1 - CPV

MateMática
22. Considere um triângulo isósceles de lados medindo L, L
2
e L centímetros.
Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida L
2 .
Se L, h e a área desse triângulo formam, nessa ordem, uma
progressão geométrica, determine a medida do lado L do
triângulo.
Resolução:
Por Pitágoras, temos:
h2 + L ⎛ ⎞
2
⎜
⎝⎜
4 ⎠⎟
= L2 Þ h2 = L2 – L2
16 Þ h2 = 15
L
4
L
2
L 15
16
Þ h =
4
e a área do triângulo será:
L
⋅ h L L L
A = 2
15
2
15
= ⋅ =
2 4 4 16
Como a sequência (L, h, A) é uma PG, temos:
L . A = h2 L
2
15 15L
2
Þ L ⋅ =
16 16
CPV unesp2011
h
CPV seu pé direito também na Medicina
L
Þ L = 15
unesP – 19/dezembro/2010
23. A média aritmética dos elementos de um conjunto formado
por n valores numéricos diminui quatro unidades quando o
número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao
conjunto original, a média aritmética dos elementos desse
novo conjunto aumenta três unidades em relação à média
inicial. Qual o valor da soma dos elementos originais do
conjunto?
Resolução:
Sejam S a soma de todos os elementos do conjunto, n a quantidade
e x a média aritmética inicial, temos:
S
= x
n
S −
= x −
n −
S +
x
n + = +
⎧ ⎪
⎨
⎪ 58
4
⎪ 1
⎪ 57
⎪
3
⎩⎪
1
Þ
Þ
⎧ ⎪
⎪S=
nx
⎪
⎨
⎪
S− 58 = nx −4n − x + 4
⎪
⎩⎪
S+ 57 = nx + 3n + x + 3
⎧ ⎪
⎪S=
nx
⎪
⎨
⎪
S− 58 = ( n −1)
x − 4
⎪
⎩⎪
S+ 57 = ( n + 1) x + 3
Þ
( )
( )
⎧ ⎪
⎪S=
nx
⎪
⎨
⎪
4n + x = 62(
II )
⎪
⎩⎪
3n + x = 54(
III )
Resolvendo um sistema com as equações (II) e (III) obtemos
n = 8 e x = 30.
Portanto, S = n . x = 8 . 30 = 240
1

2
unesP – 19/12/2010 CPV seu pé direito também na Medicina
24. Em todos os 25 finais de semana do primeiro semestre de
certo ano, Maira irá convidar duas de suas amigas para
ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de
amigas se repetirá durante esse período. Respeitadas essas
condições, determine o menor número possível de amigas
que ela poderá convidar.
Dado: 201 @ 14,2
Resolução:
Seja n o número possível de amigas que ela poderá convidar.
Como ela pode combinar essas amigas de duas em duas, temos:
C n,2 ≥ 25 Þ
Þ
CPV unesp2011
n!
2! ( n − 2)
!
≥ 25
n( n − ) 1
2
≥ 25 Þ n2 – n – 50 ≥ 0
n ≥ +
≅ +
1 201 1 142 ,
= 76 ,
2 2
n ≤ −
≅ −
1 201 1 142 ,
=−66
, (não convém)
2 2
Portanto, poderá convidar no mínimo 8 amigas.
coMentário do cPV
A prova dissertativa de Matemática da UNESP/2011, mostrouse
abrangente e ao mesmo tempo objetiva se considerarmos
apenas três questões.
Destacamos a questão 22, na qual o examinador exigiu do
candidato conhecimentos de geometria e sequências numéricas
(PG), e a questão 24, onde se cobrou análise combinatória de
forma simples e criativa.
Parabenizamos à banca examinadora por mais esta belíssima
prova.
distribuição das Questões
Geometria Plana: 16,67%
Sequências Numéricas: 16,67%
Sistemas Lineares: 16,67%
Estatística: 16,67%
Análise Combinatória: 16,67%
Inequação do 2 o Grau: 16,67%