Integrais duplos e de linha

More documents

Recommendations

Info

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 41 Exercise 5 Calculeovalordointegraldelinha Z C xzdx + xdy − yzdz sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (0, 0, 0) que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) , seguidodeumsegmentoderectaqueune B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une D (0, 1, 0) ao ponto E (0, 1, 1) . AcurvaC é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os arcos [AB], [BD] e [DE]. O trabalho pedido pode ser calculado por I W = C I −→ F |d −→ r = C1 I −→ F |d −→ r + C2 I −→ F |d −→ r + C3 −→ F |d −→ r . Uma parametrização do arco C1, contido na circunferência de equação x 2 + y 2 =1,é ⎧ ⎨ x(θ) =sinθ −→ r (θ) ≡ y(θ) =0 ⎩ z(θ) =cosθ para θ ∈ [0, π 2 ] a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r dθ =(cosθ, 0, − sin θ). Uma parametrização do arco C2, contido na recta y = −x +1∧ z =0,é ⎧ ⎨ x(t) =1− t −→ r (t) ≡ y(t) =t ⎩ z(t) =0 para t ∈ [0, 1]. a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r dt trização do arco C3, contido na resta x =0∧ y =1,é ⎧ ⎨ x(t) =0 −→ r (t) ≡ y(t) =1 ⎩ z(t) =t para t ∈ [0, 1] =(−1, 1, 0). Uma parame
42 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r =(0, 0, 1). Temos então dt I W = (xz, x, −yz) |d −→ I r + (xz, x, −yz) |d −→ I r + (xz, x, −yz) |d −→ r = = = C1 Z π 2 0 Z 1 + Z π 2 ∙ 0 C2 (sin θ cos θ, sin θ, 0) |(cos θ, 0, − sin θ) dθ 0 (0, 1 − t, 0) |(−1, 1, 0) dt + sin θ cos 2 θdθ + − cos3 θ 3 ¸ π 2 0 Z 1 ∙ + t − t2 2 0 ¸1 Z 1 (1 − t)dt + 0 ∙ t2 − 2 ¸ 1 0 0 Z 1 C3 (0, 0, −t) |(0, 0, 1) dt 0 = 1 3 . −t dt Exercise 6 Mostre que πa(2b + a) éovalordointegraldelinha Z zdx + xdy + ydz C ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t, z(t) = bt, parat ∈ [0, 2π] . Uma parametrização de C é ⎧ ⎨ x(t) =a cos t −→ r (t) ≡ y(t) =a sin t ⎩ z(t) =bt para t ∈ [0, 2π] a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r =(−asin t, a cos t, b). Temos dt então Z Z 2π zdx + xdy + ydz = bt (−a sin t) dt + a cos t (a cos t) dt + a sin t · bdt C 0 Z 2π = −abt sin tdt + a 0 2 cos 2 tdt + ab sin tdt = [abt cos t] 2π 0 Z 2π +ab sin tdt 0 = [abt cos t] 2π 0 − ab [sin t]2π 0 +ab [− cos t] 2π 0 Z 2π − ab cos tdt + a 0 2 Z 2π 0 + a2 = aπ (2b + a) . 1+cos(2t) dt 2 ∙ t 1 + 2 4 sin(2t) ¸2π 0
Page 1 and 2: ETI / EI, 1 o Ano UC: Análise Mate
Page 3 and 4: 2 Integrais Duplos Definição 1.1.
Page 5 and 6: 4 Integrais Duplos x=h1 (y)=a x=h2
Page 7 and 8: 6 Integrais Duplos Os pontos de int
Page 9 and 10: 8 Integrais Duplos Se optarmos pela
Page 11 and 12: 10 Integrais Duplos ZZ D x 2 dxdy =
Page 13 and 14: 12 Integrais Duplos Então a ordem
Page 15 and 16: 14 Integrais Duplos visto que cos
Page 17 and 18: 16 Integrais Duplos Apresenta-se em
Page 19 and 20: 18 Integrais Duplos y 0 D 1 x Figur
Page 21 and 22: 20 Integrais Duplos 1.4 Integrais d
Page 23 and 24: 22 Integrais Duplos (b) (c) (d) (e)
Page 25 and 26: 24 Integrais Duplos (b) D = {y = x,
Page 27 and 28: 26 Integrais Duplos — de volumes,
Page 29 and 30: 28 Integrais Duplos Exemplo 3. Calc
Page 31 and 32: 30 Integrais Duplos Pode aplicar-se
Page 33 and 34: 32 Integrais Duplos 7. Calcule o vo
Page 35 and 36: 34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
Page 41: 40 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA

Integrais duplos e de linha

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?