Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

ENILSON PALMEIRA CAVALCANTIUniversidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências e TecnologiaDepartamento de Ciências AtmosféricasAv. Aprígio Veloso, 882 – Bodocongó58.109.970 – Campina Grande – PBCopyright © 2001- Enilson Palmeira CavalcantiNOVEMBRO DE 2001

NOTAS DE DINÂMICA DE FLUIDOSNOVEMBRO DE 20012

Agradecimentos aos colegas Dr. Sukaran RamPatel e Dra. Maria Regina da Silva Aragãopelas sugestões apresentadas.Célia, Erika Renata, Edyla Raquel eEnilson José, dedico-lhes.3

II.2 Teorema da Circulação 22II.3 Equação da Vorticidade 25II.4 Equação de Navier-Stokes 26II.5 Equação de transferência de calor 28II.6 Equação de transferência de vapor 31II.7 Exercícios 32Capítulo III - Processos na Camada Limite SuperficialIII.1 Experiência de Reynolds 34III.2 O conceito de camada limite 35III.2.1 Espessura da camada limite 35III.2.2 Considerações sobre a equação de Navier-Stokes dentro da camada limitelaminar para um escoamento permanente 36III.3 Camada limite térmica 38III.4 Escoamento turbulento 39III.4.1 A turbulência medida em relação ao tempo 39III.4.2 Equação de Reynolds 40III.4.2.1 Teoria de comprimento de mistura de Prandtl 42III.4.2.2 Perfil de velocidade num escoamento turbulento 43III.4.3 Analogia de Reynolds para a temperatura 45III.4.3.1 Equação de transferência de calor para escoamento turbulento45III.4.3.2 Fluxo de calor na camada limite térmica turbulenta 46III.4.4 Analogia de Reynolds para o vaporIII.4.4.1 Equação de transferência de vapor na camada limite turbulenta 47III.4.4.2 Fluxo de vapor na camada limite turbulenta 47III.5 Exercícios 48Capítulo IV - Análise DimensionalIV.1 Análise Dimensional 50IV.1.1 Teorema de Buchinghan 515

IV.2 Exercícios 53Bibliografia e ApêndicesBibliografia Consultada 54A.1 Coordenadas Curvilíneas 55A.1.1 Coordenadas Cilíndricas 56A.1.2 Coordenadas Esféricas 57Alfabeto Grego 596

CAPÍTULO ICaracterísticas Cinemáticasdo Escoamento de Fluidos7

I.1 CONCEITO DE FLUIDOUm fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetido a uma tensão decisalhamento, não importando o quão pequena possa ser essa tensão. Uma força de cisalhamento é acomponente tangencial da força que age sobre à superfície e quando dividida pela área da superfície dá origem àtensão de cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor limite da relação entre aforça de cisalhamento e a área, quando a área tende a zero, ou seja:τlim Fx= . (I.1)δA→ 0 δ ASuponhamos uma substância confinada entre duas placas paralelas bem próximas e grandes de modoque as perturbações nas bordas possam ser desprezadas ( Figura I.1). A placa inferior é fixa e uma força F éaplicada na placa superior, a qual exerce uma tensão de cisalhamento Fx A na substância, em que A é a áreada placa superior. Se a força Fx movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula) constante nãoimportando quão pequena seja a intensidade de Fx, pode-se concluir que a substância entre as duas placas é umfluido.yu = UFδyδθFxPLACA FIXA (u = 0)xFigura I.1 - Placas paralelas contendo uma substância que se deforma continuamentequando submetida a ação de uma tensão de cisalhamento.Foi observado experimentalmente que:τδθ∝ (I.2)δ tsendo δ s= δ θδ y, tem-se que δθ = δs δy em que δ s≅ δ x(Figura I.2). Portantoτ ∝ δ x δ t δ y e uma vez que δ u= δ x δ t pode-se reescrever I.2 como:τδ∝u δ y(I.3)A Figura I.2 ilustra o resultado obtido, em que um delta de espaço é dado pelo produto de um delta deângulo pelo raio (no caso o δ ). yFoi observado também que a constante de proporcionalidade é uma propriedade inerente do fluido aqual chamou-se de VISCOSIDADE, simbolizada por:µ≡Viscosidade dinâmica;ν≡ Viscosidade cinemática ( µ ρ).8

Portanto, no limite tem-seθτ = µ d (I.4)dtouτ = µ du . (I.5)dyδxδsδyδθFigura I.2 - Visualização da propriedade trigonométrica.A equação I.5 é conhecida como Lei de Newton da Viscosidade. Em experiências posteriores, comoutros fluidos, observou-se que estes não apresentavam uma relação linear entre a tensão de cisalhamento (τ ) ea velocidade de deformação (d θ dt ou du dy ) e sim uma do tipo:du nτ = µ ( )(I.6)dyem que n é um número inteiro diferente de 1. Esses fluidos são classificados como não Newtonianos.Para melhor compreensão, vejamos a classificação mostrada através da Figura I.3 para fluidos e outrassubstâncias.São exemplos de fluidos as substâncias no estado líquido e gasoso. A viscosidade de um gás aumentacom a temperatura, mas a viscosidade de um líquido diminui. A variação com a temperatura pode ser explicadaexaminando-se o mecanismo da viscosidade. A resistência de um fluido ao cisalhamento depende da coesãomolecular e da velocidade de transferência da quantidade de movimento molecular. Num líquido, cujasmoléculas estão mais próximas que num gás, existem forças de coesão muito maiores que nos gases. A coesãoparece ser a causa predominante da viscosidade num líquido e como a coesão diminui com o aumento datemperatura a viscosidade segue o mesmo comportamento. Por outro lado, num gás existem forças de coesãomuito pequenas, sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da quantidade de movimentomolecular que aumenta com o aumento da temperatura com o conseqüente aumento da viscosidade.9

I.2 O CONTÍNUOTodos os materiais, evidentemente, são constituídos de átomos → moléculas. Assim, o estudo daspropriedades de um fluido a partir do comportamento de suas moléculas consiste no enfoque molecular. Oestudo de um fluido a partir do enfoque molecular traz muitas complicações para as equações governantestornando-as, quase sempre, incapazes de serem solucionadas. Por esta razão é conveniente tratar o fluido queestá-se lidando como um meio contínuo.A hipótese do contínuo consiste em abstrair-se da composição molecular e sua conseqüentedescontinuidade ou seja, por menor que venha a ser uma divisão do fluido, esta parte isolada deverá apresentaras mesmas propriedades que a matéria tratada como um todo. A esta pequena parte do fluido costuma-se chamarde Partícula ou Ponto Material.Com base na hipótese do contínuo, pode-se definir densidade de um fluido em um ponto como sendo olimite da razão entre δ (massa) e δ (volume) quando δ tende para um certo valor limite δ . Logo,m v v v *ρlim=δv→ δ v*δ mδ v .(I.7)v *− 9mm 310 23Para gases e líquidos submetidos a condições normais, δ é da ordem de 10 . Por exemplo:um volume de 10 − 9 3mm de ar nas condições normais de temperatura e pressão, contem aproximadamente310 . 7 moléculas de ar (número de Avogadro é igual 6 , 023.moléculas). Portanto, evidencia-se que umvolume desta ordem de grandeza é suficientemente pequeno para que em Meteorologia, Engenharia, etc., sejatomado como sendo uma Partícula ou Ponto Material enquanto que a quantidade de moléculas existentes nestevolume é suficiente para caracterizar o fluido como um todo.No caso de gases rarefeitos, a hipótese do contínuo não pode ser assumida em virtude das moléculasestarem dispersas de forma que um volume desta ordem de grandeza pode não conter moléculas suficientes paracaracterizar o gás.A hipótese do contínuo permite estudar as propriedades do fluido através do cálculo diferencial e (ou)integral, uma vez que continuidade é fundamental na teoria do cálculo.10

I.3 DESCRIÇÃO LAGRANGEANA E EULERIANAEstes dois tipos de descrições permitem analisar problemas em mecânica de fluidos de duas formasdiferentes: 1) Descrição Lagrangeana consiste em identificar certas partículas do fluido e a partir daí observarvariações de propriedades tais como temperatura; velocidade; pressão; etc. ao longo do tempo ou seja, necessitaseconhecer as propriedades das partículas a medida que estas se deslocam no espaço com o passar do tempo.Isto dificulta consideravelmente o estudo de um escoamento. A outra forma, a Euleriana, apresenta vantagenspor oferecer maior simplicidade com precisões satisfatórias. 2) A Descrição Euleriana é a mais apropriada parase estudar as propriedades do fluido em escoamento. Este método consiste em fixar-se o tempo e observar-sepropriedades do fluido em vários pontos pré-estabelecidos podendo-se assim obter uma "visão" docomportamento do escoamento naquele instante. Repetindo-se estes procedimentos para instantes diferentes,pode-se ter um entendimento do comportamento do escoamento ao longo do tempo ou seja, a tendência docomportamento do escoamento.Em Meteorologia, por exemplo, o escoamento do ar, em geral, é estudado pelo método Euleriano. AsEstações Meteorológicas representam pontos pré-fixados do espaço e para certos instantes determinados pelaOrganização Meteorológica Mundial (OMM) são feitas observações de parâmetros , tais como: temperatura;pressão; vento; umidade do ar; etc. que irão descrever as características do escoamento atmosférico.O conceito de trajetória está ligado à Descrição Lagrangeana enquanto que o conceito de linhas decorrente está ligado à Descrição Euleriana.Trajetória:⎧ dx = udt⎪⎨ dy = vdt(I.8)⎩⎪ dz = wdt .Linhas de corrente:dxu= dy dzv= w. (I.9)I.4 DERIVADA SUBSTANTIVA OU MATERIALVejamos aqui dois enfoques diferentes, um utilizando-se do cálculo diferencial e o outro do cálculointegral.I.4.1 A DERIVADA SUBSTANTIVA COMO DERIVADA TOTALConsidere a Descrição Euleriana f=f(x,y,z,t) que descreve o campo da propriedade f. O incrementoinfinitesimal df é dado pela diferencial total comodf = ∂ f(I.10)x dx + ∂ fy dy + ∂ fz dz + ∂ f∂ ∂ ∂ ∂ t d tem que os incrementos dt, dx, dy e dz são arbitrariamente independentes.Dividindo ambos os membros da equação I.10 por dt, tem-se11

dfdt∂ f ∂ f dx ∂ f dy= + + +∂ t ∂ x dt ∂ y dt∂∂fzdzdt(I.11)uma vez que u = dx/dt; v = dy/dt e w = dz/dt a equação I.11 pode ser reescrita comodfdt∂ f ∂uf ∂ f ∂= + + v +w f ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z(I.12)ou, de forma mais compacta, simplesmente pordfdt∂ f = + V . ∇f(I.13)∂ t→ em que V = u i + vj + w k . Esta expressão é conhecida como derivada substantiva ou material, em qued ∂ ∂ ∂ ∂= + u + v +w é simplesmente um operador.dt ∂ t ∂ x ∂ y ∂ zO termo ∂ f ∂ t é a taxa de variação local da propriedade f e o termo V .∇f é a taxa de variaçãoadvectiva (advecção) da propriedade f. Portanto a taxa de variação substantiva é dada pela soma da taxa devariação local e da advecção.I.4.2 DERIVADA SUBSTANTIVA PELA ANÁLISE INTEGRALNeste caso iremos utilizar um volume de controle qualquer para a formulação da taxa de variação totalem termos de parâmetros integrais.Seja N o valor de alguma grandeza associada ao sistema no instante t (massa, energia, quantidade demovimento, etc.) e n o valor desta grandeza por unidade de massa. Em t +δ t, (Figura I.4) o sistema constituisedos volumes II e III, enquanto no instante t ocupava os volumes I e II. A variação da grandeza N no sistema,no intervalo de tempo δ t é dado por:∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫N − N = ( nρ dv + nρ dv) − ( nρdv + nρdv)sis ( t + δ t ) sis ( t ) ( t + δ t)( t )IIIIIIIIrearranjando os termos e dividindo por δ t , tem-se(I.14)Nδ t∫∫∫ nρdv−∫∫∫ nρdvδ t+∫∫∫ nρdvδ t−∫∫∫ nρdvδ t.(I.15)sis( t + δt )− Nsis( t ) II( t + δ t ) II( t ) III ( t + δ t ) I ( t )=O primeiro membro é a taxa média de variação do valor de N no sistema no intervalo de tempo δ t .No limite, quando δ t tende a zero, pode-se escrever dN/dt.12

