Medidas de Posição - Departamento de EstatÃstica - Universidade ...
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UNIVERSIDADE FEDERAL<br />
DA PARAÍBA<br />
MEDIDAS<br />
DESCRITIVAS<br />
<strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Estatística<br />
Tarciana Liberal
Vimos que é possível sintetizar os dados sob a<br />
forma <strong>de</strong> distribuições <strong>de</strong> freqüências e gráficos.<br />
Po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong> interesse apresentar esses dados<br />
através <strong>de</strong> medidas <strong>de</strong>scritivas que sintetizam as<br />
características da distribuição.<br />
Para representar um conjunto <strong>de</strong> dados <strong>de</strong> forma<br />
con<strong>de</strong>nsada utilizaremos algumas medidas <strong>de</strong><br />
posição e <strong>de</strong> dispersão.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA<br />
Média Aritmética Simples: É a soma das observações<br />
dividida pelo número <strong>de</strong> observações. Em geral é a medida<br />
<strong>de</strong> tendência central mais comum para um conjunto <strong>de</strong><br />
dados e é <strong>de</strong>notada por µ ou X<br />
a) Para dados não agrupados: Sejam X 1 ,X 2 , . . . ,X N , um conjunto <strong>de</strong><br />
valores da variável X. Temos então que a média aritmética <strong>de</strong> X é<br />
dada por:<br />
Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a<br />
média amostral,dada por:
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA<br />
b) Para dados agrupados: Uma vez que os valores da variável estão<br />
agrupados em tabelas <strong>de</strong> freqüências, temos que<br />
on<strong>de</strong> k é o número <strong>de</strong> classes. No caso <strong>de</strong> distribuição <strong>de</strong> frequências por<br />
classes, X i , para i = 1, . . . , k são os respectivos pontos médios das<br />
classes.<br />
EXEMPLO: Determinar a média aritmética dos pesos <strong>de</strong><br />
5 alunos da turma.
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA<br />
<br />
i) A soma algébrica dos <strong>de</strong>svios <strong>de</strong> um conjunto<br />
<strong>de</strong> números em relação a média aritmética é<br />
zero.<br />
<br />
ii) Quando somamos ou subtraímos uma<br />
constante aos valores <strong>de</strong> uma variável, a média<br />
fica aumentada ou diminuída <strong>de</strong>ssa constante.<br />
<br />
iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os<br />
valores <strong>de</strong> uma variável por uma constante, a<br />
média fica multiplicada ou dividida por essa<br />
constante.
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA<br />
IMPORTANTE: Quando um conjunto <strong>de</strong> dados contém<br />
valores extremos não é aconselhável o uso da média para<br />
representação dos dados.<br />
EXEMPLO: A partir da distribuição <strong>de</strong> renda calcule a<br />
renda média dos Engenheiros <strong>de</strong> Produção em uma<br />
Empresa.<br />
<br />
2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 7000<br />
3200 5000 80000
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA<br />
Mediana: Ocupa a posição central <strong>de</strong> uma série <strong>de</strong><br />
observações or<strong>de</strong>nadas, ou seja, é o valor que divi<strong>de</strong> os<br />
dados em duas partes iguais. É <strong>de</strong>notada por Me.<br />
a) Para dados não agrupados:<br />
Caso 1: “n” ímpar: A mediana será o elemento central <strong>de</strong><br />
or<strong>de</strong>m (n+1)/2;<br />
Caso 2: “n” par: A mediana será a média entre os elementos<br />
<strong>de</strong> or<strong>de</strong>ns n/2 e (n/2)+1
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA<br />
b) Para dados agrupados por valor:<br />
É necessário construir a freqüência acumulada para encontrar o<br />
elemento mediano através da sua or<strong>de</strong>m<br />
c) Para dados agrupados por classes:<br />
1º Passo: Calcula-se a or<strong>de</strong>m do elemento central (n/2).<br />
2º Passo: Pela freqüência acumulada i<strong>de</strong>ntifica-se a classe que contém a<br />
mediana.<br />
3º Passo: Utiliza-se a fórmula<br />
