COB 781 - Capacitores e Indutores
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Universidade Federal do Rio de Janeiro<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica<br />
Módulo 4<br />
Faraday Lenz Henry<br />
Weber Maxwell Oersted
Conteúdo<br />
4 - <strong>Capacitores</strong> e <strong>Indutores</strong>..........................................................................................................1<br />
4.1 - <strong>Capacitores</strong>.....................................................................................................................1<br />
4.2 - Capacitor linear e invariante com o tempo....................................................................2<br />
4.2.1 - Modelo Thévenin e Norton....................................................................................4<br />
4.3 - Energia acumulada no capacitor....................................................................................5<br />
4.4 - Associação de capacitores..............................................................................................6<br />
4.4.1 - Associação Série.....................................................................................................7<br />
4.4.2 - Associação Paralela................................................................................................7<br />
4.5 - <strong>Indutores</strong>.........................................................................................................................8<br />
4.6 - Indutor linear e invariante..............................................................................................9<br />
4.6.1 - Modelo de Thévenin e Norton..............................................................................11<br />
4.7 - Indutor não linear.........................................................................................................12<br />
4.8 - Energia armazenada no indutor....................................................................................12<br />
4.9 - Associação de indutores...............................................................................................13<br />
4.9.1 - Associação Série...................................................................................................14<br />
4.9.2 - Associação Paralela..............................................................................................14<br />
4.10 - Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC..........................................15<br />
4.11 - Exercícios...................................................................................................................18
4 <strong>Capacitores</strong> e <strong>Indutores</strong><br />
<strong>Capacitores</strong> e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém ao invés de<br />
dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque<br />
a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. <strong>Capacitores</strong> e<br />
indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser<br />
associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise<br />
considerados anteriormente.<br />
4.1 <strong>Capacitores</strong><br />
<strong>Capacitores</strong> são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo<br />
elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por<br />
motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo<br />
ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que<br />
pode estar pintado.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 1
Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um<br />
isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas<br />
superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que<br />
se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a<br />
circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é infinita<br />
porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff, mesmo assim<br />
há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma que surge<br />
sobre seus terminais uma diferença de tensão que permanece no capacitor depois que ele é<br />
desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no capacitor e<br />
tensão sobre seus terminais chama-se capacitância:<br />
q t<br />
C= , onde C é a capacitância (Farad – F)<br />
v t<br />
4.2 Capacitor linear e invariante com o tempo<br />
Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como<br />
qt=c⋅vt<br />
de tal forma que<br />
e<br />
dqt <br />
dt =C⋅dvt<br />
