Lista 4 - Cálculo I - Impa

Lista 4 - Cálculo I
Exercício 1. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da
função dada, no ponto dado.
a) f(x) = 2x + 1, no ponto de abscissa 3.
b) f(x) = x 2 − 3x, no ponto de abscissa 0.
c) f(x) = 1 , no ponto de abscissa 1.
x2 d) f(x) = senx, no ponto de abscissa π.
Exercício 2. Determine a equação de uma reta que é perpendicular à reta
3y + x = 4 e tangente ao gráfico de f(x) = x 3 .
Exercício 3. Sabe-se que r é uma reta que passa pela origem e que é tangente
ao gráfico de f(x) = x 3 + 2x 2 − 3x. Determine r.
Exercício 4. Calcule:
a) arc sen1
b) arc tg1
(
c) arc sen − 1 )
2
( 1
d) arc cos
2)
e) arc cos
f) arc sen
(
cos π )
4
(
sen 3π )
(Cuidado!)
2
Exercício 5. Seja f(x) = x + e x e seja g a função inversa de f. Calcule g ′ (1).
Exercício 6. Expresse y ′ = dy em termos de x e de y, onde y = f(x) é uma
dx
função derivável dada implicitamente pela equação
a) x 2 − y 2 = 4
b) xy 2 + 2y = 3
c) 5y + cosy = xy
d) x 2 y 3 + xy = 2
1

e) y 5 + y = x
f) y + ln(x 2 + y 2 ) = 4
g) e x + e y = e x+y
h) ln √ x 2 + y 2 = x
( y
i) y = arc tg
x)
Exercício 7. Determine a equação da reta tangente à curva x 3 + y 3 − 9 = 0 no
ponto de abscissa 1.
Exercício 8. Calcule y ′′ sendo y = x + lnx.
Exercício 9. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das
funções abaixo.
a) f(x) = x 3 − 2x 2 + x + 2
b) f(x) = 8x 3 + 30x 2 + 24x + 10
c) f(x) = xe x
d) g(x) = lnx
x
Exercício 10. Mostre que, para todo x ∈ R temos e x > x.
2