Estruturas Reticuladas Planas Hiperstáticas - Dem Isep

ESTRUTURAS RETICULADAS HIPERSTÁTICAS PLANAS
Estruturas reticuladas são sistemas constituídos por barras ligadas
entre si pelas suas extremidades.
As ligações entre barras podem ser:
- ligações rígidas
- rótulas
- outras….
O sistema é hiperstático quando existem ligações superabundantes.
As ligações superabundantes podem ser interiores ou exteriores
(apoios).
Sistema hiperstático
interior
Ligação rígida (de continuidade)
entre as barras 1 e 2 e entre as
barras 2 e 3.
Ligação por rótula entre as
barras 2 e 3 (entre as barras 1 e
2 mantém-se ligação rígida)
Ligação que permite (somente) o deslocamento
vertical da extremidade direita da barra 1
relativamente à extremidade esquerda da barra 2
Sistema hiperstático
exterior
Uma ligação é superabundante se, ao considerarmos que a
suprimimos, a restante parte da estrutura mantém a sua estabilidade
(isto é, permanece com a mesma geometria).
O sistema mantém a sua
estabilidade se
suprimirmos, por exemplo,
o apoio do meio (uma
ligação ao exterior).

Num sistema hiperstático as equações de equilíbrio estático não são
suficientes para determinar as reacções nos apoios e/ou as forças
interiores.
Exemplos:
A barra biarticulada pode ser
suprimida, mantendo-se a parte
restante da estrutura estável (com
geometria invariável). Neste caso
pode suprimir-se uma ligação
interior.
É impossível calcular as
reacções nos apoios só com as
equações da estática o que
implica a impossibilidade de
traçar o diagrama de
momentos flectores.
É impossível calcular os
esforços axiais nas barras
só com as equações da
estática (contudo, podem
determinar-se as reacções
nos apoios).
Antes de prosseguir o estudo dos sistemas hiperstáticos, vamos
sistematizar o estudo das ligações numa estrutura reticulada e em
particular as ligações ao exterior (apoios).

Apoios simples ou deslizantes serão considerados como apoios
de uma biela:
≡
Notar que um apoio simples gera uma única incógnita de reacção,
equivalente ao esforço axial na biela.
Apoios duplos ou de rótula fixa serão considerados como apoios
de duas bielas:
≡
Notar que um apoio duplo gera 2 incógnitas de reacção, equivalentes
aos esforços axiais nas 2 bielas.
Apoios triplos ou de encastramento podem ser considerados
como apoios de três bielas (nem sempre isso é vantajoso). Para que o
encastramento seja perfeito é necessário considerar que a
distância l seja um infinitésimo ou que a viga de comprimento l
seja infinitamente rígida.
≡
Não
confundir
com →
Não
confundir
com →
Notar que um apoio de encastramento gera 3 incógnitas de reacção,
equivalentes aos esforços axiais nas 3 bielas.

Ligação rígida entre duas barras numa dada secção é
equivalente à ligação por 3 bielas entre elas, conforme se mostra:
As 3 bielas impedem a existência de qualquer movimento relativo
entre as duas partes. Nomeadamente, ficam impedidos os
deslocamentos relativos na direcção vertical e na horizontal, e a
rotação relativa.
No modelo das 3 bielas, os seus 3 esforços axiais são equivalentes
(leia-se, linearmente dependentes) aos 3 esforços na secção:
momento flector (M), esforço axial (N) e esforço cortante (T).
Grau de Hiperstaticidade de uma estrutura (GH)
É o número de ligações superabundantes que uma estrutura possui e
cuja eliminação transformaria o sistema dado num sistema isostático
de geometria invariável.
Entende-se que um sistema possui geometria invariável - ou é
geometricamente estável - todo aquele que não pode mudar de
configuração sem deformação dos seus elementos. Os sistemas que
podem mudar de configuração, independentemente de haver ou não
deformação dos seus elementos, são sistemas hipostáticos (ou
mecanismos).

