Ondas Estacionárias Longitudinais no Tubo de Chamas

A.C. Baratto 7
A perturbac~ao iniciada pelo alto-falante se propaga
pelo tubo, devendo obedecer a equac~ao de movimento:
@ 2 X
@x 2
= 1 v 2 @ 2 X
@t 2
onde v e a velocidade do som no gas, e pode ser
dada em termos do modulo volumetrico de elasticidade
adiabatico (K ad ) e da densidade () dogas por:
1=2
v =
Kad
Como o tubo, de comprimento L, e fechado a direita,
o deslocamento do gas, a, e nulo. Devemos, pois,
buscar soluc~oes estaveis para as perturbac~oes ao longo
do tubo do tipo:
diverg^encia so n~ao se manifesta na pratica devido a exist^encia
de forcas dissipativas n~ao consideradas nesse
tratamento simples.
As condic~oes de resson^ancia s~ao, portanto:
kL = n ) 2 L = n ) = 2L n
Teremos nodos de deslocamento (anti-nodos de
press~ao) em x = L e (aproximadamente) em x =0.
Em termos da press~ao, a onda estacionaria pode ser
escrita:
P (x t) =P 0 coskxcos!t
X(x t) =f(x)cos!t = Asen (kx + )cos!t
(onde k = ! v
contorno:
= 2
) e que satisfacam as condic~oes de
3 Ondas longitudinais estacionarias
X(0t)=Bcos!t
X(L t) =0
Temos, pois: X(L t) =0) sen ; !
v L + = 0 Assim:
!
v L + = n
= n ; ! v L
n =1 2 3:::
Antes de prosseguir e instrutivo procedermos a visualizac~ao
de um modelo sobre como se comporta uma
coluna de gas na resson^ancia, isto e, quando nela se
estabelece uma onda longitudinal estacionaria.
Vimos que a express~ao que descreve o deslocamento
de uma camada de gas, a partir da sua posic~ao de
equilbrio, em func~ao do tempo deve ser do tipo:
Mas:
X(0t)=Bcos!t = Asencos!t
X(x t) =X 0 senkx cos!t
Portanto:
ou
B = Asen ) A =
B
sen
A =
B
sen ; n ; !L
v
; B
X(x t) = sen
sen n ; !L v
kx + n ; !L v
cos!t
Vemos que, quando !L=v = n, a amplitude das perturbac~oes
se tornara virtualmente innita, n~ao obstante
a amplitude da perturbac~ao inicial (B) ser pequena.
Isso caracteriza um comportamento ressonante.
Essa
A gura 2 apresenta uma serie de instant^aneos do
comportamento de algumas camadas do gas, tomados
aintervalos temporais regulares de 1/24 do perodo.
Nesta serie foram calculadas as posic~oes das camadas
nos diversos instantes de tempo tomando, para a onda
estacionaria, uma amplitude (exagerada em relac~ao a
qualquer intensidade razoavel de som) de X 0 =2 0cm,
e um comprimento de onda =20 0cm.
Observe-se que, nos nodos de deslocamento, localizados
nas posic~oes 0, 10, 20 e 30, a press~ao apresenta a
maxima variac~ao em relac~ao a press~ao media no tubo.