Matemática Discreta 2011.2 - Grafos Definiç˜oes gerais ... - PUC-Rio

Matemática Discreta 2011.2 - Grafos
Definições gerais de grafos
1. Desenhe um grafo com seis vértices, cada um com grau 3.
2. Desenhe cinco grafos diferentes que possuam quatro vértices e sejam conexos e simples.
3. Prove que se um grafo tem 100 vértices e mais de 4950 arestas então ele não é simples.
Solução: Se um grafo é simples, então há no máximo 1 aresta para cada par de
vértices. Portanto um grafo simples com 100 vértices tem no máximo ( )
100
2 = 4950
arestas. Se tiver mais arestas do que isso, não pode ser simples.
4. Prove que se um grafo tem 100 vértices e menos de 99 arestas então ele não pode ser
conexo.
Solução: Considere um grafo conexo com 100 vértices. Se ele for conexo, podemos
encontrar uma árvore contendo todos os vértices (Dijkstra faz isso, por
exemplo). Uma árvore com n = 100 vértices tem n − 1 = 99 arestas. Logo se o
grafo inteiro for conexo, ele tem que tem pelo menos 99 arestas.
5. Prove que se um grafo simples tem 100 vértices e mais de 4851 arestas então ele é
conexo.
Solução: Considere um grafo simples com 100 vértices. Suponha que ele não é
conexo. Então existe um subconjunto de k vértices (onde 1 ≤ k ≤ 99) que não
pode ser conectado via caminhos a nenhum dos outros 100 − k vértices. Como
o grafo é simples, entre esses k vértices temos no máximo ( k
2)
arestas (usamos o
mesmo ( raciocínio da solução do exercício 3). Analogamente, existem no máximo
100−k
)
arestas entre os outros 100 − k vértices. Portanto o número de arestas é
2
no máximo
( k
2)
+
( ) n − k
=
2
k(k − 1)
2
+
(100 − k)(99 − k)
2
= k 2 − 100k + 4950.
A função de 2 o grau f(k) = k 2 − 100k + 4950 atinge seu mínimo em k = 50, e tem
a concavidade voltada para cima. Logo o valor máximo que f(k) atinge para k
entre 1 e 99 é f(1) = f(99) = 4851. Assim, mesmo desconhecendo o valor de k,
podemos afirmar que o número de arestas é no máximo 4851.
Concluímos que se o grafo tiver mais arestas do que isso, tem que ser conexo.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
6. Seja G = (V, A) um grafo não orientado, simples. Suponha que G tenha exatamente
duas componentes conexas, 100 vértices e um número máximo de arestas para ter
exatamente duas componentes conexas. Determine o número de vértices de cada
componente conexa sabendo que G tem 3539 arestas.
7. Considere o grafo simples com 10 vértices no qual existe uma aresta conectando cada
par de vértices (geralmente denotado K 10 ).
(a) Existem quantos caminhos de comprimento 5 que não repetem vértices
Solução: Basta escolher 6 vértices diferentes, em ordem. A resposta é 10 ×
9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151 200.
(b) Existem quantos caminhos de comprimento 5 que não repetem arestas
Solução: Considere um caminho qualquer de comprimento 5 que não repete
arestas (que pode evidentemente repetir vértice). Seja a o primeiro vértice, b
o segundo, c o terceiro. Então a, b e c são todos diferentes entre si, pois senão
alguma aresta seria repetida. Já o quarto vértice pode ser diferente dos 3
primeiros, caso em que o indicaremos por d, ou pode ser a (mas não pode ser
b nem c). Continuando desta maneira, temos a seguinte árvore (orientada)
de possibilidades, onde letras diferentes designam vértices diferentes:
a
b
c
a
d
d a b e
b c e c e e a b c f
Das 10 configurações possíveis, 1 envolve 6 vértices diferentes (a–f), 6 envolvem
5 vértices diferentes (a–e), e 3 envolvem 4 vértices diferentes (a–d).
Portanto a resposta é:
(10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) + 6 × (10 × 9 × 8 × 7 × 6) + 3 × (10 × 9 × 8 × 7)
= 347 760.
Página 2 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
8. Determine se existe ou não um grafo com 7 vértices, cujos graus são:
(a) 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6.
Solução: Sim, existe: tente fazer o desenho.
Obs: É fácil ver que não existe grafo simples com esses graus.
(b) 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5.
