Integrais duplos e de linha

ETI / EI, 1 o Ano 

UC: Análise Matemática II 

Caderno 1 : Integrais Duplos e Integrais de Linha 

(Duplos, Volumes, Mudança de Coordenadas, Integrais de Linha) 

Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano 

Departamento de Métodos Quantitativos 

Fevereiro de 2011

Capítulo 1 

Integrais Duplos 

1.1 Integrais duplos - definição e interpretação 

Adefinição de integral duplo (multiplo) é uma generalização da de integral a uma só 

variável. Em particular, o Teorema de Fubini, permite relacionar um integral definido 

em R n (integral multiplo) com o integral em R. Nomeadamente, um integral multiplo 

pode ser calculado por integrações sucessivas numa variável considerando as restantes 

fixas (constantes). O integral duplo (multiplo) quando explicitado por intermédio de dois 

(vários) integrais simples designa-se por integral iterado. 

Seja f uma função de duas variáveis, z = f(x, y), que seja contínua numa certa região 

limitada e fechada D do xOy-plano. Tem-se D ⊂ Df ⊂ R 2 .Naprática,paracalcularum 

integral duplo RR 

D 

f(x, y)dxdy, temos que seguir os seguintes passos: 

1. Representar graficamente o domínio de integração D 

2. Estudar a regularidade do domínio de integração D e determinar a ordem de inte- 

gração (dxdy ou dydx) 

3. Explicitar os limites de integração e escrever o integral duplo na forma iterada 

4. Calcular o integral duplo respeitando a ordem de integração 

A principal dificuldade nos integrais duplos, consiste em, dado um domínio de inte- 

gração D, determinar os limites de integração em cada um dos integrais simples envolvidos. 

1

2 Integrais Duplos 

Definição 1.1.1 O domínio D ⊂ R 2 diz-se regular segundo o eixo dos yy (no sentido do 

eixo dos yy) se 

1. Qualquer vertical que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira 

em apenas dois pontos 

2. D é limitado pelas curvas y = g1(x) e y = g2 (x) e pelas rectas x = a e x = b, sendo 

g1(x) ≤ g2 (x) e a ≤ b. 

Se o domínio de integração D éregularnosentidodoeixodosyy (ou segundo o eixo 

dos yy), então a ordem de integração é dydx e o integral duplo explicita-se (calcula-se) 

por 

ZZ 

D 

f(x, y)dxdy = 

Z b 

a 

ÃZ g2(x) 

! 

f(x, y)dy dx = 

g1(x) 

Z b 

a 

dx 

Z g2(x) 

g1(x) 

f (x, y) dy. 

Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos yy, em cada 

uma das seguintes situações: 

y=g2 (x) 

y y 

D 

y=g 1 (x) 

a b 

y=g2 (x)=c 

y y 

D 

y=g 1 (x)=d 

a b 

y=g 2 (x) 

y=g1 (x) 

x a b x 

y=g 2 (x) 

x a b x 

D 

D 

y=g 1 (x) 

Deve ficar claro que o cálculo de um integral duplo requer o cálculo de 2 integrais 

simples pela ordem indicada: primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável y (con-

1.1. INTEGRAIS DUPLOS - DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO 3 

siderando x como constante) desde y = g1(x) (a fronteira inferior do domínio de integração 

D) até y = g2(x) (a fronteira superior de D); depois o integral da expressão obtida em 

relação à variável x no intervalo [a, b] ,isto é, do extremo esquerdo do domínio de integração 

D até ao extremo direito de D. 

Definição 1.1.2 O domínio D ⊂ R 2 diz-se regular segundo o eixo dos xx (no sentido do 

eixo dos xx) se 

1. Qualquer horizontal que passe por um ponto interior de D intersecta a sua fronteira 

em apenas dois pontos 

2. D é limitado pelas curvas x = h1(y) e x = h2 (y) epelasrectasy = c e y = d, sendo 

h1(y) ≤ h2 (y) e c ≤ d. 

Se o domínio de integração D é regular no sentido do eixo dos xx (ou segundo o eixo 

dos xx), então a ordem de integração é dxdy e o integral duplo explicita-se (calcula-se) 

por 

ZZ 

D 

f(x, y)dxdy = 

Z d 

c 

ÃZ h2(y) 

! 

f(x, y)dx dy = 

h1(y) 

Z d 

c 

dy 

Z h2(y) 

h1(y) 

f (x, y) dx. 

Graficamente, temos um domínio de integração regular no sentido do eixo dos xx, em 

cada uma das seguintes situações: 

x=h1 (y) x=h2 (y) 

y y 

d 

c 

D 

a b 

y=d 

y=c 

d 

c 

x=h 1 (y) 

D 

y=d 

x=h 2 (y) 

y=c 

x x


x=h1 (y)=a x=h2 (y)=b 

y y 

d 

c 

D 

a b 

y=d 

y=c 

d 

c 

x=h 1 (y) 

x x 

D 

y=d 

x=h 2 (y) 

Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável x (con- 

siderando y como constante) desde x = h1(y) (a fronteira esquerda do domínio de inte- 

gração D) até x = h2(y) (a fronteira direita de D); depois o integral da expressão obtida em 

relaçãoàvariávely no intervalo [c, d] ,isto é, do extremo inferior do domínio de integração 

D até ao extremo superior de D. 

Tem-se sempre que 

Z Ã 

b Z ! 

g2(x) 

ZZ 

f(x, y)dy dx = 

a 

g1(x) 

D 

f(x, y)dxdy = 

Z d 

c 

y=c 

ÃZ h2(y) 

! 

f(x, y)dx dy, 

ou seja, indiferente da ordem de integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo. 

Propriedades 

Caso existam os integrais duplos são válidas as seguintes propriedades operacionais: 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

[f(x, y) ± g(x, y)] dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy; 

D 

D 

D 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

D 

D 

D 

h1(y) 

ZZ 

cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, para c ∈ R; 

D 

h(x)f(x, y)dxdy = 

g(y)f(x, y)dxdy = 

Z b 

a 

Z d 

c 

h(x) 

g(y) 

Z g2(x) 

g1(x) 

Z h2(x) 

h1(x) 

f(x, y)dydx; 

f(x, y)dxdy. 

Uma outra propriedade de grande utilidade em domínios de integração não regulares é a 

seguinte: 

ZZ 

D 

ZZ 

f(x, y)dxdy = 

D1 

ZZ 

f(x, y)dxdy + 

D2 

f(x, y)dxdy,

1.2. EXEMPLOS 5 

se D = D1 ∪ D2, int(D1) ∩ int(D2) =∅, e D1 e D2 são regulares no mesmo sentido. 

O integral duplo sobre o domínio de integração D da função constante f (x, y) =1 

defineaáreadeD, istoé 

Z Z 

D 

1 dxdy = A (D) . 

A passagem duma ordem de integração para outra num integral duplo, caso é possível, 

designa-se por inversão da ordem de integração do integral duplo. Se o domínio 

for regular no sentido do eixo dos yy ou seja 

1.2 Exemplos 

Exemplo 1. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos 

a). R 2 

1 dx R 1 

0 (x − cos y) dy = R 2 

1 

3 

2 − sin 1 

b). R 5 

0 dy R y 

0 (2xy) dx = R 5 

0 

¡ yx 2 ¯ ¯ y 

0 

(xy − sin y)|1 0 dx = R 2 

(x − sin 1) dx = 

¢ dy = R 5 

0 

1 

¡ y 3 ¢ dy = y4 

4 

Exemplo 2. Determine o valor do integral duplo 

ZZ 

(x +2y) dxdy 

D 

¯ 

¯ 5 

0 

= 625 

4 

³ x 2 

2 

´¯ 

¯¯ 2 

− x sin 1 

1 = 

onde o domínio de integração é limitado pelas parábolas de equação y =2x 2 e y =1+x 2 . 

D 

y 

y 

y=1+x 2 

y=2x 2 

-1 0 

1 

x=-1 x=1 

x


Os pontos de intersecção das duas parábolas obtem-se iqualando as equações corespon- 

dentes, isto é 

2x 2 =1+x 2 ⇒ x = ±1 

sendo x = ±1 as equações das rectas verticais que limitam o domínio de integração. 

Conclui-se que D éregularnosentidodoeixodosyy, logo pode ser escrito como 

D = © −1 ≤ x ≤ 1, 2x 2 ≤ y ≤ 1+x 2ª 

deduzindo (também do gráfico) que y = g1 (x) =2x 2 é a função inferior e y = g2 (x) = 

1+x 2 é a função superior que limitam o domínio de integração. 

Da regularidade de D segundo o eixo dos yy obtem-se a ordem de integração dydx, 

logo o integral duplo escreve-se como 

ZZ 

D 

(x +2y) dxdy = 

= 

= 

= 

Z 1 

−1 

Z 1 

−1 

Z 1 

−1 

Z 1+x2 dx 

2x 2 

(x +2y) dy = 

Z 1 

−1 

¡ 2 

xy + y ¢¯ 1+x ¯ 

¯¯ 

2 

2x 2 

dx = 

³ 

x ¡ 1+x 2¢ + ¡ 1+x 2¢ 2 − x ¡ 2x 2 ¢ − ¡ 2x 2¢ 2 ´ 

dx = 

¡ −3x 4 − x 3 +2x 2 + x +1 ¢ dx = 

µ 

−3 x5 x4 

− 

5 4 +2x3 

¯ 

x2 ¯¯¯ 1 

+ + x 

3 2 

Portanto o valor do integral duplo é 32/15. 

