x - Oficina de Matemática da Secundária de Lousada

Apresentação dos Conteúdos e Objectivos para o 1º Teste de Avaliação de Matemática
Data da Realização:
____ / 11 / 2011
Duração: 90 minutos
Material necessário: material de escrita (esferográfica de cor azul ou preta) e
máquina de calcular científica. Não é permitido o uso de tinta correctora.
Conteúdos Objectivos
� Equações do 1º
grau:
⇒ Equações com
denominadores.
� Sequências
� Isometrias
� Semelhança de
figuras e de
triângulos
� Interpretar o enunciado de um problema;
� Traduzir um problema por meio de uma equação;
� Procurar soluções de uma equação;
� Classificar equações;
� Escrever o enunciado de um problema que possa ser traduzido por uma equação dada;
� Resolver equações do 1º grau a uma incógnita com parênteses e denominadores;
� Resolver problemas.
� Descobrir relações entre números;
� Determinar termos de uma sequência;
� Determinar o termo geral de uma sequência numérica e termos de várias ordens a partir
do termo geral.
� Identificar, predizer e descrever uma reflexão;
� Construir a figura transformada de uma figura dada por uma reflexão;
� Identificar, predizer e descrever uma rotação;
� Construir a figura transformada de uma figura dada por uma rotação.
� Compreender a noção de vetor e de translação e identificar e efectuar translações.
� Compor translações e relacionar a composição de translações com a adição de vetores.
� Identificar, predizer e descrever uma reflexão deslizante.
� Construir a figura transformada de uma figura dada por uma reflexão deslizante.
� Reconhecer as propriedades comuns das isometrias.
� Identificar simetrias numa figura.
� Completar, desenhar e explorar padrões geométricos que envolvam simetrias.
� Identificar as simetrias de rosáceas, frisos e padrões.
� Relacionar os conceitos de semelhança e de proporcionalidade;
� Utilizar os critérios de semelhança de triângulos na resolução de problemas;
� Identificar o efeito de uma ampliação ou redução sobre uma figura nomadamente sobre o
seu perímetro e sobre a sua área;
� Resolver problemas usando o Teorema de Tales.
���� Deves também saber: Resolver problemas de estratégia e comunicar, por escrito, as estratégias e os
procedimentos usados na resolução de problemas. Em todas as questões, deves apresentar todas as justificações,
explicações e os cálculos que sustentem a tua resposta.
���� Por onde deves estudar: caderno diário, fichas de trabalho, actividades e manual adoptado.
1. Resolve as equações seguintes:
1.1. 3 x − 5 − 5x
= −(
2x
+ 2)
1.4. ( x −1)
( x + 5)
1
2
3 − =
7
Escola Secundária de Lousada
Matemática do 8º ano – FT nº10 Data: ___ / ____ / 2011
Assunto: Preparação para o teste de avaliação Lição nº ____ e ____
x
x
3
x −1
⎛ x − 2 ⎞
1.3. − − 3⎜
⎟ = 0
2 ⎝ 5 ⎠
− 7 + 3 x − 3 − 2 x − 2 =
3x
−1
x + 1
1.6. − − − 2x
= 0
2 5
1.2. − ( + 1 ) − = 5
1.5. ( ) ( ) 0
2. A figura representa o símbolo de uma associação cultural. Quantos eixos de simetria tem
o símbolo?
(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 4
1

