Torção de eixos

•Rogério José Marczak
7. Torção de barras prismáticas
Revisão:
␛O cálculo clássico de tensões é válido:
T
τ
x
T
T
T r
τ =
J
x T
φ(
x)
= ∫ dx + C
0 GJ
τxy
τxy
Mas obedece às hipóteses:
␛A barra deve ser reta e de seção circular
(sólida ou vazada).
␛O torque deve ser aplicado sobre o eixo
centroidal.
␛O material deve permanecer dentro do regime
elástico.
␛A seção transversal considerada deve estar
suficientemente longe de pontos de
concentração de tensão (furos, rebaixos,
chavetas, pinos, encaixes etc.)
•Resistência dos Materiais Avançada •1

•Rogério José Marczak
␛Uso de gráficos para estimativa de k c :
k c
3.00
2.80
2.60
2.40
T
D
r
d
T
T
τ
x
2.20
2.00
1.80
1.60
D
d
TR
τ 0
=
J
1.40
1.20
τ
= k
max cτ 0
1.00
0.00 0.10 0.20 0.30
r
d
Seções não-circulares levam a resultados
completamente errados!
Exemplo (seção retangular):
T
B
C
A
T
y
? z
τ max
τxy
τxy
•Resistência dos Materiais Avançada •2

•Rogério José Marczak
Fórmulas corrigidas:
⌧Boa aproximação para τ max e ϕ (φ = θL) .
⌧Baseadas em soluções analíticas (difícies de
serem para seções complexas).
Seção retangular cheia:
y
τ
max
=
k
2
G
T
( 2b)( 2a) 2
θ =
k
T
( 2b)( a) 3
1G
2
z
τ max
2b
b/h 1 1,5 2 … 6 10 ∞
k 1 0,141 0,196 0,229 … 0,299 0,312 0,333
2a
k 2 0,208 0,231 0,246 … 0,299 0,312 0,333
Seção elíptica cheia:
y
2b
z
τ
max
2T
=
2
πa
b
2
( a + b )
T
θ =
πG ab
( ) 3 2
Seção triangular equilateral cheia:
y
τ max
2a
z
τ
max
15 3T
=
3
2a
15 3T
θ =
4
Ga
τ max
a
•Resistência dos Materiais Avançada •3

•Rogério José Marczak
Solução pelas equações da elasticidade:
␛As hipóteses anteriores permanecem válidas,
e ainda:
␛O empenamento das seções é permitido, mas
independe da posição axial.
␛A projeção de qualquer seção empenada no
plano yz equivale à projeção antes da
deformação ocorrer, rotacionada como corpo
rígido.
␛Cinemática:
y
y
T
T
x
z
z
y
Centro de
torção
z
d φ
α
r
Para pequenos deslocamentos:
v = −rφcosα
= −zφ
w = rφsen
α = yφ
u = u(
y,
z)
(empenamento)
•Resistência dos Materiais Avançada •4

•Rogério José Marczak
Definindo:
dφ
θ =
dx
φ(
x)
= θx
(taxa de rotação)
o campo de deslocamentos fica:
u = u(
y,
z)
v = −θxz
w = θxy
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
d = ui + vj + wk
Deformações:
ε
ε
ε
xx
yy
zz
= 0
= 0
= 0
γ
γ
γ
xy
xz
yz
∂u
= − αz
∂y
∂u
= + αy
∂z
= αx
− αx
= 0
Tensões:
σ
xx
= σ
yy
= σ
zz
= τ
yz
= 0
τ
τ
xy
xz
= G γ
= G γ
xy
xz
⎛ ∂u
⎞
= G⎜
− αz
⎟
⎝ ∂y
⎠
⎛ ∂u
⎞
= G⎜
+ αy⎟
⎝ ∂z
⎠
*
Equações de equilíbrio:
∂τ
∂y
∂τ
xy
xy
∂x
∂τ
∂x
xz
∂τ
+
∂z
= 0
= 0
xz
= 0
(1)
(2)
•Resistência dos Materiais Avançada •5

•Rogério José Marczak
Combinando (1) e (2) resulta:
∂τ
xy
∂z
∂τ
−
∂y
xz
= −2Gθ
(eq. compatibilidade)
* *
As eqs.(*) e (**) são as equações diferenciais governantes
do problema de torção em membros prismáticos.
␛Método semi-inverso:
⌧As duas últimas equações de equilíbrio
indicam que os campos de tensões σ xy e σ xz
são independentes de x.
⌧A primeira equação de equilíbrio é uma
condição necessária e suficiente para
expressar as tensões segundo uma função
potencial (função tensão).
⌧Função tensão de Prandtl Φ :
τ
xy
∂Φ
=
∂z
τ
xz
∂Φ
= −
∂y
•Resistência dos Materiais Avançada •6

