Medidas I - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
Curso de Física (2 a Licenciatura) - Física Experimental A
MEDIDAS I
1 Objetivos
Efetuar e registrar medidas considerando os erros e incertezas
envolvidas no processo.
2 Introdução
Apesar de se afirmar que a Física é uma ciência exata,
não existe uma única medida em toda a Física que esteja
isenta de algum erro. Por mais que seja sofisticada
a aparelhagem utilizada os erros são uma presença constante
e o bom experimentador deve aprender a conviver
com eles e minimizar os seus efeitos.
Ao fazermos a medida de uma grandeza física, o
valor encontrado não coincide com o real da mesma.
Quando este resultado vai ser aplicado, é necessário
saber com que certeza a grandeza física é representada
pelo número obtido. Deve-se, então, poder expressar
a incerteza de uma medida em termos que sejam compreensíveis
a outras pessoas e para isto usa-se uma linguagem
padronizada e métodos adequados para combinar
incertezas dos diversos fatores que influenciam no
resultado.
3 Erros
Os erros são classificados em três grandes grupos: grosseiros,
sistemáticos e aleatórios.
3.1 Erros Grosseiros
São aqueles que ocorrem por inabilidade do experimentador
e são provenientes de enganos , uso inadequado de
instrumentos, técnicas deficientes, etc.
3.2 Erros Sistemáticos
São aqueles que ocorrem sempre do mesmo jeito e são
provenientes de: erros de calibração de instrumentos, erros
do observador na leitura do instrumento, instrumentos
utilizados em condiçõe inadequadas, etc. Os erros
sistemáticos podem ser eliminados ou compensados.
3.3 Erros Aleatórios ou Acidentais
Ocorrem quando em uma série de medidas ora obtemos
um valor, ora outro de forma imprevisível. Com este tipo
de erro é mais difícil de lidar e com ele podemos apenas
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obter uma minimização de seus efeitos. Ele nunca é totalmente
eliminado. Geralmente são devidos a condições
que flutuam como por exemplo, variações na rede de energia
elétrica, variações verificadas no comprimento de
um objeto por irregularidades da superfície, etc.
4 Instrumentos de Medida
Para determinarmos o valor de uma grandeza física precisamos
comparar com um padrão previamente determinado.
Logo a qualidade da medida dependerá do padrão
utilizado. Os padrões de grande precisão (primários) são
definidos de maneira bastante complexa e necessitam de
tecnologia avançada para serem reproduzidos. Desta
forma utilizamos padrões mais simples (secundários)
aferidos a partir dos padrões primários, porém menos
precisos.
A imprecisão dos instrumentos utilizados como
padrões secundários será estimada pela incerteza instrumental,
e caracteriza a faixa de valores dentro da qual se
encontra o valor verdadeiro da grandeza medida. Dentre
as características dos instrumentos que influenciam em
sua precisão podemos destacar:
• Resolução: expressão quantitativa da aptidão
de um instrumento de distinguir valores muito
próximos da grandeza a medir. Esta é composta
de diversas marcas e a diferença entre os valores de
duas marcas sucessivas, valor de uma divisão, caracteriza
a resolução do instrumento. A indicação,
valor de uma grandeza medida fornecida pelo instrumento,
pode, em muitos casos, ser feita com
interpolação da escala de medida.
• Limiar: menor variação de um estímulo que
provoca a variação perceptível na resposta de um
instrumento de medir. Ele pode depender de diversos
fatores como o ruído, o atrito, o amortecimento
ou a inércia. Exemplo: se uma balança só acusa
variação na sua indicação com a adição de 0,1 g ou
mais à massa medida seu limiar de mobilidade é de
0,1 g.
• Estabilidade: aptidão de um instrumento de
medir em conservar constantes seus parâmetros
metrológicos. O mais comum é considerar a estabilidade
em função do tempo, embora também possa
estar relacionada a outros parâmetros como temperatura
e umidade. Nesses casos é preciso especificar
a grandeza à qual a estabilidade está relacionada.

• Justeza: aptidão de um instrumento de medir para
dar indicações isentas de erros sistemáticos.
