Vi - Curso e Colégio Acesso

PORCENTAGEM, AUMENTOS E DESCONTOS
PERCENTUAIS, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

PORCENTAGEM
x
100
O quociente é representado por x% e lido x por
cento.
Dados dois números a e b, com , diz- se
que a representa x% de b se :
x
a . b
100
x 100
a
b

Aumentos e descontos
percentuais
Para um aumento
Sendo Vi, o valor inicial e o Vf o valor final de um
aumento de x% temos:
x
Vf Vi . Vi
100
x
Vf 1 .
Vi
100

Atividades
1)(puc-mg)Um objeto que custava R$
700 teve seu preço aumentado de R$
105,00. O acréscimo percentual em
relação ao custo anterior foi de :
a) 12% b) 15% c) 18 % d) 20 %

Solução:
x
105 .700
100
105 7.x
x 15%

Para um desconto:
Sendo Vi, o valor inicial e o Vf o valor final
de um desconto de x% temos:
x
Vf Vi . Vi
100
x
Vf 1 .
Vi
100

Para aumentos sucessivos e iguais
Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor ao final
de n acréscimos sucessivos de x%, ao final
do enésimo acréscimo:
Vn
x 1
100
n
. Vi

Para descontos sucessivos e iguais
Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor ao final
de n descontos sucessivos de x%, ao final do
enésimo acréscimo:
Vn
x 1 . Vi.
100
n

Atividades:
3)(vunesp)Uma mercadoria teve um aumento de
25% e, logo depois ,um aumento de 20 % sobre
isso. Para encontrar o preço da mercadoria
após os aumentos, basta multiplicar o preço
inical por :
a)1,45
b)0,45
c)1,50
d)0,50
e)3,75

Solução
25 20
Vf 1
.
1 Vi
100 100
Vf 1,25.1,20.
Vi
Vf 1, 50Vi

Juros
Definição: Juros é a remuneração do
capital empregado. Se aplicarmos um
capital durante um determinado
período de tempo, ao fim do prazo o
capital se transformará em um valor
(montante) que será igual ao capital
aplicado , acrescido da remuneração
obtida no período de aplicação.

Abreviaturas nas taxas
Abreviatura
a.d.
a.d.u.
a.m.
a.m.o.
a.b.
a.t.
a.q.
a.s.
a.a.
a.a.o.
Significado
ao dia
ao dia útil
ao mês
ao mês over
ao bimestre
ao trimestre
ao quadrimestre
ao semestre
ao ano
ao ano over

Resumindo:
Sendo
C , capital aplicado ou valor presente
M, montante final ou valor futuro
i , taxa de juros
J , juros totais aferidos durante o intervalo de
tempo
t, tempo de aplicação

JUROS SIMPLES
No regime de juros simples , estes incidem
sempre sobre o capital inicial. Na prática , esse
sistema é usado especialmente em certos
pagamentos é de apenas alguns dias.

Juros simples:
Considere um empréstimo de R$10.000,00 a uma
taxa de juros simples de 10% ao mês durante um
prazo de três meses:
Ao final do primeiro mês, teremos:
10.000,00+ 0,1x10.000,00 = 11.000,00
Ao final do segundo mês, teremos:
11.000,00+0,1x10.000,00 = 12.000,00
Ao final do terceiro mês, teremos:
12.000,00+0,1x10.000,00 = 13.000,00

O juros total é de R$ 3.000,00
Ou seja, o juros poderia ter sido calculado da seguinte
maneira:
Fazendo ,
J C.
i.
t
J
10.000x0,1
x3
R$3000,00

Sendo M o montante final temos:
M
C
J
No exemplo , apresentado temos:
J
C. i.
t 10000x0,1
x3
3000,00
M
C
J
10.000,00
3.000,00
13.000,00

Juros compostos
Neste regime , após cada período , os juros são
incorporados ao capital inicial, passando a
render sobre o novo total. Dessa forma, os
cálculos são efetuados como ‘’ juros sobre
juros’’.

