Ondas Estacionárias Longitudinais no Tubo de Chamas

6 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 20, n ọ 1, marco, 1998
Ondas Estacionarias Longitudinais
no Tubo de Chamas
(Estationary Longitudinal Waves in the Flaming Tube)
Antonio Carlos Baratto
Departamento de Fsica, Centro deCi^encias Exatas
Universidade Federal do Esprito Santo - UFES
Av. Fernando Ferrari, s/n 29060-900 - Vitoria - ES
Trabalho recebido em 7 de fevereiro de 1997
Apresenta-se uma soluc~ao para o problema do diagrama sinuoso das chamas no Tubo de
Chamas, baseada num tratamento em termos da vaz~ao media temporal do gas, pelos furos,
ao longo do tubo. Esta vaz~ao e obtida pela aplicac~ao da equac~ao de Bernoulli ao escoamento
do gas pelos furos. O resultado obtido esta em bom acordo com o observado no experimento.
In this work we present a solution to the fhenomenon of the sinusoidal diagram of the ames
in the aming tube. By means of Bernnoulli's equation it is attempt to nd the time average
ow through the holes along the tube. Our results are in good agreement with the observed
behavior of the experiment.
1 Introduc~ao
uma condic~ao de resson^ancia.
OTubo de Chamas e um aparato experimental tradicionalmente
usado para demonstrar a exist^encia de ondas
sonoras estacionarias numa coluna de gas. Muito
embora seja frequentemente usado como uma muito
bonita demonstrac~ao, nem sempre a explicac~ao do
fen^omeno e convincente [1-2], sendo mesmo, por vezes,
agrantemente equivocada, apresentando o fen^omeno
como devido a diferencas na press~ao media ao longo do
tubo [3].
O experimento consiste de um tubo longo (2m),
fechado numa das extremidades e tendo um alto-falante
na outra extremidade. Ao longo do tubo, longitudinalmente,
ha uma serie de pequenos furos, espacados de
cerca de 2 cm. Gas (GLP) e injetado no tubo e sai pelos
furos. Inamando-se o gas que sai pelos furos tem-se
uma linha de chamas cuja altura pode ser controlada
pela vaz~ao imprimida ao gas.
O alto-falante e alimentado por um gerador de sinal
senoidal, cuja frequ^encia pode ser variada. Em certas
frequ^encias as alturas das chamas ao longo do tubo apresentam
um aspecto sinuoso estacionario, indicando
Figura 1.
2 Condic~ao de Resson^ancia
Busquemos, primeiro, estabelecer as condic~oes para a
exist^encia de ondas estacionarias no tubo.
O alto-falante cria, na extremidade esquerda do
tubo (em x=0), uma perturbac~ao periodica longitudinal,
de amplitude B pequena, e frequ^encia !.
Chamemos de X o deslocamento de uma innitesimal
camada de gas,nadirec~ao x, a partir de sua posic~ao
de equilbrio x.
Trabalho realizado com suporte nanceiro de VITAE e CAPES

A.C. Baratto 7
A perturbac~ao iniciada pelo alto-falante se propaga
pelo tubo, devendo obedecer a equac~ao de movimento:
@ 2 X
@x 2
= 1 v 2 @ 2 X
@t 2
onde v e a velocidade do som no gas, e pode ser
dada em termos do modulo volumetrico de elasticidade
adiabatico (K ad ) e da densidade () dogas por:
1=2
v =
Kad
Como o tubo, de comprimento L, e fechado a direita,
o deslocamento do gas, a, e nulo. Devemos, pois,
buscar soluc~oes estaveis para as perturbac~oes ao longo
do tubo do tipo:
diverg^encia so n~ao se manifesta na pratica devido a exist^encia
de forcas dissipativas n~ao consideradas nesse
tratamento simples.
As condic~oes de resson^ancia s~ao, portanto:
kL = n ) 2 L = n ) = 2L n
Teremos nodos de deslocamento (anti-nodos de
press~ao) em x = L e (aproximadamente) em x =0.
Em termos da press~ao, a onda estacionaria pode ser
escrita:
P (x t) =P 0 coskxcos!t
X(x t) =f(x)cos!t = Asen (kx + )cos!t
(onde k = ! v
contorno:
= 2
) e que satisfacam as condic~oes de
3 Ondas longitudinais estacionarias
X(0t)=Bcos!t
X(L t) =0
Temos, pois: X(L t) =0) sen ; !
v L + = 0 Assim:
!
v L + = n
= n ; ! v L
n =1 2 3:::
Antes de prosseguir e instrutivo procedermos a visualizac~ao
de um modelo sobre como se comporta uma
coluna de gas na resson^ancia, isto e, quando nela se
estabelece uma onda longitudinal estacionaria.
Vimos que a express~ao que descreve o deslocamento
de uma camada de gas, a partir da sua posic~ao de
equilbrio, em func~ao do tempo deve ser do tipo:
Mas:
X(0t)=Bcos!t = Asencos!t
X(x t) =X 0 senkx cos!t
Portanto:
ou
B = Asen ) A =
B
sen
A =
B
sen ; n ; !L
v
; B
X(x t) = sen
sen n ; !L v
kx + n ; !L v
cos!t
Vemos que, quando !L=v = n, a amplitude das perturbac~oes
se tornara virtualmente innita, n~ao obstante
a amplitude da perturbac~ao inicial (B) ser pequena.
Isso caracteriza um comportamento ressonante.
Essa
A gura 2 apresenta uma serie de instant^aneos do
comportamento de algumas camadas do gas, tomados
aintervalos temporais regulares de 1/24 do perodo.
Nesta serie foram calculadas as posic~oes das camadas
nos diversos instantes de tempo tomando, para a onda
estacionaria, uma amplitude (exagerada em relac~ao a
qualquer intensidade razoavel de som) de X 0 =2 0cm,
e um comprimento de onda =20 0cm.
Observe-se que, nos nodos de deslocamento, localizados
nas posic~oes 0, 10, 20 e 30, a press~ao apresenta a
maxima variac~ao em relac~ao a press~ao media no tubo.