• Fidelidade: aptidão de um instrumento de medir
para dar, sob condições de utilização definidas, respostas
próximas para aplicações repetidas de um
mesmo estímulo.
Além disso é necessário ainda satisfazer as condições
de referência, ou seja, condições de utilização de um instrumento
prescritas para assegurar a validade na comparação
de resultados de medições.
5 Algarismos Significativos
A exatidão de uma experiência deve ser evidenciada
na forma pela qual o resultado é escrito. O primeiro
cuidado a ser tomado, no registro de uma medidal, é
com relação ao significado dos algarismos que aparecem
no registro. A leitura do valor da medida deve se prolongar
até o algarismo correspondente ao da incerteza
instrumental. Por exemplo, se a incerteza na medida
feita com um paquímetro é de ±0, 1mm, a leitura deve
registrar até o décimo do milímetro, ou seja, um comprimento
L deve ser lido na forma L = 12, 3mm.
No caso de não se saber qual é a incerteza da medida,
esta dever ser assumida como sendo igual à metade do
menor intervalo de medida do instrumento. Uma
régua milimetrada deve, em princípio, garantir a leitura
do milímetro e, por convenção, permitir a observação
de mais um algarismo sobre o qual incide a incerteza instrumental
de ±0, 5mm. Por exemplo: o valor 514, 0mm
indica que se pôde observar o milímetro e que há uma
dúvida sobre o algarismo correspondente ao décimo de
milímetro. Caso fosse possível observar este algarismo
através de um instrumento mais exato, e este fosse zero,
a medida seria escrita na forma 514, 00mm, na qual o algarismo
correspondente ao centésimo de milímetro teria
sido estimado.
O número de algarismos significativos em um resultado
inclui todos aqueles lidos diretamente mais o estimado,
quando for o caso. Esse número é definido por:
1. o algarismo mais a esquerda não-nulo é o algarismo
mais significativo (exemplo: 0, 05140m);
2. o algarismo mais a direita é o menos significativo,
mesmo sendo zero (exemplo: 51, 40m);
3. todos os algarismos entre o mais e o menos significativo
são contados como significativos (exemplos:
0, 05140m, 51, 40cm, 5, 140x10 5 µm ou 514, 0mm,
todos com 4 algarismos significativos).
A quantidade de algarismos significativos de uma
medida não se altera mediante uma transformação de
unidades, como pode ser ver nos exemplos acima. Mas,
precisamos ter cuidado ao efetuarmos mudanças de
unidade. Por exemplo: 3, 50m = 350cm e 3, 5m =
350cm Neste casos o procedimento correto é lançarmos
mão da notação em potência de dez e escrevermos:
3, 5m = 3, 5x10 2 cm
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Alguns autores estabelecem que, nos casos em que não
há vírgula decimal, o algarismo menos significativo é
o não-nulo mais a direita. Por exemplo, quando dizemos
que, no curso de Física Experimental A, existem
1000 alunos matriculados, estamos apenas informando
o dígito 1. Os três zeros aparecem apenas para indicar a
ordem de grandeza. Essa forma de escrever é muito utilizada
em textos não-científicos. Se quiséssemos aplicar
o critério definido, nos três itens anteriores, deveríamos
escrever 1x10 3 alunos, o que sobrecarregaria a redação.
Por isso, para se evitar ambigüidade, nos casos em que
se deseja dar significado a todos os algarismos, deve-se
escrever o valor na forma 1,000x10 3 alunos. Nestes, todos
os quatro algarismos são significativos.
5.1 Operações com Algarismos Significativos
Já estamos conscientes que o resultado de uma medida
direta possui uma incerteza. Todavia, em nossos trabalhos,
inúmeras vezes não podemos medir diretamente
a grandeza de interesse. Somos então forçados a obter
esse valor através de outros, ou seja, necessitamos realizar
uma medida indireta. Por exemplo, ao determinar
a velocidade média de um móvel, necessitamos medir o
tempo e o espaço percorrido.
Aqui se coloca o problema de como expressar o resultado
desta medida indireta, pois as medidas diretas
feitas apresentam sempre alguma incerteza.
