Teoria dos Pontos Críticos via Minimização - Rodrigo Alves de ...

Ou seja,
I ′
(u)h =
Ω
∇u∇h − f(x, u)h dx ∀u, h ∈ H 1 0(Ω).
Observação 10 Temos que u ∈ H 1 0(Ω) é uma solução fraca de (6) se, e
somente se, u é um ponto crítico de I.
Apresentamos a seguir um teorema relacionado com o problema colocado
no início desta seção.
Teorema 6 Suponha que f : ¯ Ω × R → R é uma função de Carathéodory
satisfazendo as condições:
1. Existem c, d ≥ 0 e 0 ≤ σ < N+2 se N ≥ 3 [ 0 ≤ σ < ∞ se N = 1, 2 ]
N−2
tais que
|f(x, s)| ≤ c|s| σ + d.
2. Existe β < λ1 tal que lim sup
|s|→∞
f(x, s)
s
Então (6) possui uma solução fraca u ∈ H 1 0(Ω).
≤ β uniformemente em x ∈ Ω.
Prova: Em vista da Proposição 2, vamos encontrar um ponto crítico do
funcional φ ∈ C1 (H1 0, R) dado por
φ(u) = 1
2 u2
− ψ(u), ψ(u) = F (x, u)dx.
Como sabemos, q(u) = 1
2 u2 é fracamente s.c.i. e ψ é fracamente
contínuo. Portanto
(a) φ é fracamente s.c.i.
Por outro lado, a condição (2) da hipótese implica que
(2’) lim sup
|s|→∞
2F (x, s)
s 2 ≤ β uniformemente em x ∈ Ω,
25
Ω