Lista sobre Autovetores e autovalores - WWW2 - Udesc

UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC
CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS
CCT
DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT
Exercícios sobre AUTOVALORES e AUTOVETORES
Professora: Graciela Moro
1. Encontre os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas:
(a) T : R 2 ! R 2 tal que T (x; y) = (2y; x)
(b) T : R 2 ! R 2 tal que T (x; y) = (x + y; 2x + y)
(c) T : R 3 ! R 3 tal que T (x; y; z) = (x + y; x y + 2z; 2x + y z)
(d) T : P 2 ! P 2 tal que T (ax 2 + bx + c) = ax 2 + cx + b
(e) T : M(2; 2) ! M(2; 2) tal que A ! A T
2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes
2
3
2 3 2 3 2 0 1 0
1 2 3
1 0 2
a) A = 4 0 1 2 5 b) A = 4 1 0 1 5 c) A = 6 0 2 0 1
7
4 12 0 3 0 5 :
0 0 1
1 1 2
0 1 0 0
3. (ENADE) Uma transformação linear T : R 2 ! R 2 faz uma re‡exão em relação ao eixo
horizontal, conforme mostrado na …gura a seguir.
Essa transformação T
a) é dada por T (x; y) = ( x; y):
b) tem autovetor (0; 1) com autovetor associado igual a 2:
c) tem autovetor (2; 0) com autovetor associado igual a 1:
d) tem autovetor de multiplicidade 2:
e) não é inversível.
1

4. Construa uma matriz 2x2 não diagonal com autovalores 1 e 1 :
5. Encontre a transformação linear T : R 2 ! R 2 ; tal que T tenha autovalores 2 e 3
associados aos autovetores (3y; y) e ( 2y; y) respectivamente.
6. Que vetores não nulos do plano, quando cisalhados por C(x; y) = (y 3x; y) e em
seguida girados de 45 o (no sentido anti-horário) …cam ampliados / reduzidos (na
mesma direção) Em quantas vezes
7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R 3 ! R 3
obtido quando se faz uma rotação de rad em torno do eixo x; seguida de uma
contração de 1 2 :
8. Seja T : < 2 ! < 2 um operador linear que dobra o comprimento do vetor (1; 3) e
triplica e muda o sentido do vetor (3; 1):
(a) Determine T (x; y)
(b) Calcule T (0; 2)
(c) Qual a matriz do operador T na base f(2; 1); (1; 2)g
1; 3 = 2; 4 = 0; respectiva-
9. Seja T : M(2; 2) ! M(2; 2) com autovetores v 1 =
0 0
e v 4 = associados aos autovalores
1 1
1 = 1; 2 =
a b
mente. Determine T :
c d
1 0
; v
0 0 2 =
0 1
, v
0 0 3 =
1 0
1 0
10. Dada a transformação linear T : < 2 ! < 2 que é a projeção sobre a reta y = x 2 .
Encontre os autovalores e autovetores da transformação T:
11. Considere P 1 = conjunto dos polinômios de grau 1.
Seja o operador linear D : P 1 ! P 1 dado por D(p) = x:p 0 +p 0 .Determine os autovalores
e autovetores de D:
12. Seja A uma matriz quadrada e A T sua transposta. As matrizes A e A T possuem os
mesmos autovalores e autovetores Justi…que sua resposta.
13. Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear que a cada vetor v 2 R 3
associa a sua projeção ortogonal no plano x + y = 0:
14. Seja T : V ! V linear
(a) Se = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
(b) A recíproca é verdadeira Ou seja, se T não é injetora, = 0 é autovalor de T
(c) Quais são os autovalores e autovetores do operador derivação D : P 2 ! P 2 ;
D(p) = p 0 :
2

