Fundamentos matem?ticos para a ci?ncia da ... - DEINF/UFMA

Seção 3.5 O Polinômio Binomial 143
1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
5 10 10 5 1
Se observarmos esta figura, veremos claramente que as arestas externas têm sempre o valor 1. Mas também
podemos ver que qualquer elemento no interior do triângulo pode ser obtido pela soma dos dois elementos
diretamente acima, na linha anterior (por exemplo, o primeiro 10 na quinta linha está abaixo do 4 e do 6 da
quarta linha). Se isto for, de fato, sempre verdadeiro, temos que
A equação (1) é conhecida como fórmula de Pascal.
Para demonstrar a fórmula de Pascal, começaremos pelo lado direito:
(1)
(multiplicando o primeiro termo por k/k e o segundo por (n — k)/(n — k))
(somando as frações)
(simplificando o numerador)
Outra forma, menos algébrica, para demonstrar a fórmula de Pascal envolve um argumento de contagem;
razão pela qual é chamada de prova combinatória. Desejamos calcular C(n, k), o número de maneiras
de escolher k objetos dentre n. Existem duas formas de realizar tal escolha o item 1 é escolhido como um dos
k objetos, caso no qual restam k — 1 escolhas a ser feitas dentre os n — 1 restantes sem o item 1 e, por outro
lado, existem C(n — 1, k — 1) maneiras de realizar a escolha. Se, por outro lado, o item 1 não for escolhido,
deveremos tomar as k escolhas dentre os n — 1 objetos restantes, para o que existem C(n — 1, k) modos. O
número total de possibilidades é obtido pelo número de possibilidades desses dois casos disjuntos.
Já que temos a fórmula de Pascal, podemos desenvolver a fórmula para (a + b) n , conhecido como teorema
binomial.