Os algarismos significativos obtidos por operações aritméticas
podem ser determinados através de algumas
regras elementares de operação com algarismos significativos.
5.1.1 Adição e Subtração
Para que o resultado da adição ou subtração contenha
apenas algarismos significativos, você deverá, inicialmente,
observar se todas das parcelas estão expressas
na mesma potência de dez e qual das parcelas possui
o menor número de casas decimais, pois, o resultado
deverá ser expresso com o mesmo número de casas decimais
desta parcela. Os algarismos excedentes que porventura
existirem no resultado devem ser abandonados
por arredondamento, isto também poderá ser feito nas
parcelas antes de se efetuar a operação. Exemplos:
• 12, 784cm − 5, 48cm = 7, 30cm
• 0, 0128m + 18, 02m = 18, 03m
5.1.2 Multiplicação e Divisão
Prevalece o número de algarismos significativos da
parcela de menor número de algarismos. Exemplos:
• 12, 13N x 0, 021m = 0, 25Nm
• 1, 0cm ÷ 24, 375s = 0, 041cm/s

5.2 Arredondamentos
Freqüentemente ocorre que números devem ser
arredondados. Ao se processarem os resultados de uma
experiência, deve-se tomar o cuidado de só se fazerem
arredondamentos na apresentação do resultado final,
para que não sejam introduzidos erros acumulativos
durante as aproximações intermediárias.
O arredondamento pode ser aplicado para eliminação
de algarismos significativos excedentes ou para eliminação
de algarismos não significativos.
Ao abandonarmos algarismos em um número, o
último algarismo mantido será acrescido de uma unidade
ou não conforme as regras a seguir (X significa o algarismo
a ser arredondado):
• de X000... a X499..., os algarismos excedentes
são simplesmente eliminados (arredondamento para
baixo);
• de X500...1 a X999..., os algarismos excedentes
são eliminados e o algarismo X aumenta de 1
(arredondamento para cima);
• No caso X5000000..., então o arredondamento deve
ser tal que o algarismo X depois do arredondamento
deve ser par.
Exemplos:
• 2, 4
3 =⇒ 2, 4
• 3, 68
8 =⇒ 3, 69
• 5, 6
499 =⇒ 5, 6
• 5, 6
501 =⇒ 5, 7
• 5, 6
500 =⇒ 5, 6
• 5, 7
500 =⇒ 5, 8
• 9, 47
5 =⇒ 9, 48
• 3, 32
5 =⇒ 3, 32
6 Incerteza
A importância do registro correto de uma medida é
porque, através dele, é possível informar tanto o valor da
medida quanto a incerteza instrumental utilizada. Esta
pode ser expressa de duas formas: incerteza absoluta e
incerteza relativa. A palavra erro é muitas vezes empregada
no lugar da incerteza. Essa palavra, quando associada
à incerteza da medida, não significa que a medida
está errada do valor erro, mas que a ela está associado
um erro provável de até o valor erro.
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6.1 Incerteza Absoluta
Representa diretamente a incerteza medida. Assim
se a dimensão de uma barra for medida como sendo
L = 1, 32m com uma incerteza absoluta δL = 0, 01 m,
o registro dessa medida deve ser feito na forma L =
(1, 32 ± 0, 01)m. Deve-se observar que é sobre o algarismo
menos significativo do valor medido para L que
recai a incerteza. Em uma medida direta não há
sentido em se registrar outros algarismos além
do determinado pela incerteza.
6.2 Incerteza Relativa
É uma forma mais significativa de se expressar a qualidade
de uma medida. Uma medida com uma incerteza
absoluta de 0, 1m pode parecer muito menos exata que
uma outra com uma incerteza absoluta de 0, 1mm. Entretanto,
se a primeira incerteza for associada à medida
da altura de uma montanha, por exemplo, o pico de Itatiaia
com h = (2787, 4±0, 1)m e a segunda, à largura de
uma caneta, L = (8, 3 ± 0, 1)mm, a opinião seria outra
sobre a qualidade dessas medidas.