•Rogério José Marczak
⌧Condições de contorno:
y
α
n y
n
τ
z
S
A
s
dy
dz
dz
ny
= sen α =
ds
dy
nz
= cos α = −
ds
n z
τ =
τ
2 2
xy + τ xz
A projeção de τ sobre n deve ser
nula → superfície livre de tensões:
τ
xy
n
y
+ τ
xy
n
y
= 0
∂Φ dz ∂Φ dy
+
∂z
ds ∂y
ds
= 0
Ou, pela regra da cadeira:
∂Φ
∂s
= 0
Portanto:
Φ = constante
sobre
S
Por simplicidade:
Φ = 0
sobre
S
•Resistência dos Materiais Avançada •7

•Rogério José Marczak
z
⌧Verificação do equilíbrio:
y
∂Φ
∑ F y = ∫ τ dA = ∫∫ dydz
∂z
dy
dΦ
a
= dy = Φ
a b y
∫ dz dy∫
d
dz
−b
= dy
0A xy
[ Φ( a) − Φ( − b)
] = 0
S
∑
M
x
∑ Fz
=
∫ ( τxz
y − τ xy z) dA = −∫∫
⎛ ∂Φ ∂Φ ⎞
= ⎜ y + z ⎟dydz
A
⎝ ∂y
∂z
⎠
mas:
− dy
∫
dΦ
a
zdz = −dy∫
zdΦ
dz
−b
= − ⎡ a
dy zΦ
−
⎢⎣
−b
∫
a
−b
Φdz⎤
= dy
⎥⎦
∫
a
−b
Φdz
Repetindo o procedimento para uma faixa dx resulta:
T
∫∫ Φ
A
dydz
⌧Resumo:
∂τ
τ
τ
xy
∂z
xy
xz
∂τ
−
∂y
xz
∂Φ
=
∂z
∂Φ
= −
∂y
−= 2 = 2Gθ
Φ = 0 sobre S
T dydz
∫∫ Φ
A
•Resistência dos Materiais Avançada •8

•Rogério José Marczak
⌧Analogia da membrana:
• O torque transmitido é proporcional ao volume de Φ .
• As equações são válidas para resposta elástica ou plástica.
• As inclinações de Φ em relação aos eixos y e z definem o
valor das tensões cisalhantes.
Φ
x
y
␛Seções retangulares finas:
⌧A analogia da membrana pode ser usada
desprezando-se os efeitos de bordo do lado mais
largo.
y
z
z
x
y
b
b
x
x
h
•
h
τ 2Th
max = J
θ =
T
GJ
•Resistência dos Materiais Avançada •9

•Rogério José Marczak
␛Seções compostas:
⌧Utiliza-se os resultados de seção retangular fina:
τ
max
C
J ≅
3
2
=
n
Th max
J
∑( 2b i )( 2h i )
i=
1
3
θ =
C =
T
GJ
f
bi
( )
h
i
1
2b 2
2
2h 2
3
␛Seções multiplamente conexas:
⌧A analogia da membrana se aplica:
x
x 1 = ?
Φ
y
⌧Mas qual a altura do platô x 1 ?
•Resistência dos Materiais Avançada •10

•Rogério José Marczak
␛Vigas de parede fina:
⌧Utiliza-se os resultados de seção retangular fina:
y
z
dl
q = τt
(fluxo de cisalhamento)
x = cq 1
Φ
x
α
τ =
tan α sen α
≅
c c
t
y
T = 2Aτt
θ = 1
dl
2GA
∫ τ
␛Vigas de parede fina compartimentadas:
⌧N+1 variáveis a determinar:
y
t
Φ
x =
i cq i
x ′ = cq′
y
A i
dl
z
N
T = 2∑ A i q
i=
1
i
θ =
1
2GA
i
∫
qi
− q′
dl
t
i = 1… N
•Resistência dos Materiais Avançada •11

•Rogério José Marczak
␛Restrição ao empenamento em perfis
⌧Provoca tensões altas.
⌧Uma parte da viga sofre torção pura e a outra
torce devido ao esforço cortante agindo nos
flanges.
␛Torção plástica
⌧Seção totalmente × parcialmente plastificada.
⌧A resistência adicional durante o regime plástico é
significativa em muitos casos.
␛Concentração de tensões
•Resistência dos Materiais Avançada •12