3. Na figura estão representados os três primeiro termos de uma sequência.
3.1. Quantos quadrados são necessários para construir o nono termo?
3.2. Define por uma expressão algébrica o termo geral da sequência.
3.3. Qual dos seguintes valores é termo da sequência?
(A) 1006 (B) 413 (C) 5719 (D) 6732
4. A figura seguinte representa o jardim da casa do Pedro. O jardim é um
retângulo de 60 m por 12 m, dividido em três zonas distintas: duas zonas
triangulares destinadas a flores e uma zona relvada.
4.1. Determina a área da zona relvada.
5. No seguinte referencial está representado um quadrilátero [ ABCD ] .
5.1. Quais são as coordenadas dos vértices do
[ ]
quadrilátero ' ' ' ' D C B A
, transformado do [ ABCD ]
� � �
pela translação associada ao vetor w = u + v ?
6. No refeitório da escola encontravam-se várias pessoas a almoçar. O Hélder resolveu contá-los e chegou à
1 4
conclusão que eram professoras, eram alunos e que havia apenas dois professores.
6
5
6.1. Quantas pessoas estavam a almoçar no refeitório?
6.2. Quantas professoras e quantos alunos estavam a almoçar?
7. Em relação a uma sequência sabe-se que o 6º termo é 14 e o 8º termo é 24. Qual das seguintes expressões
algébricas pode representar o termo geral da sequência?
2
n
(A) n − 4n
+ 2
(B)
( n + )
4
4
2 +
(C)
n
( n − )
1
2
1 −
(D)
n
( n + 1)
3
2

8. O ponto A’ é o transformado de A numa rotação de centro O e amplitude β .
8.1. Caracteriza a rotação que transforma A em A’.
8.2. Desenha o transformado da figura 1 através de uma rotação de centro O e amplitude +100º.
5x
+ 6 3 + 2x
9. A equação − = 2 é:
5 2
(A) Possível e indeterminada. (B) Possível e determinada com = { 23}
(C) Impossível com = { }
F1
CS .
CS . (D) Possível e determinada com CS = { 9}
.
10. Na aula de Matemática, a Marina construiu a sequência de quadrados apresentada na figura. Os quadrados são
formados por triângulos geometricamente iguais ao seguinte triângulo:
A 1.ª construção é formada por 2 triângulos, a 2.ª construção é formada por 8 triângulos, a 3.ª construção é
formada por 18 triângulos e assim sucessivamente.
10.1. Quantos triângulos do tipo tem a sétima construção da sequência? Explica a tua resposta
(podes apresentar esquemas para auxiliar a tua justificação).
10.2. Escreve uma expressão algébrica que represente o termo geral desta sequência?
11. Indica, justificando a resposta correcta. Numa escola de música, um sexto dos alunos aprende
piano, cinco nonos dos alunos aprendem violino e os outros 30 aprendem guitarra. A escola tem:
(A) 108 alunos. (B) 41 alunos. (C) 59 alunos. (D) 100 alunos.
3

12. A figura representa um jardim circular de centro O.
Flores
vermelhas
12.1. Justifica que os triângulos [ ABO ] e [ CDO ] são semelhantes.
12.2. Determina a razão de semelhança que transforma o triângulo [ CDO ] no triângulo [ ABO ] .
____
12.3. Sabendo que AB 10m
circunferência é 2 22 m .
= e que o triângulo [ ]
12.4. Determina um valor aproximado às centésimas da:
12.4.1. área do jardim com flores vermelhas.
12.4.2. a área do jardim com flores amarelas.
12.4.3. a área do jardim com relva.
13. Num referencial estão marcados os pontos ( 2 , 3)
ABO é retângulo em O, mostra que o raio da
A , B ( −1
, 0)
e C ( 2 , −1)
.
13.1. Quais são as coordenadas do ponto A’, imagem do ponto A por uma translação associada ao vetor
→
BC ?
13.2. Indica as coordenadas do ponto A’, imagem do ponto A por uma reflexão do eixo das abcissas.
13.3. As coordenadas do ponto C’, transformado do ponto C por uma rotação de centro em B e
amplitude de -180º, são:
C (B) C '( −1
, 4)
(C) C '( − 4 , −1)
(D) C '( −1
, − 4)
(A) '( − 4 , 1)
Flores
amarelas
14. A figura é formada por um quadrado e um retângulo.
A figura não está desenhada à escala.
♦ CD//AB;
14.1. Escreve uma expressão simplificada para o perímetro.
14.2. Se x = 4cm
, determina:
14.2.1. o perímetro da figura;
14.2.2. a área da figura.
ABO é
♦ A área do triângulo [ ]
♦ A área do triângulo [ CDO ] é
2
44 m ;
2
11m .
x 3 + x
15. A qual(ais) da(s) seguintes equações é a equação + 1 = equivalente?
2 3
+ 1
(A) − = 1
2 3
x x
⎛ 3 ⎞
(B) 4 ⎜ x + ⎟ = 3(
2 + x)
(C) 5 − = 1
⎝ 2 ⎠
2
x
x
x (D) 1 − = x − ( 1+
x)
3
4

