Medidas de Posição - Departamento de Estatística - Universidade ...

UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
MEDIDAS
DESCRITIVAS
Departamento de Estatística
Tarciana Liberal

Vimos que é possível sintetizar os dados sob a
forma de distribuições de freqüências e gráficos.
Pode ser de interesse apresentar esses dados
através de medidas descritivas que sintetizam as
características da distribuição.
Para representar um conjunto de dados de forma
condensada utilizaremos algumas medidas de
posição e de dispersão.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
Média Aritmética Simples: É a soma das observações
dividida pelo número de observações. Em geral é a medida
de tendência central mais comum para um conjunto de
dados e é denotada por µ ou X
a) Para dados não agrupados: Sejam X 1 ,X 2 , . . . ,X N , um conjunto de
valores da variável X. Temos então que a média aritmética de X é
dada por:
Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a
média amostral,dada por:

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
b) Para dados agrupados: Uma vez que os valores da variável estão
agrupados em tabelas de freqüências, temos que
onde k é o número de classes. No caso de distribuição de frequências por
classes, X i , para i = 1, . . . , k são os respectivos pontos médios das
classes.
EXEMPLO: Determinar a média aritmética dos pesos de
5 alunos da turma.

PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto
de números em relação a média aritmética é
zero.
ii) Quando somamos ou subtraímos uma
constante aos valores de uma variável, a média
fica aumentada ou diminuída dessa constante.
iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os
valores de uma variável por uma constante, a
média fica multiplicada ou dividida por essa
constante.

PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
IMPORTANTE: Quando um conjunto de dados contém
valores extremos não é aconselhável o uso da média para
representação dos dados.
EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a
renda média dos Engenheiros de Produção em uma
Empresa.
2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 7000
3200 5000 80000

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
Mediana: Ocupa a posição central de uma série de
observações ordenadas, ou seja, é o valor que divide os
dados em duas partes iguais. É denotada por Me.
a) Para dados não agrupados:
Caso 1: “n” ímpar: A mediana será o elemento central de
ordem (n+1)/2;
Caso 2: “n” par: A mediana será a média entre os elementos
de ordens n/2 e (n/2)+1

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
b) Para dados agrupados por valor:
É necessário construir a freqüência acumulada para encontrar o
elemento mediano através da sua ordem
c) Para dados agrupados por classes:
1º Passo: Calcula-se a ordem do elemento central (n/2).
2º Passo: Pela freqüência acumulada identifica-se a classe que contém a
mediana.
3º Passo: Utiliza-se a fórmula
Onde:
l me é o limite inferior da classe mediana;
n é o tamanho da amostra;
F ANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;
h me é a amplitude da classe mediana;
f me é a freqüência da classe mediana.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
A mediana não é sensível a valores extremos de um
conjunto de dados.
Pode ser calculada para dados agrupados em classes
extremas indefinidas.
EXEMPLO: Obtenha o peso mediano dos 5 alunos
observados. Depois obtenha mais uma observação para a
sua amostra e calcule novamente o peso mediano.
EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a
renda mediana. Compare com o valor obtido para a
média.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
Moda: É o valor (valores) mais freqüente na
distribuição de valores, e será denotado por
M O .
a) Para dados não agrupados ou agrupados por valor:
1. Se nenhum dado se repete, dizemos que não há moda, ou seja, a
distribuição é amodal;
2. Se dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos que a
distribuição é bimodal;
3. Se mais de dois valores ocorrem com a mesma freqüência, dizemos
que a distribuição é multimodal.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
b) Para dados agrupados em classes
1º Passo: Identifica-se a classe modal.
2º Passo: Uma forma de obtenção da moda é dada pela fórmula
de Czuber:
onde:
l mo é o limite inferior da classe modal;
Δ 1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe
anterior;
Δ 2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a classe
posterior;
h mo é a amplitude da classe que contém a moda;

Exemplo: De acordo com informações obtidas de uma multinacional, o
salário dos funcionários que possuem curso superior são: R$ 2500,00 –
3200,00 – 1800,00 – 1600,00 – 1900,00 – 2100,00 – 2500,00 – 2000,00 –
4500,00 – 4900,00 – 1500,00 – 3300,00 – 2500,00. Baseado nas
informações da empresa determine:
a) Qual o salário médio dos funcionários que possuem curso superior
b) Qual o salário mais freqüente
c) Qual o salário abaixo do qual ficaram 50% dos funcionários

RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E
MODA
Média = mediana = moda -> distribuição simétrica
Média > Mediana > Moda -> distribuição assimétrica positiva
Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa
IMPORTANTE: A média é uma medida de tendência central
adequada quando se supões que os valores têm uma distribuição
razoavelmente simétrica..

EXERCÍCIOS
1) Calcule a média, mediana e moda dos seguintes dados.
Interprete os resultados.
a) Erros cometidos por um estagiário.
Qual medida você escolheria para apresentar ao
seu chefe se você fosse o estagiário
a) Gastos com reparos em máquinas.
b) O que você pode concluir
a) Notas da turma 03 de CPE I.

EXERCÍCIOS
2) Após um levantamento do número de faltas dos alunos um
professor obteve uma média de 3 faltas. Contudo seu filho
brincando apagou a freqüência de uma das classes dos valores
obtidos. Obtenha esta freqüência que está faltando.
No Faltas 0 2 3 4 6
Frequência 2 16 8 4
3) Calcule a medida de tendência central mais recomendável
para os valores amostrais dados a seguir (JUSTIFIQUE):
1 33 35 37 39 39 40 40 41 42 42 43 43 43 44 759
4) Um professor para ajudar uma turma com média 5,2 na
primeira prova resolveu dar a cada aluno 0,8 décimos de
acréscimo por participação na aula. Qual será agora a nota
média da turma