Aluno(a): • Prova sem consulta, com du - Inatel

EE210 – Sistemas de Comunicação II
1ª Avaliação – 21/03/2012 – 15h30min
Profs. Dayan A. Guimarães e Rausley A. A. de Souza
Nota:
Aluno(a):
_______________________________________________________________________________________
• Prova sem consulta, com duração de 1h40min.
• A interpretação é parte integrante das questões. Seja organizado nas suas respostas e BOA
PROVA!
Função densidade de probabilidade uniforme com b > a: f ( x)
Tabela de valores da função erro-complementar.
X
( )
⎧⎪ 1 b − a , a ≤ x < b
= ⎪
⎨ ⎪⎪⎩ 0 caso contrário
x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x)
0,025 0,971796 1,025 0,147179 2,025 4,19E-03 3,025 1,89E-05
0,050 0,943628 1,050 0,137564 2,050 3,74E-03 3,050 1,61E-05
0,075 0,915530 1,075 0,128441 2,075 3,34E-03 3,075 1,37E-05
0,100 0,887537 1,100 0,119795 2,100 2,98E-03 3,100 1,16E-05
0,125 0,859684 1,125 0,111612 2,125 2,65E-03 3,125 9,90E-06
0,150 0,832004 1,150 0,103876 2,150 2,36E-03 3,150 8,40E-06
0,175 0,804531 1,175 0,096573 2,175 2,10E-03 3,175 7,12E-06
0,200 0,777297 1,200 0,089686 2,200 1,86E-03 3,200 6,03E-06
0,225 0,750335 1,225 0,083200 2,225 1,65E-03 3,225 5,09E-06
0,250 0,723674 1,250 0,077100 2,250 1,46E-03 3,250 4,30E-06
0,275 0,697344 1,275 0,071369 2,275 1,29E-03 3,275 3,63E-06
0,300 0,671373 1,300 0,065992 2,300 1,14E-03 3,300 3,06E-06
0,325 0,645789 1,325 0,060953 2,325 1,01E-03 3,325 2,57E-06
0,350 0,620618 1,350 0,056238 2,350 8,89E-04 3,350 2,16E-06
0,375 0,595883 1,375 0,051830 2,375 7,83E-04 3,375 1,82E-06
0,400 0,571608 1,400 0,047715 2,400 6,89E-04 3,400 1,52E-06
0,425 0,547813 1,425 0,043878 2,425 6,05E-04 3,425 1,27E-06
0,450 0,524518 1,450 0,040305 2,450 5,31E-04 3,450 1,07E-06
0,475 0,501742 1,475 0,036982 2,475 4,65E-04 3,475 8,91E-07
0,500 0,479500 1,500 0,033895 2,500 4,07E-04 3,500 7,43E-07
0,525 0,457807 1,525 0,031031 2,525 3,56E-04 3,525 6,19E-07
0,550 0,436677 1,550 0,028377 2,550 3,11E-04 3,550 5,15E-07
0,575 0,416119 1,575 0,025921 2,575 2,71E-04 3,575 4,29E-07
0,600 0,396144 1,600 0,023652 2,600 2,36E-04 3,600 3,56E-07
0,625 0,376759 1,625 0,021556 2,625 2,05E-04 3,625 2,95E-07
0,650 0,357971 1,650 0,019624 2,650 1,78E-04 3,650 2,44E-07
0,675 0,339783 1,675 0,017846 2,675 1,55E-04 3,675 2,02E-07
0,700 0,322199 1,700 0,016210 2,700 1,34E-04 3,700 1,67E-07
0,725 0,305219 1,725 0,014707 2,725 1,16E-04 3,725 1,38E-07
0,750 0,288844 1,750 0,013328 2,750 1,01E-04 3,750 1,14E-07
0,775 0,273072 1,775 0,012065 2,775 8,69E-05 3,775 9,36E-08
0,800 0,257899 1,800 0,010909 2,800 7,50E-05 3,800 7,70E-08
0,825 0,243321 1,825 9,85E-03 2,825 6,47E-05 3,825 6,32E-08
0,850 0,229332 1,850 8,89E-03 2,850 5,57E-05 3,850 5,19E-08
0,875 0,215925 1,875 8,01E-03 2,875 4,79E-05 3,875 4,25E-08
0,900 0,203092 1,900 7,21E-03 2,900 4,11E-05 3,900 3,48E-08
0,925 0,190823 1,925 6,48E-03 2,925 3,53E-05 3,925 2,84E-08
0,950 0,179109 1,950 5,82E-03 2,950 3,02E-05 3,950 2,32E-08
0,975 0,167938 1,975 5,22E-03 2,975 2,58E-05 3,975 1,89E-08
1,000 0,157299 2,000 4,68E-03 3,000 2,21E-05 4,000 1,54E-08
1