16. Observa os pontos e vetores da figura ao lado.
16.1. Qual dos vetores da figura representa o vetor
� �
u − v ?
16.2. Indica as coordenadas do ponto E’, imagem do ponto
� � �
E por uma translação associada ao vetor u − 2 v − w .
16.3. O ponto que representa o transformado de A por
T � �T �
2 é:
w
u
(A) D (B) C (C) E (D) A
17. Nas suas viagens pelo mundo, a Joana contacta com muitos biólogos e cientistas, recolhendo inúmeras
informações sobre os locais que visita. Numa das suas últimas viagens ficou a saber que o fundo dos oceanos tem
sido cartografado com rigor devido à utilização de ecossondas.
Inicialmente, as sondas, emitem um impulso sonoro que posteriormente é
reflectido (eco) pelo fundo do mar.
Conhecidos o intervalo de tempo que decorre entre a emissão do impulso e
a recepção do eco e a velocidade de propagação do som, é possível
t
h = × v
determinar a profundidade do local através da fórmula 2 , em que:
- h é a profundidade, em metros (m),
- t é o intervalo de tempo entre a emissão do impulso e a recepção do eco, em
segundos (s)
- v é a velocidade média da propagação do som na água, em metros por segundo
(m/s).
A velocidade média de propagação do som na água é aproximadamente 1450m/s
17.1. Uma ecossonda emitiu um sinal sonoro às 14 horas 52 minutos e 56 segundos e recebeu o respectivo
sinal às 14 horas e 53 minutos. Qual é a profundidade do mar nesse local? Apresenta todos os cálculos que
efectuares.
Sugestão: Começa por determinar o tempo que decorreu entre a emissão do impulso e a recepção do eco.
17.2. As fossas oceânicas são as regiões mais profundas dos oceanos.
17.2.1. Imagina uma ecossonda colocada na fossa de Porto Rico e que emite um sinal sonoro. Quantos
segundos decorrem até à recepção do seu eco? Apresenta todos os cálculos que efectuares.
5

associada ao vetor:
� �
(A) w − 2v
� �
(B) − u − 2v
(C)
� � �
B + 3 u + v − w
� � �
w − v − u
18.4. Calcula ( )
18. A figura representa a construção de cubos feita pela Érica.
18.1. Indica o ponto que representa a imagem do ponto
� � �
A por um translação associada ao vetor 2 u − w + v .
18.2. Qual é o cubo imagem do cubo 8 por �
− w ?
T
v T � �
18.3. O cubo 1 é imagem do cubo 9 por uma translação
2 (D) w − 2 ( u + v)
19. O casal Domingos e a família Pires moram em ruas diferentes. O número da porta das suas casas é dado pelo
conjunto solução das equações:
- Número da casa do casal Domingos: − ( x + 4 ) − 5(
x − 2)
= 8
( x + 2)
8
- Número da casa da família Pires:
3
− 2
19.1. Indica qual das respostas é a correta.
(A) O casal Domingos e a família Pires vivem no mesmo número.
(B) O casal Domingos vive no nº3 e a família Pires e vive no número 4.
(C) O casal Domingos vive no nº4 e a família Pires vive no nº3.
(D) Nenhuma das opções anteriores é correcta.
5
( 4x
+ 10)
= − x
20. O perímetro de um triângulo isósceles é 9 cm. O lado diferente mede menos 3 cm de comprimento que os
lados iguais.
20.1. Qual é o comprimento dos lados do triângulo?
21. A Figura F’ é a imagem da Figura F por uma reflexão.
21.1. Com o auxílio de material de desenho,
representa o eixo de reflexão.
Não apagues as linhas auxiliares e explica como
procedeste.
21.2. Como se chama a reta que obtiveste na
alínea anterior? Qual é a sua principal
propriedade?
3
�
�
�
6