−1 

= 32 

15 . 

Exemplo 3. Calcule do integral duplo da função f(x, y) =x + y no domínio de 

integração D definido por 

D ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 ª . 

A representação gráfica do domínio de integração é ilustrada na Figura abaixo.


y 

4 

0 

y=2x 

y=x 2 

2 

x 

y 

4 

0 

y=2x 

y=x 2 

x=0 x=2 

2 

Domínio de integração D D regular segundo yy D regular segundo xx 

Como D é regular no sentido do eixo dos yy, ou seja pode ser limitado por: x = a =0, 

x = b =2,y= g1(x) =x 2 e y = g2(x) =2x, com 0 ≤ x ≤ 2 e x 2 ≤ y ≤ 2x, o integral 

duplo escreve-se como 

Z Z 

(x + y) dxdy = 

D 

= 

Z 2 µZ 2x 

0 

Z 2 

0 

µ 

x 2 

 

(x + y)dy dx = 

4x 2 − x 3 − x4 

2 

x 

 

dx = 

Z 2 

0 

y 

4 

0 

µ 

x=y/2 

x=y 1/2 

xy + y2 

2 

µ 

4 x3 x4 

− 

3 4 

2 

¯2x ¯¯¯ 

x 2 

− x5 

10 

dx = 

¯ ¯¯¯ 

2 

0 

y=4 

y=0 

= 52 

15 

O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo 

a ordem de integração), ou seja por 

Z Z 


D 

Z Ã 

4 Z √ 

y 

0 

y/2 

! 

(x + y)dx dy = 52 

15 . 

Tem-se c =0,d =4,x = h1(y) = y 

2 e x = h2(y) = √ y, segundo a notação indicada no 

desenvolvimento. 

Exemplo 4. Considere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domínio de 

integração dado por 

D ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ª . 

Então o domínio D é regular no sentido do eixo dos yy e portanto o integral duplo é: 

Z Z 

D 


= 

Z 1 µZ 2x 

0 

Z 1 

0 

µ 

x 2 

 

(x + y)dy dx = 

4x 2 − x 3 − x4 

2 

 

dx = 

Z 1 

0 

µ 

xy + y2 

2 

µ 

4 x3 x4 

− 

3 4 

¯2x ¯¯¯ 

x 2 

− x5 

10 

dx = 

¯ ¯¯¯ 

1 

0 

= 118 

120


Se optarmos pela outra ordem de integração o mesmo integral duplo terá de ser calculado 

como segue: 

y 

2 

0 

y=2x 

y=x 2 

1 

x=0 x=1 

x 

y 

2 

1 

x=y/2 

0 1 

x=y 1/2 

Z Z 

Z Ã 

1 Z √ 

y 

! Z Ã 

2 Z 1 

! 

(x + y) dxdy = (x + y)dx dy + (x + y)dx dy 

D 

0 y/2 

1 y/2 

dado que é necessário considerar 2 sub-regiões D1 e D2 separadas pela recta y =1tais 

que D1 ∪ D2 = D. De facto, atendendo a que a recta vertical x =1intersecta a parábola 

y = x 2 quando y tomaovalor1 e intersecta a recta y =2x quando y toma o valor 2 

(atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes 

D1 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1,y ≤ 1 ª 

D2 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 ª . 

Por vezes é forçoso inverter a ordem de integração face à função f(x, y) a primitivar. 

Exemplo 5. Calcule o seguinte integral duplo 

Z 1 

0 

dy 

Z 3 

3y 

e x2 

dx. 

Este integral duplo não pode ser calculado de forma fácil directamente pela ordem de inte- 

gração estabelecida (dxdy),vistoqueaprimitiva R ex2dx não é uma primitiva elementar. 

O domínio de integração deste integral duplo é limitado pelas rectas x =3y, x =3,y=0 

e y =1. Para estabelecer o outra ordem de integração (dydx) — isto é, para efectuar in- 

versão da ordem de integração do integral duplo — é útil representar graficamente 

este domínio de integração 

x 

y=2 

y=1 

y=0


y 

1 

0 

x=0 

3 

x=3 

x 

x=3y ou y=x/3 

y=1 

y=0 

e, a partir dessa representação, escrever o novo integral iterado 

Z 1 

0 

dy 

Z 3 

3y 

e x2 

dx = 

= 

Z 3 

0 

Z 3 

0 

Z x 

3 

dx e 

0 

x2 

dy = 

Z 3 

x2 x 1 

³ 

e dx = e 

3 6 

x2´¯ ¯ 

¯¯ 

Exemplo 6. Pretende-se calcular o integral duplo RR 

e D definido por 

0 

D 

³ 

e x2 

y 

D ≡ {xy =16,y = x, y =0,x=8} . 

Para tal represente-se graficamente este domínio 

4 

y 

xy=16 

4 

x=4 

x=8 

y=x 

x 

y=4 

y=2 

e estabeleça-se as 2 ordens de integração: 

ZZ 

x 2 Z 2 Z 8 

dxdy = dy x 2 dx + 

D 

0 

y 

Z 4 

2 

3 

0 

= 1 

6 

´ ¯ x 

¯ 3 

¯¯ 

0 

dx = 

¡ e 9 − 1 ¢ . 

f(x, y)dxdy para f(x, y) =x2 

Z 16/y 

dy x 

y 

2 dx


ZZ 

D 

x 2 dxdy = 

Z 4 

0 

dx 

Z x 

0 

x 2 dy + 

Z 8 

4 

dx 

Z 16/x 

0 

x 2 dy 

Verifica-se através da figura que, qualquer que seja a ordem de integração escolhida, é 

necessário separar o domínio de integração em 2 sub-regiões, a saber: D1 e D2 separadas 

pela recta y =2quandoaopçãoé R ¡R f(x, y)dx ¢ dy, D 0 1 e D0 2 

separadas pela recta x =4 

quandoaopçãoé R¡R f(x, y)dy ¢ dx. O cálculo de qualquer um destes integrais iterados 

conduz ao valor 448 para o integral duplo. 

Exemplo 7. Determine o valor do integral duplo RR 

integração D é limitado pelas curvas de equação y = x − 1 e y 2 =2x +6. 

D 

(xy) dxdy onde o domínio de 

A parábola de equação y 2 =2x +6 tem a forma equivalente y = ± √ 2x +6vista como 

função y de variável x e tem a forma x = y2 

2 − 3 vista como função x de variável y. Os 

pontos de intersecção entre a parábola e a recta calculam-se de 2x +6=(x − 1) 2 , oque 

implica x 2 − 4x − 5=0, de onde x = −1 e x =5. 

x=(y 2 /2)-3 

0 

-3 0 1 

D 

y 

(-1,-2) 

-1 

-1 

(5,4) 

x=y+1 

Consideramos a regularidade segundo o eixo dos xx (sendo mais fácil neste caso). 

Então o domínio de integração D é limitado pelas rectas horizontais de equação y = −2 

e y =4(calculados como as imagens dos pontos de intersecção x = −1 e x =5), epelas 

curvas: á esquerda x = h1 (y) = y2 

2 − 3 eádireitax = h2 (y) =y +1, logo, a ordem de 

x 

y=4 

y=-2


integração dxdy determina o seguinte integral iterado 

ZZ 

D 

(xy) dxdy = 

Z 4 

−2 

= 1 

Z 4 

2 

= 1 

2 

= 1 

2 

Z y+1 

dy 

y2 2 −3 

−2 

Z 4 

−2 

xydx = 

Ã 

y (y +1) 2 − 

Z 4 

−2 

µ 1 

2 y2 − 3 

µ 

− y5 

4 +4y3 +2y 2 − 8y 

µ 

− y6 

24 + y4 +2 y3 

− 4y2 

3 

µ 

x2 2 y 

¯y+1 ¯¯¯ 

y2 2 −3 

dy 

¯ 

¯¯¯ 4 

! 

2 

dy = 

 

dy 

−2 

=36. 