dt<br />
i=C⋅ dv<br />
dt<br />
ou<br />
v= 1<br />
C ⋅∫<br />
t<br />
0<br />
, (uma relação linear)<br />
it ' ⋅dt ' v0 , (uma relação linear apenas se v0=0 )<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 2
Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v0 ,<br />
ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que<br />
envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v0 forem<br />
conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente).<br />
Além disto para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário<br />
que v0 seja nulo ou seja as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de<br />
estado zero. Se v0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo<br />
que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado<br />
na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor<br />
carregado.<br />
Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao<br />
passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode<br />
variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t)<br />
for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para<br />
indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações<br />
decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou<br />
corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições<br />
rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o<br />
chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período<br />
transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas<br />
situações acima.<br />
Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão<br />
no capacitor para t=0 + e t=∞ .<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 3
t=0 + , (capacitor é um curto circuito)<br />
v C1 =0<br />
iC1= v1 =10A<br />
R1 t=∞ , (capacitor é um circuito aberto)<br />
i C1 =0<br />
vC1 = v1 ⋅R2 =7,5V<br />
R1R 2<br />
4.2.1 Modelo Thévenin e Norton<br />
Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido<br />
pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um<br />
equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um<br />
modelo Norton equivalente como apresentado na figura abaixo<br />
Para o equivalente Thévenin<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 4
v= 1<br />
C ⋅∫ i⋅dtvs<br />
i=C⋅<br />
d v−vs<br />
dt<br />
=C⋅dv – C⋅dvs<br />
dt dt<br />
Para o equivalente Norton<br />
v= 1<br />
1<br />
⋅∫iis⋅dt=<br />
C C ⋅∫ i⋅dt 1<br />
C ⋅∫ is⋅dt<br />
i=C⋅ dv<br />
dt −is<br />
Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que<br />
vst = 1<br />
C ⋅∫<br />
t<br />
0<br />
ist =C⋅ dvs<br />
dt<br />
ist '⋅dt e<br />
4.3 Energia acumulada no capacitor<br />
A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor<br />
a energia não é dissipada mas sim armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo a<br />
energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.<br />
w t 0, t=∫ t 0<br />
t<br />
v t ' ⋅i t ' ⋅dt '<br />
q t <br />
w t 0, t= ∫ vq 1⋅dq 1 (área entre o eixo q e a curva)<br />
q t0<br />
qt <br />
w t=∫ 0<br />
vq 1 ⋅dq 1 .<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 5
Para um capacitor linear invariante<br />
w t=∫ 0<br />
qt q1<br />
C ⋅dq 1<br />
w t= 1<br />
2 ⋅q2 t <br />
C<br />
w t= 1<br />
2 ⋅C⋅v2<br />
Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a<br />
zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo<br />
se sua capacitância é negativa.<br />
4.4 Associação de capacitores<br />
<strong>Capacitores</strong> ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor<br />
equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual a relação entre v<br />
e i no equivalente.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 6
4.4.1 Associação Série<br />
Pela LTK e LCK<br />
v=v C1 v C2<br />
v= 1<br />
⋅∫ it⋅dt<br />
C 1<br />
1<br />
⋅∫i t⋅dt<br />
C 2<br />
v= 1<br />
<br />
C 1<br />
1<br />
C 2⋅∫ it⋅dt<br />
v= 1<br />
⋅∫ it ⋅dt<br />
C EQ<br />
onde 1 = C EQ<br />
1<br />
<br />
C 1<br />
1<br />
C 2 .<br />
Genericamente 1 =∑ C EQ<br />
1<br />
C n<br />
4.4.2 Associação Paralela<br />
Utilizando a LTK e a LCK<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 7
i=i C1 i C2<br />
i=C 1⋅ dv<br />
dt C 2⋅dv dt<br />
i=C 1 C 2 ⋅ dv<br />
dt<br />
i=C EQ ⋅ dv<br />
dt<br />
onde C EQ =C 1 C 2 <br />
Genericamente C EQ =∑ C n<br />
4.5 <strong>Indutores</strong><br />
<strong>Indutores</strong> são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O<br />
símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor<br />