Solução: Não. A soma dos graus é ímpar, o que contradiz o teorema do
aperto-de-mãos (segundo o qual a soma dos graus é o dobro do número de
arestas.)
Obs: Na verdade, não é difícil provar que existe um grafo com os graus dados
se e somente se a soma dos graus é par: Conecte dois-a-dois os vértices de
grau ímpar, e acrescente laços. Caracterizar quando existe um grafo simples
com os graus dados é um problema bem mais difícil.
9. Sejam a, v inteiros positivos. Seja G o grafo simples com a + v vértices, sendo a deles
azuis e v vermelhos, tal que que existe uma aresta ligando dois vértices se e somente
se eles são de cores diferentes.
(a) Expresse o número de arestas de G em função de a e v.
(b) Supondo a e v pares, G possui circuito euleriano Justifique.
(c) Supondo a e v ímpares, G possui circuito euleriano Justifique.
(d) Supondo a par e v ímpar, para que condições sobre a e/ou v, G tem um caminho
euleriano
(e) Determine em função de a e v o número de caminhos de comprimento 29 que
começam em algum vértice azul (não especificado).
10. Seja G o grafo com 8 vértices, numerados por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, em que todos os
vértices estão ligados entre si (inclusive a si mesmos). Quantos caminhos de comprimento
1000 existem entre 2 e 5 Existem ciclos eulerianos nesse grafo Justifique.
11. O complemento de um grafo simples G(V,E) é um grafo simples H(V,F) no qual existe
uma aresta entre dois vértices se e só se não existe uma aresta entre os mesmos vértices
em G. Mostre que o complemento de um grafo bipartido 1 não é necessariamente
bipartido.
12. Considere um grafo sem laços de n vértices rotulados de 1 a n de modo que existe
uma aresta ligando um vértice i a um vértice j se e só se i + j ≤ n + 1.
(a) Considerando n ímpar, expresse, em função de n, o número de arestas desse
grafo.
(b) Considerando n par, determine o número de caminhos de comprimento 2 do
vértice n 2 ao vértice n 2 + 1.
1 Um grafo simples é chamado bipartido se seus vértices podem ser divididos em dois conjuntos disjuntos
(isto é, sem pontos em comum) U e V de modo que toda aresta do grafo liga um vértice de U a
um vértice de V.
Página 3 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
13. Um grafo tem vértices com três graus possíveis: 1, 2, ou 3. Sejam V 1 , V 2 e V 3 o
número de vértices com cada grau, e A o número de arestas, que é múltiplo de 3.
Prove ou exiba um contra-exemplo das seguintes afirmações:
(a) O número de vértices com grau que não é múltiplo de 3 é por sua vez múltiplo
de três.
(b) V 1 + 2V 2 é múltiplo de 3.
14. Considere um grafo dado pelos quatro vértices de um quadrado A, B, C e D, no
sentido anti-horário. Seja X o número de caminhos de comprimento 1000 juntando
A a C, e Y o número de caminhos ligando A a B de comprimento 999. Encontre uma
relação entre X e Y.
15. Um barqueiro B precisa transportar uma cabra C, um lobo L e uma sacola de repolho
R de um lado de um rio para o outro. Como o barco dele é pequeno, só pode levar
no máximo um dos três (C, L ou R). Por razões óbvias ele não pode deixar C
e L juntos ou C e R juntos. O que ele deve fazer Dica: Se quiser represente as
possíveis situações assim: posição inicial: BCLR/ ; posição final: /BCLR. As outras
são: LR/BC , BLR/C, R/BCL, BCR/L, L/BCR, BCL/R, C/BLR, BC/LR. As
situações proibidas são: CLR/B, CL/RB, CR/LB etc. . . Monte um grafo com
arestas do tipo BLR/C – R/BLC (indicando que B atravessa o rio com L) e ache
caminhos de BCLR/ a / BCLR.
16. Uma definição do (famoso) grafo de Petersen é: os vértices são rotulados pelos dez
pares de números 01, 02, 03, 04, 12, 13, 14, 23, 24 e 34. Para cada par de vértices
{i, j}, {k, l} que não tem um algarismo em comum tem uma aresta. Logo temos 15
arestas: 01/23, 01/24, 01/34, 02/13, 02/14, 02/34, etc ... até 12/34, 13/24, e 14/23.
Desenhe o grafo. Mostre que o grafo é o mesmo que os seguintes grafos:
Dica: No primeiro ache um ciclo de nove arestas e encaixe as outras 6 arestas.
