estudo e desenvolvimento de código computacional ... - SET - USP

ISSN 1809-5860
ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE CÓDIGO
COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DE IMPACTO ENTRE
ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS LEVANDO EM
CONSIDERAÇÃO EFEITOS TÉRMICOS
Rogério Carrazedo 1 & Humberto Breves Coda 2
Resumo
Ao se estudar problemas de impacto de estruturas deformáveis (dúcteis) a consideração
dos efeitos térmicos se faz muito importante, pois além de se observar a transformação
de energia mecânica em calor pode-se considerar, ao longo do processo de análise, as
mudanças das propriedades mecânicas do material devido ao aquecimento do meio.
Neste sentido, está em estudo uma formulação termodinamicamente consistente e sua
implementação computacional, baseada no potencial de energia livre de Helmholtz e
nas leis da termodinâmica, para se analisar, via elementos finitos, o impacto entre
estruturas tridimensionais com comportamento termo-elástico e termo-plástico. O
problema mecânico será tratado com formulação posicional desenvolvida em projetos
de pesquisa anteriores, classificados como Lagrangeano total com cinemática exata.
Palavras-chave: termo-elasto-plasticidade, método dos elementos finitos posicional.
STUDY AND DEVELOPMENT OF COMPUTATIONAL CODE TO
ANALISE IMPACT IN THREE DIMENSIONAL STRUCTURES
CONSIDERING THERMAL EFFECTS
Abstract
It becomes quite important study the thermal effects when considering impact in
structures, because besides the mechanical energy changing into heat, one may
consider the changes in the material properties due overheating. In this sense, it is
under study a thermodynamic formulation and its implementation, based in the
Helmholtz free-energy and in the laws of thermodynamics, to analyze three dimensional
structures under impact. The mechanical problem is solved by a positional finite
element application developed in past researches and it can be classified as a total
Lagrangean with exact kinematics.
Keywords: thermo-elasticity, thermo-plasticity, positional finite element method.
Linha de Pesquisa: Métodos Numéricos.
1 Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rogcrzd@sc.usp.br
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 161-164, 2006

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Rogério Carrazedo & Humberto Breves Coda
1 INTRODUÇÃO
Tensões de origem térmica são geradas em situações não isotérmicas e em
situações que venham a restringir o movimento da estrutura. Ao mesmo tempo,
variações de temperatura ocorrem em situações de dissipação mecânica
(plastificação, por exemplo). A termo-elasticidade e termo-plasticidade descrevem o
comportamento de materiais sujeitos a tais situações, sendo assim generalizações da
teoria da elasticidade e da elasto-plasticidade.
Além da consideração do comportamento termo-mecânico do material
constituinte das estruturas, o comportamento geométrico das mesmas é de extrema
importância para uma boa simulação de aplicações avançadas. Assim, o estudo sobre
não linearidade geométrica deverá seguir teoria Lagrangeana total exata, baseado na
metodologia posicional estabelecida pelo orientador (H. B. Coda, 2003).
2 METODOLOGIA
A formulação da termo-elasticidade é baseada nos princípios da
termodinâmica junto aos princípios da elasticidade para construir uma formulação
acoplada entre os campos térmico e mecânico.
Em primeiro lugar, a formulação se utiliza da lei da conservação de energia
para estabelecer uma relação entre o calor gerado, a energia do sistema e o trabalho
mecânico realizado. Então, o princípio da taxa de trabalho é aplicado para estabelecer
uma relação que contenha a energia interna. Com isso e com os conceitos de
entropia e energia livre de Helmholtz, define-se uma forma da equação de condução
de calor. Por último, utilize-se a relação constitutiva termo-elástica para estabelecer
uma equação de equilíbrio para determinar o comportamento mecânico da estrutura.
Com relação à metodologia posicional para simulação do comportamento
geométrico das estruturas, a formulação constrói o gradiente da função mudança de
configuração a partir das configurações inicial e final escritas em função de espaço
adimensional auxiliar. Neste procedimento a geração de uma medida de deformação
objetiva (invariante a movimentos de corpo rígido) chamada de deformação não linear
de engenharia possibilita a criação de funcional de energia de deformação simples e
de fácil assimilação. A partir desse funcional o teorema da mínima energia potencial
total é aplicado e o método de Newton Raphson é utilizado para se solucionar o
sistema não linear de equações resultante (H. B. Coda, 2003).
