AJUSTE DAS COORDENADAS PLANIMÉTRICAS DE ... - Unesp

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002. p.010-017.
AJUSTE DAS COORDENADAS PLANIMÉTRICAS DE MALHAS URBANAS
UTILIZANDO MEDIÇÕES DIRETAS DE DISTÂNCIAS E INFORMAÇÕES
DE COLINEARIDADE
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
ROBERTO DA SILVA RUY
ANTONIO MARIA GARCIA TOMMASELLI
PAULO DE OLIVEIRA CAMARGO
Universidade Estadual Paulista - UNESP
Faculdade de Ciências e Tecnologia - FCT
Departamento de Cartografia, Presidente Prudente - SP
{rruy, tomaseli, paulo}@prudente.unesp.br
RESUMO - As prefeituras de pequeno porte, em geral, não têm disponíveis bases cartográficas
planimétricas atualizadas da malha urbana, devido à falta de mão-de-obra especializada e carência de
equipamentos adequados à levantamentos. Uma solução para este problema seria o Aerolevantamento,
mas esta técnica é inacessível para pequenas prefeituras, devido ao seu alto custo. Por outro lado,
freqüentemente são feitos levantamentos a trena das testadas dos imóveis e, com algumas medidas
adicionais, “amarrando” as quadras entre si, é possível realizar um ajustamento em rede das coordenadas
dos vértices das quadras. Do ponto de vista prático, a idéia é que uma planta planimétrica em escala
média possa ser refinada através da introdução de medidas lineares entre os vértices das quadras, de
informações de colinearidade entre tais vértices e de alguns pontos de controle. Um programa de
ajustamento foi implementado em linguagem C/C++ e alguns testes práticos foram conduzidos. Estes
experimentos foram realizados com dados simulados e reais, permitindo afirmar que o método atende aos
objetivos propostos.
ABSTRACT - Municipal governments do not have updated cartographic databases of urban areas,
mainly due to the lack of technical staff and to the problems to maintain suitable surveying instruments. A
feasible alternative is the direct measurements of blocks and some additional lengths linking grid points
using measuring tapes. The idea is that a medium scale planimetric map can be adjusted with the
distances measurement, colinearity information and control points. This approach enables the
construction of large scale planimetric maps at low cost. The adjustment algorithms were implemented in
C/C++ language and the method was accessed with simulated and real data. The results were effective the
method readied the proposed objectives.
1 INTRODUÇÃO
Em geral, as prefeituras de pequeno porte não têm
disponíveis bases cartográficas planimétricas atualizadas
da malha urbana, em virtude da falta de mão-de-obra
especializada e carência de equipamentos adequados.
Isso pode ser solucionado por técnicas de
aerolevantamento, porém, devido ao alto custo, torna-se
inacessível para pequenas prefeituras. As administrações
públicas podem dispor apenas de fotografias em escalas
médias e pequenas, normalmente custeadas pela
administração estadual ou federal. Mas, estas escalas são
inadequadas ao cadastro e ao planejamento urbano.
Freqüentemente, são realizados levantamentos à
trena das testadas dos imóveis e, se forem adicionadas
algumas medidas lineares concatenando as quadras entre
si, é possível realizar um ajustamento em rede das
coordenadas dos vértices das quadras, que na metodologia
proposta devem ser fornecidas por uma carta digital. A
proposta deste trabalho é utilizar as medidas lineares
diretas e restrições de colinearidade para melhorar a base
cartográfica existente.
Estas informações são integradas à um software
CAD, por meio de arquivos dxf, para visualização e
edição dos dados. Este arquivo serve de entrada para o
programa desenvolvido em linguagem C/C++, que realiza
o ajustamento em rede das coordenadas planimétricas dos
vértices das quadras por meio do método paramétrico com
injunções. As medidas de distâncias formam equações de
observações, enquanto que as coordenadas e as
informações de colinearidade são introduzidas como
injunções relativas.
Dentro deste contexto, serão apresentados neste
trabalho alguns experimentos realizados com dados

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
simulados e reais, a fim de comprovar a integridade da
metodologia proposta.
