Lista de Exercício – 3º Prova - Departamento de Estatística ...

Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista 3 - Junho de 2011
Disciplina: Cálculo da Probabilidades I Prof.: Tarciana Liberal
1. Verifique que a atribuição de probabilidade nos modelos bernoulli, Binomial, Geométrico e Poisson
satisfazem ás propriedades de função de probabilidade.
2. Considere um dado equilibrado. Para cada uma das situações abaixo, identifique o modelo e obtenha
a função de probabilidade, esperança e variança da variável.
(a) O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Estamos interessados no número de vezes que
ocorreu a face 1.
(b) O dado é lançado sucessivamente, de forma independente, até ocorrer a face 6. Estamos interessados
em quantos lançamentos foram necessários.
(c) O dado é lançado 1 vez. Estamos interessados na ocorrência de número múltiplo de 3.
3. Se X ∼ G eo(p), qual é o modelo de Y = X + 1? Interprete.
4. Seja X ∼ P(λ) responda:
(a) Se P(X = 1) = P(X = 2) qual o valor de P(X < 4)?
(b) Sendo P(X = 1) = 0.1 e P(X = 2) = 0.2 quanto vale P(X = 3)?
5. Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros, segundo um modelo de Poisson com
uma taxa de 2 erros por página.
(a) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos um erro em uma página escolhida ao acaso.
(b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo
menos 1 página com pelo menos 1 erro por página?
(c) No item anterior, considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos 1 erro. Qual
o modelo dessa variável?
6. Seja X ∼ U(−α,α), determine o valor do parâmetro α de modo que:
(a) P(−1 < X < 2) = 3/4
(b) P(|X | < 1) = P(|X | > 2)
7. Supondo que a espectativa de vida, em anos, seja E x p(1/60):
(a) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probablidade de viver pelo menos até os 70
anos.
(b) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probablidade de morrer antes dos 70, sabendose
que o indivíduo acabou de completar 50 anos.
(c) Calcule a idade mínima tal que a chance de um indivíduo continuar vivó após essa idade seja de
50%.
8. Sendo X ∼ N (µ,σ 2 ), µ > 0, avalie as probabilidades abaixo em função de Φ(z ) ou numericamente, se
possível:
(a) P(|X | < µ).
(b) P(|X − µ| > 0).
(c) P(X − µ < −σ).
(d) P(σ < |X − µ| < 2σ).

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Lista 3 - Junho de 2011
Disciplina: Cálculo da Probabilidades I Prof.: Tarciana Liberal
9. Suponha que o volume em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com média igual a 1 e
variância 10 −4 . Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de:
(a) Todas as 3 terem pelo menos 980 ml?
(b) Não mais de uma ficar com volume inferior a 980 ml?
10. Uma variável X ∼ N (µ,σ 2 ) representa o desempenho de um certo equipamento. Ele será considerado
fora de controle se afastar de µ por mais de 2σ unidades. Todo o dia, o equipamento é avaliado e, caso
esteja fora de controle, ele será desligado e enviado para manutenção. Admita independência entre as
avaliações diárias. Determine a probabilidade de:
(a) No primeiro dia o equipamento ser desligado.
(b) A primeira manutenção ser no décimo dia.
(c) Qual é a variável que conta os dias anteriores à manutenção?
11. Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre [−α,α], com α > 0. Determine α de modo que as
seguintes relações sejam satisfeitas:
(a) P(X > 1) = 1/3.
(b) P(X > 1) = 1/2.
(c) P(|X | < 1) = P(|X | > 1).
12. O número de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de
Poisson, com parâmetro λ = 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia.
Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.
(a) Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto?
(b) Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?
(c) Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
(d) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente?
13. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0.8 e variância 0.0004. O cabo é
considerado defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de 0.025. Qual a probabilidade de
se encontrar um cabo defeituoso?
14. Suponha que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2, tenham distribuição N (40, 36)
e N (45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas,
qual dos dois dispositivos deve ser preferido?
15. Suponha que X seja uma variável aleatória para a qual E (X ) = µ e Va r (X ) = σ 2 . Suponha que Y
seja uniformemente distribuída sobre o intervalo (a ,b). Determine a e b de modo que E (X ) = E (Y )
e Va r (X ) = Va r (Y ).
16. Suponha que o número de acidentes em uma fábrica possa ser representado por um processo de poisson
com uma média de 2 acidentes por semana. Qual é a probabilidade de que o tempo decorrido de
um acidente até o próximo seja maior do que 3 dias?
17. Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração de lâmpada for inferior à 60 horas.
A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída com função
de densidade dada por:
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Disciplina: Cálculo da Probabilidades I Prof.: Tarciana Liberal
f (x) =
−1
1
e 5000
5000 x , se x ≥ 0;
0, se 1 ≤ x < 0;
(a) Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia para cada 1000 lâmpadas fabricadas.
(b) Obtenha a duração média das lâmpadas e o desvio padrão.
18. Ache a média e a variância da distribuição Binomial usando a função geratriz de momento.
19. Um corretor imobiliário estima que sua probabilidade de vender uma casa é de 0.10. Ele deve visitar
quatro clientes hoje. Se ele for bem sucedido nas três primeiras visitas, qual é a probabilidade de que a
quarta não seja bem sucedida?
20. Ache a média e a variância da distribuição geométrica, usando a função geratriz de momentos.
21. Use a função geradora de momentos da densidade uniforme para gerar a média e a variância.
22. Obtenha a função geratriz de momentos da exponencial. Use-a para gerar a média e a variância da
distribuição.
23. O número de falhas por ano de uma máquina tem distribuição de Poisson. Suponha que o tempo médio
entre as ocorrências de falhas seja 0.5 ano.
(a) Quantas falhas podem ser esperadas durante um período de dois anos?
(b) Quanto tempo deve ter um período para que a probabilidade de não ocorrerem cargas seja no
máximo 0.1.
24. Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para se fazer um teste
padrão de estatística é aproximadamente normal com média de 80 minutos e desvio padrão de 20 minutos.
(a) Que porcentagem dos estudantes não terminará o teste se o tempo máximo é de 2 horas.
(b) Os avaliadores consideram "bom"um tempo de 80 minutos mais ou menos 10 minutos. Se 100
estudantes fazem o teste quantos podemos esperar que tenham um tempo "bom"?
(c) Os 5% estudantes mais rápidos receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para
receber tal certificado?
25. Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizada pôr pessoas que tem altura normalmente
distribuída com média 180 cm e desvio padrão 8 cm.
(a) Qual é a altura do vão da porta, para que 2% das pessoas que passem pôr ele abaixem-se, evitando
assim, bater com a cabeça no mesmo?
(b) Se o vão da porta for construído com 1, 85m de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam
pela porta sem se curvar?
26. Verifique que a função densidade de probabilidade nos modelos Uniforme e Exponencial satisfazem às
propriedades de função densidade.
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