivos, a regra do “ou” fica simplificada para:
à Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B)
8. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Probabilidade condicional será a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que
sabemos que ocorreu um outro evento “B”.
Fórmula de Probabilidade condicional:
P(
X e Y)
P ( X dado Y)
=
P(
X⏐⏐Y
) =
P(
Y)
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EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
01. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Considere que numa cidade 40% da população
adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos
não-­‐fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da
cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?
a) 44%
b) 52%
c) 50%
d) 48%
e) 56%
02. (Fiscal Trabalho 1998 ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em
Inglês nem em Francês. Seleciona-­‐se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A
probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos
uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200 c) 150/200 e) 190/200
b) 130/200 d) 160/200
03. (Técnico da Fazenda Estadual SP 2010 FCC) Everaldo deve escolher um número de
quatro algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três
primeiros: 163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo
escolher de modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha
formada seja um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si,
é de
(A) 60%.
(B) 55%.
(C) 50%.
(D) 45%.
(E) 40%.
04. (Auditor do Tesouro Municipal de Natal 2008 ESAF) Uma urna contém: 1 bola
amarela; 4 bolas azuis; 10 bolas brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas.
Dado que na primeira extração foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade
de na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, é:
a) maior que retirar uma bola branca ou azul.
b) maior que retirar uma bola preta.
c) menor que retirar uma bola branca.
d) menor que retirar uma bola azul.
e) menor que retirar uma bola amarela ou branca ou azul.
05. (TCU 2004 CESPE) Um baralho comum possui 52 cartas de 4 tipos (naipes)
diferentes: paus (P), espada (E), copas (C) e ouros (O). Em cada naipe, que
consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do
valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens
subseqüentes.
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1. A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter
uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13.
2. Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-­‐se
que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a
1/52.
3. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de
paus é igual a 11/26.
06. (Analista de Controle Interno SEFAZ-­‐RJ 2011 FGV) Um indivíduo lança
simultaneamente três dados de 6 lados. A probabilidade de que a soma desses
três dados seja 6 é
(A) 4,16%.
(B) 6,23%.
(C) 3,25%.
(D) 5,41%.
(E) 4,63%.
07. (AFC/STN 2008 ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e
somente se:
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula.
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.
08. (MPOG 2006 ESAF) Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então
a) a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2
b) E1 e E2 são mutuamente exclusivos.
c) a probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade de E2
d) a probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade de E1
e) a ocorrência, ou não, de E1 não afeta a probabilidade de ocorrência de E2
09. Se P(A)=1/2; P(B)=1/5; P(B|A)=2/9; e A e B são eventos dependentes, calcule:
a) P(B não ocorrer)
b) P(A e B)
c) P(A ou B)
10. Se P(A)=1/2; P(B)=1/4; e A e B são eventos independentes, calcule:
a) P(A e B)
b) P(A ou B)
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11. Se P(A)=2/3; P(B)=1/4; e A e B são eventos mutuamente exclusivos, calcule:
a) P(A e B)
b) P(A ou B)
12. Se P(A)=1/3; e A e B são eventos complementares, calcule:
a) P(B)
b) P(A e B)
c) P(A ou B)
13. (TFC-­‐CGU 2008 ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele
encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a
0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05.
Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04 d) 0,45
b) 0,40 e) 0,95
c) 0,50
14. (Fiscal de Rendas RJ 2010 FGV) Se A e B são eventos independentes com
probabilidades P[A] = 0,4 e P[B] = 0,5 então P[A ∪ B] é igual a:
(A) 0,2. (B) 0,4.
(C) 0,5. (D) 0,7.
(E) 0,9.
15. (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada.
Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda
é
a) 0,75
b) 0,80
c) 0,85
d) 0,88
e) 0,90
16. (SEFAZ-­‐RJ 2008 FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S
de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A ∩ B) = 0,14. Então, pode-­‐se dizer que A
e B são eventos:
(A) mutuamente exclusivos. (D) condicionais.
