Vigas de Concreto Armado - Unesp

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTACampus de Bauru/SPFACULDADE DE ENGENHARIADepartamento de Engenharia CivilDisciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO IINotas de AulaVIGAS DE CONCRETO ARMADOProf. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)Bauru/SPJunho/2015

APRESENTAÇÃOEsta apostila tem o objetivo de ser as notas de aula da disciplina 2323 – Estruturas deConcreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade EstadualPaulista - UNESP – Campus de Bauru/SP. Deve ser estudada na sequência da apostila “Ancorageme Emenda de Armaduras”.O texto apresenta algumas das prescrições contidas na nova NBR 6118/2014 (“Projeto deestruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de Concreto Armado. Para facilitaro entendimento do estudante está incluído um exemplo completo do cálculo, dimensionamento edetalhamento de uma viga contínua, com dois tramos e três apoios.Agradecimentos a Éderson dos Santos Martins pela confecção de desenhos.Críticas e sugestões serão bem-vindas.

SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 12. DEFINIÇÃO ................................................................................................................................ 13. ANÁLISE ESTRUTURAL .......................................................................................................... 13.1. Análise Linear (item 14.5.2) .................................................................................................. 13.2. Análise Linear com Redistribuição (item 14.5.3).................................................................. 23.3. Análise Plástica (item 14.5.4) ................................................................................................ 23.4. Análise Não Linear (item 14.5.5) .......................................................................................... 23.5. Análise por Meio de Elementos Físicos (item 14.5.6) .......................................................... 33.6. Hipóteses Básicas .................................................................................................................. 34. VÃO EFETIVO ............................................................................................................................ 35. ALTURA E LARGURA .............................................................................................................. 46. INSTABILIDADE LATERAL .................................................................................................... 47. ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃO ......................................................... 57.1. Rigidez ................................................................................................................................... 57.2. Restrições para a Redistribuição ............................................................................................ 57.3. Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de Ductilidade ................. 58. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFÍCIOS79. GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS .................................................................................... 1110. CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS .................................................................. 1111. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES ........................ 1112. ARMADURA DE SUSPENSÃO .......................................................................................... 1213. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA ...................... 1413.1. Estimativa da Altura da Viga ........................................................................................... 1513.2. Vão Efetivo ...................................................................................................................... 1513.3. Instabilidade Lateral da Viga ........................................................................................... 1713.4. Cargas na Laje e na Viga ................................................................................................. 1813.5. Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 ............................................................. 1813.6. Rigidez da Mola ............................................................................................................... 1913.7. Esforços Solicitantes ........................................................................................................ 2013.8. Dimensionamento das Armaduras ................................................................................... 2213.8.1 Armadura Mínima de Flexão ....................................................................................... 22

13.8.2 Armadura de Pele ......................................................................................................... 2313.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão ............................................................................... 2313.8.3.1 Momento Fletor Negativo ..................................................................................... 2313.8.3.2 Momento Fletor Positivo ...................................................................................... 2613.8.4 Armadura Longitudinal Máxima .................................................................................. 2613.9. Armadura Transversal para Força Cortante ..................................................................... 2713.9.1 Pilar Intermediário P2 .................................................................................................. 2713.9.2 Pilares Extremos P1 e P3 ............................................................................................. 2813.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal ...................................................................... 2813.10. Ancoragem das Armaduras Longitudinais ....................................................................... 2913.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3 .................................................... 2913.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2 ..................................................................... 3313.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3 ................................................... 3313.11. Detalhamento da Armadura Longitudinal ....................................................................... 33REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 35

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 11. INTRODUÇÃOO texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/2014 1 relativos às vigas contínuas deedificações. A norma, publicada em maio de 2014, substituiu a versão anterior de 2003.2. DEFINIÇÃOVigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante.” (NBR 6118, 14.4.1.1).Elemento linear é aquele em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes amaior dimensão da seção transversal, sendo também denominado “barra”.3. ANÁLISE ESTRUTURALNo item 14 2 a NBR 6118 apresenta uma série de informações relativas à Análise Estrutural,como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além de vigasparede,pilares-parede e blocos. Segundo o item 14.2.1, “O objetivo da análise estrutural édeterminar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações dosestados-limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições deesforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura.”“A análise estrutural deve ser feita a partir de um modelo estrutural adequado ao objetivoda análise. Em um projeto pode ser necessário mais de um modelo para realizar as verificaçõesprevistas nesta Norma. O modelo deve representar a geometria dos elementos estruturais, oscarregamentos atuantes, as condições de contorno, as características e respostas dos materiais,sempre em função do objetivo específico da análise. A resposta dos materiais pode serrepresentada por um dos tipos de análise estrutural apresentados em 14.5.1 a 14.5.5.” (item14.2.2).No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco métodos de análise estrutural para o projeto, “quese diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, nãoperdendo de vista em cada caso as limitações correspondentes.” Os métodos de análise “admitemque os deslocamentos da estrutura são pequenos.”3.1. Análise Linear (item 14.5.2)“Admite-se comportamento elástico-linear para os materiais.” Significa que vale a lei deHooke – existe proporcionalidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuaisnum ciclo carregamento-descarregamento. “Na análise global, as características geométricaspodem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos estruturais. Em análiseslocais para cálculo dos deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada.”Na análise global considera-se o conjunto da estrutura, e na análise local apenas um elementoestrutural isolado.“Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson devem ser adotados deacordo com o apresentado em 8.2.8 e 8.2.9, devendo, em princípio, ser considerado o módulo deelasticidade secante Ecs .”“Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação deestados-limites de serviço. Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servirde base para o dimensionamento dos elementos estruturais no estado-limite último, mesmo que essedimensionamento admita a plastificação dos materiais, desde que se garanta uma dutilidademínima às peças.”1ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR6118. ABNT, 2014, 238p.2O item 14 contém diversas outras informações não apresentadas neste texto.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 23.2. Análise Linear com Redistribuição (item 14.5.3)“Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análiselinear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do ELU. Nesse caso,as condições de equilíbrio e de dutilidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas. Todos osesforços internos devem ser recalculados, de modo a garantir o equilíbrio de cada um doselementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem serconsiderados em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de ancoragem ecorte de armaduras e as forças a ancorar.Cuidados especiais devem ser tomados com relação aos carregamentos de grandevariabilidade.As verificações de combinações de carregamento de ELS ou de fadiga podem ser baseadasna análise linear sem redistribuição. De uma maneira geral é desejável que não haja redistribuiçãode esforços nas verificações em serviço.”3.3. Análise Plástica (item 14.5.4)“A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem serconsideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito ou elastoplásticoperfeito. Este tipo de análise deve ser usado apenas para verificações de ELU.” A Figura 1 e aFigura 2 ilustram os diagramas tensão-deformação dos dois materiais. y yyFigura 1 – Material rígido-plástico perfeito. yFigura 2 – Material elasto-plástico perfeito.“A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando:a) se consideram os efeitos de segunda ordem global;b) não houver suficiente dutilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas.No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga, deve-se evitar o cálculoplástico, observando-se as prescrições contidas na Seção 23.”3.4. Análise Não Linear (item 14.5.5)“Na análise não linear, considera-se o comportamento não linear dos materiais. Toda ageometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas para que aanálise não linear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ela foiarmada.Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de dutilidade devem ser necessariamentesatisfeitas. Análises não lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados-limitesúltimos como para verificações de estados-limites de serviço.Para análise de esforços solicitantes no estado-limite último, os procedimentosaproximados definidos na Seção 15 podem ser aplicados.”

