Derivadas das Funções Hiperbólicas - Unemat

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO I
Derivadas das Funções Hiperbólicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

Derivadas das Funções Hiperbólicas
1.Introdução
2.Derivada da função senh x
3.Derivada da função cosh x
4.Derivada da função tgh x
5.Derivada da função cotgh x
6.Derivada da função sech x
7.Derivada da função cossech x
8.Resumo das derivadas das funções hiperbólicas
9.Exemplos

1. Introdução
Partindo da definição das funções seno
hiperbólico e cosseno hiperbólico definidas,
respectivamente, por
x −x
x −x
e − e
e + e
senh x = cosh x =
2
2
encontram-se as derivadas das funções hiperbólicas.
3

2. Derivada da função senh x
Derivada da função senh x
senh x
=
x −x
e − e
2
x −x
d e + e
[ senh x]
=
dx
2
d
[ senh x] =
cosh x
dx
4

3. Derivada da função cosh x
Derivada da função cosh x
cosh x
=
x −x
e + e
2
x −x
d e − e
[ cosh x]
=
dx
2
d
[ cosh x] =
senh x
dx
5

tgh x
4. Derivada da função tgh x
=
Derivada da função tgh x
senh x
cosh x
d d
cosh x ⋅ senh x − senh x ⋅ cosh x
d
[ tgh x]
= dx dx
2
dx x
[ ] [ ]
( cosh )
2 2
( cosh )
d cosh x ⋅ cosh x − senh x ⋅ senh x
[ tgh x]
=
2
dx x
d cosh x − senh x d 1 d
2
[ tgh x] = ⇒ [ tgh x] = ⇒ [ tgh x] =
sech x
cosh x cosh x
2 2
dx dx dx
6

5. Derivada da função cotgh x
Derivada da função cotgh x
cotgh x
=
[ cotgh x]
cosh x
senh x
d d
senh x ⋅ cosh x − cosh x ⋅ senh x
d
[ cotgh x]
=
dx dx
2
dx x
[ ] [ ]
( senh )
2 2
2
dx senh x
2
dx dx
( senh )
d senh x ⋅ senh x − cosh x ⋅ cosh x
[ cotgh x]
=
2
dx x
d cosh x − senh x
= −
d 1 d
2
[ cotgh x] = − ⇒ [ cotgh x] = −cossech
x
senh x
7

6. Derivada da função sech x
Derivada da função sech x
1
sech x = = cosh x
cosh x
[ ]
( )
( cosh )
−1
d
−2
[ sech x] = −1⋅ ( cosh x) ⋅ senh x
dx
d
[ sech x] = −
dx
1
2
x
⋅ senh x
d 1 senh x
[ sech x]
= − ⋅
dx cosh x cosh x
d
dx
sech x = −sech x ⋅
tgh x
8

7. Derivada da função
cossech x
Derivada da função cossech x
1
cossech x = = senh x
senh x
[ ]
( )
( senh )
−1
d
−2
[ cossech x] = −1⋅ ( senh x) ⋅ cosh x
dx
d
[ cossech x] = −
dx
1
2
x
⋅ cosh x
d 1 cosh x
[ cossech x]
= − ⋅
dx senh x senh x
d
dx
cossech x = −cossech x ⋅
cotgh x
9

8. Resumo das derivadas das
funções hiperbólicas
A seguir, são apresentadas as versões da Regra
da Cadeia para as regras de diferenciação de todas as
seis funções hiperbólicas.
d du
[ senh u] = cosh u
dx dx
d du
[ cosh u] = senh u
dx dx
d 2 du
[ tgh u] = sec h u
dx dx
d 2 du
[ cotgh u] = −cossech
u
dx dx
d du
[ sech u] = −sech
u tgh u
dx dx
d du
[ cossech u] = −cossech
u cotgh u
dx dx
10

9. Exemplos
Exemplos: Encontre a derivada das funções abaixo
( )
a) y = cosh x
( 2 )
b) y = tgh 1−
x
( )
c) f ( x) =
ln senh x
11

9. Exemplos
Resolução:
( )
a) y = cosh x
d
y′ = senh x ⋅ x
dx
y′
=
senh
2
( ) ( )
( x )
x
12

9. Exemplos
Resolução:
( 2 )
b) y = tgh 1−
x
d
y′ = sec h 1− x ⋅ 1−
x
dx
( ) ( )
2 2 2
( )
y′ = −2x ⋅ sec h 1−
x
2 2
13

9. Exemplos
Resolução:
( )
c) f ( x) = ln senh x
1 d
f ′ ( x) = ⋅ senh x
senh x dx
f ′ ( x)
=
cosh x
senh x
f ′ ( x) =
cotgh x
( )
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