IIIIIIFigura I.4 - Volume de controle e sistema para um escoamento em dois instantesdiferentes.O limite da primeira parcela do segundo membro, relativo ao volume II, é pela definição de derivadaparcial escrita como∂∂nρdvt∫∫∫ . (I.16)vcA parcela seguinte, que é o fluxo de saída de N do volume de controle, no limite pode ser escrita comoδlimt → 0∫∫∫III ( t + δ t )nρdvδ t=∫∫Asaída ( ) nρV.ndA(I.17)Da mesma forma para o último termo da equação, sendo que o valor negativo indica entrada do fluxo deN no volume de controle ( contrário ao vetor unitário n ). No limite tem-selimδ t → 0∫∫∫I( t)nρdvδ t=∫∫A( entrada ) nρV.ndA. (I.18)Substituindo-se todos os termos na equação I.15 tem-sedNdt∂= n dv+n V ndAt∫∫∫ ρ∂∫∫ ρ . (I.19)vcscportanto, dN/dt é dado pela soma da taxa de variação de N no volume de controle mais o fluxo resultante de Natravés da superfície de controle.13

I.5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DE MASSAPartindo do princípio de conservação de massa, em que a massa é conservada desde que não haja fontenem sumidouro desta, tem-sedmdt= 0. (I.20)Para esse caso o N ≡ m (massa) , logo n = N m de em que se conclui que n = 1. Conforme aexpressão para derivada substantiva dm/dt é dado por:dmdt∂= dv +∂ t∫∫∫ ρvc∫∫scρV . ndA(I.21)portanto, na forma integral temos que a equação da continuidade de massa é dada como∂∂t∫∫∫vcρ dv+∫∫sc ρV. ndA = 0 (I.22)sendo o primeiro termo a taxa de variação da massa no volume de controle (taxa de variação local) e o segundotermo o fluxo de massa resultante que entra (negativo) ou sai (positivo) através da superfície de controle enormal a esta.forma:Aplicando o teorema da divergência de Gauss no segundo termo da equação I.22, esta toma a seguinte∂∂t∫∫∫vcρ dv + ∇ . ρVdv= 0 (I.23)∫∫∫vcou∂ρ ∫∫∫ ( +∇ . ρV)dv = 0.(I.24)∂ tvcA equação da continuidade de massa na forma diferencial é obtida da equação I.24. Como essa integralé zero quem deve ser zero é o integrando. Logo, tem-se∂ρ∂ t+∇ . ρV= 0 (I.25)que desmembrando o segundo termo assume a forma∂ρ∂ t + V. ∇ ρ + ρ∇ . V = 0 (I.26)ou a formadρdt+ ρ∇. V = 0 (I.27)14

mediante o conceito de derivada substantiva.formaPara um fluido homogêneo (∇ ρ = 0) e incompressível ( ∂ρ ∂ t = 0) a equação I.26 ou I.27 assume a∇ . V = 0(I.28)que em termos das componentes da velocidade, fica∂ u ∂ ∂∂ x+ v w∂ y+ ∂ z= 0. (I.29)O termo ∇ . Vé chamado de divergência e é representado pelo símbolo δ .I.6 DIVERGÊNCIA HORIZONTAL EM COORDENADAS NATURAISA divergência horizontal é dada por∂ u ∂ vδh= + . (I.30)∂ x ∂ yynsθoxFigura I.5 - Eixos cartesianos x,y e naturais s,n rotacionadosde um ângulo θ e vetor velocidade associado.Com base na Figura I.5 temos que u = V cosθ , v = V senθ logo, u = u ( V, θ)e v = v ( V, θ).Portanto as variações de u com x e de v com y são dadas por:∂ u∂ x∂ v∂ y∂ u ∂ V ∂ u ∂θ= + ; (I.31)∂ V ∂ x ∂θ ∂ x∂ v ∂ V ∂ v ∂θ= + . (I.32)∂ V ∂ y ∂θ ∂ yObtendo as derivadas correspondentes tem-se∂ u∂ xθ ∂ V= cos −Vsen θ ∂θ ; (I.33)∂ x ∂ x15

∂ v∂ yθ ∂ V= sen + V cos θ ∂θ . (I.34)∂ y ∂ yObserve que quando θ tende para zero (θ→ 0 ) tem-se x≡ s e y ≡ n, logo∂ V ∂θδh= + V .(I.35)∂ s ∂ nI.6.1 INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO ∂ V ∂ s PARA A DIVERGÊNCIAConsidere o escoamento da Figura I.6, onde a intensidade da velocidade (V) é representada pelotamanho da seta (quanto maior for o tamanho da seta maior será o valor de V). No caso (a) ∂ V ∂ s> 0 e nocaso (b) ∂ V ∂ s< 0 contribuindo para divergência e convergência (divergência < 0) respectivamente.(a)(b)DIVERGÊNCIACONVERGÊNCIAFigura I.6 - Contribuições para (a) divergência (b) convergência.I.6.2 INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO ∂θ ∂ n PARA A DIVERGÊNCIAConsidere o caso da Figura I.7 onde as linhas de corrente apresentam curvaturas diferentes. Na parte a)∂θ ∂ n < 0 e na parte (b) ∂θ ∂ n > 0 contribuindo para convergência e divergência respectivamente.Figura I.7 - Parte (a): convergência. Parte (b): divergência.I.7 MEDIDAS DE ROTAÇÃO NUM FLUIDOI.7.1 VORTICIDADEO rotacional de um campo vetorial qualquer é dado pela aplicação do operador ∇ (nabla) ao campovetorial sob forma de produto vetorial ou seja, ∇× F . No caso do campo vetorial ser um campo de velocidade16

em um escoamento, esta medida indica a rotação existente no escoamento e é chamada de Vorticidade. Avorticidade é duas vezes a velocidade de rotação, logo a Vorticidade é dada por:Resolvendo, tem-se ⎛ i j k ⎞ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟∇× V = ⎜⎟(I.36)∂ x ∂ y ∂ z⎜⎟⎝ u v w ⎠∇ × V = ( ∂ w ∂ v− + − + −(I.37)y z ) i ( ∂ u ∂ wz x ) j ( ∂ v ∂ u)∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y k que representa medidas de rotação num escoamento e cujos eixos de rotação são i , j , k .A componente k do rotacional ou seja, a rotação no plano x,y é de fundamental importância no estudoda cinemática de fluidos. Representada pelo símbolo ζ (zeta) pode também ser expressa porou ζ = k.( ∇× V )(I.38)ζ= ∂ v∂ x−∂∂uy(I.39)portanto, a componente vertical da vorticidade é uma medida de rotação para um ponto do plano ou seja é umamedida "microscópica" da rotação num escoamento plano.Para uma melhor interpretação física da vorticidade ( ζ ), convém escrevê-la em coordenadas naturais.Lembrando que u = V cosθ e v = V senθ (Figura I.5) tem-se u = u ( V, θ)e v = v ( V, θ)e portanto∂ v∂ x∂ u∂ y∂ v ∂ V ∂ v ∂θ= + ; (I.40)∂ V ∂ x ∂θ ∂ x∂ u ∂ V ∂ u ∂θ= + . (I.41)∂ V ∂ y ∂θ ∂ yLogo∂ v∂ x∂ u∂ yθ ∂ V= sen + V cos θ ∂θ ;∂ x ∂ x(I.42)θ ∂ V= cos −Vsen θ ∂θ .∂ y ∂ y(I.43)xQuando θ tende a zero, ≡ e y ≡ n. Portanto,∂ v∂ xs∂θ= V e ∂ ∂ s ∂uy= ∂ V∂ n. (I.44)17

Considerando que δ s= R δ θ em que R é o raio de curvatura ver (Figura I.8) logo δθ δ s= 1 R,o que torna o termo ∂ v ∂ x = V ∂ θ ∂ s igual a V R (a curvatura K é obtida por K=1/R). Dessa maneira, avorticidade toma a seguinte formaδsδθRFigura I.8 - δs = RδθζV= −R∂∂Vn .(I.45)I.7.1.1 INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO V R PARA A VORTICIDADEConsidere dois casos de escoamentos com curvatura (Figura I.9). No caso (a) a curvatura está nomesmo sentido do vetor normal unitário e portanto positiva, sendo V o módulo da velocidade V a contribuiçãooferecida para a vorticidade é positiva. No caso (b) a curvatura está no sentido contrário ao vetor normal unitárioe portanto negativa, oferecendo uma contribuição negativa para a vorticidade.Figura I.9 - Contribuição do termo de curvatura no caso de: (a) vorticidade positivae b) vorticidade negativa.I.7.1.2 INTERPRETAÇÃO DA CONTRIBUIÇÃO DO TERMO ∂V∂ n PARA A VORTICIDADEConsidere um escoamento com cisalhamento conforme mostra a Figura I.10 ( R =∞ ou K = 0) . Nocaso (a) o termo − ∂ V ∂ n > 0 contribui para vorticidade positiva (anti-horária), já no caso (b) o termo−∂ V ∂ n < 0 contribui para vorticidade negativa (horária).18

Figura I.10 - Contribuição do cisalhamento lateral para a vorticidade nocaso de: a) vorticidade positiva e b) vorticidade negativa.Pode acontecer casos em que existam curvatura e cisalhamento lateral de forma que essas contribuiçõesse compensem anulando a vorticidade ou se somem tornando-a máxima.A título de informação adicional, em Meteorologia chama-se vorticidade ciclônica quando a rotação sedá no mesmo sentido do movimento de rotação da terra e vorticidade anticiclônica caso contrário. Logo:I.7.2 CIRCULAÇÃOζ> 0 →Vorticidade Ciclônica no Hemisfério Norte;Vorticidade Anticiclônica no Hemisfério Sul;ζ< 0 → Vorticidade Anticiclônica no Hemisfério Norte;Vorticidade Ciclônica no Hemisfério Sul.Circulação é uma medida "macroscópica" da rotação num fluido. É definida como a integral de linhado vetor velocidade tangente em cada ponto a uma determinada curva fechada ( l ) (Figura I.11). Portanto,circulação mede a rotação numa área. A expressão matemática é dada como:C = ∫V . dl(I.46)lFigura I.11 - Linhas de corrente e curva (linha) fechada paracálculo da circulação.Por convenção o sentido de integração anti-horário é considerado positivo.Uma relação entre a circulação e vorticidade pode ser obtida, para tal considere o caso da Figura I.12que representa uma área quadrada e infinitesimal de lados δ e δ . x y19

yxFigura I.12 - Quadrado infinitesimal para definição da relaçãoentre circulação e vorticidade.Calculando a circulação considerando a Figura I.12 tem-se C = V.dl = udx + vdy. (I.47)∫lConsiderando cada lado do contorno a equação I.47 fica∫l∂ vC u dx v(I.48)x dx dy u ∂ u= ∫ + ∫( + ) − ∫( + dy)dx −∂∂ y∫ vdyl1 l2 l3l4rearranjando os termos e eliminando os termos iguais e de sinais contrários, tem-sev uC = ∫∫ ( ∂ ∂−(I.49)∂ x ∂ y ) dxdysou da forma, uma vez que ζ = ∂ v ∂ x−∂ u ∂ y,ficaC = ∫∫ ζ dA. (I.50)sTomando a vorticidade média pode-se escrever a seguinte relação entre circulação e vorticidadeCC = ζ A → ζ = . (I.51)APara o caso da vorticidade num ponto a relação existente élim Cζ =A→δAA .(I.52)A relação mostrada anteriormente já é assegurada pelo teorema de Stokes, que para o caso da circulaçãol Vdl . = ( ∇× V). kdA∫ ∫ ∫(I.53) como ζ = ( ∇× V). k , pode-se escrever I.53 comos20