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 33.5. Análise por Meio de Elementos Físicos (item 14.5.6)“Na análise através de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partirde ensaios realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhançamecânica. A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter acorreta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve serjustificada por modelo teórico de equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados.Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar asmargens de segurança prescritas nesta Norma, conforme as Seções 11 e 12. Caso contrário,quando só for possível avaliar o valor médio dos resultados, deve ser ampliada a margem desegurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança as variabilidades avaliadas poroutros meios.Obrigatoriamente, devem ser obtidos resultados para todos os estados-limites últimos e deserviço a serem empregados na análise da estrutura.Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida daestrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios.Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estãofora do escopo desta Norma. Para o caso de provas de carga, devem ser atendidas as prescriçõesda Seção 25.”3.6. Hipóteses BásicasNo item 14.6 a NBR 6118 apresenta as hipóteses básicas para estruturas de elementoslineares: “Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares(vigas, pilares, tirantes, arcos, pórticos, grelhas, treliças) podem ser analisadas admitindo-se asseguintes hipóteses:a) manutenção da seção plana após a deformação;b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais;c) comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elementoestrutural.”4. VÃO EFETIVOO vão efetivo (NBR 6118, 14.6.2.4) é calculado pela expressão: ef = 0 + a1 + a2 Eq. 1com: a1t 1 / 2 e a20,3 ht 2 / 20,3 hAs dimensões 0 , t1 , t2 e h estão indicadas na Figura 3.ht 01 2Figura 3 – Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo de vigas.t

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 45. ALTURA E LARGURADe modo geral, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquemembutidas nas paredes de vedação, de tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Paraque isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede, aqual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria(tijolo maciço, bloco furado, bloco de concreto, etc.), e da espessura da argamassa de revestimento(reboco), nos dois lados da parede. O revestimento com argamassa tem usualmente a espessura de1,5 cm a 2,0 cm, e o com gesso em torno de 5 a 6 mm.Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimensões as maisvariadas, tanto para os blocos cerâmicos de seis como para os de oito furos, como também para ostijolos maciços cerâmicos. Antes de se definir a largura da viga é necessário, portanto, definir o tipoe as dimensões da unidade de alvenaria, levando-se em consideração a posição em que a unidadeserá assentada.No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde éusual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos ospilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede semos revestimentos, ou seja, igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede.A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, ocarregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistênciamecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma vigacomo mostrado na Figura 4, para concretos do tipo C20 e C25 e construções de pequeno porte, umaindicação prática para a estimativa da altura das vigas de Concreto Armado é dividir o vão efetivopor doze, isto é:h1 ef,1 ef,2 e h 2 Eq. 21212Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem serconsiderados valores maiores que doze na Eq. 2. Vigas para edifícios de vários pavimentos, onde asações horizontais do vento impliquem esforços solicitantes consideráveis sobre a estrutura devemter a altura definida em função dos esforços a que estarão submetidas.h 1 h 2ef, 1 ef, 2Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas.A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm.A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo umacerta padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes.6. INSTABILIDADE LATERALSegundo a NBR 6118 (item 15.10), “A segurança à instabilidade lateral de vigas deve sergarantida através de procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar,para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, asseguintes condições:”b 0 /50 Eq. 3

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 5b fl h Eq. 4onde: b = largura da zona comprimida;h = altura total da viga;0 = comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam ocontraventamento lateral;fl = coeficiente que depende da forma da viga, conforme apresentado na Tabela 1.Tabela 1 – Valores de fl (Tabela 15.1 da NBR 6118).Tipologia da vigab b bb b bValores de fl0,40bbbb0,20Onde o hachurado indica zona comprimida.7. ANÁLISE LINEAR COM OU SEM REDISTRIBUIÇÃONo item 14.6.4 (“Análise linear com ou sem redistribuição”) a NBR 6118 apresenta diversasinformações que aplicam-se a estruturas de elementos lineares onde se considera a análise linear,com ou sem redistribuição dos efeitos das ações para a estrutura, determinados para as combinaçõesde carregamento do estado-limite último (ELU). O item contém informações importantes relativasàs vigas e são aqui apresentadas.7.1. Rigidez“Para o cálculo da rigidez dos elementos estruturais, permite-se, como aproximação, tomaro módulo de elasticidade secante (Ecs) (ver 8.2.8) e o momento de inércia da seção bruta deconcreto. Para verificação das flechas, devem obrigatoriamente ser consideradas a fissuração e afluência, usando, por exemplo, o critério de 17.3.2.1.” (NBR 6118, 14.6.4.1).7.2. Restrições para a Redistribuição“As redistribuições de momentos fletores e de torção em pilares, elementos lineares compreponderância de compressão e consolos só podem ser adotadas quando forem decorrentes deredistribuições de momentos de vigas que a eles se liguem. Quando forem utilizados procedimentosaproximados, apenas uma pequena redistribuição é permitida em estruturas de nós móveis (ver14.6.4.3). As redistribuições implícitas em uma análise de segunda ordem devem ser realizadas deacordo com a Seção 15.” (NBR 6118, 14.6.4.2).7.3. Limites para Redistribuição de Momentos Fletores e Condições de DuctilidadeQuando for feita redistribuição de momentos fletores nas vigas, é importante garantir boascondições de ductilidade. No item 14.6.4.3 a NBR 6118 apresenta limites para redistribuição de

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 6momentos fletores e condições de ductilidade, afirmando que “a capacidade de rotação doselementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tantomaior será essa capacidade”. E para “proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas elajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:a) x/d 0,45 para concretos com f ck 50 MPa;b) x/d 0,35 para concretos com 50 < f ck ≤ 90 MPa.Eq. 5“Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras,como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões.”Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fletoresnegativos nos apoios intermediários de vigas contínuas. Isso possibilita uma aproximação nosvalores dos momentos fletores negativos com os momentos fletores positivos nos vãos, o que leva aseções transversais menores e projetos mais econômicos.A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforçossolicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento.Conforme a norma: “Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momentofletor de M para M, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra nessaseção x/d, para o momento reduzido M, deve ser limitada por:a) x/d ≤ ( - 0,44)/1,25, para concretos com fck 50 MPa;b) x/d ≤ ( - 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa < fck 90 MPa.Eq. 6O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:a) 0,90, para estruturas de nós móveis;b) 0,75, para qualquer outro caso.Eq. 7Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma, desde que aestrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica, comverificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas.”A Figura 5 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. Adiminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça umaaproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão de 1978 da norma (NB1/78) erapermitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos devigas contínuas.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 7Acréscimo no momento positivoAcréscimo no momento positivoPlastificação do momento negativoFigura 5 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas.Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, aplastificação não é permitida.8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS DE ESTRUTURAS USUAIS DEEDIFÍCIOSNo item 14.6.6.1 a NBR 6118 apresenta considerações relativas ao projeto de vigascontínuas. “Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nospilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correçõesadicionais:a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesseengastamento perfeito da viga nos apoios internos; (Figura 6);M MA 1,cM B MM C MM D2,c3,cvão extremoM M 3,i1,ivão internoM 2,iM AM B M C M D>M 1,cM M 1,i>M 2,c2,iM>M 3,c3,iFigura 6 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.“b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direçãodo eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado o