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estacionaria de press~ao. Supomos P 0

A.C. Baratto 9
v(x t) = 2Pa
1=21+ P 1=2
0
coskxcos!t
P a
Z
T
Avelocidade media temporal pelos furos ao longo do tubo sera:
onde T e operodo da onda estacionaria.
v(x) = 1 T
Z
T
0
v(x t)dt
v(x) = 1=2 2Pa 1
T
0
1+ P 1=2
0
coskxcos!t dt
P a
Uma grande diculdade e que a integral em quest~ao e muito complicada (embora n~ao pareca, a primeira vista).
Contornamos esse problema fazendo a expans~ao do integrando, o que pode ser feito, equivalentemente, pelo
Teorema Binomial ou em serie de Taylor. Fazendo:
tem-se
f(y) =f(0) + f 0 (0)
1!
y = P 0
P a
coskxcos!t
f(y) = (1 + y) 1=2
y + f"(0) y 2 + :::
2!
ou
n(n ; 1)
(1 + y) n = ny + y 2 n(n ; 1)(n ; 2)
+ y 3 + :::
2!
3!
Ambos os procedimentos dar~ao como resultado:
(Serie de Taylor)
(Teorema Binomial)
substituindo:
f(y) =1+ 1 2 y ; 1 8 y2 + 1
16 y3 ; 5
128 y4 + :::
1+ P 1=2
0
coskxcos!t
P a
P 0
=1+ 1 coskxcos!t ; 1 2 P a 8
4
P0
coskx
P a
+
16 1 3
P0
coskx cos 3 !t ; 5
P a 128
0
0
2
P0
coskx cos 2 !t+
P a
cos 4 !t + :::
As integrais dos termos mpares em cos!t se anulam. Desprezando os termos maiores que 3a ordem:
v(x) = 2Pa
1=2" Z
T
Z
1
dt ; 1 T
2
1 P0
coskx cos 2 !tdt
T
T 8 P a
fazendo Z = !t ) dZ = !dt
Assim:
1
T
Z
T
0
cos 2 !tdt = 1
2
v(x) = 2Pa
1=2"
Z
2
0
cos 2 ZdZ =
2 = 1 2
1 ; 1 16
P0
P a
2
cos 2 kx
O uxo medio temporal de gas, ou vaz~ao,emcadafurodearea A, em func~ao da posic~ao x, sera:
'(x) =Av(x) =A 2Pa
1=2"
1 ;
16 1 2 P0
cos 2 kx
P a
#
#
#

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Obtivemos, assim, uma express~ao para o uxo de
gas pelos furos em func~ao da posic~ao x. A rigor as
alturas das chamas n~ao precisam obedecer necessariamente
a mesma func~ao, embora seja razoavel supor
alguma proporcionalidade entre a altura da chama e o
uxo. Pode-se ver que, onde a press~ao n~ao varia, isto
e, num nodo de press~ao (antinodo de deslocamento), o
uxo e maior e tambem maior a velocidade media do
gas (chama mais alta).
A condic~ao para chama mnimae:
cos 2 kx =1) kx = n ) x = n n =1 2 3:::
2
A dist^ancia entre dois mnimos (ou dois maximos)
consecutivos e 2 o que pode ser medido com uma
regua. Conhecendo a frequ^encia de excitac~ao (do
som) temos, nalmente:
5 Bibliograa
v =
1 RESNICK, R., HALLIDAY, D. Fsica. Livros
Tecnicos e Cientcos editora S.A, vol.2. p. 146,
1981.
2 SEARS, F. W., ZEMANSKY M. W. Fsica -
Mec^anica, Calor, Acustica. Ao Livro Tecnico
Ltda, p. 461, 1963.
3 FREIER, G. D, ANDERSON, F. J. A. Demonstration
Handbook for Physics. American Association
of Physics Teachers, p. 5-8, 1985.