Análise matemática

73a (5 valores) Considere o campo escalarf(x, y) = 1 − y − x 2Esboce as curvas de nível 0 e ±1, e determine a recta normal e a recta tangente àcurva de nível no ponto ⃗r = (1, 1).As curvas de nível 0 e ±1 sãoO gradiente de f no ponto ⃗r = (1, 1) é ⃗ ∇f(1, 1) = (−2, −1), portanto a recta normal à curva denível no ponto ⃗r ée a recta tangente à curva de nível no ponto ⃗r ét ↦→ (1 − 2t, 1 − t) ou seja, y = 1 2 x + 1 2 ,0 = 〈(−2, −1), (x − 1, y − 1)〉 ou seja, y = −2x + 3 .3b (5 valores) Calcule o volume do sólido limitado pelos planos coordenados, x = 0,y = 0 e z = 0, e pelo plano x + y + z = 1.O volume é dado pelo integral duplo∫ 1 ∫ 1−x00(1 − x − y)dydx =∫ 10∫ 1] 1−x[(1 − x)y − y2dx20(1 − x) 2=dx0 2[ (1 − x)3= −6= 1/6] 10

84a (5 valores) Esboce a região de integração e calcule um dos seguintes integrais duplos:∫ 1 ∫ 10 xe −y2 dydxou∫ 1 ∫ 10√ ysin(x 3 )dxdy .∫ 1 ∫ 10 xe −y2 dydx ==∫ 1 ∫ y0∫ 100e −y2 dxdyye −y2 dx= 1 (1 − 1/e)2∫ 1 ∫ 10sin(x 3 )dxdy =√ y=∫ 1 ∫ x20∫ 100sin(x 3 )dydxx 2 sin(x 3 )dx= 1 (1 − cos(1))34b (5 valores) Considere o sistema de Lotka-Volterraẋ = ax − bxyẏ = −cy + dxyDetermine as soluções estacionárias, e mostre que a funçãoé uma constante do movimento.H(x, y) = dx + by − c log x − a log yAs soluções estacionárias são as soluções do sistemaou seja, (0, 0) e (c/d, a/b). A derivadalogo H é constante.0 = ax − bxy0 = −cy + dxydH(x(t), y(t))dt= (d − c/x)ẋ + (b − a/y)ẏ= (d − c/x)(ax − bxy) + (b − a/y)(−cy + dx)= 0 ,