(B) complementares. (E) elementares.
(C) independentes.
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17. (Fiscal de Rendas RJ 2009 FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) =
0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para P(A ∩ B).
(A) 0,13. (B) 0,22.
(C) 0,31. (D) 0,49.
(E) 0,54.
18. (SEFAZ-­‐RJ 2008 NCE) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 pessoas
classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e
Viúvo).
Sexo
Estado Civil
Total
M F
Solteiro 300 200 500
Casado 200 100 300
Viúvo 100 100 200
Total 600 400 1.000
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino
ou Viúva é igual a:
(A) 0,6. (B) 0,2. (C) 0,4. (D) 0,7. (E) 0,5.
19. (TCE-­‐RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 30% d) 37%
b) 32% e) 40%
c) 35%
20. (TFC SFC 2001 ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três
amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A
probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a
de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que
os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade
de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de
futebol é:
a) 12,5%
b) 15,5%
c) 22,5%
d) 25,5%
e) 30%
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21. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Retiram-­‐se 2 bolas ao acaso,
uma após a outra. Resolva os itens abaixo:
a) Se a retirada for feita SEM REPOSIÇÃO, qual é a probabilidade de que as 2 bolas
retiradas sejam brancas?
b) Se a retirada for feita COM REPOSIÇÃO, qual é a probabilidade de que as 2 bolas
retiradas sejam brancas?
22. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 bolas brancas e 2 bolas verdes. Retira-­‐se
aleatoriamente, 3 bolas sem reposição. Calcule:
a) A probabilidade de se obter todas da mesma cor.
b) A probabilidade da 1ª bola retirada seja verde, a 2ª seja branca e a 3ª preta.
c) A probabilidade de se obter nenhuma bola branca.
d) A probabilidade de se obter ao menos 1 bola branca.
23. (MPOG 2008 ESAF) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas.
Retirando-­‐se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se
obter todas da mesma cor é igual a:
a) 1/10
b) 8/5
c) 11/120
d) 11/720
e) 41/360
24. (AFC-­‐CGU 2008 ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de
transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6
engenheiros. Sorteando-­‐se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem
um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem
do mesmo sexo é igual a:
a) 0,10 d) 0,20
b) 0,12 e) 0,24
c) 0,15
25. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma urna existem
200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis
estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as
bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas
escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem
da mesma cor e com os respectivos números pares?
a) 10/512.
b) 3/512.
c) 4/128.
d) 3/64.
e) 1/64.
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26. (Agente Tributário Estadual do estado do MS 2006 FGV) Uma urna contém 1 bola
preta, 1 verde e 1 branca. Sacam-­‐se, com reposição, três bolas dessa urna. Qual é
a probabilidade de as bolas sacadas terem três cores diferentes?
(A) 1/9 (B) 2/9
(C) 1/3 (D) 4/9
(E) 5/9
27. (Analista do Banco Central 1998) De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas
de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos
números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números
sejam inferiores a 4 é:
a) 3/10 d) 1/3
b) 1/15 e) 19/86
c) 2/7
28. (ATRFB 2009 ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras.
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do
terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para
digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a
respectiva letra de sua senha. Deseja-­‐se saber qual o valor mais próximo da
probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à
disposição e acertar ao acaso as teclas da senha?
a) 0,001.
b) 0,0001.
c) 0,000125.
d) 0,005.
e) 0,008.
29. (Agente Tributário Estadual do estado do MS 2006 FGV) João e Pedro,
começando por João, lançam alternadamente uma moeda não-­‐tendenciosa até
que um deles obtenha um resultado "cara". Qual é a probabilidade de serem
feitos, no máximo, três lançamentos?
(A) 1/8 (B) 1/2
(C) 3/4 (D) 7/8
(E) 15/16
30. (Fiscal de Rendas RJ 2008 FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo
três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta.
Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a
probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a:
(A) 0,104. (B) 0,040.
(C) 0,096. (D) 0,008.
(E) 0,200.
Probabilidade 12 Prof. Weber Campos

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31. (ATRFB 2009 ESAF) Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha.
Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de
3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem
uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro
de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo
menos dois dos três tiros acertarem o alvo?
a) 90/100
b) 50/100
c) 71/100
d) 71/90
e) 60/90
32. (Câmara dos Deputados 2007 FCC) Uma pesquisa eleitoral foi realizada com uma
amostra de 500 eleitores com o objetivo de estudar a influência da idade na
preferência por dois candidatos presidenciais. Os resultados obtidos foram os
seguintes:
Preferência Idade Candidato Candidato Indecisos Total
(anos)
Alfa Beta
20 |⎯⎯ 30 68 117 15 200
30 |⎯⎯ 50 102 70 28 200
50 |⎯⎯ 80 80 3 17 100
Total 250 190 60 500
Duas pessoas serão selecionadas ao acaso e com reposição dentre os 500
eleitores. A probabilidade de exatamente uma pertencer à faixa etária 50 |⎯⎯ 80 e
preferir o candidato Alfa é
(A) 168/625
(B) 84/625
(C) 64/625
(D) 42/625
(E) 21/625
33. (MPU/2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor
fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as
decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a
probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é
igual a:
a) 0,624 d) 0,568
b) 0,064 e) 0,784
c) 0,216
34. (AFTE/RS 2009 Fundatec) A probabilidade de um Gaúcho falar inglês é 0,20, de
um Carioca é 0,25 e de um Mineiro é 0,15. Um Gaúcho, um Carioca e um Mineiro
estão em uma mesa de um restaurante. Uma pessoa falando inglês aproxima-­‐se
desta mesa e pede uma informação. A probabilidade de ela receber algum tipo de
resposta, em inglês, é:
Probabilidade 13 Prof. Weber Campos

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A) 0,49
B) 0,70
C) 0,60
D) 0,51
E) 0,40
35. (Especialista em Finanças Públicas SEFAZ-­‐RJ 2011 CEPERJ) O número mínimo de
vezes que uma moeda honesta (não viciada), com faces cara e coroa, deve ser
lançada para que a probabilidade de aparecer a face cara, pelo menos uma vez,
seja maior do que 95% é igual a:
A) 4 vezes
B) 5 vezes
C) 6 vezes
D) 7 vezes
E) 8 vezes
36. (Analista Informática BACEN ESAF) Um fabricante de discos rígidos sabe que 2%
dos discos rígidos produzidos falham durante o período de garantia. Assinale a
opção que dá a probabilidade de que pelo menos um disco falhe numa amostra
aleatória de 10 discos tomados na linha de produção.
a) (0,98) 10 (0,02) 10
c) 1 – (0,98) 10
e) 0,2
b) (0,02) 10
d) 1 – (0,02) 10
37. (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas SEFAZ SP 2010 FCC) O
total de funcionários em uma repartição pública é igual a 6. João e sua esposa
trabalham nesta repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um deles, João ou
sua esposa, faça parte da comissão é
(A) 1/5
(B) 2/5
(C) 3/5
(D) 4/5
(E) 3/10
38. (Câmara dos Deputados 2007 FCC) Uma rede local de computadores é composta
por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos
pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o
pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro.
Sabendo-­‐se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam
erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é
(A) 5%
(B) 4,1%
(C) 3,5%
(D) 3%
(E) 1,3%
Probabilidade 14 Prof. Weber Campos

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39. (Fiscal de Rendas RJ 2009 FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os
quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro
jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se
enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores
disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B
na final é:
(A) 1/2.
(B) 1/4.
(C) 1/6.
(D) 1/8.
(E) 1/12.
40. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) Em cada um de um certo número par de
cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em
uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de
prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-­‐se
uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze.
Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao
acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro?
a) 0,15
b) 0,20
c) 0,5
d) 0,25
e) 0,7
Probabilidade Condicional
41. (AFC-­‐CGU 2008 ESAF) Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo
genético A e 20% por uma variação genética B. A probabilidade de um indivíduo
do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto a probabilidade de um
indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo tem a
doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B?
a) 1/3. d) 0,6.
b) 0,4. e) 2/3.
c) 0,5.
42. (Oficial da Fazenda RJ 2010 CEPERJ) João é fiscal, mas não gosta de sair à rua
quando chove, preferindo trabalhar em casa, no seu computador. Se chover, a
probabilidade de sair para efetuar uma fiscalização é de apenas 10%. E se não
chover, a probabilidade de sair para efetuar uma fiscalização será de 90%. No dia
01.09.2010 estava marcada uma fiscalização para João, numa área em que a
probabilidade de encontrar alguma irregularidade é de 40%. A meteorologia
previa, para esse dia, uma probabilidade de 20% para ocorrência de chuva.
Sabendo que João efetuou a fiscalização e encontrou irregularidade, a
probabilidade de ter chovido naquele dia é, aproximadamente, de:
Probabilidade 15 Prof. Weber Campos

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A) 2,70%
B) 9,00%
C) 10,00%
D) 10,81%
E) 28,80%
43. (AFC/STN 2008 ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças
de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as
moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos;
entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos
castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar
para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça
selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a
probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:
a) 0 d) 10/50
b) 10/19 e) 19/31
c) 19/50
44. (Analista de Planejamento e Orçamento APO 2010 ESAF) Em uma pequena
localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de
um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona
Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que
será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou,
ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora.
Sabendo-­‐se que Denílson não pertence à comissão formada, então a
probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a:
a) 30 %
b) 80 %
c) 62 %
d) 25 %
e) 75 %
45. (ANS 2006 FCC) A tabela fornece informações sobre o tipo de câncer e a idade de
500 pacientes que sofrem desta doença, internados num determinado hospital
especializado na doença.
Idade Câncer estomacal Câncer pulmonar Outros Total
0 |⎯⎯10 0 6 60 66
10 |⎯⎯30 30 9 25 64
30 |⎯⎯50 100 75 55 230
50 |⎯⎯70 70 60 10 140
Total 200 150 150 500
Ao selecionar aleatoriamente um paciente, dentre esses 500, a probabilidade dele ter
câncer pulmonar ou estomacal, dado que ele tem idade inferior a 30 anos, é
(A) 16/125 (D) 13/50
(B) 9/26 (E) 32/65
(C) 39/64
Probabilidade 16 Prof. Weber Campos

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A distribuição de probabilidades dada abaixo refere-­‐se aos atributos idade e violação
das leis de trânsito. Represente por Ei os eventos elementares associados à idade e
por Fi os eventos elementares associados à violação das leis de trânsito.
46. (MPU 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a probabilidade de que um motorista
escolhido ao acaso não tenha cometido nenhuma violação de trânsito nos últimos
12 meses dado que o mesmo tenha mais de 21 anos.
a) 0,75 d) 0,66
b) 0,60 e) 0,00
c) 0,45
GABARITO
01 b 26 b
02 d 27 b
03 e 28 e
04 e 29 d
05 C E C 30 a
06 e 31 d
07 d 32 a
08 e 33 e
09 4/5; 1/9; 22/45 34 a
10 1/8; 7/8 35 b
11 0; 11/12 36 c
12 2/3; 0; 1 37 d
13 d 38 e
14 d 39 e
15 c 40 d
16 c 41 e
17 c 42 a
18 e 43 b
19 b 44 e
20 c 45 b
21 2/15; 4/25 46 a
22 1/12; 1/24; 7/24; 17/24
23 c
24 d
25 a
Probabilidade 17 Prof. Weber Campos