Integral Triplo 10 A

Integral Triplo 10 A
Smirnov, Irene
30 de Maio de 2012
Enunciado
Escreva o integral triplo,
que permite calcular o volume do sólido
Z
x2 g(x) (x;y)
I = dxZ
dyZ
dz;
x1 f(x) (x;y)
S = f(x; y; z) j 2 y 2 + 6 x 2 z 24 y 60 x 220g:
Sugestion
Resolution
Notemos que a igualdade
é equivalente à igualdade
Esta equação descreve uma elipse (veja o desenho).
2 y 2 + 6 x 2 = 24 y 60 x 220
2 (y + 6) 2 + 6 (x + 5) 2 = 2:
5
y
x
B
C
A
6
A = 5 +r
2
6 ; 6 !
!
2
B = 5; 6 +r
2
C = ( 5; 6)
Fazendo y = 6, encontramos que
5
r
2
Para x deste intervalo temos
p
6 x 2 60 x
p
148 3 2 3 2
2
Portanto o volume é dado pelo integral
6 x 5 + r
2
6 :
y
p
Z
x2 g(x) (x;y)
I = dxZ
dyZ
dz;
x1 f(x) (x;y)
6 x 2 60 x
p
148 3 2 3 2
2
:
onde
x 1 = 5
1
r
2
6 ;

f (x) =
g(x) =
p
p
x 2 = 5 +r
2
6 ;
6 x 2 60 x
p
148 3 2 3 2
2
6 x 2 60 x
p
148 3 2 3 2
2
(x; y) = 24 y 60 x 220
;
;
e
(x; y) = 2 y 2 + 6 x 2 :
Result
Obs
Random choices
r |
rr(x,y) | 2*(y+6)^2+6*(x+5)^2
a | 6 | 6
ph | ratsimp(phu(x)) | -(sqrt(-6*x^2-60*x-148)+3*2^(3/2))/sqrt(2)
aux1 | pp(x,y):= #a*x^2+#b*y^2 | pp(x,y):=6*x^2+2*y^2
aux2 | qq(x,y):= #c-#a*#xi^2-#b*#eta^2-2*#a*#xi*x-2*#eta*#b*y | qq(x,y):=2-6*5^2+(-2)*6^2+(-2)*6*5*x+(-2)*6*2*y
xi | 5 | 5
aux3 | rr(x,y):= #a*(x+#xi)^2+#b*(y+#eta)^2 | rr(x,y):=6*(x+5)^2+2*(y+6)^2
a2 | #xi1+#a1 | -4.422649730810374
Px2 | floor(#Pxmax) | 1
a1 | (#c/#a)^(0.5) | .5773502691896257
Pymin | min(-1,#eta1-4) | -10
xi1 | -#xi | -5
Px1 | floor(#Pxmin) | -9
aux5 | phu(x):=#eta1-sqrt((#c-#a*(x+#xi)^2)/#b) | phu(x):=-6-sqrt((2-6*(x+5)^2)/2)
Pxmin | min(-1,#xi1-4) | -9
Pymax | max(1,#eta1+4) | 1
eta | 6 | 6
Pxmax | max(1,#xi1+4) | 1
p |
pp(x,y) | 2*y^2+6*x^2
c | 2 | 2
b | 2 | 2
q |
qq(x,y) | -24*y-60*x-220
b1 | (#c/#b)^(0.5) | 1.0
eta1 | -#eta | -6
b2 | #eta1+#b1 | -5.0
ps | ratsimp(psu(x)) | (sqrt(-6*x^2-60*x-148)-3*2^(3/2))/sqrt(2)
aux4 | psu(x):=#eta1+sqrt((#c-#a*(x+#xi)^2)/#b) | psu(x):=-6+sqrt((2-6*(x+5)^2)/2)
2