Página 4 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
17. Mostre que: se G é um grafo onde todo vértice tem grau 2 e G é conexo, então G é
um ciclo.
18. Mostre que em qualque grafo, o número de vértices com grau impar é par.
Árvores
19. Prove que as seguintes definições de árvores para um grafo G com n vértices são todas
equivalentes:
(a) G é conexo e não tem cíclo.
(b) G não tem cíclo, e um ciclo é formado se qualquer aresta for adicionada a G.
(c) G é conexo, e deixará de ser conexo se qualquer aresta for removida de G.
(d) G é conexo e há exatamente um caminho entre dois vértices quaisquer.
(e) G é conexo e tem n − 1 arestas.
(f) G não tem cíclo e tem n − 1 arestas.
20. Mostre que em qualquer árvore a média dos graus é menor que 2 e maior que 1 se há
mais de uma aresta.
21. Sejam g 1 , g 2 , . . . , g n inteiros positivos. Prove que os g’s são os graus de uma árvore
se, e somente se, ∑ g = 2A, onde A é o número de arestas.
22. Mostre (por indução) que se d j são n inteiros todos ≥ 1 e tais que a soma dos d j é
2n − 2, então existe uma árvore tal que os d j são os graus dos vértices da árvore.
23. Prove que todo grafo conexo com n vértices e pelo menos n arestas tem um cíclo (isto
é, um caminho fechado).
24. As parafinas (ou alcanos) são moléculas compostas de átomos de carbono C e hidrogênio
H. Nos alcanos normais (ou lineares), os átomos de carbono são conectados
a quatro átomos, e os átomos de hidrogênio a apenas um átomo de forma a criar uma
árvore. Mostre, por indução sobre n, que se um alcano normal tem n > 0 átomos de
carbono, ele tem 2n + 2 átomos de hidrogênio.
25. Falso ou verdadeiro Mostre, se verdadeiro ou exibe um contra-exemplo, caso falso.
(a) Seja G = (V, A) um grafo simples sem laço com n vértices numerados de 1 a
n e tal que existe uma aresta em G unindo um vértice i a um vértice j se e
só se |i − j| ≤ 2: G = ({1, . . . , n} , {{i, j} , |i − j| ≤ 2}). Este grafo possui um
caminho Euleriano.
(b) Todo grafo conexo bipartido é uma árvore.
26. Seja G = (V, A) uma árvore com n ≥ 2 vértices. Mostre que, se G não tem nenhum
vértice de grau 2 na árvore, então existem mais vértices de grau 1 do que vértices de
grau maior ou igual a 3: # {v ∈ V, gr(v) = 1} > # {v ∈ V, gr(v) ≥ 3}.
(Dica: pode usar sobre a soma dos graus dos vértices de G.)
Página 5 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
27. Seja G = (V, A) uma árvore com n ≥ 2 vértices.
(a) Mostre que existe pelo menos dois vértices v 1 da árvore com grau 1: gr(v 1 ) = 1.
(Dica: pode usar o resultado sobre a soma dos graus dos vértices de G.)
Seja v M ∈ V o vértice da árvore G com o maior grau. Anotamos gr(v M ) = k.
(b) Exibe um grafo com n = 6 e k = 5.
(c) Mostre que k < n.
(d) Mostre, por indução sobre k, que existem pelo menos k vértices com grau 1:
# {v ∈ V, gr(v) = 1} ≥ k.
(e) Mostre usando a fórmula dos graus que existem pelo menos k vértices com grau
1: # {v ∈ V, gr(v) = 1} ≥ k.
(f) Mostre sem usar indução e sem a fórmula dos graus que existem pelo menos k
vértices com grau 1: # {v ∈ V, gr(v) = 1} ≥ k.
28. Seja A uma árvore com n vértices. Coloque os números de 1 a n nos vértices de duas
maneiras diferentes, obtendo duas árvores rotuladas. Mostre que é possível passar de
uma para a outra por uma seqüência de trocas de números ligados por uma aresta
comum.
29. Uma árvore é um grafo conexo que não tem ciclos. Considere uma árvore com pelo
menos um vértice.
(a) Mostre por absurdo que existe um vértice de grau 1.
(b) Mostre por indução, supondo o item anterior, que uma árvore com n vértices
tem n-1 arestas.
30. Seja G uma floresta com V vértices e C componentes conexas. Ache uma fórmula
para A.