apresenta alguma marcação como um circulo próximo a um de seus terminais ou vem<br />
acompanhado de outro indutor. Estes símbolos pertencem a indutores acoplados que serão<br />
estudados separadamente em outros capítulos.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 8
O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético<br />
produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente<br />
que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de<br />
indutância é dada pela razão entre fluxo magnético e corrente<br />
L= t<br />
i t<br />
onde é fluxo magnético (weber – W) e L é indutância (Henry – H).<br />
4.6 Indutor linear e invariante<br />
O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica<br />
t=L⋅i t .<br />
Pela lei da indução de Faraday temos que<br />
d <br />
vt = .<br />
dt<br />
Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo<br />
com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo<br />
tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a corrente aumente, a<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 9
derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso a polaridade da<br />
tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.<br />
Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para<br />
caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais.<br />
di t<br />
vt =L⋅<br />
dt<br />
ou<br />
it = 1<br />
L ⋅∫<br />
t<br />
0<br />
(uma relação linear)<br />
vt ' ⋅dt 'i 0 (uma relação linear apenas se i0=0 )<br />
Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente<br />
caracterizado se conhecermos sua indutância L e a condição inicial i0 , ou seja, a corrente<br />
que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado<br />
linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor<br />
descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.<br />
Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida<br />
por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao<br />
passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir<br />
valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de<br />
corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou<br />
pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e<br />
impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de<br />
tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 10
constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado<br />
como nenhuma das situações acima.<br />
Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0 + e t=∞ .<br />
Para t=0 +<br />
v L1 =v 1 =10V<br />
i L1 =0A<br />
Para t=∞<br />
v L1 =0V<br />
i L1 = v1 =10A<br />
R1 4.6.1 Modelo de Thévenin e Norton<br />
O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao<br />
modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo<br />
Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 11
Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que<br />
vst =L⋅ dist<br />
dt<br />
ist = 1<br />
L ⋅∫<br />
t<br />
0<br />
e<br />
vst ' ⋅dt '<br />
4.7 Indutor não linear<br />
Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma faixa de<br />
valores de corrente em torno da origem o indutor é linear, para correntes de valor mais<br />
elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de corrente).<br />
Biologicamente este efeito também pode ocorrer com elementos que se comportam como<br />
resistência ou capacitância. Um dos efeitos não lineares mais comuns se chama histerese e é<br />
apresentada no gráfico da figura abaixo. Quando a corrente aumenta o fluxo aumenta por uma<br />
curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo diminui por uma curva 2 diferente da<br />
primeira. Este comportamento é ilustrado na figura abaixo.<br />
4.8 Energia armazenada no indutor<br />
A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da<br />
mesma forma que o capacitor é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 12
energia fica armazenada no campo magnético criado entorno do indutor. Assim sendo a<br />
energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.<br />
w t 0, t=∫ t 0<br />
w t 0, t= ∫ t0 <br />
t <br />
w t=∫ 0<br />
t<br />
t <br />
vt ' ⋅it ' ⋅dt '<br />
i 1 ⋅d 1 (área entre o eixo e a curva)<br />
i 1 ⋅d 1<br />
A área entre as duas curvas 1 e 2 no gráfico da histerese representa perda de<br />
energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maior as perdas<br />
no indutor.<br />
Para um indutor linear e invariante<br />
w t=∫ 0<br />
t 1<br />
L ⋅d 1<br />