2 METODOLOGIA
A idéia deste trabalho é a atualização de bases
cartográficas em escalas médias para que sejam
compatíveis à bases em escalas grandes. Para tanto, parte
da hipótese que uma planta de quadras pré-existente e
digitalizada forneça as coordenadas aproximadas dos
vértices das quadras, formando uma malha de pontos.
A metodologia deste trabalho, já descrita em RUY
et al (2001), baseia-se em algumas relações entre os
vértices das quadras. As distâncias medidas em campo
são usadas como equações de observação, as restrições de
colinearidade e as coordenadas dos vértices de quadras
são introduzidas como injunções relativas, em um
ajustamento pelo método paramétrico. Uma característica
importante desta metodologia é que no software CAD as
informações são introduzidas graficamente, usando um
sistema que exporta um arquivo do tipo dxf a ser lido pelo
programa de refinamento.
O arquivo gráfico contendo a planta de quadras
pode ser obtido através da digitalização de cartas ou
fotografias aéreas da área. As distâncias entre os vértices
de quadras são medidas em campo com trena. Tais
medidas correspondem às faces das quadras e distâncias
entre vértices das quadras distintas, que são efetuadas
para ligar as quadras entre si e garantir a rigidez da rede,
evitando assim, um deslocamento entre as quadras. Os
pontos colineares são selecionados após uma verificação
em campo, procurando identificar os vértices que estão
dispostos aproximadamente numa mesma reta,
respeitando uma tolerância pré-estabelecida pelo usuário.
Os pontos de controle são pontos correspondentes à
alguns vértices das quadras, cujas coordenadas podem ser
obtidas com receptor GPS (Global Positioning System).
Estes pontos possuem a finalidade de definir o referencial
da rede com exatidão, os quais devem estar bem
distribuídos pela malha. Todas estas informações são
editadas num software CAD, que gera um arquivo dxf a
ser lido pelo programa de ajustamento desenvolvido em
linguagem C/C++.
Com isso, é realizado o refinamento das
coordenadas iniciais por meio das informações adicionais
editadas no software CAD. As coordenadas são ajustadas
pelo método paramétrico com injunções, onde as
distâncias medidas em campo formam as equações de
distâncias e as coordenadas e as relações de colinearidade
entre os vértices as injunções relativas.
- Equações de Observação
As equações de observação são escritas como
equações de distâncias entre dois vértices:
a a a a a
d = ( X − X ) + ( Y −Y
)
(1)
onde:
a
d – distância linear entre os pontos;
f
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
i
f
i
a a
X , i i
a
X , a
f f
Y - coordenadas ajustadas do vértice i;
Y - coordenadas ajustadas do vértice f;
- Equações de Injunção
As coordenadas dos vértices das quadras, tanto as
extraídas na carta quanto as levantadas em campo, são
utilizadas como injunções de posição (equações de
coordenadas).
onde a
i
X e a
i
X
Y
a
i
a
i
= X
= Y
0
i
0
i
+
+
dy
dx
Y são as coordenadas ajustadas do vértice i.
Para estabelecer as relações de colinearidades,
definem-se retas a partir dos extremos dos alinhamentos
e, com isso, obriga-se que as distâncias entre os pontos
intermediários dos alinhamentos e as retas definidas
estejam dentro da tolerância indicada pelo usuário. As
equações são definidas com as coordenadas dos pontos
extremos:
X
X
X
a
i
a
f
Y
Y
Y
a
i
a
f
1
1 = 0
A partir deste determinante, tem-se que:
a a
a a a a a a
( −Y
) X + ( X − X ) Y + ( X Y − X Y ) = 0
i
f
f
i
1
i
f
f
i
(2)
(3)
Y (4)
onde:
a a
i Yi
a a
f Y f
X , : Coordenadas do vértice i da reta;
X , : Coordenadas do vértice f da reta.