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 8momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio;”(Figura 7);bintefefSe bint > e/4 ef efSe bint e/4Figura 7 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas.“c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga,deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamentoperfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos [...].” (ver Eq. 8, Eq. 9 e Eq. 10).Este item refere-se à ligação das vigas com os apoios extremos. Inicialmente consideram-seos pilares extremos como apoios simples, e os apoios intermediários (internos) seguem a regra doitem b, e assim define-se o esquema estático ao longo de toda a viga. Todos os momentos fletoressão calculados para a viga assim esquematizada (Figura 8). O momento fletor de ligação da vigacom os pilares extremos é calculado fazendo-se o equilíbrio do momento fletor de engastamentoperfeito no nó extremo, o que pode ser feito rapidamente aplicando-se a Eq. 8. Os momentosfletores que atuam nos lances inferior e superior do pilar extremo (Figura 9), são obtidos segundo aEq. 9 e a Eq. 10.M lig- ----++M eng+Figura 8 – Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 912 M supM (i + 1),inf + 2 1 M i,supnível (i + 1)pilar de extremidadetramo superiordo pav. iM ligM infM supM + 2 1 i,sup M(i + 1),infnível iM i,inf + 2 1 M (i - 1),suptramo extremotramo inferiordo pav. i12 M infM (i -1),sup+ 1 2 M i,infnível (i - 1)Figura 9 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo.Os momentos fletores são os seguintes:- na viga:Mligr rinf sup MengEq. 8rvig rinf rsup- no tramo superior do pilar:Mrsupsup Mengrvig rinf rEq. 9sup- no tramo inferior do pilar:Minfr Minfengrvig rinf rEq. 10supcom: rinf = rigidez do lance inferior do pilar;rsup = rigidez do lance superior do pilar;rvig = rigidez do tramo extremo da viga;Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerandoengastamento perfeito no pilar intermediário.A rigidez é a razão entre o momento de inércia da seção transversal e o comprimento doelemento:Iiri Eq. 11ionde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado.No caso da rigidez da viga, i é o vão efetivo entre o apoio extremo e o apoio intermediário.No caso da rigidez do pilar, i é tomado como a metade do comprimento de flambagem do lance dopilar, como indicado na Figura 10.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 10_____ sup2_____ inf2 vigFigura 10 – Aproximação em apoios extremos.O método de cálculo com aplicação da Eq. 8, Eq. 9 e Eq. 10 é simples de ser feito e nãorequer computadores e programas. Segundo a NBR 6118 (14.6.6.1), “Alternativamente, o modelode viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga,mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários.” E ainda: “Aadequação do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa dos resultadosobtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos nós viga-pilar,especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas.”No caso de introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao apoioextremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a opçãoanterior, porém, o cálculo manual fica dificultado.A rigidez à flexão da mola é avaliada pela equação:Kmola = Kp,sup + Kp,inf Eq. 12onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo;Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo;sendo:Kp,sup4 EI sup ee,supKp,inf4 EIinf Eq. 13 e,infcom: E = Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto;I = momento de inércia do lance do pilar;e = comprimento de flambagem do lance inferior ou superior do pilar.O coeficiente quatro na Eq. 13 é para o caso de uma barra com vínculos de apoio simples eengaste perfeito nas extremidades. No caso de ambos os vínculos serem apoios simples, ocoeficiente é três. Simplificadamente pode-se adotar apenas o coeficiente quatro, como adotado naEq. 13 para cálculo da rigidez da mola relativa ao lance do pilar.Em pavimentos tipos de edifícios, devido à continuidade do pilar nos pavimentos tem-se:Kp,sup = Kp,infKmola8 EI Eq. 14e

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 119. GRELHAS E PÓRTICOS ESPACIAIS“Os pavimentos dos edifícios podem ser modelados como grelhas, para o estudo das cargasverticais, considerando-se a rigidez à flexão dos pilares de maneira análoga à que foi prescritapara as vigas contínuas. De maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos espaciais, pode-sereduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração, utilizando-se 15 % da rigidez elástica, excetopara os elementos estruturais com protensão limitada ou completa (classes 2 ou 3).Modelos de grelha e pórticos espaciais, para verificação de estados-limites últimos, podemser considerados com rigidez à torção das vigas nula, de modo a eliminar a torção decompatibilidade da análise, ressalvando o indicado em 17.5.1.2.Perfis abertos de parede fina podem ser modelados considerando o disposto em 17.5.”10. CONSIDERAÇÃO DE CARGAS VARIÁVEIS“Para estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kN/m 2 e que seja nomáximo igual a 50 % da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração dealternância de cargas.”11. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORESConforme a NBR 6118 (14.6.3), “O diagrama de momentos fletores pode ser arredondadosobre os apoios e pontos de aplicação de forças consideradas concentradas e em nós de pórticos.Esse arredondamento pode ser feito de maneira aproximada, [...]”, conforme indicado na Figura 11e os valores seguintes:R RM2 1tEq. 154t M1 R1Eq. 164t M2 R2Eq. 174t M' REq. 188MMM11MM2M'M'2/2 /2R 1 R 2Figura 11 – Arredondamento do diagrama de momentos fletores.R

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 1212. ARMADURA DE SUSPENSÃOSegundo a NBR 6118 (item 18.3.6), “Nas proximidades de cargas concentradastransmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou emparte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão”.Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, sedireto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na Figura 12, a carga da viga vai direto para oapoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga caminha da viga que ésuportada para a parte inferior da viga que serve de suporte.Figura 12 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).Segundo FUSCO (2000), “nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da vigasuporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionandocomo um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior daviga suporte, até o seu banzo superior.” A força F no tirante interno está indicada na Figura 13. Aarmadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior atotalidade da reação de apoio da viga que é suportada.Figura 13 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 13A Figura 14 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. Astrajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada àarmadura.Figura 14 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000).Na Figura 15 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoiosindiretos. A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como issonormalmente é difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na regiãovizinha ao cruzamento, tão próxima quanto possível.Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensãopode ser dimensionada para a força Rtt , de valor:h1R tt R apoioEq. 19h 2com: h1 h2 ;h1 = altura da viga que apoia;h2 = altura da viga suporte.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 14Figura 15 – Detalhes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000).13. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUAA Figura 16, Figura 17 e Figura 18 mostram a planta de fôrma, um corte esquemático e aestrutura de concreto em três dimensões, de uma edificação com dois pavimentos utilizáveis (térreoe pavimento superior). Pede-se projetar e detalhar as armaduras da viga VS1. São conhecidos:- c = f = 1,4 ; s = 1,15 ; conc = 25 kN/m 3 ; aço CA-50;- conforme NBR 6120: arg,rev = 19 kN/m 3 ; arg,contr = 21 kN/m 3- edificação em área urbana de cidade: classe II de agressividade ambiental, concreto C25(fck = 25 MPa), cnom = 2,5 cm (c = 5 mm), relação a/c ≤ 0,60.OBSERVAÇÕES:a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos cerâmicosde oito furos (com dimensões de 9 x 19 x 19 cm), com espessura final de 23 cm e altura de 2,40 m;b) a laje é do tipo pré-fabricada treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m 2 ;c) ação variável (carga acidental da NBR 6120 - q) nas lajes de 2,0 kN/m 2 ;d) revestimento (piso final) em porcelanato sobre a laje, com piso = 0,20 kN/m 2 ;