∫ Vdl . = ∫∫ ζ dA .(I.54)lsI.8 POTENCIAL DE VELOCIDADESendo V um campo de velocidade, tal que seja gerado de um campo escalar φ da forma V =−∇φ,então diz-se que V é um campo conservativo e φ é o potencial de V ou seja, φ é o potencial de velocidade.Dessa forma, o campo de velocidade que é um campo vetorial , pode ser convertido num campo escalar.Um vez que V =−∇φ, pode-se afirmar que este campo é irrotacional, pois∇× V =∇× ( −∇ φ ) = 0. (I.55)A recíproca também é verdadeira, para que exista potencial de velocidade o campo de velocidade tem que serirrotacional, ou seja∂ v∂ x= ∂ u∂ y;∂∂wy= ∂ v∂ z;∂ u∂ z= ∂ w∂ x. (I.56)Para o caso de um escoamento plano a condição de irrotacionalidade é simplesmente ∂ v ∂ x = ∂ u ∂ y, que étambém a condição para que udx + vdy seja uma diferencial exata ou total, digamos d φ, logoudx + vdy = − ∂φ. (I.57)x dx − ∂φ∂ ∂ y dyO sinal negativo é uma convenção que faz com que o valor de φ decresça no sentido da velocidade.Comparando os termos da equação I.57 tem-seO que leva à expressão∂φ ∂φ− = u e − = v . (I.58)∂ x ∂ yV =−∇φ. (I.59)φIsso prova a existência de uma função potencial φ tal que sua derivada em relação a qualquer direção éa componente da velocidade nessa direção.A figurapotencial.I.13 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade potencial num campo da função21

Figura I.13 - Potencial de velocidade e vetor velocidade (parte irrotacional).I.9 FUNÇÃO DE CORRENTEDa equação das linhas de corrente para um movimento horizontal,dxudy= , (I.60)vtem-se que vdx − udy = 0. Sendo ψ uma função de corrente, para ψ = constante pode-se escrevervdx − udy = ∂ψx dx + ∂ψ∂ ∂ y dy(I.61)portanto, comparando os termos da equação I.61 conclui-se que∂ψ∂ x∂ψ= v; − = u . (I.62)∂ yNesse caso ∇ . V = 0 ou seja, o escoamento é não divergente.Numa forma vetorial , pode-se escrever que o campo da velocidade não divergente é dado por V = k ×∇ψ(I.63)ψem que k é o vetor unitário na direção vertical.A figura I.14 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade num campo da função de correnteFigura I.14 - Função de corrente e vetor velocidade (parte não divergente)22

Equacionando as expressões correspondentes das velocidades envolvidas , a função de corrente e opotencial de velocidade apresentam as seguintes relações∂ψ∂ y= ∂φ∂ x;∂ψ∂ x=− ∂φ∂ y. (I.64)Portanto, se φ ou ψ for conhecida, pelas relações I.64 pode-se obter a outra função.Um campo de velocidade V é composto por V = V + V(I.65)ψφ em que V e V são as partes não divergente e irrotacional respectivamente, tal queψφ∇ . V ψ= 0 e ∇× V φ= 0(I.66)portanto, o campo de velocidade horizontal pode ser expresso em termos de suas componentes cartesianas como∂ψ ∂φu =− − ;∂ y ∂ x∂ψ ∂φv = − . (I.67)∂ x ∂ yConseqüentemente, a vorticidade e a divergência tomam as formasζ2 2∂ v ∂ u ∂ ∂= − = + ψ =∇∂ x ∂ y ( ∂ x ∂ y)2 ψ; (I.68)2 22 2∂ u ∂ v ∂ ∂δ = + = − + φ = −∇ . (I.69)∂ x ∂ y ( ∂ x ∂ y)2 φ2 2As linhas de potencial de velocidade e de função de corrente formam um sistema ortogonal. Paraverificar a relação de ortogonalidade, basta mostrar que as inclinações das linhas de corrente e de potencial sãorecíprocas negativas em qualquer interseção, ou seja−1dy dy( )φ=cte=− ⎡ ( )ψ cte(I.70)dx ⎣ ⎢ ⎤=dx ⎦⎥23

I.10 EXERCÍCIOS21 - Uma tensão de cisalhamento de 4 dinas cm causa num fluido Newtoniano uma velocidade de deformaçãoangular de 1 rad/seg. Qual é a viscosidade do fluido.2 - Analise quais as dimensões de viscosidade dinâmica e viscosidade cinemática.3 - Calcule o número de moléculas encontradas num volume de 10 − 9mm 3 de ar nas condições normais detemperatura e pressão.4 - Dado o campo de velocidade por u = 2x e v = 2y, obter as equações paramétricas da trajetória e a equaçãodas linhas de corrente. Compare-as.5 - Explique fisicamente o teorema de Gauss para o caso de ρ V. n dA = ∇.ρ Vdv.∫∫sc6 - Calcule a advecção de temperatura nos pontos A e B da figura abaixo.∫∫∫vc7 - Dê o conceito de a) fluido compressível e incompressível; b)fluido ideal ou perfeito; c) escoamentopermanente e escoamento variado.8 - Calcule a densidade média da Terra.9 - Classifique as substâncias segundo a relação apresentada abaixo(a) τ 0 4 8 10 12du/dy 0 2 4 5 6(b) τ 0 2 3 4 5du/dy 0 4 9 16 25 10 - Mostre que sendo V = Vt , em que t é o vetor tangente unitário, a aceleração em coordenadas naturais écomposta de uma aceleração tangenciale uma aceleração centrípeta da formadV dVdt dt t V Kn = + 2em que K é a curvatura ( K = 1 R)e n é o vetor normal unitário.11 - Dado o campo de velocidade por u = 2x y + 3 e v = x 2 y calcular a divergência e a vorticidade no pontox = 1 e y = 1.12 - Verifique se o campo de velocidade horizontal dado por24

2 yu = ex + y2 2vx= − 2x + y2 2satisfaz a equação da continuidade de massa para um fluido incompressível.13 - Os valores da divergência horizontal para vários níveis, obtidos com base nos dados de umaradiossondagem, são dados abaixo.Pressão (hPa) divergência (10 5 −1seg )1000 0,9850 0,6700 0,3500 0,0300 -0,6100 -1,0Calcular a velocidade vertical para cada nível, assumindo uma atmosfera isotérmica com T = 200 K e condiçãode contorno dada por W = 0 para 1000 hPa.14 - Qual é a circulação em torno de um quadrado de 1000 Km de aresta, para um escoamento que decresse em−1magnitude na direção positiva do eixo y à razão de 10 m. seg / 500Km.15 - Escreva a divergência e a vorticidade em coordenadas naturais e explique a contribuição de cada termoisoladamente.16 - O potencial de velocidade de um escoamento plano é φ = y + x − y + cte. Determine a função decorrente desse escoamento.17 - A função de corrente de um escoamento plano é ψ = 9+ 6x− 4y+7xy. Determine o potencial develocidade φ.18 - Dada a função de corrente por ψ ( x, y) = 2 cos( y) + cos( 2x). Obter a vorticidade para o ponto x=0 ey=0.19 - Obter o campo de ψ ( x, y ) e o campo de ζ ( x, y)relacionados com a função dada no problema anterior.Considere os intervalos: 0≤x ≤ 2 π e 0≤y ≤ 2 π .20 - Mostre que as linhas de potencial de velocidade e de função de corrente, formam um sistema ortogonal decoordenadas.25

CAPÍTULO IIPrincípios de Momentum,Calor e Massa26

II.1 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEARDesprezando-se as forças eletromagnéticas e eletroquimicas, as principais forças que agem num fluidosão: força devido ao gradiente de pressão ( , força gravitacional ( F p) F G) e força viscosa ( F v).O princípio de conservação da quantidade de movimento linear diz que: a taxa de variação substantivada quantidade de movimento é igual ao somatório das forças que agem num fluido, logodmVdt= ∑ F(II.1)em que, mV é a quantidade de movimento linear e ∑ F é a força resultante que age no fluido. Observe queessa expressão corresponde a segunda lei de Newton ( F ma formulada na mecânica clássica.= ))II.1.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO IDEAL OU EQUAÇÃO DE EULERComo se trata de um fluido ideal, a viscosidade é nula ( µ=0 logo, não existe força viscosa atuando,existem somente as forças devido ao gradiente de pressão e à atração gravitacional.Para se obter a variação substantiva da quantidade de movimento linear tem-se que: N = mV , comon = N m conclui-se que n = V . Substituindo-se na expressão que dá a variação substantiva, expressa pordNdt∂= ndv+∂ t∫∫∫ ρvc∫∫sc ρ nV. ndA(II.2)assume a formadmVdt∂ = Vdv + VV n dAt∫∫∫ ρ∂∫∫ ρ . . (II.3)vcscPara se obter a equação em sua forma final, resta saber a expressão das forças devido ao gradiente de pressão e àatração gravitacional.II.1.1.1 FORÇA DO GRADIENTE DE PRESSÃOEsta força existe devido a diferença de pressão entre pontos do fluido. Logo, expressa em termos dogradiente de pressão tem a formaF p∫∫∫=− ∇p dvvc(II.4)onde o sinal negativo indica que essa força atua no sentido contrário ao gradiente de pressão ∇ p.27

II.1.1.2 FORÇA GRAVITACIONALEsta força é obtida do produto da massa pela aceleração da gravidade ( g). Para um volume qualqueresta força pode ser expressa como = ∫∫∫ ρ gdv , (II.5)em que g=− gF Gvck é o vetor aceleração da gravidade e atua no sentido contrário ao vetor unitário k (vertical).Retornando à questão da equação II.1 e considerando o fluido incompressível ( ρ=cte.)pode-seescrever a equação com a introdução das forças expressas anteriormente. Portanto,ouρ ∂ ∂ t V dv + ρ VV. n dA = − ∇ p dv + ρ g dv(II.6)∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc sc vc vc∂∂t 1V dv + VV.n dA = − ∇ p dv + g dvρ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc sc vc vc(II.7)que expressa a equação do movimento para um fluido ideal e incompressível, chamada de equação de Euler domovimento.Aplicando o teorema da divergência de Gauss ao segundo termo do lado esquerdo de II.7 e rearranjandoos termos tem-se∂∂t 1Vdv+ ( V. ∇ ) Vdv+ ∇pdv−gdv= 0 (II.8)ρ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc vc vc vccomo a soma das integrais é igual a integral da soma dos integrandos, tem-se∂ V ∫∫∫ [ + ( V. ∇ ) V + 1 ∇p− g]dv = 0. (II.9)∂ tρvcPara se obter a equação de Euler na forma diferencial, basta considerar que sendo esta integral devolume igual a zero então quem deve ser nulo é o integrando. Logo,∂ V∂ t 1 + ( V. ∇ ) V + ∇p− g = 0 (II.10)ρou apresentada numa forma mais usual, por∂ V∂ t 1 + ( V. ∇ ) V = − ∇ p+g. (II.11)ρ28