w t= 1<br />
2 ⋅2 t<br />
L<br />
w t= 1<br />
2 ⋅L⋅i2 t <br />
Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a zero.<br />
Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se sua<br />
indutância é negativa.<br />
4.9 Associação de indutores<br />
<strong>Indutores</strong> ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um<br />
indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 13
4.9.1 Associação Série<br />
Usando a LTK e LCK<br />
v=v L1 v L2<br />
v L =L1⋅ di<br />
dt L2⋅di dt<br />
v= L 1 L 2⋅ di<br />
dt<br />
v= L EQ ⋅ di<br />
dt<br />
onde<br />
L EQ =L 1 L 2 .<br />
Genericamente L EQ =∑ L n<br />
4.9.2 Associação Paralela<br />
Usando a LCK e a LTK<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 14
i=i L1 i L2<br />
i= 1<br />
⋅∫ vt ⋅dt<br />
L1 1<br />
L 2<br />
i= 1<br />
<br />
L1 1<br />
L2⋅∫vt ⋅dt<br />
i= 1<br />
⋅∫vt ⋅dt<br />
L EQ<br />
onde<br />
1<br />
L EQ<br />
= 1<br />
<br />
L1 1<br />
L2 ⋅∫ vt⋅dt<br />
Genericamente 1 =∑ L EQ<br />
1<br />
L n<br />
4.10 Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC<br />
As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores<br />
que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a<br />
LCK e LTK também são válidas.<br />
No circuito abaixo iremos equacionar as tensões nós.<br />
para o nó A (na fonte de corrente)<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 15
C 1⋅ dv A<br />
dt v A<br />
<br />
R1 1<br />
⋅∫v A−v B⋅dtI 0 =I1<br />
L1 para o nó B (no resistor R2)<br />
1<br />
⋅∫v B−v A⋅dt−I 0 L1 v B<br />
=0<br />
R2 a condição inicial do problema é<br />
v A 0=V 0<br />
Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o<br />
problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R2 então podemos obter esta<br />
equação somando as duas equações<br />
C 1⋅ dv A<br />
dt v A<br />
<br />
R 1<br />
vB =I1<br />
R2 e a tensão vA pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes<br />
1<br />
⋅v B− L1 1<br />
⋅v A L1 1<br />
⋅<br />
R2 dv B<br />
dt =0<br />
assim<br />
v A =v B L1 ⋅<br />
R 2<br />
dvB dt<br />
dv A<br />
dt = dvB dt L1 ⋅ d 2 v B<br />
R 2<br />
dt 2<br />
substituindo vA temos<br />
L1⋅C 1⋅ d 2 vB dt 2 R 2⋅C 1 L 1 1<br />
R ⋅dv B<br />
dt 1 R 2 1<br />
R ⋅v B=R 2⋅I1<br />
as condições iniciais são<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 16
v A 0=V 0 =R 2 ⋅I1<br />
e<br />
dvB 0<br />
dt = R2 ⋅[v A0−v B0]= L1 R2 ⋅[V 0−R2⋅I1] L1 O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de<br />
corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin.<br />
para a primeira malha<br />
R1⋅i 1V 0 1<br />
t<br />
⋅∫ C 1 0<br />
para a segunda malha<br />
i 1 −i 2 ⋅dt '=V1<br />
L1⋅ di L2<br />
dt R2⋅i 2−V t<br />
1<br />
0 ⋅∫ i 2−i1⋅dt '=0<br />
C 1 0<br />
a condição inicial do problema é<br />
i 2 0=I 0<br />
As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos<br />
interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R 2 então podemos manipular as<br />
equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima<br />
R 1⋅i 1 L 1⋅ di 2<br />
dt R 2⋅i 2=V1<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 17
i1 = −L1 ⋅<br />
R1 di2 dt − R2 ⋅i 2 R1 V1<br />
R1 Derivando a segunda equação obtemos<br />
L1⋅ d 2 i 2<br />
dt 2 R2⋅ di 2<br />
dt i 2<br />
−<br />
C 1<br />
i1 =0<br />
C 1<br />
e substituindo i1<br />
L1⋅C 1⋅ d 2 i 2<br />
dt 2 R 2⋅C 1 L 1 1<br />
R ⋅di 2<br />
dt 1 R 1 2<br />
R ⋅i 2= V1<br />
R1 i 2 0=I 0<br />
di2 0 1<br />
= ⋅V 0−R2⋅I 0 dt L1 L1⋅C 1⋅ d 2 v2 dt 2 R2⋅C 1 L 1 1<br />
R ⋅dv 2<br />
dt 1 R 1 2<br />
R ⋅v 2=R 2⋅I1<br />
v 2 0=R 2 ⋅I 0<br />
dv20 dt = R2 ⋅V 0 – R2⋅I 0 L1 4.11 Exercícios<br />
1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em<br />
t=0s, a chave S1 fecha. Determinar as correntes e tensões nos capacitores e indutores para os<br />
instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para tempo infinito: iL(0 – ),<br />
iL(0 + ), iC(0 – ), iC(0 + ), iL(∞), iC(∞), vC(0 – ), vC(0 + ), vC(∞), vL(0 – ), vL(0 + ), vL(∞), diL(0 – )/dt, diL(0 + )/dt,<br />
dvC(0 – )/dt, dvC(0 + )/dt.<br />
a) Considere Is1(t) uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 18
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:<br />
v C1 0 - =0V , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
vC10 + =v C10 - , iC10 + = Is1<br />
⋅G 1 ,<br />
G1G 1<br />
dvC10+ <br />
dt =i C10+ <br />
C 1<br />
v C1 ∞=Is1⋅R 1 , i C1 ∞=0A<br />
b)<br />
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:<br />
i L1 0 - =0A , v L1 0 - =0V , di L1 0- <br />