On<strong>de</strong>:<br />
l me é o limite inferior da classe mediana;<br />
n é o tamanho da amostra;<br />
F ANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;<br />
h me é a amplitu<strong>de</strong> da classe mediana;<br />
f me é a freqüência da classe mediana.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA<br />
A mediana não é sensível a valores extremos <strong>de</strong> um<br />
conjunto <strong>de</strong> dados.<br />
Po<strong>de</strong> ser calculada para dados agrupados em classes<br />
extremas in<strong>de</strong>finidas.<br />
EXEMPLO: Obtenha o peso mediano dos 5 alunos<br />
observados. Depois obtenha mais uma observação para a<br />
sua amostra e calcule novamente o peso mediano.<br />
EXEMPLO: A partir da distribuição <strong>de</strong> renda calcule a<br />
renda mediana. Compare com o valor obtido para a<br />
média.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA<br />
Moda: É o valor (valores) mais freqüente na<br />
distribuição <strong>de</strong> valores, e será <strong>de</strong>notado por<br />
M O .<br />
a) Para dados não agrupados ou agrupados por valor:<br />
1. Se nenhum dado se repete, dizemos que não há moda, ou seja, a<br />
distribuição é amodal;<br />
2. Se dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos que a<br />
distribuição é bimodal;<br />
3. Se mais <strong>de</strong> dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos<br />
que a distribuição é multimodal.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA<br />
b) Para dados agrupados em classes<br />
1º Passo: I<strong>de</strong>ntifica-se a classe modal.<br />
2º Passo: Uma forma <strong>de</strong> obtenção da moda é dada pela fórmula<br />
<strong>de</strong> Czuber:<br />
on<strong>de</strong>:<br />
l mo é o limite inferior da classe modal;<br />
Δ 1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe<br />
anterior;<br />
Δ 2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe<br />
posterior;<br />
h mo é a amplitu<strong>de</strong> da classe que contém a moda;
Exemplo: De acordo com informações obtidas <strong>de</strong> uma multinacional, o<br />
salário dos funcionários que possuem curso superior são: R$ 2500,00 –<br />
3200,00 – 1800,00 – 1600,00 – 1900,00 – 2100,00 – 2500,00 – 2000,00 –<br />
4500,00 – 4900,00 – 1500,00 – 3300,00 – 2500,00. Baseado nas<br />
informações da empresa <strong>de</strong>termine:<br />
a) Qual o salário médio dos funcionários que possuem curso superior<br />
b) Qual o salário mais freqüente<br />
c) Qual o salário abaixo do qual ficaram 50% dos funcionários
RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E<br />
MODA<br />
Média = mediana = moda -> distribuição simétrica<br />
Média > Mediana > Moda -> distribuição assimétrica positiva<br />
Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa<br />
IMPORTANTE: A média é uma medida <strong>de</strong> tendência central<br />
a<strong>de</strong>quada quando se supões que os valores têm uma distribuição<br />
razoavelmente simétrica..
EXERCÍCIOS<br />
1) Calcule a média, mediana e moda dos seguintes dados.<br />
Interprete os resultados.<br />
a) Erros cometidos por um estagiário.<br />
Qual medida você escolheria para apresentar ao<br />
seu chefe se você fosse o estagiário<br />
a) Gastos com reparos em máquinas.<br />
b) O que você po<strong>de</strong> concluir<br />
a) Notas da turma 03 <strong>de</strong> CPE I.
EXERCÍCIOS<br />
2) Após um levantamento do número <strong>de</strong> faltas dos alunos um<br />
professor obteve uma média <strong>de</strong> 3 faltas. Contudo seu filho<br />
brincando apagou a freqüência <strong>de</strong> uma das classes dos valores<br />
obtidos. Obtenha esta freqüência que está faltando.<br />
No Faltas 0 2 3 4 6<br />
Frequência 2 16 8 4<br />
3) Calcule a medida <strong>de</strong> tendência central mais recomendável<br />
para os valores amostrais dados a seguir (JUSTIFIQUE):<br />
1 33 35 37 39 39 40 40 41 42 42 43 43 43 44 759<br />
4) Um professor para ajudar uma turma com média 5,2 na<br />
primeira prova resolveu dar a cada aluno 0,8 décimos <strong>de</strong><br />
acréscimo por participação na aula. Qual será agora a nota<br />
média da turma