15. Sejam A; B 2 M(n; n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe
alguma relação entre seus autovalores Qual
16. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V ! V
associados a um autovalor é um subespaço vetorial de V:
17. Discuta a veracidade da a…rmação: Se não é um autovalor de A, então o sistema
linear (A I)v = 0 só tem a solução trivial.
18. Sejam A e B matrizes n n: Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A
se existir uma matriz inversível P tal que B = P 1 AP: Mostre que se B é semelhante
a A, então as duas matrizes tem o mesmo polinômio característico e, portanto, os
mesmos autovalores.
19. Mostre que se B = R 1 AR e ! v é um autovetor de B associado a um autovalor então
R ! v é autovetor de A associado a :
20. Seja T : R 2 ! R 2 o operador linear de…nido por T (x; y) = (7x 4y; 4x+y):Determinar
uma base de autovetores do R 2 e mostre que a matriz do operador [T ] é diagonal.
21. Considere uma transformação linear T : V ! V abaixo. Se possível, determinar uma
matriz P que diagonaliza A e calcular P 1 AP:
(a) T : P 2 ! P 2 de…nida por T (a + bx) = (4a + 2b) + (a + 3b)x:
(b) T : P 2 ! P 2 de…nida por T (p(x)) = p(x + 1):
22. Veri…car se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que
diagonaliza A e calcular P 1 AP:
5 1
(a) A =
1 3
2 3
1 2 1
(b) A = 4 1 3 15
0 2 2
2
3
2 1 0 1
(c) A = 60 2 1 1
7
40 0 3 2 5
0 0 0 3
23. Considere o operador T : R 3 ! R 3 de…nido por T (x; y; z) = (5x + 4z; x 5y; 3z) e o
operador S : R 3 ! R 3 de…nido pela re‡exão através do plano : x + 2z = 0:
(a) Determine S T:
(b) S T é diagonalizável Se for, encontre D e P tal que D = P 1 [S T ]P:
0
2 k
1
0
24. Determine o valor de k para que a matriz A = @ 0 2 1A seja diagona-lizável.
0 0 3
3

25. Determine a de modo que a matriz A seja diagonalizável. Para o valor de a encontrado,
determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que P 1 AP = D:
2
3
3 2 4 1
A = 60 1 a 0
7
40 0 3 4 5
0 0 0 2
26. Encontre os autovalores de A 9 se
27. Calcule A 10 para A =
0 1
:
2 1
A =
2
6
4
1 3 7 11
0 1 2
3 8
0 0 0 4
0 0 0 2
28. Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v 1 = (1; 0; 0); duplica o
comprimento do vetor v 2 = (0; 2; 0) e inverte o sentido do vetor v 3 = (0; 2; 1): Determine
o operador linear T 20 :
29. Seja T : V ! V o operador linear que tem autovalores 1 = 1; 2 = 2; ;
n = n associados aos autovetores 2 3 v 1 ; v 2 ; ; v n respectivamente. Sabendo que =
1
fv 1 ; v 2 ; ; v n g e que [v]
= 6 7
4
2. 5 ; determinar [T (v)] :
n
30. Veri…que se o operador T : R 3 ! R 3 dado por T (x; y; z) = (x+y +z; 2x+4y +2z; 2z)
é diagonalizável ou não. Em caso a…rmativo, determine T 22 (x; y; z) .
31. Seja A uma matriz inversível. Prove que, se A é diagonalizável, A 1 também é.
32. Seja A uma matriz 4 4 e seja um autovalor de multiplicidade 3: Se A I tem
posto 1; A é diagonalizável Explique.
33. Classi…que cada a…rmação como verdadeira ou falsa. Justi…que cada resposta.
(a) Se A é diagonalizável, então A tem n autovalores distintos.
(b) Se A é inversível então A é diagonalizável.
(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável.
(d) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade 1:
(e) Se nenhum dos autovalores de A é nulo, então det A 6= 0:
(f) Se u e v são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos
1 e 2 ; então u + v é um autovetor de A associado ao autovalor 1 + 2 :
(g) Se v é autovetor dos operadores T : V ! V e S : V ! V então v é autovetor do
operador T + S:
3
7
5
4

