Computaįão Quântica para leigos - USP

Computação Quântica para leigos 

Ana Basalo e William Gnann 

IME-USP 

3 de dezembro de 2010 

Ana Basalo e William Gnann (IME-USP) Computação Quântica para leigos 3 de dezembro de 2010 1 / 42

1 Introdução 

2 Quantum bit 

3 Propriedades quânticas 

4 Evolução 

5 Propriedades desejáveis para implementação 

6 Implementações 

7 Implementações plenamente funcionais! 

8 Algoritmos Quânticos 

9 Algoritmo de Deutsch 

10 Algoritmo de Shor 

11 Aplicações e possibilidades da Computação Quântica 

12 Companhias que atuam com Computação Quântica 

13 Correção de erros 

14 Conclusões 

15 Dúvidas 


História? 

Tudo começou com... 

Não conseguimos simular sistemas quânticos! E agora? 


Quantum bit ou qubit 

qubit 

O qubit é um sistema quântico de dois estados. 

|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉 


qubit 

Wikipedia CACM, Kenn Brown e Chris Wren / Mondolithic Studios 


it x qubit 

qudit 

Propriedade bit qubit 

Tipo número vetor 

Gasto n 2 n 

Natureza determinística probabilística 

Quântico não sim 

Não há, de fato, uma necessidade de representarmos sistemas quânticos 

usando o qubit. Podemos ter estruturas básicas com mais estados como o 

qudit. 


Sobreposição 

Sobreposição 

A sobreposição é a capacidade do sistema quântico estar em mais de um 

estado de uma vez. 

|0〉 + |1〉 

O sistema está em |0〉 e em |1〉 simultaneamente. 


Gato de Schrödinger 

Wikipedia 


Emaranhamento 

Emaranhamento 

Existem sistemas quânticos com estados estritamente ligados entre si de tal 

forma que a ‘informação’ contida em um é exatamente a mesma do outro. 

Propriedade 

Funciona como um “se, e somente se”. 


Emaranhamento 

Aplicações 

Algumas aplicações do emaranhamento são: 

‘Teletransporte quântico’; 

‘Codificação super densa’; 

‘Criptografia’. 


Interferência 

Interferência 

Interferência é a capacidade de um estado quântico influenciar o outro. 

Contra-intuitiva; 

Pode ser construtiva ou destrutiva. 


Observação 

Observação 

A observação é a ação de verificar a situação de um sistema quântico. 

Colapso 

Quando observamos um sistema quântico, ele colapsa para um estado 

observável, destruindo a sobreposição. 


Observação mais de perto 

Observação 

Ao observarmos o qubit 

|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉 

Obteremos |0〉 com probabilidade |α| 2 ou |1〉 com probabilidade |β| 2 . 


Reversibilidade 


Toda estrutura de controle dos qubits, exceto pela observação, deve ser 

reversível - diferentemente das portas lógicas clássicas. 



As portas lógicas quânticas são: 

Equivalentes a transformações lineares unitárias; 

Utilizadas para podermos ‘observar’ a informação desejada; 

Manipulam o sistema quântico assim como as portas lógicas clássicas. 


Decoerência 

Decoerência 

Depois de um tempo, o qubit perde a informação. 

Problema 

Terminar depois do tempo de coerência não é legal. 


Evolução 

Atualmente 

Devemos ter cerca de 10qubit, mas há empresa que alega 50! 


Critério de DiVincenzo 

Qubits bem definidos e escaláveis; 

Longo tempo de coerência; 

Conjunto universal de portas; 

Observação eficiente; 

Inicialização. 


Implementações 

Armadilhas de íons; 

Óptica linear; 

Supercondutores; 

Híbridos; 

“Adiabático”; 

Outros. 


Implementações plenamente funcionais! 


Algoritmos Quânticos 

Algoritmos clássicos x Algoritmos quânticos 

Qualquer problema que pode ser resolvido por um computador 

quântico pode ser resolvido por um computador clássico e vice-versa. 


