PROJETO FINAL BECN

Movimento Harmônico Simples e Amortecido
Movimento Harmônico Simples e Amortecido
INTRODUÇÃO
Ana Arruda, Caio Monteiro, Lineu Parra, Vitor Rocha
Professor: Marcelo Reyes, CMCC
Campus Santo André
Resumo
O estudo dos Movimentos Harmônicos permite o entendimento de fenômenos que
se repetem a intervalos regulares de tempo, como o pêndulo de um relógio antigo.
Os cálculos do período e freqüência da oscilação são obtidos através de
experimentos com os sistemas “pêndulo simples” e “massa-mola”, considerando
os efeitos causados pela resistência do ar, da água, da constante k da mola, entre
outros.
As oscilações podem ser observadas
através dos movimentos que se repetem
como em um pêndulo de relógio antigo ou
em barcos ancorados movimentando-se
constantemente com as ondas.
O estudo do Movimento Harmônico Simples
possibilita o melhor entendimento das
oscilações.
Algumas propriedades são importantes
para descrever tais movimentos: a
freqüência f (número de oscilações
completadas a cada segundo) e o período
T, que está diretamente relacionado com a
freqüência e é o tempo necessário para
uma oscilação completa.
A equação que descreve o período é:
Qualquer movimento que se repete a
intervalos regulares de tempo é
denominado Movimento Harmônico.
O pêndulo simples é um sistema formado
por uma partícula de massa m, pendurada
em uma extremidade por um fio
inextensível e de massa desprezível que
está preso a um suporte na outra
extremidade.
O sistema massa-mola, que consiste em
um bloco de massa m, oscilando
verticalmente, preso a uma mola com
constante k.
Mas com que tudo isso se relaciona no
nosso dia a dia
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http://history.nasa.gov/SP-4208/ch15.htm 1
Figura 1. O Astronauta Alan L. Bean,
durante 2ª uma Missão do Skylab, mede
sua massa corporal através de um
dispositivo composto por um assento preso
a uma mola, oscilando para frente e para
trás.
O astronauta mede seu período de
oscilação na cadeira; A massa é obtida a
partir da equação para o período de um
sistema massa-mola oscilante:
Figura 2. O Edifício Citicorp em Nova York
teve uma grande redução de oscilação com
o sistema de amortecimento formado por
um bloco conectado ao edifício por mola
OBJETIVO
Medir experimentalmente as oscilações do
pêndulo simples e do sistema massa-mola
em diferentes situações, para determinar
coeficientes de amortecimento e os fatores
que influenciam em seus períodos.
Onde: T é o período de oscilação; K a
constante da mola; m, a massa efetiva do
sistema e M a massa do astronauta.
Devido à presença de ventos fortes, a
oscilação do Edifício Citicorp, em Nova
York, é reduzida por um amortecedor –
bloco móvel conectado ao edifício por
molas – montado sobre o pavimento
superior do edifício.
A constante da mola é escolhida de modo
que a freqüência natural do sistema bloco
mola tenha o mesmo valor que a freqüência
natural do edifício.
METODOLOGIA
Materiais
Suporte para colocar o pêndulo
Cronômetro
Balança semi-analítica
2 pesos com massas diferente com gancho
1 mola de tamanho compatível
Fio (nylon ou barbante)
Transferidor em escala
1 Recipiente com água
Métodos
PARTE A – Pêndulo Simples
Durante a ação do vento, o edifício e o
amortecedor oscilam 180° fora de fase um
com o outro, resultando em uma
significativa redução da oscilação do prédio.
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b) Obtenção do coeficiente de
amortecimento devido à resistência do
ar em um pêndulo simples.
A constante de amortecimento está
relacionada com a amplitude A pela
seguinte fórmula:
F
Figura 3. Montagem experimental do
pêndulo simples.
a) Fatores que influenciam o período de
um pêndulo simples.
