Teoria dos Pontos Críticos via Minimização - Rodrigo Alves de ...

Observação 9 A norma acima é equivalente à norma usual
u =
em virtude da desigualdade de Poincaré:
(veja em Brezis [4]).
u 2
L2 (Ω) + ∇u2L
2 1/2 (Ω) ,
u L 2 (Ω) ≤ c∇u L 2 (Ω) ∀ u ∈ H 1 0(Ω),
Proposição 2 Suponha que f : Ω × R −→ R satisfaz as condições de
Carathéodory e a condição de crescimento do Exemplo 4. Então o funcional
I : H1 0(Ω) → R acima, associado ao problema (6), está bem definido. Além
disso, I é de classe C1 (H1 0, R) com
I ′
(u)h = (∇u∇h − f(x, u)h)dx ∀u, h ∈ H 1 0(Ω).
Ω
Prova: Pela desigualdade de Poincaré anteriormente mencionada, podemos
escrever
I(u) = 1
2 u2 − ψ(u),
ψ(u) = F (x, u)dx.
Provemos então o seguinte:
(a) I está bem definido
É claro que o funcional ρ(u) = 1
2 ||u||2 está bem definido em H 1 0(Ω) ∀ u.
Portanto, basta verificar que o funcional ψ está bem definido.
De fato, como a função f : Ω × R −→ R satisfaz as condições de
Carathéodory e a condição de crescimento do Exemplo 4, então a função
F (x, s) também satisfaz as mesmas condições. Portanto, novamente
pelo Exemplo 4 temos que ψ está bem definido. Portanto, I está bem
definido.
(b) I é de classe C 1 em H 1 0(Ω)
Como o funcional ρ(u) = 1
2 ||u||2 é claramente de classe C ∞ em H 1 0(Ω),
basta verificar que ψ é de classe C 1 em H 1 0(Ω).
Mostremos que:
21
Ω