Lógica 3. Sintaxe do Cálculo Proposicional 3.1 Represente as ...

Lic. Engenharia Informática 2009/10Exercícios deLógicaUniversidade do Minho Folha 33. Sintaxe do Cálculo Proposicional3.1 Represente as seguintes frases através de fórmulas do Cálculo Proposicional, utilizandovariáveis proposicionais para representar frases atómicas:a) Se o Sr. João é feliz, a sua mulher é infeliz e se o Sr. João é infeliz, a sua mulhertambém o é.b) Vou de comboio e perco o avião ou vou de camioneta e não perco o avião.c) Uma condição necessária para que uma sucessão seja convergente é que seja limitada.d) Se x é um número racional e y é um inteiro, então z não é real.e) Se o Pedro não jogar, então o Miguel joga e a equipa perde o jogo.f) Uma condição suficiente para um número ser ímpar é que seja primo.3.2 Encontre exemplos de frases verdadeiras que possam ser representadas através das seguintesfórmulas:a) (p 1 → ((¬p 2 ) ∨ p 3 )).b) ((p 4 ∧ (¬p 0 )) ∨ p 6 ).c) (p 13 ↔ p 8 ).d) ((p 98 → p 99 ) → p 2000 ).3.3 De entre as seguintes palavras sobre o alfabeto do Cálculo Proposicional, indique, justificando,aquelas que pertencem ao conjunto F CP :a) (¬ (p 1 ∨ p 2 )).b) ((¬p 5 ) → (¬p 6 )).c) ((p 3 ∧ p 1 ) ∨ (.d) ((p 0 ∧ ¬p 0 ) →⊥).e) (⊥).f) (((p 9 → ((p 3 ∨ (¬p 8 )) ∧ p 12 )) ↔ (¬p 4 )) → (p 7 ∨ ⊥))).

Lic. Engenharia Informática 2009/10Exercícios deLógicaUniversidade do Minho Folha 33.4 Para cada uma das seguintes fórmulas do Cálculo Proposicional:i) p 2009 .ii) ¬ ⊥ ∨ ⊥.iii) p 0 → (¬p 0 → ¬p 1 ).a) construa sequências de formação e árvores de formação;b) indique o número mínimo de elementos numa sua sequência de formação e digaquantas destas sequências de formação de comprimento mínimo existem.3.5 Pode demonstrar-se a proposição que se segue, a partir da definição de subfórmulas.Proposição: Uma fórmula ϕ é uma subfórmula de uma fórmula ψ se e só se:i) ϕ = ψ; ouii) ψ = ¬ψ 1 , para alguma fórmula ψ 1 , e ϕ é uma subfórmula de ψ 1 ; ouiii) ψ = ψ 1 ✷ψ 2 , para algumas fórmulas ψ 1 e ψ 2 e para algum conectivo✷ ∈ {∧, ∨, →, ↔}, e ϕ é uma subfórmula de ψ 1 ou de ψ 2 .Com base nesta proposição, demonstre que:a) a fórmula p 1 → p 2 não é uma subfórmula da fórmula ¬p 1 → p 2 ;b) se S é uma sequência de formação de ψ e ϕ é uma subfórmula de ψ, então ϕ é umdos elementos de S;c) toda a fórmula ψ admite uma sequência de formação que contém apenas subfórmulasde ψ;d) uma fórmula ψ tem n subfórmulas se e só se as sequências de formação de ψ maiscurtas têm n elementos.3.6 Defina, por recursão estrutural em fórmulas, a função subf : F CP −→ P(F CP ) que a cadafórmula ϕ faz corresponder o conjunto de subfórmulas de ϕ e demonstre que, para quaisquerfórmulas ϕ e ψ, ϕ ∈ subf(ψ) se e só se ϕ é uma subfórmula de ψ.