Fundamentos matem?ticos para a ci?ncia da ... - DEINF/UFMA

Seção 3.5 O Polinômio Binomíal 145
(usando a fórmula de Pascal)
(porque C(k, 0) = 1 = C(k +1, 0) e C(k, k) = 1 = C(k + 1, k + 1))
Isto conclui a prova indutiva do teorema binomial.
O teorema binomial também pode ter uma prova combinatória. Escrevendo (a + b) n como (a + b)(a +
b) ... (a + b) (n fatores), sabemos (através da propriedade distributiva) que seu resultado é conseguido
ao multiplicar-se cada termo em um fator por um termo de todos os demais fatores. Por exemplo, usando
b como o termo de k fatores e a como o termo dos demais n — k fatores, produz a expressão a n-k b k .
Usando o fator b de um conjunto diferente de k fatores e a de um conjunto diferente de n — k fatores
restantes, também produz a n-k b k . Quantos termos desses existem? Existem C(n, k) diferentes maneiras
de selecionar k fatores dos quais usaremos b; portanto existem C(n, k) termos deste tipo. Após agrupar
esses termos, o coeficiente de a n-k b k será C(n, k). Variando k de 0 a n, o resultado é a soma dos termos
no teorema binomial.
Devido a seu uso no teorema binomial, a expressão C(n, r) também é chamada de coeficiente
binomial.
Aplicando o Teorema Binomial
EXEMPLO 58
Usando o teorema binomial podemos escrever a expressão de (x — 3) 4 como mostrado a seguir:
•
PRATICA 39 Encontre a expansão de (x + l) 5 usando o teorema binomial. •
O teorema binomial nos diz que o termo k + 1 da expansão de (a + b) n é C(n, k)a n k b k . Isto nos permite
encontrar termos individuais da expansão sem ter que calculá-la por inteiro.
PRÁTICA 40 Qual o quinto termo da expansão de (x + y) 7 ? •
Usando determinados valores de a e b no teorema, podemos encontrar certas identidades.
EXEMPLO 59
Seja a = b = 1 no teorema binomial. Então
(1 + 1) n = C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, k) + ... + C(n, n)
ou
2 n = C(n, 0) + C)n, 1) + ... + C(n, k) + ... + C(n, n) (3)
Na verdade, a equação (3) poderia ter sido demonstrada através de argumentos de combinatória. O número
C(n, k), o número de maneiras de escolher k itens dentre n, pode ser pensado como o número de subconjuntos
de k elementos de um conjunto com n elementos. O lado direito da equação (3) representa o número total de
todos os subconjuntos (de todos os tamanhos) de um conjunto de n elementos. Mas já sabemos que o número
total de subconjuntos é 2 n .
•
Revisão da Seção 3.5
Técnica
• Uso do teorema binomial para expandir uma binomial ou encontrar um termo particular de sua expansão.