Estudando a regularidade de D segundooeixodosyy, ou seja, fazendo uma inversão da 

ordem de integração de dxdy para dydx, obtem-se uma divisão de D em dois sub-domínios 

de integração separados pela recta vertical de equação x = −1. 

y 2 =2x+6 

y=(2x+6) 1/2 

0 

-3 0 1 

y=-(2x+6) 1/2 

D 

(-1,-2) 

x=-3 x=-1 

y 

-1 

-1 

(5,4) 

y=x-1 

Tem-se então o sub-domínio de integração D1 (regularnosentidodoeixodosyy) 

limitado pelas rectas verticais de equação x = −3 e x = −1 e pelas curvas horizontais 

y = g1 (x) =− √ 2x +6 (curva inferior) e y = g2 (x) = √ 2x +6 (curva superior) e o sub- 

domínio D2 (regular o sentido do eixo dos yy) limitado pelas rectas verticais x = −1 e 

x =5e pelas curvas horizontais y = g3 (x) =x − 1 (curva inferior) e y = g4 (x) = √ 2x +6 

(curva superior). 

x=5 

x


Então a ordem de integração é dydx e o integral iterado á calcular é dado por 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy 

D 

= 

D1 

Z −1 

dx 

−3 

Z √ 2x+6 

− √ 2x+6 

Exemplo 9. Explicita o integral duplo RR 

figura seguinte: 

x=-1 

D 

y 

0 

y=1+x 2 

x=y 2 

x=1 

D2 

xydy + 

y=2 

x 

D 

y=-1 

Z 5 

−1 

Z 

dx 

√ 2x+6 

xydy =36. 

x−1 

(xy) dxdy, sendo D definido como na 

Regularidade segundo o eixo dos yy =⇒ ordem de integração dydx 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy = 

D 

= 

Z 0 

−1 

D1 

dx 

Z 1+x 2 

−1 

D2 

f (x, y) dy + 

Z 1 

0 

dx 

Z 1+x 2 

√ x 

D3 

f (x, y) dy + 

Regularidade segundo o eixo dos xx =⇒ ordem de integração dxdy 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

ZZ 

(xy) dxdy = (xy) dxdy + (xy) dxdy + (xy) dxdy = 

D 

= 

Z 1 

−1 

D1 

dy 

Z y 2 

−1 

D2 

f (x, y) dx + 

Z 2 

1 

dy 

Z − √ y−1 

−1 

D3 

f (x, y) dx + 

1.3 Mudança de variável: coordenadas polares 

Z 1 

0 

Z 2 

1 

dx 

Z − √ x 

−1 

f (x, y) dy. 

Z 1 

dy √ f (x, y) dx. 

y−1 

Quando se utilizam coordenadas rectangulares (x, y) o sistema de referência é dado por 

um par de rectas perpendiculares (os bem conhecidos eixos dos xx edosyy). Para definir

1.3. MUDANÇA DE VARIÁVEL: COORDENADAS POLARES 13 

as coordenadas polares é utilizado um sistema de referência que consta de um ponto O 

chamado pólo edeumraioqueseinicianopontoO designado por eixo polar. 

Raio θ +π 

θ +π 

θ 

Raio θ 

O Eixo polar 

Concretamente, um ponto P é dado pelas coordenadas polares (r, θ) se está posicionado 

aumadistânciar do pólo O tal que semi-recta OP determina um ângulo de amplitude θ 

radianos (medido no sentido positivo) com o semi-eixo positivo dos xx. 

Contrariamente ao que acontece com as coordenadas rectângulares, as coordenadas 

polares não estão univocamente determinadas. De facto, geometricamente não existe 

distinção entre os pontos cujos ângulos diferam por um múltiplo de 2π, istoé(r, θ) = 

(r, θ +2nπ) ,n∈ Z + . É, no entanto, usual considerar θ a amplitude do menor dos ângulos. 

Tem-se então r ∈ R + 0 

e θ ∈ [0, 2π[. 

A relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas rectangulares (x, y) é 

dada por 

½ x = r cos θ 

y = r sin θ


visto que cos θ = x 

r 

o que implica que 

1.3.1 Exemplos 

e sin θ = y 

r 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

O 

(ver figura abaixo), 

r 

θ 

x 

(x,y) 

h 

tan θ = y 

, ou seja θ =arctany 

x x 

r2 = x2 + y2 1. Determine as coordenadas rectangulares do ponto P dado pelas seguintes coordenadas 

polares (r, θ) =(2,π/3) . 

Atendendo as relações x = r cos θ e y = r sin θ obtem-se x =2cos(π/3) = 2 1 

2 =1 

e y =2sin(π/3) = 2 √ 3 

2 = √ 3. Portanto o ponto P tem as coordenadas rectangulares 

¡ 1, √ 3 ¢ . 

2. Encontre as coordenadas polares para o ponto P definido pelas seguintes coorde- 

nadas rectangulares (x, y) = ¡ −2, 2 √ 3 ¢ . 

Trata-se de um ponto do segundo quadrante. Sabemos que r cos θ = −2 e r sin θ =2 √ 3. 

Encontra-se o seginte valor para o raio r fazendo r 2 = x 2 + y 2 =(r cos θ) 2 +(r sin θ) 2 = 

(−2) 2 + ¡ 2 √ 3 ¢ 2 =16. Logo r =4. Considerando r =4obtem-se 

Tem-se então θ =arcsin 

¡ 

2 4, 3π¢ . 

x = r cos θ =4cosθ = −2 =⇒ cos θ = − 1 

2 

y = r sin θ =4sinθ =2 √ . 

3 =⇒ sin θ = 

y 

√ 

3 

2 =arccos¡ − 1 ¢ 

2 

2 = 3π. Então as coordenadas polares de P são 

. 

√ 3 

2


3. Em coordenadas rectangulares (x, y) a circunferência de centro C (0, 0) eraioa tem 

por equação x 2 + y 2 = a 2 . A mesma circunferência, em coordenadas polares (r, θ), tem 

por equação r = a. O interior da circunferência é definido por 0


Apresenta-se em seguida a metodologia de cálculo dos integrais duplos 

Z Z 

f (x, y) dxdy 

D 

utilizando as coordenadas polares (r, θ) . O primeiro passo consta em transformar o domínio 

de integração D (dado em coordenadas cartesianas) no domínio equivalente, Ω, em coor- 

denadas polares (r, θ) . 

Admitindo que a função f (x, y) écontínuaemD, a função composta 

F (r, θ) =f (r cos θ, r sin θ) 

também vai ser contínua em todos os pontos do seu domínio Ω. Considerando a mudança 

de variáveis para coordenadas polares, tem-se então que 

Z Z 

Z Z 

Z Z 

f (x, y) dxdy = f (r cos θ, r sin θ) rdrdθ= 

D 

visto que r é o valor do determinante da matriz jacobiana 

Se o conjunto Ω édefinido por 

Ω 

∂ (x, y) 

∂(r, θ) 

Ω = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, g1 (θ) ≤ r ≤ g2 (θ)} 

Ω 

F (r, θ) rdrdθ 

e r ≥ 0. 

para 0 ≤ β − α ≤ 2π, então a ordem de integração em coordenadas polares será drdθ (o 

domínio Ω sendo regular segundo r) e então o integral duplo escreve-se como 

Z Z 

Z Z 

f (x, y) dxdy = 

Z β Z g2(θ) 

F (r, θ) rdrdθ= dθ F (r, θ) rdr 

D 

O 

y 

Ω 

θ = β 

r = g 1 (θ) 

D 

Eixo polar 

r = g 2 (θ) 

α 

θ = α 

x 

g1(θ)


Este caso obtem-se quando o domínio D provém da intersecção de duas rectas que 

passam pela origem e de declive α e β e mais outras duas curvas quisquer (veja figura 

acima). 

Se o conjunto Ω tem a forma 

Ω = {(r, θ) | a ≤ r ≤ b, h1 (r) ≤ θ ≤ h2 (r)} , 

então a ordem de integração em coordenadas polares será dθdr (o domínio Ω sendo regular 

segundo θ) e então o integral duplo escreve-se como 

Z Z 

Z Z 

f (x, y) dxdy = F (r, θ) rdrdθ= 

D 

Ω 

Z b 

a 

dr 

Z h2(r) 

h1(r) 

F (r, θ) rdθ. 

Este caso resulte quando o domínio D provém da intersecção de duas circunferências com 

centro na origem e de raio a e b e mais outras duas curvas. 

Caso em qual o domínio D é o resultado da intersecção de duas circunferências com 

centro na origem e duas rectas que passam pela origem, então o domínio em coordenadas 

polares, Ω, sera regular nos dois sentidos permitidos e a ordem de integração é aleatória. 

Como caso particular pode afirmar-sequeaáreadodomíniodeintegraçãoD pode ser 

calculada em termos de coordenadas polares utilizando a seguinte fórmula 

Z β Z g2(θ) 

Área de D = dθ rdr= 

α g1(θ) 

1 

Z β ¡ 2 

g2 (θ) − g 

2 α 

2 1 (θ) ¢ dθ 

considerando f(x, y) =1. 

Exemplo 1. Utilize coordenadas polares para calcular o valor do integral duplo 

Z Z 

xy dxdy 

onde D édefinido por © x 2 + y 2 ≤ 1,x≥ 0,y ≥ 0 ª . 