22. Partindo de uma peça com a forma de pentágonos regulares, foi criada uma sequência de figuras,
apresentando-se a seguir os primeiros quatro termos.
22.1. Indica uma expressão algébrica que represente o termo geral da sequência;
22.2. Determina o número de pentágonos do 50º termo.
23. A Joana trabalha numa Associação que se dedica à descoberta de locais de interesse natural mundial. Numa
excursão pela Patagónia, o seu grupo de associados resolveu, num dia de temperaturas amenas, percorrer os
1 1
trilhos ecológicos desta zona. O grupo saiu de manhã, fazendo do percurso antes do almoço, depois do
4
8
almoço e os restantes 5 km depois do lanche. Qual era a extensão do percurso?
24. Calcula o 6º e o 12º termo das sequências cujos termos gerais se apresentam a seguir:
2 2n
+ 3
(A) − n −1
(B)
− n
25. Torre Eiffel
Em 1998, a Joana foi a Paris e trouxe como recordação uma pequena Torre Eiffel, com 8 cm
de altura, semelhante ao símbolo máximo parisiense.
25.1. Sabendo que a torre tem 319 m de altura, calcula a razão de semelhança
utilizada na redução efectuada.
25.2. Em Novembro de 2000, a Torre Eiffel foi aumentada para 324 m de altura
com a instalação de uma antena de rádio e televisão. Quanto teria a Joana de
acrescentar à sua miniatura para que esta permanecesse fiel à original? Apresenta
todos os cálculos efectuados e expresse o resultado com três casas decimais
26. O João pesa metade do peso do pai, e este pesa mais 15 kg do que a mãe do João. Os três juntos pesam 185kg.
Quanto pesa cada um? Resolve o problema, recorrendo a uma equação.
27. Observa a sequência numérica seguinte, em que faltam alguns termos:
3
,
7
12
,
7
18 ...
,
7
27.1. Escreve os termos da sequência que te parecem estar em falta.
27.2. Escreve uma expressão algébrica que te permita determinar os infinitos termos desta sequência.
7

28. Na figura seguinte representa-se a localização das casas de três amigos.
▪ Entre as três casas há um pequeno jardim triangular.
▪ A casa do Tobias está a igual distância da casa da Maria e do Aníbal.
▪ Da casa da Maria à casa do Aníbal são mais 20 metros que
da casa da Maria à casa o Tobias.
28.1. Calcula a distância da casa do Tobias à casa da
Maria.
28.2. Os dois triângulos representados são
semelhantes? Justifica.
28.3. Indica a razão de semelhança, como redução.
28.4. Indica a razão das áreas (enquanto redução).
y
+ 1
6 3 2
29. Resolve a equação
2 y − y −
− =
3 5 12
30. O polígono ABCDEF é um hexágono regular dividido em seis
triângulos equiláteros.
30.1. Qual é a amplitude do ângulo AOB ?
30.2. O hexágono é uma rosácea. Porquê?
30.3. Completa:
30.3.1. ( C)
= .......
Ro , −60º
Ro , + 120º
Ro, −60º
�
T
ED
30.3.2. ( [ ED]
) = .......
30.3.3. 0,
+ 120º
( ) = .......
30.3.4. → ( [ COD]
) = .......
R
A
1
31. Num triângulo isósceles, o comprimento do lado diferente é do comprimento de cada um dos outros lados.
3
Sabendo que o perímetro é 210 cm, calcula a medida de cada um dos lados.
32. Desenha a figura transformada da figura A por uma
reflexão deslizante de eixo s � e vetor u � .
33. A diferença entre um número e os seus dois nonos é 63. Qual
é o número?
8