1ª questão (30 pontos)
Seja um sistema de comunicação digital com sinalização antipodal e símbolos equiprováveis opera a 1
Mbit/s em um canal cujo ruído que contamina a variável de decisão tem função densidade de probabilidade
uniforme, média nula e variância N 0 /2 = 1×10 −6 watts. A figura a seguir ilustra as densidades condicionais da
variável de decisão. Determine a partir de que potência de recepção a probabilidade de erro de bit será nula.
Dado: a variância de uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a, b] vale (b – a) 2 /12.
s 2
s 1
−
E
0
+
E
φ 1
Solução
Para probabilidade de erro nula, as áreas de sobreposição das densidades condicionais deverão ser nulas.
Denominando de a e b os limites inferior e superior da densidade condicional da direita (por exemplo), na
condição de probabilidade de erro nula então teremos a = 0, b = 2 E.
Com o valor de variância dado
teremos:
( ) 2
2
b − a
−6 (2 E )
−6 −6
= 1× 10 ⇒ = 1× 10 ⇒ E = Eb
= 3 × 10 J.
12 12
−6
6 −6
Eb
3 × 10
Rb = 1× 10 bit/s ⇒ Tb = 1× 10 s ⇒ PRX = = = 3 watts.
T
−6
b 1×
10
Então, se a potência recebida for maior ou igual a 3 watts, a probabilidade de erro de bit será nula.
2ª questão (20 pontos)
Sabe-se que a banda ocupada por um sinal em banda base em um sistema de transmissão digital dependerá
do fator de forma α do filtro de transmissão, ou seja, B = B min (1+α), onde B min é a mínima banda que
teoricamente poderia ser ocupada. Considere um sistema com sinalização quaternária operando a 1 Mbit/s.
Calcule o número de bits por símbolo, a taxa de símbolos e a máxima largura de faixa ocupada pelo sinal
transmitido, após filtragem.
Solução
k = log 2 M = log 2 4 = 2 bits por símbolo.
R = R b /log 2 M = 10 6 /2 = 500 ksímbolo/s.
B = B min (1+α) = 250000(1+1) = 500 kHz.
3ª questão (30 pontos)
Bits equiprováveis gerados por uma fonte são representados por pulsos do tipo NRZ bipolares de duração 1
ms e amplitude 1 mV. Estes bits são transmitidos através de um canal AWGN com densidade espectral de
potência do ruído N 0 / 2= 5×10 -11 W/Hz.
a) Estime a probabilidade de erro de símbolo média nestas condições.
b) Dobrou-se a taxa de sinalização. Estime a nova probabilidade de erro de bit média.
c) Represente graficamente o espaço de sinais desta sinalização, indicando claramente a posição dos
símbolos.
d) Escreva a(s) expressão(ões) para a(s) função(ões) base envolvida(s).
2

Solução
a) Se p 0 = p 1 = 1/2, então
que leva a E b = 1×10 −9 J.
E + Eb1
E = p E + p E = . Logo
b0
b 0 b0 1 b1
2
b0
∫
0
1ms
2 − 9
E = (0,001) dt = 1× 10 = E
b1
, o
1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ 10 ⎞
1 1
P = erfc = erfc = erfc( 10 ) ≅ erfc( 3,16 ).
2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎟⎠
2 2
−9
b
e
N
⎜
−10
0
⎟ ⎜ 10
Pela Tabela, (1/2)erfc(3,16) = BER = P e ≅ 4,2×10 −6 .
b) Como a taxa de sinalização foi dobrada, a duração do símbolo passa a ser 0,5 ms. Então
b0
0,5 ms
2 9
∫ (0,001) 0,5 10
−
0
b1, o que leva a E b = 0,5×10 −9 J.
E = dt = × = E
1 1 ⎛ 0,5 10 ⎞ 1 1
P = erfc = erfc = erfc( 5) ≅ erfc ( 2, 24)
.
2 2 2 2
⎛ E ⎞ −9
b
× e N
−10
⎜
⎝ 0
⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎠
⎟
Pela Tabela, (1/2)erfc(2,24) = BER = P e ≅ 7,3×10 −4 .
c)
Onde s 1 corresponde ao bit 1 e s 2 corresponde ao bit 0, por exemplo.
d)
−3
⎧⎪ 1 10
s1
( t )
×
,0 ≤ t < T
φ ( t)
= = ⎪ E
1
⎨ b
Eb
⎪⎪⎪⎩
0, caso contrário
b
4ª questão (20 pontos)
A figura a seguir mostra a tela do VisSim/Comm com um experimento para verificação da equivalência entre
filtro casado e correlator. Sabe-se que o fator de escala k do filtro casado é 1. Pede-se:
e) Esboce no gráfico dado as formas de onda de saída dos dispositivos de amostragem com retenção
f) Determine o valor do fator de escala k utilizado no correlator. Mostre como o encontrou.
3

Solução a
Solução b
Comparando as formas de onda dos sinais com amostragem e retenção percebe-se que aquela correspondente
ao correlator tem o dobro da amplitude. Portanto, como o fator de escala do filtro casado é k = 1, o fator de
escala do correlator é k = 2.
4