Juros compostos
Considere o mesmo empréstimo de R$ 10.000,00 só
que agora a juros compostos, durante os mesmos 3
meses com taxa de 10 % ao mês.
Ao final do primeiro mês, teremos:
10.000,00+ 0,1x10.000,00 = 11.000,00
Ao final do segundo mês, teremos:
11.000,00+0,1x11.000,00 = 12.100,00
Ao final do terceiro mês, teremos:
12.100,00+0,1x12.100,00 = 13.310,00

O juros total é de R$3.310,00
O montante final é de R$ 13.310,00
Vamos analisar a variação do montante ao longo do tempo.
Após o primeiro mês temos :
Fatorando temos ,
M C i.
C
1
M C.(1
i)
1
Após o segundo mês temos:
Fatorando temos,
M
2
M i.M
1
1
M
M .( 1i)
C.(1
i).(1
i)
C.(1
i)
2
2 1

Após o terceiro mês temos:
Fatorando temos,
M
3
M
2
i.M
2
M
M
3
3
M
2
.(1
C.(1
i)
i)
3
C.(1
i)
2
.(1
i)

De forma geral temos:
Para juros simples:
M
C.( 1i.
t)
Para juros compostos:
M C.( 1
i)
t

Exemplo 6 complementares
(UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos , por um
período de 4 meses, sob a seguintes condições:
1) taxa de 11,4% ao mês , a juro simples;
2)taxa de 10% ao mês , a juro composto.
Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00 ,
optando pela condição 1. Em quantos reais os juros
cobrados pela condição 1 serão menores que os cobrados
pela condição 2?

0
1
condição
Juros simples 11,4%
M
C.( 1i.
t)
M1= 10.000,00x(1+0,114x4)
M1=10.000,00x(1+0,456)
M1=10,000,00x1,456
M114560,00

0
2
condição
Juros compostos 10%
M C.( 1
i)
t
M1=10.000,00x(1+0,1) 4
M1=10.000,00x(1,1) 4
M1=10.000,00x1,4641
M114.641,00

Portanto na condição 1 serão
cobrados R$81,00 a menos que a
condição 2.

Valor futuro e valor atual
(séries uniformes)
Exemplo 1: Uma dívida de R$ 5.000,00 deverá
ser paga 3 meses antes do seu vencimento ,
em 1 de abril . Sabendo que a taxa de juro
para essa dívida é de 6% ao mês, em regime
de juro composto , qual deverá ser o valor do
desconto?

valor presente valor futuro
(hoje)
x
R$5.000,00
0 1 2 3 meses
Transformando o valor futuro para o valor presente:
M
C.(1
i)
t
C
M
(1 i)
t

Lembrando que M, é o valor futuro , e C é o valor
presente , temos então:
5000
C
09
3
(1 0,06)
C R$4.198,
Portanto o valor do desconto será de 5.000,00-4.198,09=
`
R$801,09

Para obter o valor futuro , deve- se multiplicar o valor
atual por ,
( 1
t
i)
Para obter o valor presente, deve-se dividir o valor futuro
por ,
( 1
t
i)

Exemplo 2:
Em 1 de março um comerciante tomou um
empréstimo de R$2.000,00 a juros compostos
mensal de 6% . Em 1 de junho , pagou R$
800,00 e, em 1 de julho, liquidou seu débito .
De quantos reais foi o último pagamento?

Observe:
O empréstimo foi de R$ 2.000,00. Três meses depois ele
pagou R$800,00 e em um mês após esse pagamento,
pagou a dívida restante.
valor presente
valor futuro
R$2.000,00 R$800,00 x reais
0 1 2 3 4

Logo:
2000
800
(1 0,06)
3
(1
x
0,06)
4
4
2000.1,06
800.1, 06 x
x R$1.677,00

Exemplo 3
Um comerciante vende geladeira, cujo preço á
vista é R$900,00 ou em 3 prestações mensais
iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira
prestação é paga um mês após a compra e que
o juro composto é de 3% ao mês, calcule o
valor das prestações.

Valor presente
(preço á vista)
R$900 P1=x P2=x P3=x
0 1 2 3
Igualando os valores na época 0 (zero), temos:
900
P1
1
i
P2
(1 i)
2
P3
(1 i)
3

900
x
(1 0,03)
(1
x
0,03)
2
(1
x
0,03)
3
Tirando o m.m.c e efetuando as operações teremos:
900.1,03
3
2
1,03 . x 1,
03x
x
900.1,093
1,061x
1,
03x
x
983,70 3,091x
x 318,25
Logo o valor da parcela será de R$318,25

Exemplo 4
Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores
pagando uma entrada de R$ 200 mais uma
parcela de R$ 450,00 dois meses após a
compra. Sabendo-se que o preço a vista do
aparelho é de R$ 600,00, qual foi a taxa
mensal de juros simples do financiamento?

Solução :
valor presente
( preço à vista)
R$ 600
valor futuro
0 1 2 meses
R$ 200 R$450

Teremos então:
600
200
450
(1 i.2)
400
450
(1 i.2)
1 i.2
9
8
816.
i
9
1
16i
1
i 0,0625
16
6,25%