31. Desenhe todas as árvores com 6 vértices ou menos. Quantas árvores diferentes existem
(supondo que não rotulamos os vértices)
Solução: Fazendo os desenhos, vemos que existem 14 árvores: 1 com 1 vértice,
1 com 2 vértices, 1 com 3 vértices, 2 com 4 vértices, 3 com 5 vértices, e 6 com 6
vértices. Por exemplo, as de 6 vértices são as seguintes:
(O seguinte fato pode ser útil: toda árvore com n + 1 vértices pode ser obtida
acrescentando uma aresta a uma árvore com n vértices.)
Página 6 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
32. Você quer adivinhar um número entre 0 e 127 que alguém pensou. A única pergunta
possível é do tipo “o número pensado é maior ou igual a x”, cuja resposta pode ser
sim ou não. Se o número pensado foi 104, qual é a seqüência de perguntas que você
tem que fazer em sua pesquisa binária
Matriz de adjacência
33. Verdadeiro ou falso Justifique sua resposta!
(a) Seja G um grafo com pelo menos 2 vértices, e seja A a sua matriz de adjacência.
Então G é conexo se e somente se existe um inteiro n ≥ 1 tal que todas as
entradas da matriz A n são números diferentes de 0.
Solução: Falso. A condição “existe n tal que todas as entradas da matriz A n
são diferentes de 0” é equivalente a “podemos ligar quaisquer dois vértices
(possivelmente iguais) por um caminho de comprimento fixo n”. Existem
grafos conexos que não têm essa propriedade. Por exemplo, se G é o grafo
com dois vértices ligados por uma aresta então A =
( ) 1 0
n é ímpar e A n = se n é par.
0 1
( 0 1
1 0
)
. Aí A n = A se
(b) Existe um grafo simples (sem laços, sem arestas múltiplas) com 10 vértices cujos
graus são 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 7, 9.
(c) Se um grafo tem 10 vértices e 50 arestas então ele não é simples (isto é, contém
algum laço ou alguma aresta múltipla).
Solução: Se um grafo com 10 vértices é simples, então ele pode ter no
máximo ( )
10
2 = 45 arestas. Mas o grafo em questão tem 50 arestas, logo não
pode ser simples. VERDADEIRO.
Página 7 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
34. Quais das seguintes matrizes é a matriz de adjacência é um grafo simples não orientado
Porque
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 0 1 0 1
(a)
⎢ 0 0 0 1 0
⎥ (b)
⎢ 1 1 0 1 1
⎥ (c)
⎢ 0 1 0 1 0
⎥
⎣ 0 0 1 0 1 ⎦ ⎣ 1 1 1 0 1 ⎦ ⎣ 1 0 1 1 0 ⎦
1 0 0 1 0
1 1 1 1 0
0 1 0 0 0
35. Falso ou verdadeiro Justifique suas respostas.
(a) É possível construir um grafo conexo regular2 de grau ímpar com um número
ímpar de vértices.
⎛
⎞
0 1 1 1 0
1 0 1 0 0
(b) Seja a matriz A =
⎜ 1 1 0 1 1
⎟
⎝ 1 0 1 0 1 ⎠ a matriz de adjacência3 de um grafo
0 0 1 1 0
simples. Este grafo tem um ciclo euleriano 4 .
36. Seja G um grafo orientado, e seja A a sua matriz de adjacência orientada.
(a) O que podemos afirmar sobre G se A tem uma linha formada apenas por zeros
Solução: Existe um vértice do qual não há nenhuma aresta saindo.
(b) O que podemos afirmar sobre G se A tem uma coluna formada apenas por zeros
Solução: Existe um vértice do qual não há nenhuma aresta entrando.
2 Um grafo é chamado regular se todos os vértices têm o mesmo grau (que é então chamado o grau do
grafo)
3 Uma matriz quadrada de ordem n A é dita matriz de adjacência de um grafo (não orientado) simples
G de n vértices se cada elemento a ij de A é igual a 1 se existe uma aresta unindo o vértice i ao vértice j
e é igual a zero, caso contrário.
4 Um ciclo (ou circuito) euleriano é um caminho que possa por todas as arestas do grafo uma única
vez e retorna ao ponto de partida.
