1. Verifique que os vetores u 1 = (1,2,-2),u2 = (2,1,2), e u3 = (2,-2,-1 ...

1. Verifique que os vetores u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 1, 2), e u3 = (2, −2, −1) são dois a dois
ortogonais.
2. Obtenha um vetor não nulo ortogonal aos vetores u = (2, 1, −1), e v = (1, −1, 2).
3. Com o vetor u = (1, 2, −1) obtenha dois vetores não nulos ortogonais a u e ortogonais entre si.
Se v ortogonal a u, mostre que v é combinação linear dos dois vetores obtidos na etapa anterior.
4. Sejam u e v vetores de R 3 . Verifique que:
a) |u + v| 2 = |u| 2 + 2〈u, v〉 + |v| 2
b) |u − v| 2 = |u| 2 − 2〈u, v〉 + |v| 2
c) |u + v| 2 − |u − v| 2 = 4〈u, v〉
d) u e v são ortogonais se, e só se |u + v| = |u − v|.
5. Considere uma base ortonormal {u1, u2, u3} de R 3 . Se w = α1u1 + α2u2 + α3u3 é um vetor
unitário, prove que as constantes αi são os cossenos dos ângulos θi formados por w e ui.
6. Dado o vetor v = (1, 2) de R 2 , obtenha um vetor u, ortogonal a v, de modo que a base {v, u}
tenha a mesma orientação da base canônica do R 2 .
7. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, −3) e é paralelo ao plano 3x−y+2z = 4.
8. Escreva a equação do plano que contém os pontos (1, 1, −1), (3, 3, 2) e (3, −1, −2). Obtenha um
vetor normal ao plano.
9. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (2, 1, −3) e é ortogonal ao plano 4x−3y+z = 5.
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10. Considere os planos de R 3 dados pelas equações 〈p − p0, w1〉 = 0 e 〈p − p0, w2〉 = 0, onde w1 e
w2 são vetores LI. Seja w = w1 × w2.
a) verifique que a reta determinada por p = p0 + tw está contida nos dois planos.
b) prove que, se p é um ponto que pertence a ambos os planos, então p = p0 + t0w para
algum t0.
11. Considere as seguintes funções F : R 2 −→ R 3 e em cada caso, verifique que F é diferenciável e
obtenha a matriz jacobiana. Indique os pontos p ∈ R 2 onde dFp não é injetora.
a) F (x, y) = (x, y, x + y)
b) F (x, y) = (x cos y, x sen y, 2x)
c) F (x, y) = (x + y, (x + y) 2 , (x + y) 3 )
12. Mostre que F (x, y, z) = (z, x, y) é um difeomorfismo de R 3 e obtenha a diferencial de F em p.
13. Verifique que a função F : R 3 −→ R dada por F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 é diferenciável e que
dFp(w) = 2〈p, w〉 , w ∈ R 3 .
14. Seja α : I ⊂ R −→ R 2 (ou R 3 ) uma função diferenciável tal que α ′
(t) = 0, para todo t ∈ I.
Prove que para todo t0 ∈ I, existe ε > 0 tal que α, restrita ao intervalo (t0 − ε, t0 + ε), é injetora.
15. Encontre uma aplicação linear F : R 2 −→ R 2 , cuja imagem da base canônica é dada por
F (e1) = (2, 1) e F (e2) = (1, 0). Verifique que F é bijetora, obtenha a função inversa F −1 e a
diferencial de F em p ∈ R 2
16. Seja T : R 2 −→ R 2 uma translação por a, isto é, T (p) = a + p, onde a, p ∈ R 2 . Verifique que
T preserva distância entre pontos, isto é, para todo p, q ∈ R 2 , |T (p) − T (q)| = |p − q|.
17. Sejam p, q ∈ R 2 , {w1, w2} e {v1, v2} duas bases ortonormais de R 2 . Verifique que existe uma
função F : R 2 −→ R 2 que satisfaz as condições: F (p) = q, dFp(wi) = vi e F preserva distâncias
entre pontos. (Dica: Usando os exercícios 15 e 16, considere a aplicação linear C tal que C(wi) = vi
e a translação T por q − C(p). Defina F = T ◦ C.)
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