Por isso, é importante associar uma incerteza ao valor
que eatá sendo medido, ou seja, informar a incerteza
relativa a uma medida. A melhor forma de expressar
esta relação é dividir a incerteza pela medida, quociente
esse denominado de incerteza relativa:
ir = δM
(1)
M
em que M é a medida e δM é a incerteza da medida. No
caso da medida do pico de Itatiais, a incerteza relativa é
de ir = 3, 6x10 −5 , enquanto que, na largura da caneta,
é de ir = 1, 2x10 −2 .
6.3 Incerteza Percentual
É a incerteza relativa multiplicada por 100 acrescida
do símbolo % (porcento). A vantagem de se escrever
a incerteza relativa na forma percentual é que se evita
escrever números muito pequenos. Assim, a incerteza
relativa associada à largura da caneta é expressa como
1,2%.
Mesmo assim, para algumas medidas, as incertezas
relativas são tão pequenas, que mesmo escritas na forma
percentual, ficam com números muito pequenos. É
o caso da altura do pico de Itatiaia, em que a incerteza
percentual é de 0,0036%. Neste casos, utilizamse
outras relações como parte por milhão (ppm=10 6 ),
parte por bilhão (ppb=10 9 ) ou mesmo parte por trilhão
(ppt=10 12 ), mas que não utilizaremos em nosso curso.
7 Questionário
1. Efetua-se uma medida de comprimento com uma
régua de plástico e repete-se a mesma medida com
uma trena metálica. Em qual das duas situações o
grau de confiança da medida é maior? Justifique
sua resposta com base nos erros que podem ocorrer
no procedimento e nas características dos intrumentos
de medida.

2. Quantos algarismos significativos existem em cada
um dos valores a seguir?
(a) 135, 5cm
(b) 0, 010kg
(c) 1, 01x10 −3 s
(d) 4, 123g
(e) 11, 342g/cm 3
(f) 2002, 0cm/s
(g) 978, 7cm/s 2
(h) 6, 02x10 23 s
(i) 3, 14159
(j) 3x10 8 m/s
(k) 60x10 4 kg
(l) 3500cm
(m) 0, 0065kg
3. Faça as mudanças de unidades:
(a) 20m = .............................cm
(b) 44, 5x10 3 g = ....................kg
(c) 0, 0068m = .........................mm
(d) 1000l = ..........................m 3
4. Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos
significativos:
(a) 34, 48m
(b) 1, 281m/s
(c) 8, 563x10 3 s
(d) 4, 35cm 3
(e) 9, 97x10 −6 g
(f) 0, 0225N
(g) 2787m
(h) 0, 04095km
(i) 143768900
(j) 2, 54cm
5. Escreva os resultados das operações matemáticas
a seguir, respeitando o uso de algarismos significativos:
(a) 1, 02x10 5 kg ÷ 3, 1m 3
(b) 345m + 23, 3M + 1, 053m
(c) 390, 5g ÷ 22, 4cm 3
(d) 1, 89x10 2 g − 2, 32g
(e) 10, 0m ÷ 0, 01s
6. Um copo e seu conteúdo pesam (640, 4 ± 0, 6)gf. O
copo sozinho pesa (148, 0 ± 0, 4)gf. Qual o peso do
conteúdo?
7. O raio de uma esfera de metal mede (4, 30±0, 5)cm.
Determine o seu volume.
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8. O valor de um ângulo obtido de uma série de medidas
é (60 ± 1) ◦ , qual o seno deste ângulo?
9. Calcule as incertezas relativas, na forma percentual
de cada uma das medidas a seguir:
(a) m = (34, 55 ± 0, 05)g
(b) d = (7, 802 ± 0, 001)g/cm 3
(c) c = (2, 998 ± 0, 002)x10 8 m/s
10. Qual é a incerteza absoluta da medida do período
de um pêndulo T = 1, 58s, feita com uma incerteza
percentual de 2%.
8 Bibliografia
1. VUOLO, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros,
2 edição, São Paulo, Editora Edgar Blucher Ltda.,
1996.
2. BARTHEM, B. R., Tratamento e Análise de Dados
em Física Experimental, Rio de Janeiro, Editora da
UFRJ.
3. Roteiros: Laboratório de Mecânica e Termodinâmica
- UFMS, 1995.