Algoritmos Quânticos 

Tese de Church-Turing 

Portanto, um computador quântico não fere a Tese de Church-Turing que 

diz: 

Toda função que seria naturalmente computável pode ser computada por 

uma Máquina de Turing. 

O grande interesse nos algoritmos quânticos vem, portanto, do fato 

de que eles podem resolver alguns problemas mais rapidamente que 

os algoritmos clássicos. 


Algoritmo de Deutsch 

O primeiro algoritmo quântico foi descrito por David Deutsch em 

1989. 

O Problema de Deutsch 

O problema que o algoritmo de Deutsch resolve consiste em, dada uma 

caixa preta (um circuito) que devolve os resultados da aplicação de uma 

função f : {0, 1} → {0, 1}, determinar f (0) ⊕ f (1). 



Do ponto de vista clássico, precisaríamos fazer duas consultas à caixa 

preta para determinar f (0) ⊕ f (1). 

O algoritmo quântico proposto por Deutsch faz apenas uma consulta. 



Transformamos o circuito caixa preta que calcula f num circuito 

quântico. 

Tal circuito quântico pode ser representado por 

Uf : |x〉|y〉 ↦→ |x〉|y ⊕ f (x)〉 

Se mantivermos o segundo qubit no estado |y〉 = |0〉 e o primeiro bit 

em |x〉 = |0〉, obteremos |0 ⊕ f (0)〉 = |f (0)〉. 

Analogamente para |x〉 = |1〉, |y〉 = |0〉, obteremos |f (1)〉. 



Poderíamos, no entanto, fornecer entradas tais que os qubits fossem 

uma sobreposição de |0〉 e |1〉: ainda mantendo o segundo qubit da 

entrada no estado |y〉 = |0〉, colocamos o primeiro qubit no estado 

1 

√ |0〉 + 

2 1 

√ |1〉 

2 



Entrada 

A entrada para Uf : |x〉|y〉 ↦→ |x〉|y ⊕ f (x)〉 seria então 

Saída 

Na saída de Uf , teríamos o estado 

( 1 

√ 2 |0〉 + 1 

√ 2 |1〉)|0〉 

= 1 

√ 2 |0〉|0〉 + 1 

√ 2 |1〉|0〉 

Uf ( 1 

√ 2 |0〉|0〉 + 1 

√ 2 |1〉|0〉) = 1 

√ 2 Uf |0〉|0〉 + 1 

√ 2 Uf |1〉|0〉 

= 1 

√ 2 |0〉|0 ⊕ f (0)〉 + 1 

√ 2 |1〉|0 ⊕ f (1)〉 = 1 

√ 2 |0〉|f (0)〉 + 1 

√ 2 |1〉|f (1)〉 



Note, pela saída obtida 1 

√ 2 |0〉|f (0)〉 + 1 

√ 2 |1〉|f (1)〉, que, de certa forma, 

calculamos os valores de f (0) e de f (1) simultaneamente num único 

passo. 


Algoritmo de Shor 

Foi publicado em 1994 por Peter Shor. 

É o algoritmo quântico mais conhecido, pois resolve um problema 

intratável do ponto de vista clássico em tempo polinomial. 

Decomposição em fatores primos 

O algoritmo de Shor resolve o seguinte problema: dado um inteiro positivo 

N, achar os fatores primos de N. 



Algoritmo Shor(n) 

1 escolha um inteiro 1 < x < n aleatoriamente 

2 se mdc(x, n) > 1 

3 então devolva mdc(x, n) 

4 seja r o período da função f (a) := x a mod n 

5 se r for ímpar ou x r 

2 ≡ −1 (mod n) 

6 então o procedimento falhou 

7 devolva mdc(x r 

2 + 1, n) 



Algoritmo Shor(15) 

1 escolha um inteiro 1 < x < n aleatoriamente 

Escolhemos 7. 

2 se mdc(x, n) > 1 ... 

mdc(7, 15) = 1. 