D 

Representação gráfica do domínio de integração D em coordenadas rectangulares: 

Cálculo do novo domínio de integração Ω e sua representação gráfica: 

0 ≤ x 2 + y 2 = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = r 2 ¡ cos 2 θ +sin 2 θ ¢ = r 2 ≤ 1 

de onde 0


y 

0 

D 

1 

x 

Figura 1.1: 

θ 

0 

r = 1 

Ω 

θ = π/2 

A equação x =0tem a forma polar r cos θ =0 ⇒ cos θ =0. A equação y =0tem a 

forma polar r sin θ =0 ⇒ sin θ =0. Aequaçãosin θ =0 ⇒ θ =0representa o limite 

inferior de θ eolimtesuperiordeθ é dado pelo valor π/2 visto que cos θ =0. Tem-se 

então 

Ω = 

n 

(r, θ) :0


y 

0 

D 

y = x 

1 2 4 

y = - x 

x 

Figura 1.2: 

Ω 

r 

0 

4 

2 

r = 4 cos θ 

r = 2 cos θ 

O transformado de D (veja a sua representação gráfica) em coordenadas polares, o 

conjunto Ω, é dado pelas relações 

ou seja 

(x − 1) 2 + y 2 ≥ 1 ⇒ r ≥ 2cosθ e (x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 ⇒ r ≤ 4cosθ 

−x ≤ y ≤ x ⇒ −r cos θ ≤ r sin θ ≤ r cos θ 

Ω = 

⇒ −1 ≤ tan θ ≤ 1 ⇒ − π 

4 

n 

(r, θ) :− π 

4 

≤ θ ≤ π 

4 

π 

o 

≤ θ ≤ , 2cosθ≤ r ≤ 4cosθ . 

4 

Nota-se que a ordem de integração permitida é drdθ (o domínio Ω é regular no sentido do 

eixo dos rr) e o integral duplo escreve-se em coordenadas polares como sendo 

ZZ 

y 

x + p x2 dxdy 

+ y2 = 

ZZ 

sin θ 

cos θ +1 rdrdθ= 

Z π/4 

dθ 

−π/4 

Z 4cosθ 

2cosθ 

sin θ 

cos θ +1 rdr 

D 

= 

= 0 

Ω 

Z π/4 

−π/4 

sin θ 

cos θ +1 

µ r 2 

2 

¯ 

¯¯¯ 4cosθ 

2cosθ 

Z π/4 

dθ =6 

−π/4 

θ 

sin θ 

cos θ +1 cos2 θdθ 

(o valor do itegral é nulo porque a função integranda é impar e os limites de integração 

simétricos, logo A = A1 − A1 =0).


1.4 Integrais duplos - Exercícios propostos 

1. Determine as expressões gerais das primitivas para as funções: 

(a) f(x, y) =x 3 +6y 2 − 5xy 2 − 10x 2 y 3 

(b) f(x, y) = ¡ x2 + y ¢ 4 

x 

(c) f(x, y) = y 

x + y2 (d) f(x, y) = 10y 

x 2 − 9 

(e) f(x, y) = x3 + y 2 

x 2 + y 2 

1 

(f) f(x, y) = q 

4 − (x + y) 2 

(g) f(x, y) = 

10 

3x + y 2 

(h) f(x, y) =20 ¡ x 2 − y 2¢ −1 

(i) f(x, y) =lnx + y 

³ 

(j) f(x, y) =ln 2x + y 

´ 

3 

(k) f(x, y) = 10 

x 2 − y 2 

(l) f(x, y) = 

x 

(x 2 + y) 4 

(m) f(x, y) = 2y 

x2 − 16 

(n) f(x, y) = p 4x − y2 (o) f(x, y) = arctan (x + y) 

(p) f(x, y) =sin 2 (3x + y) 

2. Mostre que 

Z Ã 

2 Z 2x2 1 

x 

(x 3 +2y)dy 

! 

dx = 559 

15 .

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21 

3. Calcule o valor do integral duplo 

Z Z 

D 

(x 3 +2y)dxdy 

sendo D a região do plano limitada pelas curvas x =1,x=2,y=2x 2 e y − 

x = 0 e para cada uma das possíveis ordens de integração, R ¡R f(x, y)dx ¢ dy e 

R¡R f(x, y)dy ¢ dx. 

4. Determine RR 

D f(x, y)dxdy considerando f(x, y) =xy2 e 

D = © (x, y) ∈ R 2 : x 6 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª 

Averígue se pode retirar algumas conclusões acerca do valor e sinal do mesmo integral 

para outros domínios de integração como sejam 

D1 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,y > 0,x 2 + y 2 6 1 ª 

D2 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0,x 2 + y 2 6 1 ª 

D3 = © (x, y) ∈ R 2 : x ≥ y, y ≥−x, x 2 + y 2 6 1 ª 

5. Mostre que 

Z Z 

xy 

D 

2 dxdy = 212 

3 

sendo D o paralelogramo limitado pelas rectas x =3,x=5, 3x +2y − 4=0e 

2y +3x =1. 

6. Determine o valor do integral duplo 

Z Z 

D 

e y2 

dxdy 

n 

sendo D = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ x 

o 

≤ y ≤ 3 . 

2 

7. Calcule e nos casos possíveis inverte a ordem de integração para os seguintes integrais 

duplos 

(a) 

Z1 

Z 

1 

√ 

0 x 

µ 

y3 +1 

sin dydx 

2


(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

Z0 

√ y+1 

Z 

−1− 

√ y+1 

Z1 

Z 

1 

0 x2 Z2 

1 

Z1 

0 

Z1 

0 

Z 

x 2 dxdy 

Ã 

x3 ! 

p dydx 

x4 + y2 log x 

Z 

y 

Z 

x 

0 

1 

1 

e −x dxdy 

e y/x dxdy 

x2ey4 dxdy 

8. Considere o integral duplo 

Z 1 

0 

Z 1−x 

dx 

− √ 1−x2 f(x, y) dy. 

Estabeleça a outra ordem de integração e calcule o valor do integral para f(x, y) = 

√ 2x. 

9. Inverta a ordem de integração no seguinte integral duplo 

Z 1 

0 

dy 


Z √ y 

0 

f(x, y)dx + 

Z 1 

0 

Z 2 

1 

dy 

Z 2−y 

Z − ln y 

dy 

−1+ √ f(x, y)dx. 

y 

0 

f(x, y)dx. 

Inverta a ordem de integração e mostre que tem o valor 10 

63 paraocasodef(x, y) =y2 . 

11. Determine o valor do integral duplo 

para f(x, y) =e y 

x +x . 

Z 1 

4 

0 

Z 1 

2 

dy 

+ 

 

1−4y 

4 

1 

2 − 

 

1−4y 

4 

f(x, y) dx

1.4. INTEGRAIS DUPLOS - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23 

12. Verifique que o valor do integral duplo 

Z ∞ 

1 

Z 

dx 

1 

x4 0 

xe x2√y dy =1. 

13. Mostre, usando cada uma das possíveis ordens de integração, que 2/5 éovalordo 

integral duplo 

Z Z 

D 

xy 2 dxdy 

para D = © (x, y) ∈ R 2 :0≤ y ≤ x ∧ xy ≤ 1 ª . 


Z 0 

−1 

Z 2 

dy 

1+ √ −y 

(a) Inverta a ordem de integração. 

f(x, y) dx + 

Z 1 

(b) Calcule o valor do integral para f(x, y) =y. 

15. Verifique que 

Z Z 

0 

Z 2 

dy 

2− √ 1−y2 ¡ 2x 3 y + xy 2 ¢ dxdy =4 

f(x, y) dx. 

D 

para D definido pelas condições y = x2 +1,y = x2 ,xy =3e xy =1. 

16. Passar às coordenadas polares (r, θ) , no integral duplo RR 

os limites de integração onde 

(a) D = © x 2 + y 2 ≤ 4 ª 

(b) D = © x 2 + y 2 ≤ 9x ª 

(c) D = © x 2 + y 2 =4x, x 2 + y 2 =8x, y = x, y =2x ª 

(d) D = © 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 ª 

D 

f (x, y) dxdy e encontrar 

17. Utilizando dois metodos diferentes calcule as áreas dos domínios de integração que 

se indicam 

(a) D = {x =0,y =0,x+ y =1}


(b) D = {y = x, y =5x, x =1} 

(c) D = {y = √ x, y =2 √ x, x =4} 

18. Passando aos coordenadas polares calcule os seguintes integrais duplos 

(a) 

(b) 

(c) 

(d) 

(e) 

(f) 

(g) 

Z1 

−1 

Z2 

0 

Z1 

0 

Z1 

1/2 

√ 

1−y2 Z 

p 

x2 + y2dxdy 0 

√ 4−x 2 

Z 

0 

√ 1−x 2 

Z 

0 

√ 

1−x2 Z 

0 

√ 

1/2 1−x2 Z 

0 

Z1 

−1 

Z2 

0 

Z 

0 

√ 1−y 2 

Z 

− √ 1−y 2 

√ 4−y 2 

Z 

− √ 4−y 2 

p x 2 + y 2 dydx 

e x2 +y 2 

dydx 

¡ x 2 + y 2 ¢ 3/2 dydx 

xy p x 2 + y 2 dydx 

e −(x2 +y 2 ) dxdy 

x 2 y 2 dxdy 

19. Utilizando as coordenadas polares, calcule os seguintes integrais duplos: 

(a) RR ¡ 

D 3x +4y2 ¢ dxdy, onde D = © x2 + y2 ≥ 1,x2 + y2 ≤ 4,y ≥ 0 ª 

(b) RR 

D xdxdy, onde D = © x2 + y2 ≤ 25 ª 

(c) RR 

D ydxdy, onde D é a região do plano real limitada por x2 + y 2 =9,y=0 

e y = x.