Lembre-se que ∂ V ∂ t é a taxa de variação local do vetor velocidade e ( V. ∇ ) V é a taxa de variaçãoadvectiva, ambas também denominadas acelerações inerciais. Os termos − 1 ρ∇pe g são as forças dogradiente de pressão e gravitacional, ambas por unidade de massa.A equação II.11 é uma equação vetorial e portanto pode ser decomposta em suas componentescartesianas na forma∂∂∂∂∂∂utvtwt 1+ V . ∇ u= −ρ 1+ V . ∇ v = −ρ∂∂∂∂pxpy; (II.12); (II.13) 1 ∂ p+ V . ∇ w= − − g ; (II.14)ρ ∂ zou utilizando o conceito de derivada substantiva comodudtdvdtdwdtp=− 1 ∂; (II.15)ρ ∂ xp=− 1 ∂; (II.16)ρ ∂ y1 ∂ p=− −g; (II.17)ρ ∂ zem que d dt= ∂V u vt+ ∇ = ∂t+ ∂+ ∂∂ ∂ ∂ x ∂ y+w ∂.∂ zé um operador que dá a variação substantiva.Vale salientar que, quando é suposto o fluido estático ou seja, em repouso, não existem acelerações emnenhuma das direções, e portanto, du/dt, dv/dt e dw/dt são nulos. Assim, as equações II.15 a II.17 restringem-sea∂ p =−ρg∂ z(II.18)que é a equação para o balanço hidrostático ou equação hidrostática.II.1.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLIA equação de Bernoulli é uma caso particular da equação de Euler, ou seja, é obtida pela integração daequação de Euler ao longo de uma linha de corrente para o caso de um escoamento permanente e potencial( ∇× V = 0).Portanto, considerando a equação II.11 no caso de um escoamento permanente ( ∂ V ∂ t = 0) tem-se 1 ( V. ∇ ) V = − ∇ p+g. (II.19)ρ29

Aplicando a seguinte proprie dade vetorial, em que ( V. ∇ ) V = 12∇( V. V) − V × ( ∇× V) caso de irrotacionalidade reduz-se a ( V.∇ ) V = 12∇( V. V), a equação II.19 toma a formaque no1 2 1 ∇ V + ∇p− g = 0. (II.20)2 ρIntegrando II.20 ao longo de uma linha de corrente ( l) na formaou12122 1 ∇ V . dl + ∇ p. dl + gk.dl =ρ∫ ∫ ∫l l l∫l∫l0(II.21)2 1d( V )+ ∫ dp + ∫ gdz = cte. (II.22)ρllDesta forma, tem-se que a equação de Bernoulli é dada porV22p+ + gz = cte. (II.23)ρEm que: 1 22V ≡ energia cinética por unidade de massa; gz ≡energia potencial por unidade de massa e1 ρ p ≡ energia de pressão por unidade de massa.A equação de Bernoulli expressa uma lei de conservação das energias cinética, potencial e de pressão.II.2 TEOREMA DA CIRCULAÇÃOformaSeja a equação do movimento para um fluido incompressível e não viscoso (equação de Euler) nadVdt1 =− ∇ p+g. (II.24)ρUma vez que o campo gravitacional é um campo conservativo, este admite função potencial e pode ser escritocomo g =−∇φem que φ é o geopotencial ( φ=gz), logodVdt1=− ∇p−∇φ .ρTomando a integral de linha da equação II.25 em um circuito fechado, tem-sedV 1 . dl =− ∇p.dl − dldt∫∇φ.ρl l l(II.25)∫ ∫. (II.26)Analisando o integrando do primeiro termo do lado esquerdo da equação II.26 verifica-se que dVdl ( . ) dV. dl V . d (dl = + ). (II.27)dt dt dt30

Por sua vez, o segundo termo do lado direito de II.27 é Vd . V dV (dVdt= 1 22). Portanto, tem-se finalmente dVdl ( . ). dl = − 1 dV (2 ), (II.28)dt 2conseqüentemente dV dVdl ( . ) 1∫ . dl = − dV (dt∫2 )dt 2∫. (II.29)lllReescrevendo a equação II.26 com a utilização de II.29, ela toma a seguinte formaddt∫l V. dl = 1 2∫d( V ) − 1∫ ∇ p.dl − ∇ φ.dl2ρ∫(II.30)que apresentada em termos da diferencial exata ficaddtlll 1 2 1Vdl . = dV ( ) − dp−dφ2ρ∫. (II.31)∫ ∫ ∫l l llSendo a circulação definida como C = ∫V . dle sendo a integral de linha de uma diferencial exatanum circuito fechado igual a zero, a equação II.31 reduz-se aldCdt=−∫ 1 dp. (II.32)ρlPortanto, a variação da circulação (absoluta) com o tempo se dá devido a ação do termo −termo SOLENOIDAL. Essa equação expressa o teorema de Bjerknes da circulação.∫ 1 dp, chamado deρlPara melhor explicar a influência do termo solenoidal para a variação da circulação com o tempo,vamos considerar um recipiente contendo um determinado fluido aquecido por uma fonte de calor, conformemostra a Figura II.1.Pode-se observar que as superfícies de pressão constante apresentam curvaturas para a parte superior dorecipiente enquanto que as superfícies de volume específico constante apresentam curvaturas no sentido opostoou seja, para o lado da fonte de calor.Figura II.1 - Corte no plano x,z mostrando linhas de interseção com superfícies de pressão31

Para que o termo solenoidal tenha uma forma conveniente à análise da Figura II.1, ele será expresso de outraforma utilizando-se o teorema de Stokes. Logo11− ∫ dp = −∫∫( ∇×ρ∇p) . jdA. (II.33)ρlAFazendo uso das propriedades vetoriais e do fato de que ∇× ∇ p = 0 pode-se escrever o termosolenoidal da seguinte forma∫∫ ( ∇ p ×∇ α ) . jdA. (II.34)AObservando a Figura II.2 pode-se verificar que:1) na parte A, existe uma contribuição dos solenóides com giro no sentido anti-horário e, portanto, umacontribuição do termo solenoidal para a taxa de variação da circulação na região A;2) na parte B, o solenóide é nulo pois ∇ p e ∇α são paralelos e, portanto, ∇ p × ∇ α = 0;3) na parte C, tem-se a presença de solenóides com giro no sentido horário e, portanto, uma contribuição dotermo solenoidal para uma taxa de variação da circulação na região C.Em resumo tem-se, movimento ascendente no centro do recipiente e movimento descendente nas bordasdo mesmo. Esse efeito, apesar de esperado, esclarece a contribuição do termo solenoidal.Um outro exemplo da importante contribuição do termo solenoidal pode ser verificado nos casos debrisa marítima e brisa terrestre.Observe ainda que quando as superfícies de pressão constante são paralelas às superfícies de volumeespecífico, densidade ou temperatura constantes o termo solenoidal é nulo e é dito que o fluido é barotrópicop = p( ρ). Quando existem inclinações entre estas, diz-se que o fluido é baroclínico p = p( ρ, T)ou seja, apressão é função da densidade e da temperatura.Para um fluido barotrópico a expressão II.32 reduz-se aFigura II.2 - Esquema da contribuição do termo solenoidal paradC/dt, nas regiões A, B e C.dCdt= 0. (II.35)Portanto, ao integrar essa equação tem-se que C = cte. A equação II.35 expressa o teorema de Kelvin daCirculação: "em um fluido barotrópico a circulação (absoluta) se conserva com o tempo".32

II.3 EQUAÇÃO DA VORTICIDADEPara se obter a equação da vorticidade para um escoamento no plano x, y em relação a um referencialabsoluto, vamos tomar a equação de Euler para a direção x e derivar com relação a y, e tomar a equação deEuler para a direção y e derivar em relação a x. Portanto∂ ∂ u ∂ ∂ ∂ ∂uu uv wu p( + + + = − 1 ); (II.36)∂ y ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x∂ ∂ v ∂ ∂ ∂ ∂uv vv wv p( + + + = − 1 ). (II.37)∂ x ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ yProcedendo as derivadas, subtraindo II.36 de II.37 e arranjando devidamente os termos obtém-se∂ζ∂ t∂ζ ∂ζ ∂ζζ ∂ u ∂ v ∂ w ∂ v ∂ w ∂ u+ u + v + w = − ( + ) −( − ) +∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y ∂ zou1ρ2( ∂ρ∂p ∂ρ∂p−∂ x ∂ y ∂ y ∂ x)(II.38)dζdtu v w v w upζ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ρ∂∂ρ= − ( + ) −( − ) + ( −∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ρ ∂ x ∂ y ∂ y(A) (B) (C)∂ p∂ x2)(II.39)em que os termos representam: A - termo da divergência, B - termo de torção e C - termo solenoidal.II.4 EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKESA equação de Navier-Stokes consiste basicamente da equação de Euler acrescida do termo devido aoefeito da viscosidade. Numa forma simples tem-sedV ρ =−∇ p+ ρ g+ F vis cos a(II.40)dtPara estudar a força viscosa, considera-se um volume de controle infinitesimal na forma apresentada naFigura II.3. Vejamos como se comportam as tensões em cada uma das faces do volume.33

Por exemplo: σ xxsignifica que a tensão de cisalhamento atua na face normal ao eixo x e na direção doeixo x, já σ significa que a tensão de cisalhamento atua na face normal ao eixo x e na direção do eixo y, exyassim por diante. Logo, o primeiro índice está ligado ao eixo normal a face e o segundo índice está ligado adireção da tensão em relação aos eixos coordenados.Passando agora a fazer o balanço das forças viscosas para a direção y e por analogia obter para asdireções dos eixos x e z. Portanto, na direção y agem as forças viscosas segundo mostra a Figura II.4.Figura II.4 - Balanço das forças viscosas na direção do eixo y.As forças viscosas numeradas de 1 a 6 na Figura II.4 correspondem a∂σyy∂σzy1) ( σyy+ δy)δxδz; 2) −σyyδxδz ; 3) ( σzy+ δz) δxδy;∂ y∂ z∂σxy4) −σzyδ xδy ; 5) ( σxy+ δx) δyδz6) −σxyδyδz.∂ xLogo a força viscosa resultante na direção do eixo y é dada porFviscos a( y )(∂σ ∂σ ∂σ= + +∂ x ∂ y ∂ zAnalogamente, tem-se para as direções x e zFFviscos a( x )(viscos a( z )(xy yy zy∂σ ∂σ ∂σ= + +∂ x ∂ y ∂ zxx yx zx∂σ ∂σ ∂σ= + +∂ x ∂ y ∂ zxz yz zz) δδδ x y z. (II.41)) δδδ x y z; (II.42)) δδδ x y z. (II.43)Substituindo estas forças viscosas por unidade de volume nas componentes cartesianas da expressão II.40 temseρρdudtdvdt∂ p ∂σ ∂σxx yx ∂σzx=− + + +∂ x ∂ x ∂ y ∂ z ;∂ p ∂σxy ∂σyy ∂σzy=− + + +∂ y ∂ x ∂ y ∂ z ;(II.44)(II.45)34