Página 8 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
37. Suponha que A é a matriz de adjacência de um certo grafo. Sabendo que
⎛
4 3
⎞
5
A 3 = ⎝3 4 5⎠ ,
5 5 7
determine:
(a) a quantidade de caminhos de comprimento 3 saindo do vértice 1;
Solução: A quantidade de caminhos de comprimento k saindo de um vértice
i e terminando em um vértice j é a entrada de A k na linha i e coluna j.
Portanto a resposta procurada é a soma das entradas na primeira linha, isto
é, 4 + 3 + 5 = 12 caminhos.
(b) a quantidade de caminhos de comprimento 6 saindo do vértice 2 e terminado no
vértice 3.
Solução: Temos que calcular a entrada da linha 2 e coluna 3 da matriz A 6 .
Como A 6 = A 3 · A 3 , a resposta é 3 × 5 + 4 × 5 + 5 × 7 = 70.
38. Considere a matriz de adjacência M G de um grafo simples G não orientado com n
vértices, com coeficientes 1 na posição i,j se tiver uma aresta entre os vértices i,j ;
coeficiente −grau(i) na posição diagonal i,i ; e 0 nos outros casos.
Pode-se observar que o M G U n = 0·U n , onde U n é um vetor com todas as componentes
iguais a 1. Ou seja, U n é um autovetor da matriz M G associado ao autovalor 0.
Prove que se o grafo G é desconexo, então existe um segundo autovetor, não múltiplo
de U n , associado ao autovalor 0. Explicite o autovetor em questão em função dos
vértices de cada componente. (Pode-se considerar que uma componente conexa de G
tem vértices v 1 , v 2 , . . . , v k , e os outros vértices de G seriam v k+1 , . . . , v n .)
Página 9 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
Árvores geradoras
39. Explique em palavras o algoritmo de Dikjstra para encontrar o caminho mínimo entre
dois pontos de um grafo cujas arestas têm comprimentos dados.
40. Prove ou dê um contra-exemplo da seguinte afirmação: Uma árvore geradora de peso
mínimo dá o caminho mínimo entre cada par de vértices do grafo.
41. Descreva o algoritmo de Prim. Explique onde ele atua, o que ele deve obter, como
começa, qual é a parte do algoritmo que se repete e quando termina.
42. Aplique os algoritmos de Kruskal e Prim nos seguintes grafos:
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
0 5 0 8 4 0 0 0 0 1 2 3
5 0 6 6 9 7
0 0 0 2 3 4
(a)
0 6 0 0 5 7
⎢ 8 6 0 0 8 0
(c)
0 0 0 3 4 5
(e)
⎢
⎥ ⎢ 1 2 3 0 0 0
⎣
⎥
⎣ 4 9 5 8 0 3 ⎦ ⎣ 2 3 4 0 0 0 ⎦
0 7 7 0 3 0 3 4 5 0 0 0 ⎡
(b)
⎡
⎢
⎣
0 1 0 0 3 2
1 0 3 2 0 0
0 3 0 4 0 3
0 2 4 0 1 0
3 0 0 1 0 4
2 0 3 0 4 0
⎤
⎡
⎥ (d)
⎢
⎦ ⎣
0 4 2 0 5
4 0 3 2 2
2 3 0 4 0
0 2 4 0 1
5 2 0 1 0
⎤
⎥
⎦
(f)
⎢
⎣
0 2 2 4 1
2 0 3 4 4
2 3 0 3 5
4 4 3 0 5
1 4 5 5 0
0 5 4 3 2
5 0 10 6 3
4 10 0 10 4
3 6 10 0 5
2 3 4 5 0
43. No grafo abaixo, os vértices representam cidades, as arestas representam estradas, e
os números indicam os valores de pedágio:
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
A
2
5
4
B
C
2
6
D
3
5
6
2
5
F
2
3
E
G
3
4
3 I 6
2
H
5
1
J
(a) Encontre uma árvore que contenha os caminhos mais econômicos da cidade A às
demais cidades. Indique também quanto custa chegar em cada cidade partindo
de A.
Solução: Aplicando o algoritmo de Dijkstra, tomamos arestas na seguinte
ordem: AB, AD, AC, DF , BE, F G ↔ F H ↔ F I, HJ, Obtemos a árvore
mínima em relação ao vértice A (os números indicam distâncias=custos):
Página 10 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
B2
A0
D4
E7
C5
F6
H9
I9
J14
G9
Obs:Aqui a solução é única.