dt = v L1 0- <br />
L 1<br />
i L1 0 + =0A , v L1 0 + = I1⋅R 1 , di L1 0+ <br />
dt = v L1 0+ <br />
L 1<br />
i L1 ∞=I1 , v L1 ∞=0V .<br />
c) Considere V1(t) uma fonte constante e o capacitor descarregado.<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 19
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:<br />
i L1 0 - = V1<br />
R 1<br />
i L1 0 + = V1<br />
R 1<br />
i L1 ∞= V1<br />
R 1<br />
, v L1 0 - =0V , di L1 0- <br />
dt = v L1 0- <br />
L 1<br />
, v L1 0 + =V1 , di L1 0+ <br />
dt = v L1 0+ <br />
L 1<br />
, v L1 ∞=0V .<br />
v C1 0 - =0V , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
v C1 0 + =0V , i C1 0 + = V1<br />
R 1<br />
v C1 ∞=V1 , i C1 ∞=0A .<br />
, dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
d) V1(t) é uma fonte constante e independente.<br />
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:<br />
i L1 0 - = V1<br />
R 1<br />
, v L1 0 - =0V , di L1 0- <br />
dt = v L1 0- <br />
L 1<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 20
i L10 + = V1<br />
, v<br />
R L10 1<br />
+ =0V , di L10+ <br />
dt = vL10+ <br />
L1 i L1 ∞= V1<br />
R 1<br />
, v L1 ∞=0V .<br />
v C1 0 - =V1 , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
v C1 0 + =V1 , i C1 0 + =− V1<br />
R 2<br />
v C1 ∞=0V , i C1 ∞=0A .<br />
, dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
e) V1(t) é uma fonte constante e independente<br />
Fazendo um Thévenin sem incluir C1 nem o ramo de R2.<br />
Em circuito aberto: v CA =v 2 =−R 3 ⋅i 1 =−R 3 ⋅ V1−2⋅v 2<br />
R 1<br />
Em curto circuito: iCC =I =i1 = V1−V B1<br />
=<br />
R11 V1<br />
.<br />
R1 V TH =v CA , R TH =− v CA<br />
I CC<br />
v C1 0 - =V TH , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
, logo v CA =− R3⋅V1<br />
R 1 2⋅R 3<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 21
v C1 0 + =V TH , i C1 0 + =− V TH<br />
R 2<br />
vC1 ∞= V TH<br />
⋅R 2 , iC1∞=0A .<br />
RTH R2 f) V1t=ut <br />
, dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
Como Vot=v C1 t , i C1 será determinado da direita para a esquerda.<br />
v C1 0 - =0V , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
v C1 0 + =0V , i C1 0 + =−i R2 =− V1<br />
R 2<br />
vC1 ∞=− V1<br />
⋅R1 , iC1∞=0A .<br />
R 2<br />
g) V1t=ut <br />
, dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 22
v C1 0 - =0V , i C1 0 - =0A , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
v C1 0 + =0V , i C1 0 + = V1<br />
R 1<br />
v C1 ∞=V1 , i C1 ∞=0A .<br />
, dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
2) Determine iL1(∞), iL1(0 + ), vC1(∞), vC1(0 + )<br />
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:<br />
i L1 0 + =0A , i L1 ∞=I1<br />
v C2 0 + =0V , v C2 ∞= I1⋅R 2 .<br />
3) Para o circuito abaixo determine vC(0 – ), vC(0 + ), iC(0 – ), iC(0 + ), vC(∞), iC(∞).<br />
Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor:<br />
R TH = R 1 R 2 // R 3 onde // indica “em paralelo com”<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 23
I1− I2<br />
V TH t= ⋅G SERIE⋅R 3<br />
G1G SERIE<br />
onde G SERIE= G 2 ⋅G 3<br />
G 2 G 3<br />
v C 0 - =V TH 0 - , i C 0 - =0A<br />
v C 0 + =V TH 0 - , i C0 + = V TH 0+ −V TH 0 - <br />
R TH<br />
v C ∞=V TH 0 + , i C ∞=0A .<br />
4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e<br />
corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i1(t) e as expressões para vL2(t) e<br />
iv(t).<br />
v L2 = L 2 ⋅t<br />
v i1 −v 1 v L2 v R2 =0<br />
v i1 =u t −L 2 ⋅ t– i1⋅R 2<br />
i v –i1 – i L1 −i C1 =0<br />
i v =i1 1<br />
L ⋅∫u t ⋅dtC⋅t<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 24
5) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e<br />
correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule iL1(0 – ), iL1(0 + ),<br />
iC1(0 – ), iC1(0 + ), iL1(∞), iC1(∞), vC1(0 – ), vC1(0 + ), vC1(∞), vL1(0 – ), vL1(0 + ), vL1(∞), diL1(0 – )/dt,<br />
diL1(0 + )/dt, dvC1(0 – )/dt, dvC1(0 + )/dt.<br />
Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:<br />
i L10 - = V2<br />
, v<br />
R1R L10 2<br />
- =0V , di L10- <br />
dt = v L10- L1 i L10 + = V2<br />
, v L10 R1R 2<br />
+ =0V , di L10+ <br />
dt = vL10+ <br />
L1 i L1∞= V1<br />
, v L1∞=0V .<br />
R1R2 vC10 - = V2<br />
⋅R2 , i<br />
R1R C10 2<br />
- =0A , dvC10+ <br />
dt =i C10+ <br />
C 1<br />
v C1 0 + = V2<br />
R 1 R 2<br />
⋅R 2 , i C1 0 + = V1−v C1 0+ <br />
vC1∞= V1<br />
⋅R2 , iC1∞=0A .<br />
R1R 2<br />
R 1<br />
−i L10 + , dv C1 0+ <br />
dt =i C1 0+ <br />
C 1<br />
Princípios de Instrumentação Biomédica – <strong>COB</strong> <strong>781</strong> 25