Os sistemas isostáticos não possuem nenhuma ligação
superabundante. A eliminação de uma só ligação transformaria
sempre estes sistemas em hipostáticos (ou mecanismos).
A viga a) da figura ao lado constitui
um sistema com um grau de
hiperstaticidade porque, como vimos
anteriormente, uma das ligações ao
solo (apoio) é superabundante.
Retirando uma qualquer das bielas de
apoio – fig. b) – ou introduzindo na
viga uma articulação – fig. c) – obterse-á
um sistema isostático de
geometria invariável.
O quadro rígido da figura a) à
esquerda é um sistema hiperstático
com 3 graus de hiperstaticidade
porque a sua transformação em
sistema isostático requer que se
seccione um dos seus elementos –
ver fig. b) – o que equivale a
suprimir 3 ligações internas. Estas são, como vimos, as
correspondentes aos 3 esforços internos na secção: momento flector
(M), esforço normal (N) e esforço de corte (T). As equações
fornecidas pela estática não permitem determinar estes esforços.
Todo o contorno fechado encontra-se, sob o ponto de vista estático,
nas mesmas condições. Os quadros e contornos fechados planos de
nós rígidos constituem sempre sistemas de 3 graus de
hiperstaticidade.
Os pórticos das figuras a) e b) ao
lado constituem exemplos de
sistemas idênticos. No pórtico
encastrado da fig. b) o solo pode
ser considerado como uma barra de
rigidez infinita.

O sistema representado na figura a) abaixo possui uma rótula no
centro da travessa superior. Numa secção considerada pelo
alinhamento desta articulação não teremos senão dois esforços
internos: N e T. Por consequência o contorno superior é 2 vezes
hiperstático, enquanto que o grau de hiperstaticidade da estrutura
completa é igual a 5, porque o contorno inferior é fechado o que
introduz mais 3 graus de hiperstaticidade ao sistema.
Note-se que para um sistema hiperstático dado, a eliminação das
ligações superabundantes, transformando o sistema num isostático,
pode, em geral, ser feita de várias maneiras diferentes, mas o
número de ligações suprimidas permanece sempre o mesmo. Assim,
no exemplo da figura seguinte, os sistemas isostáticos b) e c) foram
obtidos partindo do mesmo sistema hiperstático a) – um por
eliminação de uma ligação de apoio e o outro por introdução de uma
rótula, isto é, por eliminação da ligação que se opunha à rotação
relativa dos dois troços de viga situados de uma parte e da outra da
articulação. O sistema da fig. c) é conhecido, como se deve saber,
por arco de três rótulas.

Fixemos que a introdução de uma articulação (ou rótula) numa
qualquer secção de um barra ou a substituição de um nó rígido por
um nó articulado numa qualquer estrutura hiperstática faz baixar o
seu grau de hiperstaticidade de uma unidade. Daqui em diante
designaremos este tipo de articulações como articulação simples.
Ao eliminar as ligações superabundantes de um sistema hiperstático
é sempre necessário verificar a invariabilidade geométrica do
sistema. No seguinte exemplo com um grau de hiperstaticidade - fig.
a) - a eliminação da biela vertical do apoio da direita - fig. b) - não é
possível porque transformaria o sistema num outro de geometria
variável (pode haver rotação em torno do ponto A que é ponto de
intersecção das 3 reacções de apoio). O mesmo já não se passa com
o sistema da fig. c) que é de geometria invariável e isostático.
Para os sistemas hiperstáticos complicados, a determinação do grau
de hiperstaticidade pode fazer-se baseando-nos no facto de que cada
articulação introduzida num nó onde se encontram K barras baixa o
grau de hiperstaticidade (K-1), porque uma tal articulação substitui
(k-1) articulações simples.

Pode então deduzir-se que para determinar o grau de hiperstaticidade
de um sistema é necessário multiplicar por 3 o número de contornos
fechados e, de seguida, subtrair ao número obtido o número total de
articulações simples. Deve tomar-se o cuidado de considerar o solo
como uma única barra (de rigidez infinita) ligando todos os pontos de
apoio. Assim, temos que,
GH=3C-A
em que GH é o grau de hiperstaticidade, C é o número de contornos
fechados da estrutura e A o número de articulações simples que
possui.
Para a estrutura representada na fig. a) seguinte, podemos
contabilizar - ver fig. b) – C=8 contornos fechados e A=20
articulações simples. Logo o grau de hiperstaticidade da estrutura é
G=3x8-20=4

Exercícios:
Para cada uma das estruturas representadas calcule o seu grau de
hiperstaticidade e desenhe uma possível correspondente estrutura
isostática.