Apostila de Matemática - Função Exponencial e Logarítmica

FUNÇÃO EXPONENCIAL
Revisão sobre potenciação
Potência de expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a
como sendo: = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ … ∙ ( vezes) onde o fator é repetido vezes, ou seja, o produto possui
fatores.
Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de . Portanto, potência é um produto
de fatores iguais.
A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.
Nota: A potência 10 é igual a 1 seguido de zeros.
Convenções:
a) Potência de expoente zero. = 1
b)Potência de expoente unitário. = 1
Propriedades das potências
São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis:
(1) ∙ =
(2) ÷ =
(3) = ∙
(4) ∙ = ∙
(5) ÷ = ÷
(6) =
Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais.
Revisão sobre radicais
A forma mais genérica de um radical é √,
onde = coeficiente, =índice e = radicando. O radical acima é
lido como: raiz n-ésima (enésima) de .
Potência de expoente fracionário
= √
A propriedade acima decorre de: Seja =
.
Maia Vest
Disciplina: Matemática – Professor: Adriano Mariano

Função Exponencial
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
A função f: IR → IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a ≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio
dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
Gráfico cartesiano da função exponencial
Temos 2 casos a considerar:
• quando > 1;
• quando 0 < < 1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) = 2 (nesse caso, = 2, logo > 1)
Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de , obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
2) =
−2 −1 0 1 2
1
4
(nesse caso, =
, logo 0 < < 1)
1
2
1 2 4
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
−2 −1 0 1 2
4 2 1
1
2
1
4

Nos dois exemplos, podemos observar que:
a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é
Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
Se 0 < < 1, então f será decrescente
Se > 1, então f será decrescente
Inequação Exponencial
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. Para resolver
inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1.° redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2.° aplicação da propriedade:
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O Conceito de Logaritmo
Sejam , ∈ ℝ ∗ e ≠ 1. O número que satisfaz a igualdade = é chamado logaritmo na base de .
O símbolo para representar a sentença “O logaritmo na base de é igual a ” é: log = .
Portanto, log = ⟺ =

Propriedades dos logaritmos
Sejam , , ∈ ℝ ∗ e , ≠ 1.
• O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja, log 1 = 0 porque = 1.
• O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja, log = 1, porque = .
• log = , porque = .
• = , ou seja, elevado ao logaritmo de na base é igual a .
• log ∙ = log + log
• log ÷ = log − log
• colog = − log
• Logaritmo da potência: log = ∙ log
• log =
log
• log =
, com log ≠ 0
• log =
• log ∙ log = 1
Função Logarítmica
A função logarítmica é então: : ℝ ∗ → ℝ; = log , 0 < ≠ 1.
• Para > 0, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES;
• Para 0 < ≠ 1, elas são DECRESCENTES.
• O domínio da função y = log é o conjunto ℝ ∗ .
• O conjunto imagem da função y = log é o conjunto R dos números reais.
• O domínio da função = é o conjunto R dos números reais.
• O conjunto imagem da função = é o conjunto ℝ ∗ .
Equações Logarítmicas
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.
Para resolver equações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:
1. Redução dos dois membros da equação a logaritmos de mesma base;
2. Aplicação da propriedade: log = log ⇒ = , satisfeitas as condições de existência.

Inequações Logarítmicas
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:
1. Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;
2. Aplicação da propriedade:
Se > 1, então log > ⇒ > > 0
Se 0 < < 1, então log > ⇒ 0 < <
Referências Bibliográficas
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo: Moderna, 1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000.
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática. São Paulo: FTD, 1995.