ρdwdt∂ p ∂σ ∂σxz yz ∂σzz=− − ρ g + + + . (II.46)∂ z ∂ x ∂ y ∂ zPor outro lado, as tensões de cisalhamento que agem num fluido são dadas (genericamente) pela Lei de Stokespara a viscosidade, na formaσxxµ ∂ u= 2 −λ∇. V ; (II.47)∂ xσσyyzzµ ∂ v= 2 −λ∇V. ;∂ y(II.48)µ ∂ w= 2 −λ∇ . V;∂ z(II.49)σ σ µ ∂ u ∂ vxy=yx= ( + );∂ y ∂ x(II.50)σ σ µ ∂ w ∂ uxz=zx= ( + );∂ x ∂ z(II.51)σ σ µ ∂ v ∂ wyz=zy= ( + );∂ z ∂ y(II.52)em que λ é chamado de segundo coeficiente de viscosidade. Substituindo-se os termos de II.47 a II.52 nasequações de II.44 a II.46 tem-seρρdudtdvdt∂µ ∂ 2 2.2=− p u ∂ u ∂µ λ ∂∂ x+ u(∂ x+ ∂ y+ )∂ z+ ( − )∂ x∇V( . ); (II.53)2 2 2∂µ ∂ 2 2 2=− p v ∂ ∂µ λ ∂∂ y+ v v(∂ x+ ∂ y+ )∂ z+ ( − )∂ y∇V( . ); (II.54)2 2 2ρdwdt∂ρ µ ∂ 2 2 2=− pw ∂ ∂gµ λ ∂∂ z− + w w(∂ x+ ∂ y+ )∂ z+ ( − )∂ z∇V( . ).(II.55)2 2 2Para o caso de um fluido incompressível ou seja, para ∇ . V = 0, as equações acima reduzem-se aρρdudtdvdt∂ p=− + µ ∇ 2 u; (II.56)∂ x∂ p=− + µ ∇ 2 v ; (II.57)∂ y35

ρdwdt∂ p=− − ρ g+ µ ∇ 2 w; (II.58)∂ z2em que ∇ é o operador Laplaciano e não deve-se esquecer também do operador da variação substantiva d/dt.II.5 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALORA transferência de calor por condução é dada pela primeira Lei de Fourier comoTq '∝ ∆ . (II.59)∆zA Figura II.5 mostra um esquema para a transferência de calor por condução.Tomando o limite de II.59 quando ∆ z tende a zero e chamando a constante de proporcionalidade de k(condutividade térmica), tem-seFigura II.5 - Tranferência de calor por condução.Tq' =−k ∂ (II.60)∂ zo sinal negativo é devido ao sentido da transferência de calor que se dá dos altos valores de T para os maisbaixos.Considerando as três direções dos eixos cartesianos tem-se queq ' =− k ∇T . (II.61)O fluxo de calor por condução pode também ser obtido da seguinte forma: considere o volume e asuperfície de controle segundo a Figura II.6.Figura II.6 - Volume de controle para obtenção do fluxo de calor por condução.36

Logo, o fluxo de calor ou quantidade de calor é dado por∫∫ k ∇ T. n dA(II.62)scque, aplicando o teorema da divergência de Gauss, fica∫∫∫ k ∇ 2 Tdv. (II.63)vcA quantidade de calor (Q) em um sistema é dada pela soma da energia interna (U) e do trabalhorealizado (W), logoQ = U + W. (II.64)Pela primeira lei da termodinâmica tem-sedqdtc dT p d α=v+dt dt(II.65)oudqdtc dT dp=p−α . (II.66)dt dtEssas expressões fornecem a taxa de variação de calor por unidade de massa. Portanto, o princípio deconservação de calor é dado pordqdt∫∫∫2= k ∇ Tdv, (II.67)vcou desprezando-se a parte do trabalho realizado (suposto processo isobárico), pordT2cp= k ∇ Td(II.68)dt∫∫∫ vvcconhecida como segunda Lei de Fourier para a transferência de calor num fluido.Para o caso de um fluido em escoamento, aplicando-se o conceito da derivada substantiva expresso pelaEquação I.19 ficaou∂ 2cp( ρT dv ρ VT. n dA)k T dv(II.69)∂ t∫∫∫ + ∫∫ = ∫∫∫ ∇vc sc vc∂ρT2cp( ∫∫∫ dv + . ρ VT dv)k T dv(II.70)∂ t∫∫∫ ∇ = ∫∫∫ ∇vc vc vcou ainda para o caso de um fluido incompressível37

∂ Tdv V T dv K T dv∂ t + ∫∫∫ . ∇ = ∫∫∫ ∇ 2∫∫∫. (II.71)vc vc vcII.71 é a equação de transferência de calor para um fluido incompressível, em que K = k ρ c pé chamado decoeficiente de difusividade térmica.Essa equação pode ser obtida na forma diferencial considerando que∂ T 2∫∫∫ ( + V. ∇T − K∇ T)dv = 0. (II.72)∂ tvcPortanto, para que essa integral seja nula o integrando é que deve ser nulo. Logo∂ T + V .2∇ T = K∇T∂ t(II.73)também pode ser escrita sob a forma∂∂Tt∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂uT Tv wT 2 2 2T T T+ + + = K( + + ). (II.74)2 2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ zII.6 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VAPORA transferência de vapor por condução segue o mesmo raciocínio que o apresentado para a transferênciade calor. Portanto, chamaremos de q uma medida da quantidade de vapor (por exemplo: umidade específica -q = 0,622 e ( p−e ), em que e é a pressão parcial do vapor). Logoqf ∝ ∆ q∆ z.(II.75)Quando da igualdade, e no limite quando ∆ z tende para zero, tem-sefq=−kq∂ q∂ z(II.76)em que k é um coeficiente de condução de vapor. Numa forma genérica pode-se escreverqfq=−k∇q. (II.77)qA notação em termos de um volume de controle qualquer ficaf = k ∇ q. n 2dA = k ∇ q dv . (II.78)q∫∫scq∫∫∫O princípio de conservação de vapor é dado porvcqdqdt∫∫∫2= k ∇ q dv+Φvcq(II.79)em que Φ representa uma fonte ou sumidouro de vapor.38

Desprezando-se fontes ou sumidouros de vapor e aplicando a derivada substantiva tem-se∂ρqdv ρ Vq n dA kqq dv∂ t+ ∫∫ . = ∫∫∫ ∇ 2∫∫∫(II.80)vcscvcou∂ρqdv ρ Vq dv kqq dv∂ t+ ∫∫∫ ∇ . = ∫∫∫ ∇ 2∫∫∫(II.81)vcvcvcque, para o caso de um fluido incompressível, toma a forma∂ qdv V q dv Kqq dv∂ t + ∫∫∫ . ∇ = ∫∫∫ ∇ 2∫∫∫. (II.82)vcNeste caso K = k ρ é um coeficiente de difusividade.logoou, ainda,qqvcPara se obter essa equação na forma diferencial , toma-sevc∂ q 2∫∫∫ ( + V. ∇q− Kq∇ q)dv = 0(II.83)∂ tvc∂ q + V . ∇ q = K q∇2 q (II.84)∂ t∂∂qt∂ ∂ ∂ ∂ ∂uq qv wq 2 2q q+ + + = Kq(+ +2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y∂∂2q). (II.85)2z39

II.7 EXERCÍCIOS1 - Dada a equação de Euler na forma dVdtaproximação hidrostática.1 =− ∇ p+g, obtenha as equações cartesianas e comente aρ2 - Mostre que a expressão da aceleração vertical de um parcela de fluido com pressão p', temperatura T ' edensidade ρ' em um fluido estático com pT , e ρ é dada pordwdt' ρ−ρ'= g()ρ'ou dw 'g T ' −= (T ) .dt T3 - Escreva a equação de Euler em coordenadas naturais.4 - Determine a velocidade de saída no bocal instalado na parede do reservatório da figura abaixo. Determinetambém a vazão no bocal.5 - Desprezando-se a resistência do ar, determine a altura alcançada por um jato d'água vertical, cuja velocidadeinicial é de 12,2 m/s.6 - Mostre que para o caso dos gases, pode-se escreverdp− ∫ = R∫∫( ∇ ln p×∇T) . n dAρem que n é um vetor unitário normal a área A.7 - Mostre que se o fluido é barotrópico p = p( ρ), o termo solenoidal é zero.8 - Calcule a taxa de variação da circulação para um quadrado no plano x, y com lados iguais a 1.000 Km cadase a temperatura aumenta na direção x a uma taxa de 2 C 200Kme a pressão aumenta na direção y a umataxa de 2 hPa / 200Km. A pressão na origem é 1.000 hPa.9 - Obtenha a aceleração tangencial média para os dados fornecidos no problema anterior.10 - Esquematize a contribuição do termo solenoidal, para os casos de brisa marítima e brisa terrestre, comrelação a taxa de variação da circulação.11 - Obtenha a expressão para o perfil de velocidade em um escoamento laminar bidimensional (x, z) entreplacas paralelas (fixa e móvel). Considere o escoamento permanente e que a variação da pressão na direção doescoamento é constante.12 - Nas condições do problema anterior, obtenha o perfil de velocidade em um tubo cilíndrico ou seja obtenhau=u(r) em que r é o raio do tubo.40

CAPÍTULO IIIProcessos na Camada LimiteSuperficial41

III.1 EXPERIÊNCIA DE REYNOLDSExaminaremos a clássica experiência de Reynolds relativa ao escoamento viscoso. Água escoa atravésde um tubo de vidro, como mostra a Figura III.1, tendo a velocidade controlada por uma válvula.válvula não provoca perturbação).Na entrada do tubo, injeta-se tinta com o mesmo peso específico que a água. Quando a válvula dedescarga encontra-se ligeiramente aberta a tinta escoa pelo tubo de vidro sem ser perturbada, formando um fio.Entretanto, à medida que se abre a válvula, atinge-se uma condição em que a tinta adquire um movimentooscilatório à proporção que se desloca pelo tubo. Um gráfico da velocidade versus tempo em dada posição dotubo do aparelho de Reynolds poderia aparecer como mostra a Figura III.2.Figura III.2 Série temporal da velocidade para escoamento: (a) laminar permanente,O escoamento turbulento variado (não permanente) pode ser considerado como aquele em que o campode velocidade média muda com o tempo.Reynolds verificou que o critério para transição de laminar para turbulento dependia do diâmetro dotubo, da velocidade e do tipo de fluido. Logo, criou um número admensional chamado de Número de Reynoldsque, na verdade, é a relação entre a força inercial e a força viscosa sob a forma42

2 −1u u x U L ULR = ρ ∂ ∂eu x≈ ρ2 2−µ∂ ∂ µ UL= 2ν. (III.1)Sob condições experimentais cuidadosamente controladas, usando um tubo bem liso e permitindo que ofluido permanecesse tranqüilo no tanque por longo tempo, verificou que o escoamento laminar pode ser mantidopara número de Reynolds até cerca de 40.000. Todas as experiências até o momento indicaram que abaixo de2.300 pode existir escoamento apenas laminar. Assim, acima de 2.300 pode ocorrer uma transição, dependendoda extensão das perturbações locais. Chamamos a este valor (2.300) número de Reynolds crítico. Entretanto,deve-se lembrar que o R ecrítico acima mencionado aplica-se apenas ao escoamento em tubos e que deve-seefetuar um estudo separado sobre condições de transição de escoamento laminar para turbulento na camadalimite.III.2 O CONCEITO DE CAMADA LIMITEConsiderando o escoamento sobre uma placa plana (Figura III.3), observe que uma região laminar seforma na borda de ataque e cresce em espessura, como mostra o diagrama. Atinge-se em seguida uma região detransição onde o escoamento muda de laminar para turbulento, com o conseqüente aumento de espessura dacamada limite. Na região turbulenta veremos que, à medida que nos aproximamos do contorno, a turbulênciadiminui em tal extensão que predominam os efeitos laminares, conduzindo-nos ao conceito de uma subcamadalaminar. Você não deve ficar com a impressão de que essas várias regiões mostradas em nosso diagrama sãodemarcações vivas dos diferentes escoamentos. Há na realidade uma mudança gradativa das regiões onde certosefeitos predominam para outras onde efeitos diferentes prevalecem. Ainda que a camada limite seja delgada, eladesempenha um papel importante na dinâmica de fluidos.Figura III.3 - Diagrama mostrando as camadas limites laminar e turbulenta.III.2.1 ESPESSURA DA CAMADA LIMITEFalamos a cerca da espessura da camada limite de forma qualitativa, como a elevação acima docontorno que cobre uma região do escoamento onde existe um grande gradiente de velocidade e,conseqüentemente, efeitos viscosos não desprezíveis.De forma bastante simples a espessura da camada limite é dada quandouU ≅ 099 , (III.2)isso quer dizer que a espessura da camada limite é aquela em que a velocidade u se aproxima da velocidade doescoamento livre U .43