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 15e) a ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados por se tratar de umaedificação de baixa altura (apenas dois pavimentos), em região não sujeita a ventos de altaintensidade.RESOLUÇÃOA viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado daestrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos.Outras formas de análise podem ser feitas, considerando-se por exemplo a viga VS1 comosendo parte de um pórtico plano, como aquele mostrado na Figura 17, ou compondo uma grelhacom as lajes e vigas do pavimento. Neste caso, haveria uma melhor interação com as demais vigas(VB1 e VC1) e com os pilares de apoio. Uma outra forma possível de cálculo seria considerar todaa estrutura como um pórtico tridimensional (ou espacial – ver item 9), como pode ser feito com aaplicação de alguns programas computacionais comerciais de cálculo de estrutura.13.1. Estimativa da Altura da VigaConsiderando os vãos como as distâncias entre os centros dos pilares de apoio (719 cm), aaltura da viga para concreto C25 pode ser adotada pela Eq. 2 como:ef 719h 59,9 cm h = 60 cm12 12Supõe-se que a parede sob a viga, posicionada no pavimento térreo, e na qual a viga VS1ficará embutida, será confeccionada com blocos cerâmicos furados (9 x 19 x 19 cm) posicionados“deitados”, na dimensão de 19 cm, de modo que a viga deverá ter também a largura de 19 cm, a fimde facilitar a execução. Portanto, a viga será calculada inicialmente com seção transversal de 19 x60 cm.13.2. Vão EfetivoOs vãos efetivos dos tramos 1 e 2 da viga são iguais. Considerando as medidas mostradas naFigura 16, de acordo com a Eq. 1 são:t1/ 2 t2/ 2 19/2 9,5 cma1 a2 a1 = a2 = 9,5 cm0,3 h 0,3. 60 18 cmef = 0 + a1 + a2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cmQuando as dimensões dos pilares na direção do eixo longitudinal da viga são pequenas,geralmente o vão efetivo é igual à distância entre os centros dos apoios, como ocorreu neste caso.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 16VS1 (19 x 60)P119/19L1P219/30L2P319/19523 523VS4 (19 x 45)P419/30VS2 (19 x 70)VS3 (19 x 60)L345VS5 (19 x 45)16P519/30L4VS6 (19 x 45)P619/30P719/19P871919/30719P919/19Planta de Fôrma do Pavimento SuperiorEsc. 1:50Figura 16 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1.VC1 (19 x 60)60cobertura300P119/19240P219/30P319/19VS1 (19 x 60)tramo 160pav. superiortramo 23001970025519700 19VB1 (19 x 30)viga baldrame30pav. térreoFigura 17 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 17Figura 18 – Vistas da estrutura em três dimensões.13.3. Instabilidade Lateral da VigaComo existe laje apoiada na região superior da viga, na extensão onde ocorrem tensõesnormais de compressão provocadas pelo momento fletor positivo, a estabilidade lateral da viga estágarantida pela laje. Na extensão dos momentos fletores negativos, onde a compressão ocorre naregião inferior da viga, e não existe laje inferior travando a viga, não deverá ocorrer problemaporque o banzo comprimido tem pequena extensão. 33No caso de “vigas invertidas” é importante verificar com cuidado a questão da instabilidade lateral.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 1813.4. Cargas na Laje e na VigaComo se pode observar na Figura 16, as lajes L1 e L2, do piso do pavimento superior,apoiam-se sobre as vigas VS1 e VS2, pois as lajes são do tipo pré-fabricada treliçada e os trilhos ouvigotas (unidirecionais) apoiam-se nas duas vigas. O primeiro tramo da VS1 recebe parte da cargada laje L1, e o segundo tramo parte da laje L2.Para as lajes será considerada a altura de 16 cm, com peso próprio de 2,33 kN/m 2 . Asargamassas de revestimento, nos lados inferior e superior 4 , tem respectivamente a espessura médiade 1,5 e 3,0 cm. O revestimento de piso final (porcelanato) tem carga estimada em 20 kgf/m 2 .Considerando os pesos específicos dados e a carga acidental, a carga total por m 2 de área da laje é:- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m 2- revestimento inferior: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m 2- contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m 2- piso: gpiso = 0,20 kN/m 2- ação variável: q = 2,00 kN/m 2CARGA TOTAL (Laje): p = 5,45 kN/m 2Considerando que as lajes são do tipo unidirecional e que as nervuras (vigotas) são apoiadasnas vigas VS1, VS2 e VS3, como setas mostradas nos centros das lajes (Figura 16), para efeito decálculo da carga da laje sobre os tramos da viga será considerado simplificadamente o comprimentoda laje como sendo a distância entre o centro da viga VS2 e a face externa da viga VS1, tal que:laje = 523 + (19/2) = 532,5 cmConsiderando que os carregamentos que atuam na viga consistem de uma parede apoiadasobre a viga em toda a extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m 3 , comespessura final de 23 cm e altura de 2,40 m, com carga por metro quadrado de área de 3,20 kN/m 2 ,valor esse que considera os diferentes pesos específicos do bloco cerâmico e das argamassas deassentamento (1 cm) e de revestimento (1,5 cm)) 5 , de uma laje pré-fabricada com carga total de5,40 kN/m 2 com comprimento de 5,325 m, e o peso próprio da viga (com seção transversal de 19 x60 cm), o carregamento total atuante nos tramos 1 e 2 da VS1 é:- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,6 = 2,85 kN/m- parede: gpar = 3,2 . 2,40 = 7,68 kN/m- laje: glaje = 5,45 . (5,325/2) = 14,51 kN/mCARGA TOTAL (Viga): p = 25,04 kN/m13.5. Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1O apoio intermediário da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, poisde acordo com o esquema mostrado na Figura 7, o pilar deve ser assim classificado, comodemonstrado a seguir. O comprimento de flambagem do lance inferior do pilar é:e = 255 + 60/2 + 30/2 = 300 cmA largura do pilar (P2) na direção do eixo longitudinal da viga (bint) é 19 cm, menor que umquarto do comprimento de flambagem do pilar (e/4 = 300/4 = 75 cm), isto é, bint = 19 cm < 75 cm.Portanto, deve-se considerar o pilar interno P2 como apoio simples.4Também chamado “contrapiso” ou “argamassa de regularização”.5Valores encontrados em GIONGO, J.S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. São Carlos, Escola deEngenharia de São Carlos, Usp, Dep. de Estruturas. 1994.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 19A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que e/4. Deacordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga (bint) fosse grande osuficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja,a viga seria considerada engastada no pilar P2.A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilaresextremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, a viga será considerada vinculada aospilares extremos P1 e P3 por meio de molas, ou seja, considerando os pilares como engasteselásticos.Os carregamentos totais calculados para os tramos 1 e 2 da viga são iguais (25,04 kN/m), euniformemente distribuídos em toda a extensão do tramo (Figura 19).p = 25,04 kN/m13.6. Rigidez da Molatramo 1 tramo 2719 cm 719Figura 19 – Esquema estático e carregamento na viga.A rigidez da mola nos engastes elásticos representativos dos pilares extremos P1 e P3 éavaliada pela Eq. 12: Kmola = Kp,sup + Kp,infConsiderando os pilares como articulados na base e no topo, tem-se que o comprimento deflambagem dos lances inferior e superior à VS1 são iguais (300 cm), e como a seção transversal dospilares não varia, as rigidezes dos lances inferior e superior são também iguais.A rigidez K do pilar superior e inferior é:Kp,sup = Kp,inf =4 EI eA rigidez da mola vale, portanto:2K8 EImola e2O módulo de elasticidade do concreto, tangente na origem, pode ser avaliado pela seguinteexpressão (NBR 6118, item 8.2.8):Eci 5600 f = 1 ,2 . 5600 25 = 33.600 MPa = 3.360 kN/cm 2Eckcom E = 1,2 para brita de basalto.Supondo que a viga já vai estar microfissurada trabalhando em serviço, o módulo deelasticidade que deve ser considerado é o secante (Ecs), avaliado por:fckEcs = i Eci , com i 0,8 0,2 1, 08025 i 0,8 0,2 0,8625 1,0 ok!80Ecs = 0,8625 . 3360 = 2.898 kN/cm 2