(b) A árvore obtida no item anterior serve como guia de trajetos mais econômicos
partindo de alguma outra cidade Qual/quais
Solução: Não. Para provar isso, temos que verificar que para toda cidade
x ≠ A existe pelo menos alguma cidade y tal que a custo de ir de x a y
permanecendo na árvore é maior que o custo mínimo. Uma possível escolha
desses y’s é
x B C D E F G H I J
y F D C F E H G H I
Exemplo: se x = B então para y = F o custo pela árvore é 8 enquanto o
custo mínimo é 7 (caminho B → E → F ).
44. Seja o grafo simples com 6 vértices A, B, C, D, E, F , e arestas com os seguintes
comprimentos:
AB = 3, AC = 1, AD = 4, AE = 1, AF = 5.
BC = 9, BD = 2, BE = 6, BF = 5, CD = 3.
CE = 5, CF = 8, DE = 9, DF = 7, EF = 9.
Aplique o algoritmo de Dijkstra e encontre uma árvore mínima em relação ao vértice
A. Dê também a distância de cada vértice a A.
Solução: A árvore contendo uma aresta ligando A a cada uma dos outros vértices
é uma solução A árvore é obtida acrescentando arestas na seguinte ordem: AC,
AE, AB, AD (CD poderia ter sido escolhida aqui), AF . A distância de A aos
vértices A − F é respectivamente 0, 3, 1, 4, 1, 5.
Página 11 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
45. Dado um grafo G = (V, A) simples não orientado, com peso d : A → R + , conexo,
com n vértices e n arestas.
(a) Mostre que G tem um ciclo. (Poderá usar as definições vistas na aula.)
Anotaremos este ciclo por (v 0 , v 1 , . . . , v k = v 0 ) com {v i , v i+1 } ∈ A para i ∈ {0 . . . k−1},
e G ′ o grafo extraído de G com vértices V ′ = {v 0 , v 1 , . . . , v k } e com arestas A ′ =
{
{vi , v i+1 }, 0 ≤ i < k } (ou seja, G ′ é apenas o ciclo).
Seja (V ′ , A ′ \ { {v j , v j+1 } } ) uma árvore geradora de peso mínimo de G ′ (ou seja a
árvore mínima foi obtida removendo a aresta {v j , v j+1 }).
(b) Mostre que (V, A \ { {v j , v j+1 } } ) é uma arvore geradora de peso mínimo de G.
46. Seja G um grafo simples não orientado e valorado (com peso) com 8 vértices. A
tabela abaixo (matriz de adjacência) indica o peso das arestas de G:
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8
v 1 3 5 8 1
v 2 3 2 1
v 3 5 2 1 2
v 4 1 4
v 5 8 4 6 1
v 6 1 6 5
v 7 1 5 1
v 8 2 1 1
(a) Construa uma árvore de extensão mínima obtida com o algoritmo de Kruskal.
(b) Construa uma árvore obtida com o algoritmo de Dijkstra que represente um caminho
mínimo do vértice v 6 aos demais vértices de G. Dê o valor das “distâncias”
obtidas deste vértice v 6 aos demais vértices do grafo.
(c) Considere que d(x, y) é a menor distância do vértice x ao vértice y em G. Sabendo
que d(2, 7) = 1, d(2, 8) = 2 e d(7, 8) = 1, implemente o problema do
carteiro neste grafo e apresente um ciclo Euleriano de peso mínimo determinando
o seu peso. Justifique os passos do seu algoritmo.
47. Seja o grafo cujos vérices são as palavras:
CAO, GATO, ZEBRA, COELHO, RATO, BARATA
e tal que para qualquer par de palavras existe uma aresta que os liga, que tem
comprimento igual ao número de letras diferentes que estão em uma palavra sem
estar na outra. Por exemplo, a aresta COELHO–ZEBRA tem comprimento 8, pois
há 8 letras diferentes que estão em uma palavra sem estar na outra: C, O, L, H, Z,
B, R, A.
Aplique o algoritmo de Dijkstra e encontre uma árvore mínima em relação ao vértice
CAO. Dê também a distância de cada vértice ao CAO.
Página 12 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
A
2
C
15
3
6
E
T
10
R
12
15
11
J
10
V
3
5
G
12
9
I
7
1
B
2
8
P
S
O
48. (a) Existe um caminho Euleriano no grafo da figura acima Justifique.
(b) Apresente o resultado do algoritmo de Kruskal no grafo da figura acima com as
arestas selecionadas, indicando do lado a ordem na qual foram selecionadas.