Uma outra forma de se obter uma expressão para a espessura da camada limite é considerando que nainterface entre a camada limite e o escoamento livre as forças de inércia e viscosa se equilibram. Logoρ u∂ u ∂ xµ ∂ 2u≅2∂ z. (III.3)Portanto, em termos das dimensões, tem-seρ2ULU≅ µ (III.4)δ2que, resolvendo para obter o valor de δ ficaLδ= (III.5)R eou genericamente como função de x, sob a formaxδ ( x)= . (III.6)R eIII.2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE A EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES DENTRO DA CAMADALIMITE LAMINAR PARA UM ESCOAMENTO PERMANENTE.Considerando que tal tipo de escoamento se dá no plano x, z, tem-se que a equação de Navier-Stokes (sem a presença de força externa) se restringi às expressões para essas duas dimensões. Logo∂ u ∂u wu ∂ p u uν ∂ 2 21∂+ = − + ( + )(III.7)2 2∂ x ∂ z ρ ∂ x ∂ x ∂ z∂ w ∂u ww ∂ p w wν ∂ 2 21∂+ = − + ( + ). (III.8)2 2∂ x ∂ z ρ ∂ z ∂ x ∂ zMas, antes de qualquer coisa, vamos analisar qual é a dimensão de w. Para isso utilizaremos aequação da continuidade de massa para um fluido incompressível que, para as condições estabelecidas, fica∂ u ∂∂ x+ w∂ z= 0. (III.9)Portanto, integrando de 0 até δ para obter a dimensão de w, tem-seδ∫0UW , (III.10)L z δ≈ ∂ ≈ULou, em termos do número de Reynolds, comoUW ≈ . (III.11)R e44

Agora pode-se retornar e analisar cada termo das equações III.7 e III.8. Veja:2∂ u Uu ≈ ; (III.12)∂ x L2∂ u U U Uw ≈ = ; (III.13)∂ z R δ L1ρ∂∂pxe2∂uu U≅ ≈ ; (III.14)∂ x Lν ∂ 22u U 1 U≈ ν = (pequeno); (III.15)2 2∂ x L R Leν ∂ 22u U U≈ ν = ; (III.16)2∂ δ2zL∂ w U U Uu ≈ = 1 2(pequeno); (III.17)∂ x L R R Lee2 2∂ w W 1 Uw ≈ =(pequeno); (III.18)∂ z δ R Le21 ∂ p ∂ ∂ 1uw w w U≅ = ≈ (pequeno); (III.19)ρ ∂ z ∂ x ∂ z R Leν ∂ 22w W 1 U≈ ν = (pequeno); (III.20)2 2∂ x L3R Leν ∂ 22w W 1 U≈ ν = (pequeno). (III.21)2∂ δ2zR LeApós essas considerações, tem-se∂ u ∂u wu ∂ p u+ = − +ν ∂ 21; (III.22)2∂ x ∂ z ρ ∂ x ∂ z∂ u ∂∂ x+ w∂ z= 0. (III.23)A equaçõe III.22 juntamente com a equação da continuidade de massa III.23, formam um conjunto deequações simplificadas para a camada limite laminar. São chamadas de equações de Prandtl para a camada limitelaminar.45

III.3 CAMADA LIMITE TÉRMICAA camada limite térmica pode ser entendida por analogia à camada limite discutida anteriormente.Corresponde a uma faixa do fluido que vai da superfície de ataque a uma altura onde o transporte de calor poradvecção se equipara ao transporte de calor por condução ou seja,2∂ T ∂ Tu ≅ K . (III.24)2∂ x ∂ z2Define-se o número de Piclet como sendo a razão entre u∂ T ∂ x e K∂T ∂ x2 . LogoPe =u∂T ∂ xK∂T ∂ x≈ UΘLKΘL2 2 2UL= . (III.25)KDefine-se também o número de Prandtl como sendo a razão entre a viscosidade cinemática (ν) e o coeficientede difusividade térmica ( K ). LogoP = νrK(III.26)e, conseqüentemente, tem-seP R P . (III.27)e=e rPodemos agora obter uma expressão para a espessura da camada limite térmica em função dessesnúmeros admensionais já definidos. Sendoem termos das dimensões, tem-seportanto,2∂ T ∂ Tu ≅ K(III.28)2∂ x ∂ zU ΘLK Θ≅ , (III.29)δ2TL LδT= = . (III.30)P RPeerVejamos agora as simplificações da equação de transferência de calor para a camada limite térmica.Para o plano x, z a equação de transferência de calor tem a forma∂∂Tt∂ ∂ ∂uT wT 2T+ + = K(+2∂ x ∂ z ∂ x∂∂2T). (III.31)2zLogo, as dimensões de cada um dos termos são:∂ T∂ tU Θ≈ ;L(III.32)46

∂ T U Θu ≈ ; (III.33)∂ x L∂ T W Θw P U Θ U Θ≈ =r≅ ; (III.34)∂ z δ L LTK∂∂2TxK Θ≈ =L2 21RPerU ΘL(pequeno);(III.35)K∂∂2T≈z2 2TK Θ UΘ ≅ . (III.36)δ LApós essas análises, a equação simplificada para transferência de calor na camada limite térmica é simplesmente∂∂Tt∂ ∂+ uT + wT = K∂ x ∂ z∂∂2T2z. (III.37)III.4 ESCOAMENTO TURBULENTOObservou-se que uma solução teórica completa para o escoamento turbulento, análoga àquela doescoamento laminar, é impossível devido a complexidade e natureza aparentemente aleatória das flutuações develocidade no escoamento turbulento. Todavia, a análise semi teórica, ajudada pelos dados experimentais, seráapresentada. Isso permitirá formular um perfil de velocidade para escoamento com elevado número de Reynolds.III.4.1 A TURBULÊNCIA MEDIDA EM RELAÇÃO AO TEMPONum escoamento turbulento, a média em relação ao tempo representa a parte bem ordenada doescoamento. Tais quantidades são as medidas por um observador munido de instrumentos padrão. A parteflutuante do escoamento é indicada pelos desvios em relação a média (Figura III.4).Figura III.4 - Série temporal da componente u da velocidade para escoamentoturbulento: parte média e desvios.Para um determinado intervalo de tempo ∆ t (pequeno), a média é obtida por47

t21u = udt. (III.38)∆ t∫t1Dado u = u+ u', sendo u ≡ parte média e u '≡ parte turbulenta. Assim, o campo de temperatura, pressãovelocidade, etc. pode ser representado por:(a=cte.);⎧T = T + T'⎪⎪ p = p+p'⎪⎨ u= u+u'(III.39)⎪⎪v = v+v'⎪⎩w= w+w'Veja algumas propriedades da média. Sejam f e g escalares, então f + g = f + g; affgfinalmente tem-se que= f g ; fg= fg. Veja o exemplo para o caso de se ter a média de u vezes v (uv)u v = ( u + u')( v + v') = uv + uv' + vu' + u' v' = uv + uv' + vu' + u'v'uv = uv + u'v'.Observe que a média dos desvios é igual a zero enquanto que a média do produto dos desvios não é nula.= a fIII.4.2 EQUAÇÃO DE REYNOLDSTomemos a equação de Navier-Stokes para a direção do eixo x (escoamento laminar). Posteriormente,por analogia, obteremos as equações para as direções y e z. Logo,∂ u ∂ ∂ ∂ ∂ν ∂ ∂ ∂uu uv wu 2 2 21 p u u u+ + + = − + ( + + ), (III.40)2 2 2∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x ∂ x ∂ y ∂ ze sendo a equação da continuidade de massa para um fluido incompressível igual atem-se também que∂ u ∂ ∂∂ x+ v w∂ y+ ∂ z= 0, (III.41)∂ u ∂ ∂( ) . (III.42)∂ x+ v w∂ y+ ∂ z u = 0Somar III.42 ao lado esquerdo de III.40 não provoca alterações na igualdade uma vez que esta quantidade é nula.Arranjando os termos devidamente tem-se∂∂ut∂ ∂ ∂ ∂ν ∂ 2 2 2uu uv uw 1 p u ∂ u ∂ u+ + + = − + ( + + ). (III.43)2 2 2∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x ∂ x ∂ y ∂ z48

Agora, aplicando os conceitos de turbulência na equação III.43 iremos obterρ ∂ u ∂ uu ∂ uv ∂ uw ∂ρuu' ' ∂ρuv' '. ∂ρuw' '( + + + ) + + + =∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z∂− + ρν ∂ 2 2 2p u ∂ u ∂ u( + + ). (III.44)2 2 2∂ x ∂ x ∂ y ∂ zRearranjando os termos de III.44 tem-se∂∂Analogamente, para as direções y e z∂∂∂∂utvtwt∂ ∂ ∂ ∂ν ∂ ∂ ∂uu uv wu 2 2 21 p u u u+ + + = − + ( + + )−2 2 2∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x ∂ x ∂ y ∂ z1ρ∂ρuu' ' ∂ρuv' ' ∂ρuw' '( + + ) . (III.45)∂ x ∂ y ∂ z∂ ∂ ∂ ∂ν ∂ ∂ ∂uv vv wv 2 2 21 p v v v+ + + = − + ( + + )−2 2 2∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z1ρ∂ρvu' ' ∂ρvv' ' ∂ρvw' '( + + ) ; (III.46)∂ x ∂ y ∂ z∂ ∂ ∂ ∂ν ∂ ∂ ∂uw wv ww 2 2 21 p w w w+ + + = − + ( + + )−2 2 2∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z1 ∂ρwu' ' ∂ρwv' ' ∂ρww' 'g − ( + + ). (III.47)ρ ∂ x ∂ y ∂ zObserve que o estado médio satisfaz a equação de Navier-Stokes e, portanto, o termo restante é oresponsável pela turbulência e é chamado de tensor de cisalhamento de Reynolds ( Γ) . Desta forma,⎛ −ρuu ' ' −ρuv ' ' −ρuw' ' ⎞ ⎛σ ⎞xxσxyσxz⎜⎟ ⎜⎟Γ= ⎜ −ρvu ' ' −ρvv ' ' −ρvw' ' ⎟ = ⎜σ yxσyyσyz ⎟(III.48)⎜⎝−ρwu ' ' −ρwv ' ' −ρww' ' ⎟ ⎜⎟⎠ ⎝σ zxσzyσzz ⎠em que σ σ ; σ σ ; σ = σ .xy=yx xz=zx yz zyPara avaliar os termos de tensão de cisalhamento de Reynolds num escoamento turbulento, Prandtlenunciou a teoria do comprimento de mistura discutida a seguir.49

