Lição13 - Instituto Superior de Agronomia

A solução geral desta equação denota-se por y c e é designada por funçãocomplementar. Para a determinar basta considerar q(t) ≡ 0 em (2), ou seja,y c (t) = C e −P (t) , C ∈ R (4)Para determinarmos soluções particulares de (1) basta atribuir valores aC em (2). Por exemplo, se tomarmos C = 0 obtemos a solução particulary(t) = e −P (t) ∫e P (t) q(t) dt. (5)Daqui resulta que a solução geral da equação (1) corresponde à soma de umasolução particular y p de (1) com a solução geral y c da equação homogéneaassociada (3). Mais precisamente, temos a relação muito importantey = y p + y c .Por outras palavras, duas soluções particulares de (1) diferem entresi de uma solução da equação homogénea associada (3).Vamos agora estudar algumas propriedades que são verificadas pelassoluções de uma equação diferencial linear homogénea.Consideremos duas soluções y 1 e y 2 da equação homogénea de (3), ouseja, y 1 e y 2 verificam as equaçõesy ′ 1 + p(t)y 1 = 0 e y ′ 2 + p(t)y 2 = 0.Daqui resulta que y = y 1 + y 2 é solução de (3). De facto,(y 1 + y 2 ) ′ + p(t)(y 1 + y 2 ) = (y ′ 1 + p(t)y 1 ) + (y ′ 2 + p(t)y 2 ) = 0.Analogamente, se demonstra que y = λy 1 também é solução de (3) paratodo o λ ∈ R. De facto,(λy 1 ) ′ + p(t)(λy 1 ) = λ(y ′ 1 + p(t)y 1 ) = 0.Estas duas propriedades siginficam que o conjunto de todas as soluçõesde (3), i.e., a solução geral de (3) é fechado para a soma e para oproduto por um escalar 2 . Além disso, toda a solução é da forma (4) eportanto pode ser escrita como o produto de um escalar pela solução nãonula y 0 (t) = e −P (t) (por exemplo).Estas propriedades são consequência de a solução geral de (3) definir umespaço vectorial de dimensão um (no caso de equações de ordem um). Emparticular, qualquer solução não nula da equação homogénea (3) determinauma base deste espaço, que se designa por sistema fundamental de soluções.2 Dizemos que é válido o princípio de sobreposição de soluções.2

Exercícios1. Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.(a) y ′ + t y = 3t.(b) 5 y ′ + y = 5e t .(c) y ′ = (t − 4)e 4t + 2y.(d) (t 2 + 1)y ′ + t y = 1 2 .2. De acordo com uma lei de Newton a taxa de arrefecimento de um corpoé proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperaturado meio ambiente. Se a temperatura do meio ambiente é de 20 o C ese um corpo leva uma hora a arrefecer de 80 o C para 60 o C, quantotempo levará a arrefecer para 30 o C?3. A equação diferencial de Bernoulli tem a formadydt + f(t)y = g(t)yα .(a) Mostre que a mudança de variável w = y 1−α transforma estaequação numa equação diferencial linear de primeira ordem.(b) Resolva a equaçãodydt + ty = ty2 .4