(c) Apresente o resultado do algoritmo de Prim no grafo da figura acima, começando
da aresta {BP } com as arestas selecionadas, indicando do lado a ordem na qual
foram selecionadas.
(d) Apresente o resultado do algoritmo de Dijkstra partindo do vértice B no grafo
da figura acima, indicando o menor caminho de B a cada um dos outros vértices
e a ordem na qual os vértices do grafo foram conquistados.
(e) Apresente o resultado do algoritmo de Dijkstra partindo do vértice A no grafo
da figura acima, indicando o menor caminho de A a cada um dos outros vértices
e a ordem na qual os vértices do grafo foram conquistados.
49. Encontre um grafo com pesos nas arestas para o qual os algoritmos de Dikjstra e
Kruskal dêem origem a duas árvores diferentes. Apresente seu argumento aplicando
os algoritmos no grafo.
50. Use algoritmos de Kruskal e Prim nos grafos abaixo para encontrar uma árvore
mínima indicando a ordem em que as arestas são acrescentadas.
Página 13 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
51. Observe o grafo G valorado abaixo:
(a) Construa uma árvore obtida com o algoritmo de Dijkstra que represente um
caminho mínimo do vértice 4 aos demais. Dê o valor das ”distâncias”obtidas
deste vértice (4) aos demais.
(b) Implementando o problema do Carteiro neste grafo, apresente um ciclo euleriano
de custo mínimo e determine o custo deste ciclo.
(c) A conectividade (ou conectividade de vértices) de um grafo pode ser definida
como o menor número de vértices cuja remoção desconecta o grafo (cada vez
que se remove um vértice de um grafo, todas as arestas adjacentes a ele também
são removidas). Determine, justificando, a conectividade do grafo acima.
52. O grafo abaixo mostra o custo (em R$ milhões) de ligar várias cidades por um oleoduto.
Ache um sistema de oleodutos que ligue todas (grafo conexo) minimizando o
custo total.
Página 14 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
53. Observe o grafo G valorado abaixo.
v 1
3
v 3
3
v 2
2
2
v 4
1
2
5
4
2
3
1
v v 5 7
v 8
2
2
v 6
(a) Construa uma árvore obtida com o algoritmo de Prim, indicando a ordem em
que as arestas foram inseridas.
(b) Construa uma árvore obtida com o algoritmo de Dijkstra que represente um
caminho mínimo do vértice v 4 aos demais. Dê o valor das “distâncias” obtidas
deste vértice v 4 a todos os outros vértices de G.
Caminhos Eulerianos / Hamiltonianos
54. Seja G conexo com exatamente dois vértices de grau impar. Mostre que existe um
caminho ligando os dois vértices que passa exatamente uma vez por cada aresta de
G. Dica: Crie uma nova aresta ligando V e W .
55. Ache um ciclo que passa pelo menos uma vez por cada aresta com o menor comprimento
possível no grafo seguinte:
Página 15 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
56. Considere o grafo:
1
5
6
7
2
8
4
3
(a) Decida se este grafo possui um ciclo euleriano ou um caminho euleriano, justificando
sua resposta. Apresente o ciclo ou caminho, caso exista.
(b) Considerando que o peso de cada aresta (x, y) é dado por x + y, apresente uma
árvore obtida com o algoritmo de Dijkstra que represente um caminho mínimo
do vértice 5 aos demais vértices. Dê o valor das “distâncias” obtidas deste vértice
aos demais.
57. Considere um grafo G=(V,E) não orientado com 7 vértices tal que:
∀i, j ∈ V, {i, j} ∈ E ⇔ mdc(i, j) = 1 ∧ i ≠ j.
(a) Determine o número de arestas de G.
(b) Determine o número de caminhos de comprimento 3 em G do vértice 3 para o
vértice 4.
(c) Decida se este grafo possui um ciclo euleriano ou um caminho euleriano e
apresente-o.
58. Seja G o grafo com 8 vértices, numerados por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, em que todos os
vértices estão ligados entre si (inclusive a si mesmos). Quantos caminhos de comprimento
1000 existem entre 2 e 5 Existem ciclos eulerianos nesse grafo Justifique,
claro.
59. Falso ou verdadeiro Justifique suas respostas.
(a)
É possível construir um grafo simples conexo regular de grau ímpar com um
número ímpar de vértices.