III.4.2.1 TEORIA DE COMPRIMENTO DE MISTURA DE PRANDTLPrandtl estabeleceu um modelo bastante simplificado de transferência de quantidade de movimento paraescoamento turbulento. Ele fez a hipótese de que em qualquer ponto z, tal como mostrado na Figura III.5,aparecem, em intervalos aleatórios, parcelas de fluido numa posição distante de l , o comprimento de mistura,acima e abaixo do ponto. Esse efeito provoca troca de quantidade de movimento que resulta na aparição de umacomponente de velocidade de flutuação. A amplitude dessa flutuação de velocidade depende da distribuição develocidade média próximo a z e também do comprimento de mistura.Os conceitos precedentes podem ser expressos matematicamente com a ajuda da Figura III.6. Adiferença entre as velocidades médias das parcelas de fluido provenientes de z e o fluido em z é dada por± l∆ u1 = u( z+ l) −u( z); (III.49)∆ u2 = u( z) −u( z−l). (III.50)Figura III.6 - Velocidade média na camada limite turbulenta.Podemos exprimir uz ( + l)e uz ( − l)por meio de uma série de Taylor (aproximação linear) emtorno do ponto z. Portanto, as expressões III.49 e III.50 ficamu∆ u 1 = u ( z ) + ∂; (III.51)∂ z l −u(z)u∆ u 2 = u ( z ) − u ( z ) + ∂. (III.52)∂ z l50

Eliminando-se os termos equivalentes e de sinal contrário tem-seu∆ u1 = l∂ ; (III.53)∂ zu∆ u2 = l∂ . (III.54)∂ zPortanto, a flutuação da velocidade na direção do escoamento na posição z pode ser considerada como a médiau 2das diferenças ∆ u1 e ∆ . Logo,Conseqüentemente,1u' = ( ∆u 1 + ∆u 2). (III.55)2uu'= l ∂ . (III.56)∂ zVale salientar que as flutuações de velocidade na direção transversal são de magnitude comparável isto é,u'≈ v'≈ w'.III.4.2.2 PERFIL DE VELOCIDADE NUM ESCOAMENTO TURBULENTOPróximo de um contorno deve haver um decréscimo no intercâmbio de quantidade de movimentoporque a turbulência é suprida quando se chega próximo de um contorno. Isso significa que o comprimento demistura diminui ao se aproximar de um contorno. Prandtl fez a suposição de que l = cz, em que c é umaconstante de proporcionalidade.Considerando a aplicação no plano x, z e sendo σobtida da equação de Reynolds. Logo,xz= σzx, a tensão de cisalhamento de interesse éIntegrando tem-se1 ∂ρuw' '0 =− . (III.57)ρ ∂ zσ= ρ u' w'. (III.58)Substituindo u' e w' pelos valores obtidos segundo a teoria de comprimento de mistura essa espressão assume aformaσ∂ u= ρ l2 ( ) 2 . (III.59)∂ zTomando a raiz quadrada de ambos os termos de III.59 tem-seσρ∂ u= l∂ z .(III.60)51

O termoσρ tem dimensão de velocidade e é chamado de velocidade de tensão de cisalhamento ou*velocidade de fricção e é representado por u . Portanto,u ou* = σ ρuu * = l ∂ . (III.61)∂ zSendo l = c z, em que c é uma constante, tem-se∂ u∂ z=*ucz(III.62)onde se assumiu que l = c z. Integrando a III.62 tem-se*uu = ln z + cte. (III.63)cUsando-se a condição de contorno de que em z0tem-se uz (0) = 0. Portanto, pode-se reescrever aIII.63 sob a forma*uu = ln( z . (III.64)c z)0Essa expressão é conhecida como perfil de velocidade do escoamento na camada limite turbulenta.*Para se determinar o valor de u aplica-se a equação III.64 para dois níveis com velocidadesconhecidas tais que*u zu 2 = ln(2; (III.65)c z)0*u zu 1 = ln(1. (III.66)c z)0Fazendo u 2 − u1e organizando devidamente os termos tem-secuu ( u* 2 − 1=) . (III.67)ln( z z )2 1Voltando à expressão em que σ= ρ u'w', podemos escrever queσ= ρ l2∂∂uz∂∂uz. (III.68)Considerando que K =ρ l 2 ( ∂ u ∂z)mé um coeficiente de difusividade turbulenta, pode-se reescrever aIII.68 como52

∂ uσ = Km (III.69)∂ zque se assemelha à lei de Newton da viscosidade. Enquanto µ é uma característica do fluido, Kmé umacaracterística do escoamento turbulento.III.4.3 ANALOGIA DE REYNOLDS PARA A TEMPERATURAIII.4.3.1 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR PARA ESCOAMENTO TURBULENTOConsidere a equação original da forma∂∂Tt∂ ∂ ∂ ∂ ∂uT Tv wT 2 2T T+ + + = K(+ +2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y∂∂2T2z) (III.70)que para o caso de um fluido incompressível , pode também ser expressa como∂∂Tt2 2∂ uT ∂ vT ∂ wT ∂ T ∂ T+ + + = K(+ +2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y∂∂2T). (III.71)2zAplicando conceitos de turbulência, em que T = T + T' , u = u + u',v = v + v' e w = w +w' .Apósmanipulações matemáticas tem-se que∂ T ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂uT Tv wT 2 2 2T T T+ + + = K( + + ) −2 2 2∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z1ρ cp∂ρcpu' T' ∂ρcpv' T' ∂ρcpw' T' ( + + ).(III.72)∂ x ∂ y ∂ zPode-se observar que o estado médio satisfaz a equação original. Portanto, para o escoamento turbulento o termode maior importância é1 ∂ρcpu' T' ∂ρcpv' T' ∂ρcpw' T' − ( + + )(III.73)ρ c ∂ x ∂ y ∂ zpque é uma analogia ao cisalhamento turbulento de Reynolds.III.4.3.2 FLUXO DE CALOR NA CAMADA LIMITE TÉRMICA TURBULENTAConsidere o plano x, z. Logo,Integrando tem-se1 ∂ρcp w' T'0 =− . (III.74)ρ c ∂ zHp=−ρ c pw'T', (III.75)53

em que H é o fluxo de calor.Por analogia com a teoria de comprimento de mistura de Prandtl, T ' é dado por T' = lT( ∂T∂ z)emque l = c z. Verifica-se que cT≈ c. Portanto,TTouH∂ u=−ρc lz l p∂T∂∂Tz(III.76)H* ∂ T=−ρcpu l∂ z(III.77)em que lT = c Tz = cz = l. Integrando de T( z1) = T1a T( z2) = T 2, tem-seH c u c T T* ( 2 − 1)=−ρpln( z z )2 1(III.78)*ou, substituindo a expressão para u( u −u )( T −TH =−ρcpc2[ln( z z )]2 2 1 2 12 1) . (III.79)III.4.4 ANALOGIA DE REYNOLDS PARA O VAPORIII.4.4.1 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE VAPOR NA CAMADA LIMITE TURBULENTAAplicando conceitos de turbulência à equação original da forma∂∂qt∂ ∂ ∂ ∂ ∂uq qv wq 2 2q q+ + + = Kq(+ +2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ ye seguindo os mesmos procedimentos usados anteriormente tem-se∂∂qt∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂uq qv wq 2 2 2q q q+ + + = Kq( + + )2 2∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z1ρ∂∂2q2z) (III.80)2−∂ρuq' ' ∂ρvq' ' ∂ρwq' '( + + ) . (III.81)∂ x ∂ y ∂ zObserve também que o estado médio satisfaz a equação original e que o termo de maior importância para oescoamento turbulento é1 ∂ρuq' ' ∂ρvq' ' ∂ρwq' '− ( + + ) . (III.82)ρ ∂ x ∂ y ∂ zIII.4.4.2 FLUXO DE VAPOR NA CAMADA LIMITE TURBULENTA54

Considere o plano x, z . Logo,1 ∂ρwq' '0 =− . (III.83)ρ ∂ zIntegrando tem-seE=−ρ w'q',(III.84)em que E é o fluxo de vapor. Da mesma forma, por analogia com o conceito de comprimento de mistura dePrandtl, q' = l ( ∂q∂ z) com l l. Logo,qq ≈ouE =−ρl2∂∂uz∂∂* ∂ qE =−ρu l∂ zqz(III.85)(III.86)*uma vez que u = l ( ∂u∂ z).Integrando III.86 de q( z ) = q a q( z ) = q , se obtém1 12 2E u c q q* (2−1)=−ρln( z z )2 1(III.87)*que substituindo u ficaE =−ρc( u −u )( q −q)2 . (III.88)[ln( z z )]2 2 1 2 12 155

III.5 EXERCÍCIOS1 Dê o conceito de Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta.2 Obtenha as equações simplificadas de Prandtl para a camada limite laminar.3 Dê o conceito de comprimento de mistura de Prandtl.4 Determine para os dados de velocidade do vento, medidos em vários níveis segundo a tabela abaixo, aexpressão do perfil de velocidade correspondente [ u = u( z)] .Velocidade do vento (m/s) e altura (m)0,20 m 0,40 m 0,60 m 0,80 m 1,00 m 1,50 m 1,75 m 2,00 m 2,25 m 2,50 m 2,75 m0,32 0,21 0,49 1,09 2,03 2,60 3,12 3,38 3,63 3,87 4,090,35 0,19 0,43 0,83 1,48 2,29 2,72 2,97 3,19 3,41 3,590,25 0,20 0,40 0,82 1,75 2,18 2,67 2,90 3,05 3,32 3,420,26 0,19 0,36 0,64 1,57 1,85 2,20 2,39 2,54 2,74 2,880,26 0,15 0,38 0,72 1,52 2,54 3,06 2,32 3,31 3,79 3,930,20 0,20 0,39 0,78 1,46 2,16 2,55 2,81 2,93 3,16 3,320,31 0,23 0,35 0,69 1,46 2,25 2,73 2,96 3,13 3,38 3,54Utilize c = 0,4.5 Determine para os dados de temperatura, medidos em vários níveis segundo tabela abaixo e usando também osdados fornecidos no problema anterior, o fluxo de calor para as várias camadas.Temperatura (°C) e altura (m)0,20 m 0,40 m 0,60 m 0,80 m 1,00 m 1,50 m 1,75 m 2,00 m 2,25 m 2,50 m 2,75 m18,64 18,44 18,49 18,59 18,64 18,76 18,57 18,47 18,41 18,39 18,3718,98 19,33 19,50 19,71 19,77 19,92 19,55 19,45 19,36 19,29 19,2019,38 20,02 20,26 20,51 20,40 20,41 20,32 20,18 20,08 19,99 19,8919,67 20,14 20,39 20,65 20,48 20,42 20,38 20,25 20,18 20,10 20,0319,97 20,60 20,80 21,18 20,95 20,91 20,92 20,79 20,71 20,63 20,5520,35 21,74 22,09 22,59 22,33 22,28 21,95 21,76 21,64 21,49 21,3421,20 21,88 22,15 22,49 22,33 22,21 22,03 21,88 21,74 21,65 21,53Use também c = 0,4.56

CAPÍTULO IVAnálise Dimensional57

IV.1 ANÁLISE DIMENSIONALMuitos dos parâmetros adimensionais podem ser entendidos como a relação entre duas forças cujo valorindica a importância relativa de uma delas face à outra. Se algumas forças, num determinado escoamento, sãomuito maiores que outras, freqüentemente é possível desprezar o efeito das forças menores e tratar o fenômenocomo se ele fosse completamente determinado pelas forças mais intensas.Geralmente a solução de problemas práticos de dinâmica de fluidos requer tanto um desenvolvimentoteórico como resultados experimentais. Através de um agrupamento de grandezas significativas em parâmetrosadimensionais é possível reduzir o número de variáveis presentes e tornar este resultado compacto (equações ougráficos) aplicável a todas as situações semelhantes.As dimensões básicas da dinâmica são força, massa, comprimento e tempo, relacionadas pela segundalei de NewtonF= m.a(IV.1)−2−2em que m≡M , a ≡ L T . Logo F ≡ MLT .Vejamos agora a Tabela IV.1 mostrando as dimensões de algumas grandezas freqüentemente utilizadas.Tabela IV.1 - Dimensões das grandezas físicas usadas mais freqüentemente----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GRANDEZA SÍMBOLO DIMENSÕES (M,L,T)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------comprimento l Ltempo t Tmassa m Mtemperatura T Θforça F MLT −2velocidade V LT −1aceleração a LT −2área A L 2volume v L 3vazão Q LTpressão ou queda de pressão ∆p−1 −2ML Taceleração da gravidade g LT −2densidade ρ ML −3viscosidade dinâmica µ−1 −1ML Tviscosidade cinemática ν LTtensão de cisalhamento σ−1 −2ML T----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−2A segunda lei de Newton na forma dimensional é F = MLT , mostrando que três dimensões sãoindependentes. Um sistema de unidades comumente empregado na análise dimensional é o sistema M, L,T.Para entendermos os objetivos da analise dimensional, vejamos a seguinte questão: admite-se que avazão através de um tubo capilar horizontal depende da queda de pressão por unidade de comprimento, dodiâmetro do tubo e da viscosidade. Portanto, determinaremos a forma da equação que rege o fenômeno.58