34. Mostre que se é autovalor de uma matriz inversível A associado ao autovetor v; então
1 é autovalor de A 1 associado ao autovetor v:
ALGUMAS RESPOSTAS:
1. a) Para 1 = p p
2 tem-se v 1 = ( 2y; y) e para 2 = p 2 tem-se v 2 = ( p 2y; y)
b) Para 1 = 1 + p p2
2 tem-se v 1 = y; y p
e para
2 2 = 1 2 tem-se v2 =
p2
2 y; y
c) Para 1 = 2 tem-se v 1 = (x; 3x; x); para 2 = 1 tem-se v 2 = ( 2z; 4z; z) e para
3 = 2 tem-se v 3 = (y; y; y)
d) Para 1 = 2 = 1 tem-se p 1 (x) = ax 2 +bx+b e para 2 = 1 tem-se p 2 (x) = bx+b
a b
0 c
e) Para 1 = 2 = 1 tem-se A 1 = e para
b c
3 = 4 = 1 tem-se A 2 =
c 0
2. a) Para 1 = 2 = 1 tem-se v 1 = (x; 0; 0)
3. letra c)
4.
b) Para 1 = 1 tem-se v 1 = ( z; 2z; z); para 2 = 1 tem-se v 2 = ( x; x; 0) e para
3 = 3 tem-se v 3 = (x; 0; x)
1
c) Para 1 = 1 tem-se v 1 = x; 0; x; 0 ; para
3 2 = 1 tem-se v 2 = (0; t; 0; t) e para
1
3 = 6 tem-se v 3 = x; 0; x; 0
4
5. T (x; y) = ( 6y; x + y)
6. Para 1 = 3 2p
2 tem-se v1 = x; 3 5 x e para 2 = p 2 tem-se v 2 = (0; y)
7. Para 1 = 2 = 1 tem-se v 2 1 = (x; 0; 0) e para 2 = 3 = 1 tem-se v 2 2 = (0; y; z)
11
29x 15y
8. a) T (x; y) = ; 15x+21y
51
c)
24 8
8 8
a
9. T
c
b
=
d
a + c d
b
2c 2d 0
10. Para 1 = 0 tem-se v 1 = (2y; y) e para 2 = 0 tem-se v 2 = (x; 2x)
11. Para 1 = 1 tem-se p 1 (x) = a e para 2 = 1 tem-se p 2 (x) = b + bx
51
8
12. Para concluir que os autovalores são os mesmos, mostre que A e A T tem o mesmo
polinômio característico.
13. Para 1 = 0 tem-se v 1 = (x; x; 0) e para 2 = 3 = 1 tem-se v 2 = ( y; y; z)
14. c) = 0 ) p(x) = 0
15.
16.
5
175
24

17. Verdadeiro
18. Partir da hipótese A = P BP 1 e mostrar que det(A I) = det(B I):
20. =
1
; 1 ; ( 2; 1) e [T ] 1 0
2 = 0 9
2 0
21. a) = f( 1; 1); (2; 1)g e D =
0 5
b) Não existe base para a qual exita a matriz diagonalizadora P .
2
0 2
3
1
22. a) Não b) P = 4 1 1 05 c) Não
2 2 1
23. a) (S T )(x; y; z) = (3x; x 5y; 4x 5z)
7
b) Para 1 = 0 tem-se v 1 = (0; y; 0); para 2 = 3 tem-se v 2 = 2z; z; z e para
3
3 = 5 tem-se v 3 = (0; y; y) e
24. k = 0
2
3 2 3
1 15 1 0 1 0 0 0
25. a = 4; P = 61 16 0 2
7
40 4 0 15 e D = 60 2 0 0
7
40 0 3 05
0 1 0 0 0 0 0 3
2
3
1 1533
256
3191
128
107909
4
26. A 9 1 3 38229
= 60 512 256 8 7
40 0 0 1024 5
0 0 0 512
342 341
27. A 10 =
682 683
28. T 20 (x; y; z) = (x; 1048576y 2097150z; z)
2 3
1
4
29. [T (v)]
=
6 7
4
9. 5
n 2
33. F F F F F V V
6