A equação 4 pode ser associada a forma ax + by +
c = 0, onde:
a a
a = Y − Y ;
b =
c =
a
f
i
f
X − X ; (5)
a
i
a
f
a
i
X Y − X Y .
a a
f i
As injunções de colinearidade são definidas com
base na distância mínima do ponto à reta. Cada vértice é
ajustado à reta para que o alinhamento seja satisfeito. A
distância de ponto à reta é definida pela equação:
a a
a aX P + bYP
+ c
d P,
r = (6)
2 2
a + b
onde:
d a P,r: distância ajustada do vértice P à reta r;
a, b, c: parâmetros da reta r;
X a P, Y a P: coordenadas ajustadas do vértice P.

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
- Método Paramétrico com Injunções
por:
ou
onde:
T
N = A PA
T
' = C P C
N Inj
T
U = A PL
T
' = C P L'
U Inj
2
0
O vetor X de correção aos parâmetros é dado
' −1
'
X = −(
N + N ) ( U + U )
2
P = σ ∑ → matriz peso das observações, sendo σ o
−1
Lb
fator de variância a priori e
2
0
−1
'
Lb
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
(7)
(8)
∑ a matriz variância-
Lb
covariância (MVC) das observações (distâncias).
P = σ ∑
2
→ matriz peso das injunções, sendo σ o
inj
T T −1
T T '
X = −(
A PA + C PinjC
) ( A PL + C Pinj
L )
fator de variância a priori e
∑ a MVC das injunções
Lb
(coordenadas dos vértices das quadras e relações de
colinearidade).
Os desvios padrão das distâncias são obtidos de
acordo com o instrumento de medida empregado.
Já, os desvios padrão das injunções são dados por:
- Coordenadas extraídas da carta: relativo à
escala da carta (0.3mm x denominador da escala);
- Pontos de controle: fornecido pelo receptor
GPS;
- Equações de colinearidade: relativo à tolerância
estabelecida pelo usuário.
A matriz A é definida pelas derivadas parciais das
equações de observações (equação 1) em função dos
parâmetros (coordenadas dos vértices).
∂ d
∂ X
∂ d
∂ Y
a
i
∂ d
∂ X
∂ d
∂ Y
a
a x0
i
a
a
a
f
a
a
f
x0
x0
x0
0
( xi
− x
=
0
( yi
−
=
( x
=
( y
=
0
f
0
f
0
f
0
f
− x
−
y
y
0
i
0
i
)
)
)
)
( x
A matriz das injunções C é dada por:
0
f
( x
( x
0
f
0
f
( x
0
f
2
− x ) + ( y −
x
0
i
− x
−
0
i
0
i
− x
0
i
)
)
)
2
2
2
0
f
+ ( y
+ ( y
0
f
0
f
+ ( y
0
f
−
−
−
y
y
y
y
0
i
0
i
0
i
0
i
)
)
)
)
2
2
2
2
0
0
(9)
- Derivadas parciais das equações de coordenadas
(equações 2) em função dos parâmetros:
(10)
- Derivadas parciais da equação 6 em função dos vértices
que compõem o alinhamento. Tais derivadas são
decompostas em:
derivadas em relação às coordenadas do vértice
inicial da reta:
2 2
[ ( Yf
− YP
) * a + b ] −
⎡−
b * ( aX
+ bY + c)
⎤
P P
⎢
2 2 ⎥
∂ d
⎣ a + b ⎦ (11)
=
2 2
∂ X
a + b
i
2 2 ⎡
[ ( X P − X f ) * a + b ] − ⎢
⎣
2 2
P P
2 2 ⎥
∂ d
a + b (12)
∂
Yi
=
a + b
a * ( aX + bY + c)
⎤
derivadas em relação às coordenadas do vértice
final da reta:
∂
d
X i
=
[ ( YP
− Yi
) *
2 2 ⎡b
a + b ] − ⎢
⎣
2 2
* ( aX P + bYP
+ c)
⎤
2 2 ⎥
a + b ⎦
a + b
∂ (13)
[ ( X i − X P ) *
2 2 ⎡−
a + b ] − ⎢
⎣
2 2
a * ( aX P + bYP
+ c)
⎤
2 2 ⎥
∂ d
a + b ⎦ (14)
=
∂
a + b
X i
∂c
∂X
derivadas em relação às coordenadas dos
vértices internos do alinhamento
a *
a
b
2 2
∂ d +
=
(15)
2 2
X a + b
P
∂
2 2
∂ d b * a + b
(16)
= 2 2
∂ Y a + b
P
Os vetores L e L’ são formados por:
a
X 0
L = L0
−
=
' '
L = L0
−
u
I
Lb
L
u
'
b
⎦
(17)
(18)

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
onde:
L0: vetor dos valores aproximados;
Lb: vetor das observações (distâncias);
L0’: vetor dos parâmetros aproximados;
Lb’: vetor dos parâmetros injuncionados.