1.5. CÁLCULO DE VOLUMES 25 

(d) RR 

D xydxdy, onde D éaregiãodo1o quadrante do plano real limitada por 

x 2 + y 2 =4. e x 2 + y 2 =25. 

(e) RR 

D e−x2 −y 2 

dxdy, onde D é a região do plano real limitada por x = p 4 − y 2 

e x =0. 

20. Calcule o integral duplo 

Z Z 

D 

1 

(1 + x2 + y2 dxdy 

3/2 

) 

onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e (1, 1) . 

21. Calcule o integral duplo 

Z Z 

D 

p x 2 + y 2 dxdy 

onde D é o triangulo de vertices (0, 0) , (1, 0) e ¡ 1, √ 3 ¢ . 

22. Calcule 

Z Z 

sabendo que o domínio de integração D é 

23. Calcule RR 

e y =2x 2 . 

D 

1.5 Cálculo de Volumes 

D 

ln ¡ 1+x2 + y2¢ p dxdy 

x2 + y2 D = © 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x ª . 

¡ x 2 + y 2 ¢ dxdy sendo D limitado pelas curvas de equação y = x, y = x 2 

• Os integrais duplos podem ser utilizados no cálculo: 

— de áreas, sendo 

Z Z 

A (D) = 

D 

1 dxdy


— de volumes, sendo 

Z Z 

V (S) = 

D 

(q (x, y) − p (x, y)) dxdy 

ovolumedosólidoS compreendido entre os gráficos das funções q (x, y) (limita 

o sólido superiormente) e p (x, y) (limita o sólido inferiormente), no domínio 

D ⊂ R 2 . 

x = b 

x 

x = a 

z 

0 

y = g (x) 

D 

R 

z = q (x, y) 

z = p (x, y) 

y = h (x) 

Exemplo 1. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies z + x 2 + 

y 2 = b 2 , z =0, |x| = a e |y| = a (0


R = © (x, y, z) ∈ R 3 :(x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ b 2 − x 2 − y 2ª . 

O volume pedido pode ser calculado por: 

V = 

ZZ 

¡ 2 2 2 

b − x − y ¢ dxdy 

= 

= 

D 

Z a µZ a 

−a 

Z a 

−a 

−a 

¡ 2 2 2 

b − x − y ¢ Z a 

dy dx = b 

−a 

2 y − x 2 y − y3 

3 

2b 2 a − 2ax 2 − 2 a3 

3 dx =2b2ax − 2a x3 

− 2a3 

3 3 x ¯ ¯x=a 

x=−a 

= 4b 2 a 2 − 8 a4 

3 . 

¯ y=a 

y=−a dx 

Exemplo 2. Calcule o volume da região do espaço situada no 1 o octante limitado 

pelas superfícies x =1, z = x + y e x = √ 4 − y. 

As superfícies x =1e z = x + y são planos. 

A superfície x = √ 4 − y é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo 

dado que temos a equivalência 

x = p 4 − y ⇔ x 2 =4− y ∧ x ≥ 0. 

Uma maior secção plana D destaregiãodoespaçoR é, no xy-plano,isto é, temos 

D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x 2ª 

R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x + y ª . 


ZZ 

V = (x + y)dxdy == 

= 

= 

Z 1 

= 1 

2 

= 1 

2 

= 1 

2 

D 

∙ 

xy + y2 

2 

¸ y=4−x 2 

Z Ã 

1 Z 4−x2 0 

dx = 

0 

Z 1 

0 

y=0 

0 

Z 1 

4x − x 

0 

3 + 16 + x4 − 8x2 2 

Z 1 

∙ 

0 

dx 

¡ 8x − 2x 3 +16+x 4 − 8x 2 ¢ dx 

4x 2 − x4 x5 

+16x + 

2 5 

∙ 

4 − 1 

2 +16+1 

¸ 

8 

− . 

5 3 

− 8x3 

3 

! 

(x + y) dy dx 

x ¡ 4 − x 2¢ ¡ 

4 − x2 + 

¢ 2 

dx 

2 

¸ x=1 

x=0 

dx


Exemplo 3. Calcule o volume da região do espaço limitada pelas superfícies x2 y2 

+ = 

a2 b2 1, z + y =2a e z =0(0


A superfície y = x 2 é um cilindro parabólico que se desenvolve ao longo do z-eixo. 

A superfície xy =1corresponde a um cilindro hiperbólico que se desenvolve ao longo 

do z-eixo. 

A superfície x =2é um plano paralelo ao yz-plano. 

As superfícies y =0e z =0são, respectivamente, o xz-plano e o xy-plano. 

Uma maior secção plana D destaregiãodoespaçoR é, no xy-plano, isto é, temos 

D = © (x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x 2ª 

½ 

∪ (x, y) ∈ R 2 | 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 

¾ 

x 

R = © (x, y, z) ∈ R 3 | (x, y) ∈ D ∧ 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2ª . 


ZZ 

V = (x 2 + y 2 )dxdy 

z =0. 

= 

= 

= 

= 

D 

Z Ã 

1 Z x2 (x 

0 0 

2 + y 2 ! Z Ã 

2 Z 1 

x 

)dy dx + 

1 0 

Z 1 ∙ 

x 

0 

2 y + y3 

¸y=x2 Z 2 ∙ 

dx + x 

3 y=0 1 

2 y + y3 

3 

Z 1 µ 

x 

0 

4 + x6 

Z 2 µ 

dx + x + 

3 

1 

1 

3x3 ¸x=1 ¸x=2 ∙ x 5 

5 

+ x7 

21 

∙ 

x2 1 

+ − 

2 6x2 

dx = 

(x 2 + y 2 )dy 

¸ y= 1 

x 

= 1573 

840 . 

y=0 

dx 

! 

dx 

x=0 

x=1 

Exemplo 5. Calcule o volume limitado pelas superfícies x2 + y2 =4, x + y + z =2e 

A superfície x 2 + y 2 =4corresponde a um cilindro circular que se desenvolve ao longo 

do z-eixo. 

A superfície x + y + z =2é um plano que intersecta os eixos coordenados em x =2, 

y =2e z =2. 

A superfície z =0éoxy-plano. 

O volume pedido pode ser calculado por 

ZZ 

V = (2 − x − y)dxdy. 

D


Pode aplicar-se coordenadas polares a uma parte do domínio D: 

Z 2π µZ 2 

Z 2 µZ 2−x 

 

V = 

(2 − r cos θ − r sin θ)r dr dθ + (2 − x − y)dy dx 

= 

π 

0 

0 0 

2 

Z 2π ∙ 

r 2 − r3 

¸r=2 Z 2 ∙ 

r3 

cos θ − sin θ dθ + 2y − xy − 

3 3 y2 

¸y=2−x dx 

2 

= 

= 

= 

π 

2 

Z 2π 

π 

2 

Z 2π 

π 

2 

(4 − 8 8 

cos θ − sin θ)dθ + 

3 3 

(4 − 8 8 

cos θ − sin θ)dθ + 

3 3 

∙ 

4θ − 8 8 

sin θ + cos θ 

3 3 

¸ θ=2π 

θ= π 

2 

r=0 

Z 2 

0 

Z 2 

0 

0 

(4 − 2x − 2x + x 2 − 

(4 − 6x + 3 

2 x2 )dx 

∙ 

+ 4x − 3x 2 + 1 

2 x3 

= 8π + 8 8 

16 

− 2π + +8− 12 + 4 = 6π + 

3 3 3 . 

¸ x=2 

1.6 Cálculo de volumes - Exercícios Propostos 

x=0 

y=0 

4 − 4x + x2 

)dx 

2 

1. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 + y 2 + z − 8=0e x 2 +3y 2 − z =0. 

2. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 + y =4, x 2 − y +2 = 0, z =2e 

z = −1. 

3. Calcule o volume limitado pelas superfícies x 2 +y 2 −1=0, y = −1 e x 2 −y 2 +z 2 =0. 

4. Calcule o volume da região do espaço definida pelas condições x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e 

z ≤ p 3x 2 +3y 2 . 

5. Utilizando os integrais duplos calcule os volumes dos sólidos limitados pelas seguintes 

superfícies 

(a) 

(b) 

½ 

x2 =4y 

2y − x − 4=0 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x 2 + y 2 =1 

z =0 

x + z =1

1.6. CÁLCULO DE VOLUMES - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 31 

(c) 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

z =1− y 2 

2x +3y + z +10=0 

x 2 + y 2 = z 

½ 

z =4− x2 − y2 (d) 

z =2+y2 ½ 

z =2− x2 − y2 (e) 

(f) 

(g) 

(h) 

(i) 

(j) 

(k) 

(l) 

(m) 

(n) 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

z = x 2 + y 2 

x =4 

y =4 

z = x 2 + y 2 +1 

½ x + y =1 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

z = x 2 + y 2 

y 2 = x 

y 2 =4x 

z =0 

x + z =6 

z =0 

2y 2 = x 

x y z 

+ + 

4 2 4 =1 

z =1 

z =12− 3x − 4y 

x 2 

4 + y2 =1 

x =3 

z =0 

z = x 2 − y 2 

z =0 

y =1 

y = x 2 

z = x 2 + y 2 

z =0 

z = x + y +10 

x 2 + y 2 =4 

2x − z =0 

4x − z =0 

x 2 + y 2 =2x 

6. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pela superfície de equação z = 

x + y e limitado inferiormente do triângulo de vertices (0, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 0, 0) .


7. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = y+b, inferiormente 

pelo plano xy e lateral pelo cilindro circular x 2 + y 2 = b 2 , sendo b um número real. 

8. Encontra o volume do elipsóido de equação 

x 2 

4 

+ y2 

4 

+ z2 

3 =1. 

9. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z =2x e limitado 

inferiormente pelo círculo (x − 1) 2 + y 2 ≤ 1. 

10. Encontra o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide z = x 2 + y 2 e 

limitado inferiormente pela região D queestádentrodacurvax 2 + y 2 =2ax. 

11. Encontra o volume do sólido situado dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 =16eforado 

cilindro x 2 + y 2 =4. 

12. Calcule o volume do sólido limitado pelo parabolóido z =10−3x 2 −3y 2 epeloplano 

z =4. 

13. Calcule o volume do sólido limitado pelos parabolóidos z =3x 2 +3y 2 e z =4−x 2 −y 2 . 

14. Calcule o volume do sólido situado no interior do cilindro x 2 + y 2 =4e do elipsóido 

4x 2 +4y 2 + z 2 =64.

Capítulo 2 

Integrais de Linha 

2.1 Exercícios propostos 

1. Calcule o valor do integral de linha 

Z 

C 

− y 

x2 x 

dx + 

+ y2 x2 dy 

+ y2 ao longo da curva plana C definida pela equação x 2 +y 2 = a 2 e percorrida no sentido 

positivo. 

2. Verifique que é igual a zero o valor do integral curvilíneo do campo de vectores 

−→ F (x, y) =x −→ e1 + xy −→ e2 

ao longo de qualquer circunferência de centro (0, 0), masque −→ F não é um campo 

gradiente ou conservativo (ou com potencial). 


Z 

xzdx + xdy − yzdz 

C 

sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro 

O (0, 0, 0) que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) seguidodeumsegmentode 

recta que une B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une 

D (0, 1, 0) ao ponto E (0, 1, 1) . 

33

34 CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA 

4. Dada a curva no espaço definida parametricamente por 

⎧ 

⎨ x = x 

−→ 

r ≡ y = x 

⎩ 

2 

z =0 

compreendida entre os pontos A (−1, 1, 0) e B (2, 4, 0) , e sendo f(x, y, z) =xyz + 

x 2 − y 3 , mostre que 

Z 

f(x, y, z)dx = − 108 

7 . 

C 

5. Sendo C o arco de circunferência x2 + y2 = 1 compreendido entre A (0, 1, 0) e 

B(1, 0, 0), verifique a igualdade 

Z 

C 

¡ x 2 y ¢ dy = − 1 

4 . 

6. Mostre que 4ab2 /3 éovalordointegraldelinha 

Z 

y 

C 

2 dx + x 2 dy 

sendo C aporçãodaelipseentreosvértices(a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice 

(0,b) , com orientação positiva (a, b > 0). 

7. Mostre que πa 4 /2 é o valor do trabalho do campo de vectores 

−→ F (x, y) = ¡ −x 2 y, xy 2 ¢ 

ao longo da circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida no sentido positivo. 

8. Utilize os processos indicados em cada uma das alíneas para calcular o trabalho de 

campo de vectores 

−→ F (x, y) = 

³ 

2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2´ 

ao longo da curva plana C sendoestaocontornodotriângulodevérticesA(1, 1), 

B(2, 2) e C(1, 3) percorrido no sentido positivo. 

(a) directamente pelas parametrizações; 

(b) usando o teorema de Green.

2.1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35 

9. Determine, usando integrais de linha, a área do círculo. 

10. Prove, utilizando integrais de linha, que πab é a área delimitada pela elipse de 

equação 

x 2 

a 

2 + y2 

=1. 

b2 11. Utilize o teorema de Green para mostrar que o trabalho realizado pelo campo de 

vectores 

−→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y − x) −→ e2, 

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da 

elipse de equação 4x 2 + y 2 =4,éde−4π. 


I 

(2x − y +4)dx +(5x +3y − 6) dy 

sendo C cada uma das seguintes curvas planas: 

C 

(a) o contorno do triângulo de vértices O(0, 0), A(3, 0) e B(3, 2); 

(b) a circunferência de centro (0, 0) eraio4. 

13. Mostre que é 3πa 2 /8 o valor da área da hipocicloide de equação x 2 

3 + y 2 

3 = a 2 

3 cuja 

parametrização é 

⎧ 

⎨ x = a cos 

−→ 

r ≡ 

⎩ 

3 θ 

y = a sin3 θ 

14. Verifique que o campo de vectores 

, para 0 ≤ θ


15. Considere o integral de linha 

Z 

C 

x 2 ydx + x3 

3 dy. 

(a) Calcule o valor do integral de linha sendo C a curva plana definida por y = x 2 

com 0 ≤ x ≤ 1; 

(b) Provequeexisteumafunçãof(x, y) tal que 

(c) Determine a função f tal que 

df = x 2 ydx + x3 

3 dy; 

−−−→ 

gradf = 

µ 

x 2 y, x3 

3 

(d) Calcule o valor do integral de linha anterior usando a alínea b. 


Z 

¡ ¢ ¡ 4 2 3 

2xy − y +3 dx + x − 4xy ¢ dy 

C 

 

; 

ao longo da curva plana C definida parametricamente por 

entre A(1, 0) e B(0, 1). 

−→ r (θ) =(sinθ, arcsin θ) 

17. Calcule o comprimento da curva plana definida por x 2 + y 2 = a 2 . 

18. Mostre que πa (2b + a) éovalordointegraldelinha 

Z 

zdx + xdy + ydz 

C 

ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t, 

z(t) =bt, parat ∈ [0, 2π] . 

19. Mostre que 

Z (P2) 

(P1) 

(z + y) dx +(x + z) dy +(x + y) dz = 280 

aolongodacurvaC no espaço parametrizada por −→ r (t) = ¡ t 2 ,t 3 ,t− 2 ¢ sabendo que 

P1 (1, 1, −1) e P2 (9, 27, 1) .

2.2. INTEGRAIS DE LINHA - PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO 37 

20. Mostre a igualdade 

I 

ABCA 

sendo A (1, 0, 0) ,B(0, 1, 0) e C(0, 0, 1). 

21. Use a fórmula 

para provar que 

xdx + zdy + ydz =0 

R (P1) 

(P0) f(x, y, z)d−→ r = R t1 

t0 f (x(t),y(t),z(t)) ·k(x0 (t),y 0 (t),z 0 (t))k dt 

(a) com −→ r (t) = ¡ t, t 2 ,t 3¢ ,P0(1, 1, 1), P1(2, 4, 8), ef(x, y, z) =xyz 2 se tem 

Z (P1) 

(P0) 

f(x, y, z)d −→ r = 

Z 2 

1 

t 9p 1+4t 2 +9t 4 dt; 

(b) com −→ r (θ) = (4 cos θ, 4sinθ, 2θ) ,P0(4, 0, 0), P1(4, 0, 4π), ef(x, y, z) =z 2 se tem 

Z (P1) 

(P0) 

22. Calcule o trabalho do campo de vectores 

f(x, y, z)d −→ r = 64√ 5 

3 π3 . 

−→ F (x, y, z) =(xy 2 , 1,z) 

ao longo da curva C no espaço definida por 

(a) y =2∧ z = −2t +5entre os pontos (1, 2, 3) e (2, 2, 1); 

(b) x2 y2 

+ =1∧ x ≤ 0 ∧ z =0. 

16 9 

2.2 Integrais de linha - Propostas de resolução 

Exercise 1 Mostre que πa 4 /2 éovalordotrabalhodocampodevectores 

−→ F (x, y) = ¡ −x 2 y, xy 2 ¢ 

ao longo da circunferência x 2 + y 2 = a 2 , percorrida no sentido positivo.


O trabalho pedido pode ser calculado por 

W = 

I 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = 

¡ 2 2 

−x y,xy ¢ |d −→ r 

= 

C 

Z 2π 

0 

considerando a curva C parametrizada por 

½ 

−→ x(θ) =a cos θ 

r (θ) ≡ 

y(θ) =a sin θ 

C 

¡ −a 2 cos 2 θa sin θ, a cos θa 2 sin 2 θ ¢ |(−a sin θ, a cos θ) dθ 

para θ ∈ [0, 2π[. 