(b) Uma matriz A, quadrada de ordem n é dita matriz de adjacência de um grafo
simples G se G tem n vértices e cada elemento a ij de A é igual a 1 se existe uma
aresta unindo o vértice i ao vértice j e é igual a zero, caso contrário. Seja
⎡
A =
⎢
⎣
0 1 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 0 1 1 0
a matriz de adjacência de um grafo. Este grafo tem um ciclo Euleriano
⎤
⎥
⎦ .
Página 16 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
60. Considere uma família de grafos G i (V i , E i ). V i é o conjunto dos vértices de G i definidos
pelos pontos do R 2 de coordenadas inteiras entre 0 e i. E i é o conjunto das
arestas de G i de tal modo que se u é uma aresta que une os vértices P e Q de G i
então as coordenadas de P e Q diferem de uma unidade, em uma e somente uma
coordenada, conforme os exemplos abaixo.
(0,0)
G1
(0,0)
G2
(a) Quantos vértices e quantas arestas possui o grafo G 5
(b) Generalize, em função de i o número de vértices e arestas do grafo G i .
(c) Para que valor(es) de i, G i é um grafo euleriano Justifique.
(d) Quando G i não é euleriano, quantas arestas, em função de i devo acrescentar
para torná-lo euleriano
61. Sejam a, v inteiros positivos. Considere o grafo simples com a + v vértices, sendo
a deles azuis e v vermelhos, tal que que existe uma aresta ligando dois vértices se e
somente se eles são de cores diferentes. Para quais valores de a e v existe caminho
Euleriano (fechado ou não) neste grafo (Dica: ver questão 9).
Solução: Para existir caminho Euleriano, é necessário e suficiente que o número
de vértices de grau ímpar seja 0 ou 2. O grafo em questão tem a vértices de grau
v e v vértices de grau a. Portanto, as possibilidades são exatamente as seguintes:
• ou a e v são pares;
• ou a é ímpar e v = 2;
• ou v é ímpar e a = 2;
• ou a = v = 1.
Página 17 de 19.

Grafos Matemática Discreta 2011.2
62. Considere o grafo da figura a seguir.
(a) Construa uma árvore obtida com o algoritmo de DIJKSTRA que represente um
caminho mínimo do vértice v 3 aos demais vértices de G.
(b) Complete a tabela com as distâncias do vértice v 3 aos demais vértices do grafo
obtidas por este algoritmo.
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8
Distâncias de v 3 a. . .
(c) Seja d(x, y) a distância mínima entre os vértices x e y. Sabendo que d(6, 7) = 10;
d(6, 8) = 7 e d(7, 8) = 5, implemente o problema do CARTEIRO neste grafo e
apresente um ciclo de menor peso possível que contenha cada aresta pelo menos
uma vez.
Página 18 de 19.

Matemática Discreta 2011.2
Grafos
Coloração / Planaridade
63. Seja G um grafo simples com 8 vértices A, B, . . . , H e arestas com “pesos” (ou “comprimentos”)
de acordo com a tabela abaixo (onde entradas vazias correspondem a
arestas inexistentes):
(a) G não é 2-colorível. Justifique.
A B C D E F G H
A 3 5 8 1
B 3 2 1
C 5 2 1 2
D 1 4
E 8 4 6 1
F 1 6 5
G 1 5 1
H 2 1 1
(b) G é 3-colorível. Apresente uma coloração que justifique esta afirmação.
(c) Aplique o algoritmo de Dijkstra e obtenha uma árvore contendo caminhos mínimos
do vértice F aos demais vértices de G.
Sua resposta deve conter:
• o desenho da árvore;
• a distância de cada vértice a F ;
• a ordem segundo a qual as arestas surgiram no algorítmo de Djikstra.
(d) Solucione o problema do carteiro neste grafo, isto é, encontre um caminho fechado
pasando por todas as arestas com menor peso possível. Qual é esse peso
Justifique os passos do seu algoritmo.
Na sua resposta, use a notação de “palavra” para descrever um circuito; por
exemplo a palavra AEF A representa o circuito com arestas AE, EF , F A, nessa
ordem.
64. Mostre que o grafo da esquerda (3 casa + 3 utilidades) não pode ser desenhado no
plano sem interseções de arestas. Dica: Se fosse possível, teríamos o grafo do meio.
Ligando A2 e 1L temos o grafo da direita. Agora não tem com ligar 3 e G. Justifique!
Página 19 de 19.