O Vetor dos parâmetros ajustados Xa e dado por:
X a
= X 0 +
onde:
X0: vetor dos parâmetros aproximados;
X: vetor das correções.
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
X
(19)
Como o modelo é não linear, são necessárias
iterações no ajustamento. O critério de convergência
adotado foi de 0.01m.
Por fim, as coordenadas ajustadas são introduzidas
novamente no arquivo dxf sobrescrevendo as coordenadas
iniciais. Este arquivo ajustado é carregado no software
CAD para visualização da base ajustada.
3 EXPERIMENTOS E RESULTADOS
Para verificar o funcionamento do programa e da
metodologia desenvolvidos, foram realizados vários
experimentos em diversas situações. Num primeiro
momento, foram realizados experimentos simulados e em
seguida, experimentos com dados reais.
As considerações sobre os experimento serão
tratadas posteriormente no tópico 4.
3.1 Experimentos simulados
Neste teste foi construída uma pequena malha
regular com coordenadas referenciadas a um sistema
arbitrário, como pode ser visto na Figura 1.
y (m)
210
110
100
1
4
9
2
3
10
12 11 16 15
0
0 100 110 210 x (m)
Figura 1 – Representação da malha de quadras
correspondente ao teste simulado.
5
8
13
6
7
14
Para simular os testes foram introduzidos erros em
torno de 1m nas coordenadas dos vértices de quadras,
provocando uma pequena deformação na malha. A Tabela
1 mostra as coordenadas modificadas para a realização
dos experimentos simulados.
Tabela 1: Coordenadas modificadas da malha simulada.
Vértice X (m) Y (m)
1 -1 211
2 100 211
3 101 111
4 1 110
5 109 209
6 210 211
7 211 111
8 111 111
9 1 99
10 100 99
11 101 -1
12 1 1
13 109 101
14 211 100
15 212 1
16 111 0
De acordo com as discrepâncias atribuídas, os
erros médios quadráticos nas componentes x e y foram:
EMQx = 1.0000m e EMQy = 0.9014m
As distâncias foram tomadas de acordo com a
malha regular precisa definida inicialmente (Figura 1).
Experimento 1
Neste experimento foram considerados:
- 2 pontos de controle (6 e 12);
- 4 equações de colinearidade (nas faces
periféricas da malha).
Pontos de Controle
Figura 2: Geometria das quadras após o ajustamento –
experimento 1.

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
A Tabela 2 mostra os erros nos vértices que não
foram usados como controle no ajustamento.
Tabela 2: Erros verdadeiros e erro médio quadrático
obtidos no experimento 1.
Vértice DX (m) DY (m)
1 -0,0562 0,0651
2 -0,0543 0,0890
3 -0,0437 0,0962
4 -0,0446 0,0633
5 -0,0039 1,0904
7 0,0226 0,0054
8 0,0182 1,0886
9 0,9587 0,0125
10 0,9491 0,0352
11 -0,0051 0,0366
13 1,0104 1,0266
14 1,0113 -0,0432
15 0,0449 -0,0464
16 0,0431 1,0221
EMQ 0,5263 0,5673
Experimento 2
Para o experimento 2 foram usados:
- 5 pontos de controle (1, 3, 6, 12, 15);
- 4 equações de colinearidade (nas faces
periféricas da malha).
Pontos de Controle
Figura 3: Geometria das quadras após o ajustamento –
experimento 2.