Notemos que a expressão geral do vector tangente é d−→ r 

=(−asin θ, a cos θ). Temos então 

dθ 

Z 2π 

Z 

¡ ¢ 2π 

4 2 2 4 2 2 4 

W = a cos θ sin θ + a cos θ sin θ dθ =2a cos 2 θ sin 2 θdθ 

0 

= 2a 4 

= a4 

2 

Z 2π 

0 

Z 2π 

0 

dθ = 

2 

2a4 

4 

1+cos(2θ) 

. 

2 

1 − cos(2θ) 

(1 − 1+cos(4θ) 

)dθ = 

2 

a4 

2 

∙ 

θ − θ 

2 

Z 2π 

0 

0 

+ sin(4θ) 

8 

Exercise 2 Calcule o trabalho do campo de vectores 

−→ 

³ 

F (x, y) = 2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2´ 

(1 − cos 2 (2θ))dθ 

¸ θ=2π 

θ=0 

= a4 π 

2 . 

ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) 

e C(1, 3) percorrido no sentido positivo. 

AcurvaC é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos 

regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os segmentos de recta [AB], [BC] e [CA]. 


I 

W = 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r + 

C 

C1 

C2 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r + 

Uma parametrização do arco C1, contido na recta y = x, é 

½ 

−→ x(t) =t 

r (t) ≡ 

para t ∈ [1, 2] 

y(t) =t 

C3 

−→ F |d −→ r . 

a que corresponde a expressão geral do vector tangente d−→ r 

=(1, 1). Uma parametrização 

dt 

do arco C2, contido na recta y = −x +4,é 

½ 

−→ x(t) =4− t 

r (t) ≡ 

para t ∈ [2, 3]. 

y(t) =t


aquecorrespondeaexpressãogeraldovectortangente d−→ r 

=(−1, 1). Umaparametriza- 

dt 

ção do arco C3, contido na recta x =1,é 

½ 

−→ x(t) =1 

r (t) ≡ 

para t ∈ [−3, −2] 

y(t) =−t 


=(0, −1). Temos então 

dt 

I 

W = (2 

C1 

¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ I 

r + (2 

C2 

¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ r 

I 

+ (2 ¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |d −→ r 

= 

= 

Z 2 

1 

C3 

2 

Z 3 

(4t 

1 

2 , 4t 2 ) |(1, 1) + (2((4 − t) 

2 

2 + t 2 ), 16) |(−1, 1) 

Z −2 

+ (2(1 + t 

−3 

2 ), (1 − t) 2 ) |(0, −1) 

Z 2 

8t 2 Z 3 

dt + (−16 + 16t − t 2 Z −2 

)dt + (−1+2t− t 2 )dt 

¸ 2 

∙ 

t3 ∙ 

= 8 + −16t +8t 

3 1 

2 − t3 

∙ 

+ 

3 2 

Exercise 3 Calcule o trabalho do campo de vectores 

−→ 2 

F (x, y, z) =(xy , 1,z) 

¸ 3 

−3 

−t + t 2 − t3 

3 

¸ −2 

−3 

= − 4 

3 . 

aolongodacurvaCno espaço definida por (a) y =2∧ z = −2t +5 entre os pontos 

(1, 2, 3) e (2, 2, 1); (b) x2 y2 

+ =1∧ x ≤ 0 ∧ z =0. 

16 9 

(a) O trabalho pedido pode ser calculado por 

I 

I 

−→ 

W = F |d 

−→ 

r = (xy 2 , 1,z) |d −→ r 

Uma parametrização de C é 

⎧ 

⎨ x(t) =t 

−→ 

r (t) ≡ y(t) =2 

⎩ 

z(t) =−2t +5 

C 

C 

para t ∈ [1, 2] 


=(1, 0, −2). Temos então 

dt 

I 

W = (xy 2 , 1,z) |d −→ Z 2 

Z 2 

r = (4t, 1, −2t +5)|(1, 0, −2) = (4t +4t− 10)dt 

C 

= £ 4t 2 − 10t ¤ 2 

=16−20 − 4+10=2. 

1 

1 

1


(b) O trabalho pedido pode ser calculado por 

I 

W = 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = (xy 2 , 1,z) |d −→ r 


⎧ 

⎨ x(t) =4cosθ 

−→ 

r (θ) ≡ y(t) =3sinθ 

⎩ 

z(t) =0 

C 

C 

para θ ∈ [ π 3π 

, 

2 2 ] 


=(−4sinθ, 3cosθ, 0). Temos 

dθ 

então 

I 

W = (xy 2 , 1,z) |d −→ Z 2 

r = (36 cos θ sin 2 θ, 1, 0) |(−4sinθ, 3cosθ, 0) 

= 

C 

Z 3π 

2 

π 

2 

(−144 cos θ sin 3 θ +3cosθ)dθ = 

Exercise 4 Mostre que 4ab2 /3 éovalordointegraldelinha 

Z 

1 

y 

C 

2 dx + x 2 dy 

∙ 

−144 sin4 θ 

4 +3sinθ 

¸ 3π 

2 

π 

2 

= −6. 

sendo C aporçãodaelipseentreosvértices(a, 0) e (−a, 0) passando pelo vértice (0,b) , 

para a, b > 0, com orientação positiva. 


½ 

−→ x(θ) =a cos θ 

r (θ) ≡ 

y(θ) =b sin θ 

para θ ∈ [0,π] 


dθ 

então 

Z 

y 

C 

2 dx + x 2 dy = 

= . 

= 

= 

= 

Z π 

b 

0 

2 sin 2 θ (−a sin θ) dθ + a 2 cos 2 θ (b cos θ) dθ 

Z π 

(−ab 

0 

2 sin 3 θ + a 2 b cos 3 θ)dθ 

Z π 

=(−a sin θ, b cos θ). Temos 

(−ab 2 sin θ ¡ 1 − cos 2 θ ¢ + a 2 b cos θ(1 − sin 2 θ))dθ 

0 Z π 

(−ab 

0 

2 sin θ + ab 2 sin θ cos 2 θ + a 2 b cos θ − a 2 b cos θ sin 2 θ)dθ 

∙ 

ab 2 cos θ − ab 2 cos3 θ 

3 + a2b sin θ − a 2 b sin3 ¸π 

θ 

= − 

3 0 

4 

3 ab2 .


Exercise 5 Calculeovalordointegraldelinha 

Z 

C 

xzdx + xdy − yzdz 

sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O (0, 0, 0) 

que une o ponto A (0, 0, 1) ao ponto B (1, 0, 0) , seguidodeumsegmentoderectaqueune 

B (1, 0, 0) ao ponto D (0, 1, 0) e de outro segmento de recta que une D (0, 1, 0) ao ponto 

E (0, 1, 1) . 

AcurvaC é seccionalmente regular (represente a curva) sendo união de três arcos 

regulares C1, C2 e C3 que são, respectivamente, os arcos [AB], [BD] e [DE]. O trabalho 

pedido pode ser calculado por 

I 

W = 

C 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = 

C1 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r + 

C2 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r + 

C3 

−→ F |d −→ r . 

Uma parametrização do arco C1, contido na circunferência de equação x 2 + y 2 =1,é 

⎧ 

⎨ x(θ) =sinθ 

−→ 

r (θ) ≡ y(θ) =0 

⎩ 

z(θ) =cosθ 

para θ ∈ [0, π 

2 ] 


dθ 

=(cosθ, 0, − sin θ). Uma 

parametrização do arco C2, contido na recta y = −x +1∧ z =0,é 

⎧ 

⎨ x(t) =1− t 

−→ 

r (t) ≡ y(t) =t 

⎩ 

z(t) =0 

para t ∈ [0, 1]. 


dt 

trização do arco C3, contido na resta x =0∧ y =1,é 

⎧ 

⎨ x(t) =0 

−→ 

r (t) ≡ y(t) =1 

⎩ 

z(t) =t 

para t ∈ [0, 1] 

=(−1, 1, 0). Uma parame



=(0, 0, 1). Temos então 

dt 

I 

W = (xz, x, −yz) |d −→ I 

r + (xz, x, −yz) |d −→ I 

r + (xz, x, −yz) |d −→ r 

= 

= 

= 

C1 

Z π 

2 

0 

Z 1 

+ 

Z π 

2 

∙ 

0 

C2 

(sin θ cos θ, sin θ, 0) |(cos θ, 0, − sin θ) dθ 

0 

(0, 1 − t, 0) |(−1, 1, 0) dt + 

sin θ cos 2 θdθ + 

− cos3 θ 

3 

¸ π 

2 

0 

Z 1 

∙ 

+ t − t2 

2 

0 

¸1 Z 1 

(1 − t)dt + 

0 

∙ 

t2 − 

2 

¸ 1 

0 

0 

Z 1 

C3 

(0, 0, −t) |(0, 0, 1) dt 

0 

= 1 

3 . 

−t dt 

Exercise 6 Mostre que πa(2b + a) éovalordointegraldelinha 

Z 

zdx + xdy + ydz 

C 

ao longo da espira de hélice de equações paramétricas x(t) =a cos t, y(t) =a sin t, z(t) = 

bt, parat ∈ [0, 2π] . 