3 seja r o período da função f (a) := x a mod n 

O período de f é r = 4 (f (x) assume os valores 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, . . . 

quando x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . respectivamente). 

4 se r for ímpar ou x r 

2 ≡ −1 (mod n)... 

r = 4 é par e 72 ≡ 4 (mod 15). 

5 devolva mdc(x r 

2 + 1, n) 

mdc(50 = 7 4 

2 + 1, 15) = 5. 


Criptografia 

Criptografia moderna - incluindo o RSA - e vários mecanismos de 

segurança na Internet são baseados em dois fatos: é fácil achar 

números primos com muitos dígitos num tempo razoável e é difícil 

achar os fatores primos de um número num tempo viável. 

A implementação do algoritmo de Shor comprometeria vários 

sistemas de criptografia de chave pública. 


Criptografia Quântica 

Criptografia Quântica refere-se tanto ao uso de criptografia clássica 

como proteção a “ataques quânticos”, como ao uso de efeitos da 

mecânica quântica para quebrar ou implementar sistemas 

criptográficos. 

Sistemas criptográficos quânticos 

Permitem a detecção de intrusos 

Sua segurança não depende do poder computacional do intruso 


Sistemas criptográficos quânticos 

Utilizados para produzir e distribuir as chaves, não para transmitir a 

mensagem. 

One-time pad 

É um algoritmo comumente associado com criptografia quântica. 

Combina-se o texto com uma chave aleatória - pad - de mesmo 

comprimento do texto. 

Se seu uso atender certas exigências, é considerado totalmente seguro. 


Speedup de algoritmos clássicos 

O termo speedup refere-se ao quanto um algoritmo quântico é mais 

rápido que um algoritmo clássico para o mesmo problema. 

Algoritmo de Grover: algoritmo de busca em dados não ordenados. 

Buscar um item numa lista com N itens está em O(N 1 

2 ) (tempo). Os 

algoritmos clássicos estão em O(N) (tempo linear). 

Algoritmo de Shor: com entrada N inteiro positivo, o algoritmo está 

em O((log N) 3 ) (tempo). Os algoritmos clássicos estão em 

O(e (log N) 1 3 (log log N) 2 3 ). 


Simulação de sistemas quânticos 

Sistemas quânticos não podem ser simulados de maneira eficiente em 

computadores clássicos. 


Outras aplicações 

Geração de números aleatórios 

Aprendizagem computacional 


Companhias que atuam com Computação Quântica 


Correção de erros 

Qualquer dispositivo físico que implementa um modelo computacional 

é imperfeito e limitado, devido à suscetibilidade de seus componentes 

à ação do ambiente. 

Ruídos causam mal funcionamento dos componentes, geram erros e 

resultados inválidos. Portanto, seja na computação clássica ou na 

quântica, é necessário implementar algum mecanismo de detecção e 

correção de erros. 


Correção de erros 

Computadores quânticos são mais suscetíveis a erros que os clássicos, 

porque sistemas quânticos são mais delicados e difíceis de controlar. 

Prova-se que é possível corrigir erros em computadores quânticos com 

um overhead polinomial. 


Conclusões 

A Computação Quântica constitui um novo paradigma de 

Computação. 

Introduz a Complexidade Quântica, diferente da Complexidade 

Clássica: problemas considerados intratáveis pela Computação 

Clássica podem ser resolvidos pela Quântica em tempo polinomial. 

Existe muita pesquisa na área, muitas universidades e companhias 

envolvidas. Embora os resultados sejam modestos, estão ocorrendo 

avanços. 


Dúvidas 

“No, you’re not going to be able to understand it. You see, my physics 

students don’t understand it either. That is because I don’t understand it. 

Nobody does. The theory of quantum electrodynamics describes Nature as 

absurd from the point of view of common sense. And it agrees fully with 

experiment. So I hope you can accept Nature as She is absurd.” 

Richard Feynman

Computaįão Quântica para leigos - USP

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