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 20Como a seção transversal é constante, o momento de inércia dos lances inferior e superiordo pilar são iguais e valem:3b h 19 .19Ip,sup = Ip,inf = 10.860 cm 412 123onde Ip é o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos de uma seção retangular cujadimensão h é aquela que corresponde, na seção, ao lado perpendicular ao eixo de flexão do pilar.Ou, em outras palavras, o momento de inércia que interessa neste caso é aquele onde a dimensãoelevada ao cubo é aquela coincidente ou na direção do eixo longitudinal da viga.Rigidez da mola:Kmola 8 EI= 8 . 2898 .10860 1.678.300522 kN.cme213.7. Esforços SolicitantesPara determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado algum programacomputacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN4 6(CORRÊA et al., 1992), que resolve pórticos planos e vigas, fornecendo os esforços solicitantes eos deslocamentos no nós. 7 A Figura 20 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para aviga em análise.y25,04 kN/m1 2 3 4 51 2 3 4x359,5 359,5 359,5359,5719 cm 719Figura 20 – Numeração dos nós e barras da viga.O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:OPTE,2,2,2,2,2,UNESP – BAURU, DISC. CONCRETO IIVIGA EXEMPLOVS1 (19 x 60)NOGL1,5,1,0,0,1438,0,RES1,1,1,2,0,0,1678522,5,1,1,2,0,0,1678522,3,1,1,BARG1,4,1,1,1,2,1,1,1,PROP1,1,1140,342000,60,MATL6O programa computacional e o manual encontram-se disponíveis no endereço:http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm7Outros programas computacionais podem ser utilizados, como por exemplo o Ftool.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 211,2898,FIMGCARR1CBRG1,4,1,1,-0.2504,1,FIMCFIMEA Figura 21 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valorescaracterísticos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados peloprograma encontra-se no Anexo II.A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,31 cm) é muito próxima à flecha máximaque ocorre no vão, e serve como indicativo da deslocabilidade vertical da viga. 8Na Tabela 13.3 da NBR 6118 (item 13.3) verifica-se que a flecha limite para “Aceitabilidadesensorial – visual”, como deslocamentos visíveis, é /250, isto é, 719/250 = 2,9 cm. Num outroquesito preconizado pela norma, “Efeitos em elementos não estruturais”, compostos por paredes dealvenaria, caixilhos e revestimentos por exemplo, os valores-limites para a flecha são:/500 9 (719/500 = 1,4 cm), e 10 mm e 0,0017 radConsiderando que o efeito da fluência do concreto aumentará a flecha num fator aproximadode 2,0, a flecha final será: 0,31 . 2,0 = 0,6 cm = 6 mm, que é um valor menor que o deslocamentolimitede 10 mm preconizado pela norma. A rotação máxima nos apoios do tramo foi de 0,0015 rad,também menor que o valor limite.Vigas que servem de apoio para paredes devem ter os deslocamentos-limites avaliadoscuidadosamente, para evitar o surgimento de fissuras indesejáveis na parede, por flechas excessivas.Geralmente, a solução mais comum para resolver problemas de flecha é aumentar a altura da viga.Da análise conclui-se que é possível executar a viga com a seção transversal inicialmenteproposta, sem esperar-se problema com flecha ao longo do tempo. 1072,8288107,3107,3V (kN)k72,8149222882517~40- -+~ 1802517Mk(kN.cm)8054 8054Figura 21 – Diagramas de esforços solicitantes característicos.8Um valor mais próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado naFigura 20.9Onde é o comprimento da parede.10Para uma análise mais precisa e cálculo elaborado da flecha pode ser consultado: CARVALHO, R.C. ;FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR6118:2014. São Carlos, v.1, Ed. EDUFSCar, 2014, 416p.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 22No caso dos momentos fletores máximos positivos deve-se comparar o valor mostrado naFigura 21 com o máximo momento fletor positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoiointermediário (pilar P2 - Figura 22).p = 25,04 kN/mP1719 cmP2Figura 22 – Esquema estático para obtenção do momento positivoconsiderando engate no apoio interno.O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:OPTE,2,2,2,2,2,UNESP – BAURU, DISC. CONCRETO IIMOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNOVS1 (19 x 60)NOGL1,3,1,0,0,719,0,RES1,1,1,2,0,0,1678522,3,1,1,1,BARG1,2,1,1,1,2,1,1,1,PROP1,1,1140,342000,60,MATL1,2898,FIMGCARR1CBRG1,2,1,1,-0.2504,1,FIMCFIMEO máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 22, conforme oarquivo de dados acima, resulta 8.054 kN.cm, igual ao momento máximo positivo obtido para aviga contínua mostrada na Figura 21. A listagem dos resultados obtidos pelo programa PPLAN4encontra-se no final da apostila (Anexo II).13.8. Dimensionamento das ArmadurasSerão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. Para a armadura longitudinalserão adotados diferentes valores para a altura útil d, em função do valor do momento fletor.13.8.1 Armadura Mínima de FlexãoA armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo: 11Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup11Apresentada em: BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 2117 – Estruturas de Concreto I.Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP),fev/2015, 78p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 23fctk,sup3 2 1,3 f 1,3.0,3 f 1,3.0,3 25 3,33 MPact,m3 2ck3b h 19 . 60I 342.000 cm 312 12W 03I 342000 11.400 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)y 30Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,333 = 3.037 kN.cmDimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo tomando d = 55 cm:2 2b w d 19 . 55K c = 18, 9M d 3037Md3037As Ks= 0,023 1, 27 cm 2d 55 da Tabela A-1 (ver anexo) tem-se Ks = 0,023.Para seção retangular e concreto C25, a taxa mínima de armadura (mín) é de 0,15 % Ac ,portanto:As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm 2 > 1,27 cm 2 As,mín = 1,71 cm 213.8.2 Armadura de PeleA armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Noentanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem mesmo em vigas com altura de 50 cm, serácolocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac em cada face da viga, que era a área dearmadura de pele recomendada para vigas com alturas superiores a 60 cm, na versão de 1980 daNBR 6118:As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm 24 4,2 mm = 0,68 cm 2 em cada face (ver Tabela A-2 ou Tabela A-3), distribuídas ao longoda altura (ver Figura 30).13.8.3 Armadura Longitudinal de FlexãoNormalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletoresmáximos, positivos e negativos, que ocorrem ao longo da viga.13.8.3.1 Momento Fletor Negativoa) Apoio interno (P2)O momento fletor atuante (M) na viga na seção sobre o pilar P2 é negativo e de valor 14.922kN.cm. Este momento é 1,85 maior que o máximo momento fletor positivo no vão, de 8.054kN.cm. Uma forma de diminuir essa diferença é fazer uma redistribuição de esforços solicitantes,como apresentado no item 7.3 (Eq. 6 e Eq. 7). Isso é feito reduzindo o momento negativo de M paraδM, com δ ≥ 0,75. A fim de exemplificar a redistribuição, o momento fletor será reduzido em 10 %,com δ = 0,9, e:

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 24Mk = – 14.922 kN.cm δMk = 0,9 . (– 14922) = – 13.430 kN.cmMd = f . Mk = 1,4 . (– 13.430) = – 18.802 kN.cmA redução do momento fletor negativo acarretará alterações nos demais valores dos esforçossolicitantes (M e V) na viga, bem como nos elementos estruturais a ela ligados, o que deve serconsiderado, como mostrado adiante.Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil (d) de 55 cm. A laje pré-fabricada,apoiada na região superior da viga, está tracionada pelo momento fletor negativo, e não pode serconsiderada para contribuir na resistência às tensões normais de compressão, de modo que a vigadeve ser dimensionada como seção retangular (19 x 60):2 2b w d 19 . 55K c = 3, 1M d 18802Da Tabela A-1 tem-se:a h712,5x = x/d = 0,30, Ks = 0,026 e domínio 3.Conforme a Eq. 5, x = x/d 0,45, e:x = x/d = 0,30 ≤ 0,45 ok!E também, devido à redistribuição de esforços feita (Eq. 6): x = x/d ≤ (δ – 0,44)/1,25(0,9 – 0,44)/1,25 = 0,368 0,37 x = x/d = 0,30 ≤ 0,37 ok!Neste caso, com x = x/d = 0,30, os limites estão satisfeitos, o que deve garantir a necessáriaductilidade à viga nesta seção.Md18802As Ks= 0,026 8, 89 cm 2 (> As,mín = 1,71 cm 2 )d 55algumas opções (ver Tabela A-3):4 16 mm + 1 12,5 mm = 9,25 cm 2 (escolha adequada para construções de médio/grandeporte 12 );6 12,5 mm + 2 10 mm = 9,10 cm 2 (escolha indicada para construções de pequeno porte);7 12,5 mm = 8,75 cm 2 (escolha indicada para construções de pequeno porte).Considerando que no adensamento do concreto da viga será aplicado um vibrador comdiâmetro da agulha de 25 mm, a distância livre horizontal entre as barras das camadas da armaduranegativa deve ser superior a 25 mm. Para cobrimento de 2,5 cm, estribo com diâmetro de 5 mm, earmadura composta por 7 12,5 mm conforme o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:a h19 2 2,5 0,5 4 .1,25 2,7 cm312Está se supondo que edificações de médio e grande porte tenham uma pessoa experiente, o “armador”, para cortar,amarrar e montar as armaduras, com equipamentos adequados, onde a barra de 16 mm não oferece dificuldades. Emobras de pequeno porte é indicado utilizar barras de diâmetro até 12,5 mm.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 25distância livre suficiente para a passagem da agulha do vibrador. A posição do centro de gravidadeda armadura é:acg = 2,5 + 0,5 + 1,25 + 1,0 = 5,25 cm 5 cm adotado no cálculo.Com o momento fletor negativo diminuído em δ = 0,9 (M = – 13.430 kN.cm), os valores dosesforços solicitantes na viga são alterados conforme mostrado na Figura 23 13 , isto é, deve-se fazer aredistribuição de esforços solicitantes, a serem considerados no cálculo das demais armaduras daviga e nos outros elementos estruturais ligados à viga, como os pilares por exemplo (P1, P2 e P3).75,1104,9V (kN)k300104,975,1134303002733~ 40-+-~1802733M k(kN.cm)8522Figura 23 – Diagramas de esforços solicitantes característicos considerando a redistribuição em função dadiminuição de M para δM na seção sobre o pilar P2.Com a redistribuição de esforços e o momento fletor negativo menor no apoio intermediário,a flecha no vão aumenta para 0,35 cm. Esse valor, multiplicado por 2,0 para considerar o efeito dafluência no concreto sobre a flecha, resulta: 0,35 . 2,0 = 0,7 cm = 7 mm, um valor menor que odeslocamento-limite de 10 mm, conforme já apresentado.b) Apoios extremos (P1 e P3)Mk = – 2.733 kN.cmMd = f . Mk = 1,4 . (– 2733) = – 3.826 kN.cm8522Com d = 56 cm:2102 2b w d 19 . 56K c = 15, 6M d 3826Da Tabela A-1 tem-se:x = x/d = 0,06, Ks = 0,024 e domínio 2.x = x/d = 0,06 ≤ 0,45 ok!13O arquivo de dados de entrada no programa PPLAN4 e o relatório de resultados encontram-se no Anexo II ao final dotexto.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 26Md3826As Ks= 0,024 1, 64 cm 2 (< As,mín = 1,71 cm 2 )d 562 10 mm = 1,60 cm 2 (ver Tabela A-3), que é próximo ao valor mínimo.13.8.3.2 Momento Fletor PositivoO momento fletor máximo positivo no vão, após a redistribuição de esforços (Figura 23), é:Mk = 8.522 kN.cmMd = f . Mk = 1,4 . 8.522 = 11.931 kN.cmA capa (mesa) da laje pré-fabricada, com 4 cm de espessura, está comprimida pelo momentofletor positivo e contribui com a viga em proporcionar resistência às tensões normais decompressão, que ocorrem na parte superior da viga. No entanto, a contribuição não será consideradaporque a espessura da mesa é pequena, além de que em construções de pequeno porte, semfiscalização rigorosa, não há certeza quanto à uniformidade da espessura da mesa.Com d = 56 cm:2 2b w d 19 . 56K c = 5, 0M d 11931Da Tabela A-1 tem-se:x = x/d = 0,18, Ks = 0,025 e domínio 2.210x = x/d = 0,18 ≤ 0,45 ok!312,5Md11931As Ks= 0,025 5, 33 cm 2 (> As,mín = 1,71 cm 2 )d 56opções (ver Tabela A-3):3 16 = 6,00 cm 2 (escolha adequada para construções de médio/grande porte);2 16 + 1 12,5 = 5,25 cm 2 (escolha indicada para construções de médio/grande porte);4 12,5 + 1 10 mm = 5,80 cm 2 (escolha indicada para construções de pequeno porte).3 12,5 + 2 10 mm = 5,35 cm 2 (escolha indicada para construções de pequeno porte).cm 2 ).Os cálculos seguintes serão feitos considerando a quarta opção (3 12,5 + 2 10 mm = 5,3513.8.4 Armadura Longitudinal MáximaA soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que4 % Ac (As,máx):As,máx = 0,04 . 19 . 60 = 45,60 cm 2muito superior à qualquer combinação de As com A’s ao longo da viga (A’s resultou nula em todasas seções, ou seja, nenhuma seção com armadura dupla).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 2713.9. Armadura Transversal para Força CortanteComo a seção transversal da viga é retangular, a indicação de Leonhardt e Mönnig (1982) éde que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão aproxima-se de 30. Portanto, aarmadura transversal pode ser dimensionada com o Modelo de Cálculo II, com = 30. No entanto,por simplicidade e a favor da segurança, será adotado o Modelo de Cálculo I ( fixo em 45), pois aarmadura resultante será maior do que aquela do Modelo de Cálculo II com = 30.A resolução da viga à força cortante será feita mediante as equações simplificadasdesenvolvidas e apresentadas na apostila de BASTOS (2015). 14As forças cortantes máximas atuantes na viga, após a redistribuição de esforços, estãomostradas na Figura 23. A redução da força cortante nos apoios, possível de ser feita nos cálculosda armadura transversal como indicada na NBR 6118, não será adotada por simplicidade.13.9.1 Pilar Intermediário P2A força cortante que atua na viga no apoio correspondente ao pilar P2 é:Vk = 104,9 kN.cmVSd = f . Vk = 1,4 . 104,9 = 146,9 kNa) Verificação das diagonais de compressãoCom d = 55, e da Tabela A-4 anexa (para concreto C25) determina-se a força cortante últimaou máxima que a viga pode resistir:VRd2 0,43 b d 0,43.19 . 55 449,4 kNwVSdRd2 146,9 V 449,4 kN ok! não ocorrerá esmagamento das bielas de concreto.b) Cálculo da armadura transversalDa Tabela A-4 (C25), a equação para determinar a força cortante correspondente à armaduramínima é:VSd ,mín 0,117 b d 0,117 .19 . 55 122,3 kNwVSd 146,9 V 122,3 kN portanto, deve-se calcular a armadura transversal,Sd , mínpois será maior que Asw,mín .Da equação para Asw na Tabela A-4 (concreto C25) tem-se:AswV146,9 2,55Sd 0,20 bw 2,55 0,20 .19 3,01cm 2 /md55A armadura mínima é:14BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas deConcreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista(UNESP), abr/2015, 74p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 2820 fct,mAsw,mín bw(cm 2 3 2 3 2/m), com fct,m 0,3 fck 0,3 25 2, 56 MPafywke com o aço CA-50:Asw,mín20 . 0,256 .19 1,95 cm 2 /m50Como Asw = 3,01 cm 2 /m > Asw,mín = 1,95 cm 2 /m, deve-se dispor a armadura calculada naregião do apoio.13.9.2 Pilares Extremos P1 e P3A força cortante que atua na viga nos apoios correspondentes aos pilares P1 e P3 é:Vk = 75,1 kN.cmVSd = f . Vk = 1,4 . 75,1 = 105,1 kNCom a altura útil de 55 cm tem-se os valores de VRd2 = 449,4 kN e VSd,mín = 122,3 kN docálculo relativo ao pilar P2, e:VSd105,1 VRd2 449,4 kN não ocorrerá o esmagamento das diagonais de concreto.VSd 105,1 V 122,3 kN portanto, deve-se dispor a armadura mínimaSd , mín(Asw,mín = 1,95 cm 2 /m)13.9.3 Detalhamento da Armadura Transversala) diâmetro do estribo: 5 mm t bw/10 t 190/10 19 mmb) espaçamento máximo0,67 VRd2 = 0,67 . 449,4 = 301,1 kNVSd,P2 = 146,9 < 301,1 kN s 0,6 d 30 cmVSd,P1,P3 = 105,1 < 301,1 kN s 0,6 d 30 cm0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm Portanto, s 30 cmc) espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo0,20 VRd2 = 0,20 . 449,4 = 89,9 kNVSd,P2 = 146,9 > 89,9 kN s 0,6 d 35 cmVSd,P1,P3 = 105,1 > 89,9 kN s 0,6 d 35 cm0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm Portanto, s 33 cmd) escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 29d1) pilar P2 (Asw = 3,01 cm 2 )Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1 5 mm =0,20 cm 2 ), tem-se:A sw 0,0301s cm2 /cm 0,40 0,s0301 s = 13,3 cm 30 cmportanto, estribo com dois ramos 5 mm c/13 cm.d2) pilares P1 e P3 (Asw = Asw,mín = 1,95 cm 2 )Para a armadura mínima de 1,95 cm 2 /m, considerando o mesmo estribo, tem-se:A sw 0,0195s cm2 /cm 0,40 0,s0195 s = 20,5 cm 30 cmportanto, estribo com dois ramos 5 mm c/20 cm.A Figura 24 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga.N1-30 c/20 N1-8 c/13 N1-8 c/13N1-30 c/20104 104145519 70019N1 - 76 5 mmC=148 cm105,1V =Sd,mín122,3146,9 V Sd (kN)30070,2146,9105,1419Figura 24 – Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga.13.10. Ancoragem das Armaduras Longitudinais13.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3A viga VS1 tem simetria de carregamento e geometria, de modo que a ancoragem nospilares extremos P1 e P3 são exatamente iguais.Valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ) segundo o Modelo de Cálculo I,para estribos verticais: 1515BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP,Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/2015, 40p.(http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 30d VSd ,máxa d , com a 0,5d2 (V V )Sd ,máxcNa flexão simples, Vc = Vc0 = 0,6fctd bw d = 0,6 . 0,128 . 19 . 55 = 80,3 kNfctk,inf0,7 fct,m0,7 . 0,3 3 2 0,7 . 0,3 3fctd fck= 252 1, 28 MPa = 0,128 kN/cm 2ccc1,455 105,1a116,5cm ≤ 55 cm2 (105,1 80,3)portanto, a = d = 55 cm.A armadura a ancorar no apoio é:a VSd55 105,1As,anc = 2,42 cm 2d f 50yd 551,15A armadura calculada para o apoio deve atender à armadura mínima:As ,anc1A3 1A4s,vãos,vãoseseMMapoioapoio 0 ou negativo negativo e dede valorvalorMMMapoio2Mvão2apoiovãoM d,apoio – 3.826 kN.cm < Md,vão/2 = 11.931/2 = 5.965,5 kN.cmPortanto, As,anc 1/3 As,vão = 5,33/3 = 1,78 cm 2As,anc = 2,42 cm 2 ≥ 1/3 As,vão = 1,78 cm 2 ok!Se resultar As,anc menor que o valor mínimo, deve-se seguir nos cálculos com As,anc igual aovalor mínimo (1/3 ou 1/4 do As,vão).Para a ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos P1 e P3 da viga é necessária aárea de 2,42 cm 2 , no comprimento de ancoragem básico (b - Figura 25).bbAs,ancVIGA DE APOIOA s,ancc b,ef bbFigura 25 – Ancoragem da armadura positiva nos apoios extremos da viga.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 31Como as armaduras positivas dos tramos adjacentes aos pilares P1 e P3 são compostas por 3 12,5 mm + 2 10, e as duas barras ( de 12,5 mm) posicionados nos vértices dos estribos devemser obrigatoriamente estendidas até os apoios, a armadura efetiva (As,ef) a ancorar no apoio serácomposta por 2 12,5 mm (2,50 cm 2 ), que atende à área calculada de 2,42 cm 2 (As,anc).O comprimento de ancoragem básico pode ser determinado na Tabela A-6 anexa. Na colunasem gancho, considerando concreto C25, aço CA-50, diâmetro da barra de 12,5 mm e região de boaancoragem, encontra-se o comprimento de ancoragem básico (b) de 47 cm.Como a área de armadura escolhida para a ancoragem no apoio (As,ef) não é exatamenteigual à área da armadura calculada (As,anc), o comprimento de ancoragem básico pode ser corrigidopara b,corr , como (ver Figura 26):b,corr bAAs,ancs,ef2,42 47 45,5 cm2,50O comprimento de ancoragem corrigido deve atender ao comprimento de ancoragemmínimo (b,mín): b,mínr 6 cmr = D/2 = 5/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm(com D o diâmetro do pino de dobramento)r + 5,5 = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm , maior que 6 cm. b,mín = 10,0 cmTem-se que b,corr = 45,5 cm > b,mín = 10,0 cm ok! b,corrA s,efcb,efbFigura 26 – Ancoragem da armadura efetiva no comprimento de ancoragem corrigido.O comprimento de ancoragem efetivo, que corresponde ao máximo comprimento possívelpara ancorar no apoio, conforme a Figura 26 é:b,ef = b – c = 19 – 2,5 = 16,5 cmNuma primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho)é superior ao comprimento de ancoragem efetivo do apoio (b,corr = 45,5 cm > b,ef = 16,5 cm). Isto