⎧ 

⎨ x(t) =a cos t 

−→ 

r (t) ≡ y(t) =a sin t 

⎩ 

z(t) =bt 

para t ∈ [0, 2π] 


=(−asin t, a cos t, b). Temos 

dt 

então 

Z 

Z 2π 

zdx + xdy + ydz = bt (−a sin t) dt + a cos t (a cos t) dt + a sin t · bdt 

C 

0 

Z 2π 

= −abt sin tdt + a 

0 

2 cos 2 tdt + ab sin tdt 

= [abt cos t] 2π 

0 

Z 2π 

+ab sin tdt 

0 

= [abt cos t] 2π 

0 − ab [sin t]2π 

0 

+ab [− cos t] 2π 

0 

Z 2π 

− ab cos tdt + a 

0 

2 

Z 2π 

0 

+ a2 

= aπ (2b + a) . 

1+cos(2t) 

dt 

2 

∙ 

t 1 

+ 

2 4 sin(2t) 

¸2π 0


Exercise 7 Verifique que 

−→ F (x, y) =(y +2x exp y) −→ e1 + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ −→ e2 

é um campo conservativo ou gradiente (ou com potencial) e determine a respectiva função 

potencial associada. Calcule ainda o valor do trabalho do campo de vectores −→ F no deslo- 

camento de uma partícula entre os pontos (1, 1) e (2, 4) da parábola de equação y = x 2 . 

Trata-se de verificarseexisteumafunçãof(x, y) tal que 

∂f ∂f 

dx + 

dx dy dy =(y +2xexp y) dx + ¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ dy. 

Para que tal aconteça, a função terá de verificar o teorema de Schwarz, ou seja, terá de se 

verificar 

∂ (y +2x exp y) 

∂y 

= ∂ ¡ x − 2y + x2 exp y ¢ 

. 

∂x 

De facto ambas as derivadas têm por expressão 1+2x exp y. Podemos assim concluir que 

o campo de vectores −→ F é um campo conservativo. Quanto à determinação da função 

potencial f atenda-seaqueelaverifica as igualdades 

Como tal, 

Z 

f(x, y) = 

∂f 

dx 

= y +2xexp y 

∂f 

dy = x − 2y + x2 exp y. 

(y +2x exp y) dx = yx + x 2 exp y + C(y). 

Dada a igualdade ∂f 

dy = x − 2y + x2 exp y, sabemos ainda que 

∂ ¡ yx + x2 exp y + C(y) ¢ 

dy 

= x − 2y + x 2 exp y 

Podemos então concluir que 

⇔ x + x 2 exp y + C 0 (y) =x − 2y + x 2 exp y 

⇒ C 0 (y) =2y ⇒ C(y) =y 2 + C 

f(x, y) =yx + x 2 exp y + y 2 .



W = 

I 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = (y +2xexp y, x − 2y + x 

C 

C 

2 exp y) |(dx, dy) 

= 

I 

(y +2xexp y) dx + 

C 

¡ x − 2y + x 2 exp y ¢ = 

dy 

I 

df =[f(x, y)] 

C 

(2,4) 

(1,1) = f(2, 4) − f(1, 1) 

= 6+4e 4 +16− (1 + e +1)=20+4e 4 − e. 

2.3 Com o Teorema de Green - Exercícios propostos 

Exercise 8 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores 

−→ ¡ 2 2 

F (x, y) =(2 x + y ¢ , (x + y) 2 ) 

ao longo da curva plana C sendo esta o contorno do triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) 

e C(1, 3), percorrido no sentido positivo. 


I 

¡ 2 

1+10xy + y ¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy 

C 

ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente. 


I 

¡ ¢ ¡ 3 2 2 2 

2xy − y cos x dx + 1 − 2y sin x +3x y ¢ dy 

C 

aolongodocontornodoparalelogramodevértices(0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2). 

Exercise 11 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação 

x2 y2 

+ =1. 

a2 b2 Exercise 12 UtilizeoteoremadeGreenparacalcularotrabalhodecampodevectores 

−→ 

F (x, y) =(y +3x) 

−→ 

e1 +(2y− x) −→ e2 

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse 

C de equação 4x 2 + y 2 =4.

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45 

2.3.1 Propostas de resolução 


−→ F (x, y) =(2 ¡ x 2 + y 2 ¢ , (x + y) 2 ) 

ao longo da curva plana C sendoestaocontornodotriângulodevérticesA(1, 1), B(2, 2) 

e C(1, 3) percorrido no sentido positivo. 


W = 

1 

= 

= 

I 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = (2 

C 

C 

¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |(dx, dy) 

I 

2 

C 

¡ x 2 + y 2¢ dx +(x + y) 2 dy 

ZZ Ã 

T.Green ∂ (x + y) 

= 

D 

2 

− 

∂x 

∂2 ¡ x2 + y2¢ ! 

dxdy 

∂y 

ZZ 

ZZ 

(2(x + y) − 4y) dxdy = (2x − 2y) dxdy 

D 

sendo D o triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3) (faça o esboço da curva) e dado 

que C é uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Temos então 

ZZ 

Z 2 µZ 4−x 

W = 2 (x − y) dxdy =2 

(x − y) dy dx 

= 

D 

1 x 

Z 2 ∙ 

2 xy − 

1 

y2 

¸y=4−x Z Ã 

2 

(4 − x)2 

dx =2 x (4 − x) − − x 

2 y=x 

2 

2 + x2 

= 

! 

dx 

2 

Z 2 ¡ ¢ 2 

2 8x − 2x − 8 dx =4 

= − 4 

3 . 

D 

1 

∙ 

2x 2 − x3 

¸2 − 4x 

3 1 


I 

¡ 2 

1+10xy + y ¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy 

C 

ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente. 

Consideremos o contorno do quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0,a). Trata-se 

de uma curva fechada seccionalmente regular orientada positivamente. Pelo teorema de


Green, temos 

= 

= 

I 

¡ 2 

1+10xy + y 

C 

¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy 

ZZ Ã ¡ 

∂ 6xy +5x2 D 

¢ 

− 

∂x 

∂ ¡ 1+10xy + y2¢ ! 

dxdy 

∂y 

ZZ 

ZZ 

(6y +10x−10x − 2y) dxdy = 4y dxdy 

D 

sendo D o quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0,a). Temos então 

I 

¡ 2 

1+10xy + y 

C 

¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy 

Z a µZ a Z a ∙ ¸ 

y2 y=a Z a 

= 4y dy dx =4 

dx =4 

0 0 

0 2 

0 


I 

¡ ¢ ¡ 3 2 2 2 

2xy − y cos x dx + 1 − 2y sin x +3x y ¢ dy 

C 

y=0 

D 

a2 dx =4a2 

2 2 [x]a0 

=2a3 . 

aolongodocontornodoparalelogramodevértices(0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2). 

Trata-se de uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Pelo 

teorema de Green, temos 

I 

¡ ¢ ¡ 3 2 2 2 

2xy − y cos x dx + 1 − 2y sin x +3x y 

C 

¢ dy 

ZZ Ã ¡ 

∂ 1 − 2y sin x +3x2y2 = 

D 

¢ 

− 

∂x 

∂ ¡ 2xy3 − y2 cos x ¢ ! 

dxdy 

∂y 

ZZ 

ZZ 

¡ ¢ 2 2 

= −2y cos x +6xy − 6xy +2ycos x dxdy = 0 dxdy =0 

D 

sendo D o paralelogramo de vértices (0, 0), (3, 0), (5, 2) e (2, 2). 

Exercise 16 Use o teorema de Green para calcular a área da elipse de equação 

x 2 

a 

2 + y2 

=1. 

b2 Considerando a elipse com orientação positiva, podemos aplicar a fórmula 

área = 1 

I 

xdy − ydx 

2 

C 

D

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47 

obtida por aplicação do teorema de Green. Temos então 

área = 1 

I 

xdy − ydx = 

2 C 

1 

= 

Z 2π 

a cos t(b cos t)dt − b sin t(−a sin t)dt 

2 0 

1 

Z 2π 

ab dt = 

2 

1 

ab [t]2π 0 = πab 

2 

0 

considerando a elipse parametrizada por 

½ 

−→ x(t) =a cos t 

r (t) ≡ 

y(t) =b sin t 

para t ∈ [0, 2π]. 


−→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y − x) −→ e2 

quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse 

C de equação 4x 2 + y 2 =4. 


W = 

= 

= 

I 

I 

−→ 

F |d 

−→ 

r = (y +3x, 2y − x) |(dx, dy) 

IC 

C 

(y +3x) dx +(2y− x) dy 

C 

ZZ µ 

T.Green ∂ (2y − x) ∂ (y +3x) 

= 

− dxdy 

D ∂x ∂y 

ZZ 

ZZ 

(−1 − 1) dxdy = −2 dxdy 

D 

sendo D a elipse de equação 4x 2 + y 2 =4unida com o seu interior e atendendo a que 

esta é uma curva fechada regular. Atendendo à fórmula conhecida para a área da elipse, 

edadoquenestaosemi-eixomaiormede4 eosemi-eixomenormede2, temos 

ZZ 

W = −2 dxdy = −2 · área de D = −2 · π · 2 · 1=−4π. 

D 

D

Integrais duplos e de linha

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