Um objeto de massa m será suspenso por
um fio de massa desprezível e comprimento
L, com uma extremidade fixada em um
suporte.
, onde 1/b é chamada de
constante de amortecimento e representa,
matematicamente, o tempo necessário para
que a amplitude seja reduzida de um fator
igual a 1/e em relação ao seu valor inicial.
A amplitude será medida com o auxilio de
um transferidor. Serão considerados
intervalos regulares de tempo proporcionais
ao período do pêndulo. Será analisada a
constante de amortecimento para duas
massas diferentes.
PARTE B – Sistema massa-mola
Nessa parte do experimento será medido o
período de oscilação em diferentes
situações:
1. Diferentes comprimentos de L (L 1 = 20
cm, L 2 = 40 cm e L 3 = 80 cm).
2. Diferentes amplitudes θ (θ 1 = 5°, θ 2 = 15°
e θ 3 = 45°).
Para minimizar os erros que estariam
presentes na medição de um único período,
como tempo de reação para acionar o
cronômetro, será medido o intervalo de
tempo equivalente a 10 T, onde T é um
único período.
A medição de cada situação diferente será
realizada 5 vezes para a determinação do
desvio padrão de cada medida.
Figura 4. Montagem experimental do
sistema massa–mola.
a) Obtenção da Constante Elástica k de
uma mola.
A constante elástica k da mola será obtida
pelo método estático onde um peso é
colocado na extremidade da mola e é
medida a variação x no comprimento da
mola no estado de equilíbrio. Se a
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deformação obedece a lei de Hooke então
temos que .
b) Obtenção do coeficiente de
amortecimento devido à resistência da
água
Teremos, nesse caso, um suporte rígido.
Nele uma mola será presa em uma de suas
extremidades, e um objeto de massa m 1
será acoplada à outra extremidade.
A essa massa m 1 oscilará e seu movimento
será amortecido devido a resistência do ar
e posteriormente da água.
O objetivo será analisar a como a
freqüência de oscilação do sistema varia
considerando-o amortecido pelo meio,
fazendo uso da seguinte fórmula:
Onde b é a constante de amortecimento
que depende das características, tanto da
massa como do líquido onde a mesma
estará imersa. A freqüência angular é
obtida a partir do período de oscilação. Os
dados serão submetidos aos cálculos
necessários, a fim de trazer resultados
passíveis de interpretação e comparação
entre os dois sistemas.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A. Fatores que influenciam o período do
pêndulo simples.
A única aceleração que atua em sentido do
movimento no caso de um pêndulo simples
é , onde θ é o ângulo inicial. Pela
segunda lei de Newton,
.
Como a equação que representa o
movimento harmônico é
obtemos que o período para pequenas
amplitudes em função do comprimento L do
fio de massa desprezível é
(considerando a aceleração da gravidade
constante e igual a ).
Para amplitudes maiores que 15°
observamos o aparecimento de um fator
que multiplica o período.
Os dados obtidos são mostrados nas
tabelas a seguir:
Tabela I. Período de um pêndulo simples
medido para diferentes comprimentos de L
corrigidos com o centro de massa do peso
utilizado (Amplitude de 15°).
Comprimento L 10 T (Média) Desvio Padrão
L 1 =22,1 cm 9,60 s 0,10
L 2 =42,1 cm 13,49 s 0,13
L 3 =82,1 cm 18,68 s 0,23
Tabela II. Período de um pêndulo simples
medido para diferentes amplitudes θ
(Comprimento L = 82,1 cm).
Período 10 T
Amplitude θ (média) Desvio Padrão
Θ 1 =5° 18,54 0,17
Θ 2 =15° 18,68 0,23
Θ 3 =45° 19,04 0,09
Com os dados da tabela 1 fizemos um
ajuste não linear e obtivemos a equação
com um coeficiente de
determinação
confirmando que
.