As grandezas e suas dimensões são as seguintes:vazão Q LT3 −1;∆p−queda de pressão por comprimentoML Tldiâmetro DL ;2 −2viscosidade µ−1 −1ML T .Logo, em termos de função tem-se∆pQ = Q ( , D,µ) .l(IV.2)Portanto, pode-se escrever queQ ∝ (p)lD . (IV.3);∆ α β µ γ− γSubstituindo-se as dimensões e tomando a igualdade, tem-se3 −1 −2 −2 α β −1 1L T = cte.( ML T ) ( L) ( ML T )(IV.4)e, portanto, conclui-se que⎧L⇒ 3=− 2α + β −γ⎪⎨ M ⇒ 0 = α + γ(IV.5)⎪⎩T⇒ 1= 2α + γ.Resolvendo esse sistema de equações obtém-se que α = 1; β= 4 e γ= −1. Logo,pDQ = cte. ∆ 4(IV.6)lµdo que se conclui que a análise dimensional não fornece nenhuma informação sobre o valor numérico daconstante adimensional. Experiências mostram que o valor da constante para esta expressão é π . 128Quando se trabalha com várias grandezas tem-se bastante problemas. Para facilitar essas questõesvamos estudar uma metodologia mais criteriosa, o teorema π ou teorema de Buckinghan.IV.1.1 TEOREMA DE BUCKINGHANO teorema π ou teorema de Buckinghan mostra que num problema físico envolvendo n grandezas nasquais estão envolvidas m dimensões, as grandezas podem ser agrupadas em n − m parâmetros adimensionaisindependentes.Sejam A 1, A 2, A 3,..., A nas grandezas envolvidas, tais como pressão, viscosidade, velocidade, etc.Sabe-se que todas as grandezas são essenciais à solução devendo pois existir alguma relação funcionalF( A , A , A ,..., A n)1 2 3= 0. (IV.7)Se π1, π2, π3, etc. representam grupos adimensionais das grandezas A1, A2,A3, etc. com m dimensõesenvolvidas, então existe uma equação do tipo59

f ( π , π , π ,..., π )1 2 3 n− m= 0. (IV.8)O método para determinação dos parâmetros π consiste em se escolher m das n grandezas A, comdimensões diferentes, que contenham entre elas as m dimensões, e usá-las como base juntamente com uma dasoutras grandezas A para cada π . Por exemplo, consideremos que A , 1A2e A 3contem M,L e T , nãonecessariamente em cada uma individualmente, mas em conjunto. Então, o primeiro parâmetro π é formado poro segundo porx1 y1 z1π = A A A A , (IV.9)1 1 2 34x2 y2 z2π = A A A A , (IV.10)2 1 2 35e assim por diantexn−m yn−m zn−mπn− m= A1 A2 A3A n. (IV.11)Nestas equações os expoentes devem ser determinados de tal forma que cada π resulte em um númeroadimensional. As dimensões das grandezas A são substituídas e os expoentes M, L,Tsão todos igualados azero. Isto conduz a três equações, a três incógnitas para cada parâmetro π .A para formar a base e obtém-Se apenas duas dimensões estão envolvidas seleciona-se duas grandezasse duas equações a duas incógnitas para cada π .O processo de cálculo será ilustrado pelo exemplo a seguir. Sabendo-se que existe uma relação entreE ≡ empuxo, ρ≡densidade, g ≡ aceleração da gravidade e v ≡ volume do líquido deslocado obter a relaçãopara o empuxo. Logo,F( E, g, ρ , v)= 0. (IV.12)Existem 4 parâmetros (n = 4 ) e estão relacionadas 3 dimensões (m = 3). Logo existe 1 parâmetro π . Então,f ( π 1) = 0(IV.13)ex1 y1 z1π = E g ρ v. (IV.14)1Substituindo as dimensões tem-se0 0 0 −2 ( M L T ) ( MLT ) x 1 −2 ( LT ) y 1 −3 ( ML ) z 1 3=( L ). (IV.15)Resolvendo para cada dimensão fica⎧ M ⇒ 0 = x1 + z1⎪⎨ L ⇒ 0= x1 + y1 − 3z1+ 3(IV.16)⎪⎩T⇒ 0= −2x1 −2y1que forma um sistema de três equações a três incógnitas. Resolvendo o sistema tem-se: x1=−1, y 1= 1 ez 1= 1. Portanto,60

ou−1 1 1π = E g ρ v(IV.17)1π = g ρ v1. (IV.18)EObtendo o valor do empuxo (E ) em função das outras grandezas tem-seE= cte. gρv(IV.19)onde para esse caso a experiência mostra que cte.= 1.61

IV.2 EXERCÍCIOS1 Formar parâmetros adimensionais com os seguintes grupos de grandezas.a) ∆ p, ρ , V b) ρ , gV , , F c) µ , F, ∆p,t.*2 Obter expressão para u sabendo-se que existe a relação funcionalem que F é a força de cisalhamento.T*F( u , F , ρ , A)= 0,T3 Sabendo-se que a tensão de cisalhamento (σ ) num escoamento unidimensional laminar depende daviscosidade e da velocidade de deformação (du dy ), determinar a forma da lei de Newton da viscosidade combase na análise dimensional.4 Num fluido girando como um sólido em torno de um eixo vertical com velocidade angular ω , o aumento depressão ∆p numa direção radial depende de ω , do raio r e da densidade ρ . Obter a forma da equação para∆p.62

BIBLIOGRAFIAEAPÊNDICES63

BIBLIOGRAFIA CONSULTADABergeron, T. ; Bjerknes, R. and Bundgaard, R. C. Dinamic meteorology and weather forecasting.American Meteorology Society. 1957. 800p.Coimbra, Alberto Luiz. Mecânica dos meios contínuos. Ao Livro Técnico S. A. 1967. 264p.Eskinazi, Salamon. Fluid mechanics and thermodynamics of our environment. Academic Press.1975. 421p.Fox, Robert W. e McDonald, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos.Guanabara Dois S.A.1981. 562p.Holton, James R. An introduction to dynamic meteorology. Academic Press. 1972. 319p.Shames, Irving Herman. Mecânica dos fluidos. Edgard Blücher. Volume 1. 1973. 192p.Shames, Irving Herman. Mecânica dos fluidos. Edgard Blücher. Volume 2. 1973. 533p.Streeter, Victor Lyle. Mecânica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil. 1977. 736p.Sutton, O. G. Micrometeorology. McGraw-Hill Company. 1953. 333p.Vieira, Rui Carlos de Camargo. Atlas de mecânica dos fluidos, fluidodinâmica. Edgard Blücher.1971. 281p.64

A.1 COORDENADAS CURVILÍNEAS Seja um ponto qualquer P em que P = P( x, y, z) e x, y , z podem ser escritas em termos de outroseixos, como r , θα , . Portanto⎧x= x(, r θα , )⎪⎨ y = y(, r θα , )(A.1)⎪⎩z= z(, r θα , ).Logo dP = dxi + dyj + dzk , (A.2)tem-se∂dx x; (A.3)r dr ∂ x x = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα∂ ydy ; (A.4)r dr ∂ y y = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα∂ zdz . (A.5)r dr ∂ z z = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂ααe portanto em termos de dP, tem-sexdP ∂r i ∂ y r j ∂ zr k dr ∂ x ∂ y ∂ z= ( + + ) + (i + j + k ) d θ +∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ∂( x ∂ y ∂ z i + j + k ) dα (A.6)∂α ∂α ∂αou então ∂ PdP . (A.7)r dr ∂ P P= + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα Sendo e e e eαvetores unitários nas direções r ,θ e α dados porr , θ = ∂ P ∂ P P rhe∂ r r→ ∂e =r r; (A.8)∂ ∂ r ∂ P ∂ P ∂ P eθ= → = heθ θ; (A.9)∂θ ∂θ ∂θ ∂ P ∂ P ∂ P eα= → = heα α. (A.10)∂α ∂α ∂α65

Em que h , h ,h r θ αsão chamados de métricas e são dadas respectivamente por ∂ P ∂ r , ∂ P ∂ θ e∂ P ∂ α . Portanto dP = h dr e + h dθe + h dαe . (A.11)rrθ θ αOs elementos de superfície normais a r ,θ e α são dados por (ver Figura A.1)αdS = rhθh αdθdα; (A.12)dS = h h dr d ; (A.13)θ r ααdS = h h dr d . (A.14)α r θθFigura a.1 - Sistema de coordenadas curvilíneas e os elementos desuperfícies.Conseqüentemente, um elemento de volume é dado pordv = h hθh αdr dθdα. (A.15)rA.1.1 COORDENADAS CILÍNDRICASA Figura A.2 mostra as coordenadas cilíndricas, em que P = P( r, θ, z). As métricas são dadas porh r cos 2 + 2θ θ =1; (A.16)2 2 2 2hθ = r cos θ+r sen θ = r; (A.17)hz= 1. (A.18)66

Figura A.2 - Coordenadas cilíndricas.O vetor posição fica dP = dr e + d e + dz e . (A.19)Os elementos de área sãorθ θzdS = r dθdz → S = 2πr h; (A.20)rdS = rdr dθ→ S = π rrdS = dr dz → S = 2 r h ; (A.21)θzθz2. (A.22)Para o volume, tem-se2dv = r dr dθdz → v = π r h. (A.23)A.1.2 COORDENADAS ESFÉRICAS A Figura A.3 mostra as coordenadas esféricas, em que P = P ( r,θα , ) . As métricas neste caso sãohr= 1; (A.24)h = r cosα; (A.25)θh r. (A.26)α=67

Figura A.3 - Coordenadas esféricas.De forma semelhante, pode-se obter os elementos de área e volume conforme feito anteriormente.A.1.3 GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL EM COORDENADAS CURVILÍNEASGRADIENTE:1 ∂ f∇ f = + +. (A.27)h r e 1 ∂ f 1 ∂ f r eθeα∂ h ∂θ h ∂αrθαDIVERGÊNCIA: 1 ∂∂∂∇ . V = [ ( Vhhr θ α) + ( Vhhθ r α) + ( Vαhhr θ)]. (A.28)hhh ∂ r ∂θ ∂αrθαROTACIONAL:∇ x V=1 Vh − Vh er+ Vhr rhh[ ∂ ∂1α α θ θ∂θ( ) ∂∂α( )] hh[ ∂α( )−θαrα∂∂ ∂α α θθ θ α∂ r Vh e 1( )] + [ ( Vh) − ( Vhr r)]e . (A.29)hh ∂ r ∂θrθ68

ALFABETO GREGO:AlfaBetaGamaDeltaÉpslonZetaEtaTetaIotaKapaLambdaMuNuKsiÔmicronPiRoSigmaTauÚpsilonFiChiPsiÔmegaΑΒΓ∆ΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩαβγδεζηθικλµνξοπρστυφϕχψω,69