A seguir, a Tabela 3 mostra os erros obtidos ao
final do ajustamento para os pontos que não foram
tratados como controle.
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
Tabela 3: Erros verdadeiros e erro médio quadrático
obtidos no experimento 2.
Vértice DX (m) DY (m)
2 0,0017 -0,0002
4 -0,0006 0,0031
5 0,0020 0,0689
7 0,0101 0,0019
8 0,0120 0,0647
9 0,0527 0,0031
10 0,0624 -0,0113
11 -0,0007 -0,0057
13 0,0756 0,0519
14 0,0736 0,0019
16 -0,0005 0,0549
EMQ 0,0405 0,0367
Experimento 3
Neste último experimento simulado foram
considerados:
- 5 pontos de controle (1, 3, 6, 12, 15);
- 8 equações de colinearidade (em todas as faces
da malha).
Pontos de Controle
Figura 4: Geometria das quadras após o ajustamento –
experimento 3.
Na Tabela 4, pode-se observar os erros nos pontos
que não foram usados como controle no ajustamento.

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
Tabela 4: Erros verdadeiros e erro médio quadrático
obtidos no experimento 3.
Vértice DX (m) DY (m)
2 -0,0424 0,0181
4 -0,0058 -0,1106
5 -0,0259 0,6619
7 0,0313 -0,0960
8 0,0368 0,6617
9 0,5070 -0,1348
10 0,6316 0,0132
11 -0,0467 0,0191
13 0,6817 0,6252
14 0,6864 -0,1272
16 -0,0332 0,6217
EMQ 0,3814 0,3943
3.2 Experimentos com dados reais
Os testes utilizando dados reais foram realizados em
uma área teste localizada em um bairro na área urbana de
Presidente Prudente – SP, representada pela Figura 6.
N N
1
2
4 5
17
3 6
8 9
18 7 10
20 21 12 13
19 22
33 24
11 14
25
34
16
23 26
36 37 28
15
29
35 38
49 40 41 27 30
50
32
52
39 42
53 44
31
45
51 54
56 57 43 46
48
55 58
60 61 47
59 64 62
63
Figura 5: Área teste localizada na cidade de Presidente
Prudente-SP.
Na Figura 5, os vértices foram numerados de 1 a
64, com intuito de auxiliar nos experimentos.
Para a realização dos experimentos foi utilizada
uma carta digital na escala 1:10000, correspondente a esta
região de estudo, a partir da qual foram extraídas as
coordenadas aproximadas dos vértices de quadras.
As distâncias medidas em campo, correspondentes
às faces de quadras e cruzamentos de vias, foram
efetuadas com o auxílio da trena. Posteriormente, estas
medidas foram reduzidas a sistema de projeção UTM,
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
pois a carta digital se encontrava referenciada a este
sistema.
Os pontos de controle foram coletados com
receptor GPS Trimble 4600 SL, procurando-se distribuílos
por toda a rede. Entretanto, devido às obstruções de
sinais causados por árvores e construções, a coleta de tais
pontos foi restrita à alguns vértices de quadras. Dentro
deste panorama, foram coletados para controle os vértices
5, 11, 14, 19, 21, 24, 25, 27, 31, 35, 41, 48, 52 e 63.
Dentro dos experimentos realizados, os pontos que não
foram introduzidos como controle, foram usados como
verificação.
Utilizando estas coordenadas dos pontos rastreados
com receptor GPS, pôde-se obter os erros médios
quadráticos para este conjunto de pontos: EMQx =
5.4980m e EMQy = 9.1910m.
Experimento 4
Para este experimento, foram considerados:
- 5 pontos de controle (5, 14, 41, 52 e 63);
- 9 pontos de verificação (11, 19, 21, 24, 25, 27,
31, 35 e 48);
- 16 equações de colinearidade (em todas as
faces da malha).
Pontos de Controle
Pontos de Verificação
Figura 6: Geometria das quadras após o ajustamento –
experimento 4.
Para verificar a confiabilidade dos resultados no
experimento 4, a Tabela 5 mostra os erros obtidos para os
pontos de verificação.