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 32significa que não é possível fazer a ancoragem reta, pois a barra ficaria com um trecho fora da seçãodo pilar.O passo seguinte para resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades das barras, oque permite diminuir o comprimento reto em 30 %. O comprimento de ancoragem com gancho é:b,gancho0,7 . 45,5 31,9 cmVerifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois ocomprimento de ancoragem com gancho resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo:b,gancho = 31,9 cm > b,ef = 16,5 cmA próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr :As,corr0,7 b0,7 47 As,anc= 2,42 4, 83cm 216,5b,efPortanto, mesmo que se estenda até o apoio as três barras da primeira camada da armadurapositiva do vão (3 12,5 mm), a área de 3,75 cm 2 não é suficiente para atender As,corr . Entre outrassoluções, uma é estender todas as barras da armadura do vão até o apoio, pois a área total (As,vão) de5,35 cm 2 atende a As,corr . Outra solução, mais econômica, é estender duas ou três barras 12,5 mmda primeira camada e acrescentar grampos, com a área de grampos sendo a diferença entre a área dearmadura a ancorar (As,corr) e a área de armadura do vão estendida até o apoio. No caso de estender2 12,5 (2,50 cm 2 ), a área de grampo é:As,gr = As,corr – As,ef = 4,83 – 2,50 = 2,33 cm 2A armadura a ancorar neste caso pode ser: 2 12,5 + 4 10 mm (2 grampos) 16 = 5,70 cm 2 ,que atende com folga a As,corr de 4,83 cm 2 . O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 27.Outra solução pode ser estender 3 12,5 (3,75 cm 2 ), com área de grampo de:As,gr = As,corr – As,ef = 4,83 – 3,75 = 1,08 cm 2A armadura a ancorar pode ser: 3 12,5 + 2 8 mm (1 grampo) = 4,75 cm 2 , que é suficientepara As,corr de 4,83 cm 2 .2,5100 = 100 cmgr102 cm15,5192 grampos 10 mm2 12,5A s,efFigura 27 – Detalhe da ancoragem com grampo nos pilares extremos P1 e P3.161 8 mm (0,50 cm 2 ); 1 10 (0,80 cm 2 ); 1 12,5 (1,25 cm 2 ).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 3313.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2Estendendo 2 12,5 (dos vértices dos estribos) da armadura longitudinal positiva do vão atéo pilar intermediário (As,anc = As,ef = 2,50 cm 2 ), esta armadura deve ser superior à mínima:M d,apoio – 18.802 kN.cm > Md,vão/2 = 11.931/2 = 5.965,5 kN.cmPortanto, As,anc 1/4 As,vão = 5,33/4 = 1,33 cm 2As,ef = 2,50 cm 2 > 1/4 As,vão = 1,33 cm 2 ok!As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10 além da face do apoio. 17O valor da decalagem do diagrama de momentos fletores (a ), relativo ao pilar P2, seránecessário no “cobrimento” do diagrama. Segundo o Modelo de Cálculo I, para estribos verticais:d VSd ,máxa d , com a 0,5d2 (V V )Sd ,máxcComo já determinado, Vc = Vc0 = 80,3 kN55 146,9a 60,7 cm ≤ 55 cm portanto, a = d = 55 cm2 (146,9 80,3)13.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos devepenetrar até próximo à face externa do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuirum gancho direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35. O diâmetro do pino dedobramento deve ser de 5 para barra 10 mm, como indicado na Figura 28.2 105 35 35 cmFigura 28 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.13.11. Detalhamento da Armadura LongitudinalA Figura 29 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito paraconhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e17No caso de vigas que não apresentem simetria, esta verificação deve ser feita para os dois tramos adjacentes ao pilarintermediário.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 34negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores decálculo, decalado no valor de a (55 cm).Por simplicidade, a armadura negativa no apoio intermediário (P2) foi separada em doisgrupos, sendo 4 12,5 na primeira camada com comprimento idêntico para as barras, e 3 12,5 nasegunda camada. Outros arranjos ou agrupamentos diferentes podem ser feitos, resultandocomprimentos diferentes para as barras.A armadura positiva foi separada em dois grupos, o primeiro referente às barras que serãoestendidas até os apoios (3 12,5), e o segundo com 2 10, sendo estas últimas “cortadas” antesdos apoios, conforme o cobrimento do diagrama de momentos fletores (Figura 29).Os comprimentos de ancoragem básicos (b) para barras 12,5 mm (CA-50), concreto C25,em situações de má aderência e de boa aderência, conforme a Tabela A-6, são respectivamente 67cm e 47 cm (coluna sem gancho). Para barra 10 mm (CA-50) o comprimento de ancoragembásico, em região de boa aderência, é de 38 cm (coluna sem gancho).248135a face externado pilara 21012,51012,51067B 1a a B267 bba A2A1412,5(2)312,5(1)B2212,5B 212,512,512,5A 2 A10112,5 (2)2 101047 B1a60B 47175210 (1)1b b10A38 1 A1381010centro do pilar baa b10110220Figura 29 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.A Figura 30 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feitonormalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feitonormalmente nas escalas de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamentofinal, pois geralmente é apenas com ele que a armação da viga será executada.Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem serexecutados os ganchos, os pinos de dobramento, etc.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 35VS1 = VS3 (19 x 60)4 N3N1-30c/20N1-8c/13104N1-8c/13104N1-30c/203 N42 x 4 N535P1N2 - 210 C = 55340AP240248248N3 - 412,5 C = 496135 135N4 - 312,5 C = 270 (2° cam)N2 - 210 C = 553P3352 N61 N7 2 N81455N5 - 2 x 44,2 CORRN1 - 76 5 mm C=148N6 - 210 C = 400N7 - 112,5 C = 494220 220175 175N6 - 210 C = 400N7 - 112,5 C = 4941013N8 - 212,5 C = 749N8 - 212,5 C = 749100 100AN9 - 210 C = 213 N9 - 210 C = 2131013Figura 30 – Detalhamento final das armaduras da viga.O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na Figura 30 é omais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduraslongitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exemplo, a armadura longitudinal negativapode ser mostrada acima do desenho da viga, a linha de cotas dos estribos pode ser indicada naparte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na Figura 30. Esta forma de indicar asarmaduras, embora não seja a mais comum, tem a vantagem de bem separar as armaduras negativae positiva, restringindo possíveis confusões.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto –Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto para fins estruturais -Classificação pela massa específica, por grupos de resistência e consistência. NBR 8953, ABNT,2009, 4p.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Concreto – Determinação daresistência à tração na flexão de corpos de prova prismáticos. NBR 12142, ABNT, 2010, 5p.BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples - Vigas. Disciplina 2117 – Estruturas de Concreto I.Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade EstadualPaulista (UNESP), fev/2015, 78p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm).BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123– Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia -Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p.(http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm).