3 DESENVOLVIMENTO
A termo-elasticidade se utiliza do conceito do potencial termo-elástico, que
nada mais é do que uma forma de definir as propriedades elásticas de um corpo, para
modificar as equações da termodinâmica e da elasticidade para criar uma formulação
que tem termos que acoplam ambas as teorias. A teoria utilizada foi desenvolvida por
Biot (1956) e está apresentada de forma mais elucidativa em Parkus (1976) e em
Holzapfel (2004).
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3.1 Equação de condução de calor
A equação de condução de calor termo-elástica, em sua forma mais
conhecida, resulta em:
onde k é a condutividade térmica, θ é a variação de temperatura a partir de uma
referência, G é o Módulo de Elasticidade Transversal, ν é o módulo de Poisson, α é
o coeficiente de expansão térmica, T 0
é a temperatura de referência, ε&
ii
é o traço do
tensor de taxa de deformação, ρ é a densidade do material, c é o calor específico,
R é o calor gerado e & θ é o fluxo de calor.
(1)
3.2 Equação de equilíbrio termo-elástica
A equação de equilíbrio termo-elástica resulta em
Onde ε
ij
é o tensor de deformação, ε kk
é o traço do tensor de deformação, δ ij
é o
delta de Kronecker,
F
i
é o vetor de forças externas e
4 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS
& y&
i
é a aceleração.
(2)
O programa foi elaborado em Fortran, sendo que, para a resolução do sistema
não linear foi utilizado o método de Newton-Raphson, e para a resolução do problema
dinâmico foi utilizado o método de Newmark, aplicando a regra do trapézio, e o
método alfa de aproximação temporal. O programa foi validado através de exemplos
apresentados na qualificação do autor (Carrazedo, Rog., 2006).
4.1 Exemplo de Aplicação – Treliça Bidimensional Dinâmica
O exemplo consiste em uma treliça bidimensional, formada por 48 elementos
de barra, em um total de 26 nós, com apenas uma carga vertical, conforme a figura 1.
No caso, não foram desprezados os efeitos de inércia. O termo de acoplamento foi
mantido para poder comprovar a geração de calor a partir da taxa de deformação da
estrutura.
Figura 1 – Treliça bidimensional.
A figura mostra as condições de contorno mecânicas. Com relação às
condições de contorno para o problema térmico, não foram especificadas
temperaturas nos nós, tampouco foram especificados fluxos nos nós. Apenas
condições iniciais foram estabelecidas, de equilíbrio térmico.
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Com relação à discretização temporal, foram utilizados 500 passos de tempo
o
o
de 0.001 segundo. Foi adotado k = 0.011kcal
/ C m s , c = 450 J / C kg ,
3
ρ = 7850kg
/ m , α = 0.000011m /
o C m
e
2
E = 21e9
kgf / m .
O efeito de Gough-Joule pode ser visto na figura 2, em que as barras que tem
taxa de deformação negativa estão aquecendo e as que têm taxa de deformação
positiva estão resfriando. Não foi utilizada uma escala fixa para a temperatura.
5 CONCLUSÕES PARCIAIS
Figura 2 – Evolução da temperatura na treliça.
Pretende-se utilizar os conceitos desenvolvidos até o momento para incluir a
parte térmica no aplicativo maior desenvolvido pelo orientador, Prof. Humberto Breves
Coda, que contém elementos mais elaborados (como elemento de pórtico e casca).
Na seqüência, será estudada a teoria da termo-plasticidade, através de potenciais
dissipativos apresentados por Lanczos (1986) e o impacto termo-mecânico.
6 REFERÊNCIAS
BIOT, M. (1956) Thermoelasticity and irreversible thermo-dynamics. Journal of
Applied Physics, v. 27, n. 3, p. 240-253.
CARRAZEDO, R. (2006). Estudo e desenvolvimento de código computacional
para análise de impacto entre estruturas tridimensionais levando em
consideração efeitos térmicos. São Carlos. Projeto (Doutorado) - Escola de
Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.
CODA, H. B. (2003). Análise não linear geométrica de sólidos e estruturas: uma
formulação posicional baseada no MEF. Texto complementar para concurso de
professor titular. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos.
HOLZAPFEL, G. A. (2004). Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for
engineering. 2. ed. Chichester, Inglaterra: John Wiley & Sons.
LANCZOS, C. (1986). The variational principles of mechanics. Nova York: Dover
Publications, Inc.
PARKUS, H. (1976). Thermoelasticity. 2. ed. Austria: Springer-Verlag.
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