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
Tabela 5: Erros verdadeiros e erro médio quadrático dos
pontos de verificação no experimento 4.
Vértice DX (m) DY(m)
11 -0,428 0,752
19 -0,241 0,706
21 -0,617 1,232
24 -0,185 1,118
25 -0,612 -0,113
27 0,048 0,503
31 -0,700 -0,333
35 0,001 0,295
48 0,434 0,361
EMQ 0,436 0,701
Experimento 5
Neste experimento com dados reais, foram
considerados mais pontos de controle, conforme segue
descrito:
- 11 pontos de controle (5, 11, 14, 19, 21, 31, 35,
41, 48, 52 e 63);
- 3 pontos de verificação (24, 25 e 27);
- 4 equações de colinearidade (nas faces
periféricas).
Pontos de Controle
Pontos de Verificação
Figura 7: Geometria das quadras após o ajustamento –
experimento 5.
Na Tabela 6 pode-se verificar os erros obtidos nos
pontos de verificação após o ajustamento.
R. S. Ruy; A. M. G. Tommaselli; P. O. Camargo
Tabela 6: Erros verdadeiros e erro médio quadrático dos
pontos de verificação no experimento 5.
4 DISCUSSÃO
Vértice DX (m) DY (m)
24 -0,269 0,331
25 0,068 -0,344
27 0,093 -0,077
EMQ 0,169 0,279
Os experimentos realizados, tanto os simulados
como os reais, mostraram que o programa desenvolvido
fornece resultados satisfatórios, que podem atingir uma
precisão compatível a uma escala 1:1000.
Nos testes simulados partiu-se de um erro em
torno de 1m e ao final do processamento, obteve-se em
alguns casos um resultado menor que 0.1m de
discrepância (Experimento 2). Para os testes com dados
reais, inicialmente, as discrepâncias estavam em torno de
5m e, após o ajuste, os resultados mostraram erros
inferiores a 1m.
Em alguns casos as equações de colinearidade
perturbaram os resultados, conforme mostram os
experimentos 3, 4 e 5. Analisando os testes, pôde-se
constatar que ao se definir equações de colinearidade
entre pontos de controle (experimento 2), estes erros são
minimizados, pois tais pontos não estão oscilando com os
demais e, com isso, o resultado não diverge. No
experimento 3, pode-se notar que algumas equações não
estão definidas pelos pontos de controle e, com isso, os
resultados sofreram modificações. Dessa forma, as
equações de colinearidade devem estar “ancoradas” em
pontos de controle.
No experimento 5, o grande número de pontos de
controle contribuiu para um resultado melhor.
5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
A partir dos experimentos apresentados, pode-se
concluir que a metodologia proposta e o programa
desenvolvido funcionam do modo esperado, podendo ser
úteis para as prefeituras realizarem atualizações de malhas
urbanas.
Nos testes, pôde-se perceber que os pontos de
controle exercem um papel fundamental neste processo.
Eles devem ser devidamente distribuídos, de modo que as
equações de colinearidade sejam formadas a partir desses
pontos, evitando assim, as deformações nos alinhamentos
de quadras.
Novos estudos devem ser desenvolvidos nesse
sentido, visando melhorar os resultados. Uma alternativa
pode ser a utilização de injunções funcionais (G(Xa) = 0)
ao invés das injunções relativas (G(Xa) = La’) para o
estabelecimento das restrições de colinearidade.

Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002.
Para a realização dos experimentos foi utilizado o
software CAD AutoSketch, que é comercializado a um
preço simbólico em bancas de revistas. Além deste, foram
testados os softwares CAD AutoCad e MicroStation, mas
devido a incompatibilidade entre os arquivos dxf, estes
softwares apresentaram alguns problemas. Para serem
utilizados haveria a necessidade de desenvolver outros
módulos de entrada de dados, o que não é o objetivo deste
trabalho.
AGRADECIMENTOS
A agência de fomento FAPESP, pelo
financiamento e apoio à pesquisa desenvolvida (Processo
n.º 00/00959-6).
REFERÊNCIAS
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