Para os dados da segunda tabela
observamos que os valores esperados
eram da ordem de 0,46 s menores do que
todos os valores obtidos experimentalmente
(Os valores esperados eram 18,03 s, 18,10
s e 18,74 s, respectivamente). Para
comparar esses dados teríamos que levar
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em conta os erros envolvidos e a
propagação de incertezas.
B. Amortecimento de um pêndulo
simples devido à resistência do ar.
Apesar de pequena, a resistência do ar faz
com que a quantidade de movimento de um
pêndulo diminua. Para objetos com massa
elevadas é esperado que demore mais para
que suas oscilações reduzam até um
patamar imperceptível.
A amplitude de um oscilador amortecido
decai exponencialmente, assim podemos
escrever onde 1/b é o coeficiente
de amortecimento que depende da
resistência do meio, do formato e da massa
do objeto.
Medindo a amplitude de um pêndulo
simples para duas massas diferentes
obtivemos os dados que estão
representados na forma de gráfico. O
coeficiente de amortecimento foi calculado
pelo ajuste do gráfico e vale 0,005 para a
massa 1 e 0,002 para massa 2.
Esses dados comprovam que o
amortecimento é inversamente proporcional
a massa utilizada, ou seja, quanto maior a
massa menor será o amortecimento.
Gráfico 2. Amplitude versus período para
massa 2.
C. Amortecimento de um sistema massamola
devido à resistência do ar e da
água.
A amplitude de oscilação diminui devido à
resistência do ar. O mesmo ocorre com a
resistência da água, porém devido à
diferença de viscosidade entre esses dois
meios a amplitude diminui mais
rapidamente se a massa estiver oscilando
imersa em água. As equações do
movimento harmônico amortecido podem
ser escritas da seguinte forma:
e
é a
freqüência natural de oscilação do sistema
e vale .
Duas massas foram utilizadas no
experimento, m 1 = 0,056 Kg e m 2 = 0,112
Kg. A constante elástica da mola foi obtida
a partir da deformação produzida por essas
duas massas, x 1 = 0,255 m e x 2 = 0,325 m.
Deste modo, k = 7,99 N/m.
Os dados são mostrados na tabela abaixo.
Também foi feita uma simulação para o
movimento das duas massas.
Gráfico 1. Amplitude versus período para
massa 1.
Tabela III. Período, freqüência e coeficiente
de amortecimento obtidos
experimentalmente para um sistema
massa-mola.
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Período
(s)
Frequência
angular w
Coeficient
e 1/b
m1 m2 m1 m2 m1 m2
Ar 1,19 1,52 5,29 4,14 0,83 0,61
Água 0,55 0,70 11,51 9,03 2,80 1,40
possível ao aumento da resistência se
encontra na diferença de estados físicos
(líquido e gasoso) e consequentemente na
diferença entre as forças de interação entre
as moléculas
CONCLUSÕES
Através dos cálculos dos amortecimentos
do pêndulo simples e do sistema massamola
foi possível compreender melhor a
aplicação prática desses sistema no nosso
cotidiano, como dos exemplos do edifício
Citicorp e no cálculo da massa do
astronauta em gravidade zero.
Figura 5. Simulação do amortecimento
esperado para a massa 1. Em azul a
oscilação ocorre dentro da água e em verde
no ar.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]RESNICK, Robert; HALLIDAY, David;
KRANE, Kenneth S. Física: 2. 5ª ed. Rio de
Janeiro: LTC. 2003.
[2]http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/
d6_atividade3_c59479f5.pdf.
[3]http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/
d3_atividade9_6eeef57c.pdf.
AGRADECIMENTOS
Agradecemos à Universidade Federal do
ABC e ao professor Marcelo Reyes.
FIGURA 6. Simulação do amortecimento
esperado para a massa 2. Em azul (água) e
em verde (ar).
É possível observar que as oscilações
reduzem mais rapidamente se ocorrerem
em um meio que impõe mais resistência.
Entretanto a freqüência angular aumenta
significativamente. Uma explicação
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