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 36BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II.Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade EstadualPaulista (UNESP), maio/2015, 40p. (http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm).CARVALHO, R.C. ; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais deconcreto armado: segundo a NBR 6118:2014. São Carlos, v.1, Ed. EDUFSCar, 2014, 416p.CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 – Manual deutilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia deEstruturas, 1992, 80p.FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p.

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 37ANEXO ITabela A-1 – Valores de K c e K s para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência –f ck ≤ 50 MPa, c = 1,4, γ s = 1,15).FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLESx x dKc (cm 2 /kN)Ks (cm 2 /kN) Dom.C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-500,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,0230,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,0230,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,0230,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,0230,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,0230,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,0240,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,0240,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,0240,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,0240,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,0240,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,0240,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,0240,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,0240,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,0240,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,0240,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,0250,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,0250,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,0250,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,0250,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,0250,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,0250,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,0250,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,0250,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,0250,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,0260,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,0260,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,0260,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,0260,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,0260,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,0260,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,0260,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,0260,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,0260,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,0270,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,0270,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,0270,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,0270,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,0270,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,0270,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,0280,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,0280,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,0280,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,0280,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,0280,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,0290,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,0290,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,0290,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,0300,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,0300,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,0300,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,0310,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,03123

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 38Tabela A-2 – Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480).Diâmetro (mm) Massa Área PerímetroFios Barras (kg/m) (mm 2 ) (mm)2,4 - 0,036 4,5 7,53,4 - 0,071 9,1 10,73,8 - 0,089 11,3 11,94,2 - 0,109 13,9 13,24,6 - 0,130 16,6 14,55 5 0,154 19,6 17,55,5 - 0,187 23,8 17,36 - 0,222 28,3 18,8- 6,3 0,245 31,2 19,86,4 - 0,253 32,2 20,17 - 0,302 38,5 22,08 8 0,395 50,3 25,19,5 - 0,558 70,9 29,810 10 0,617 78,5 31,4- 12,5 0,963 122,7 39,3- 16 1,578 201,1 50,3- 20 2,466 314,2 62,8- 22 2,984 380,1 69,1- 25 3,853 490,9 78,5- 32 6,313 804,2 100,5- 40 9,865 1256,6 125,7

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 39Tabela A-3 – Área de aço e largura b w mínima.Diâm. A s (cm 2 ) Número de barras(mm) b w (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,404,2 Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30b wBr. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,005 Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31b wBr. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,48 2,79 3,106,3 Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32b wBr. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,008 Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34b wBr. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,0010 Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36b wBr. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,5012,5 Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38b wBr. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,0016 Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42b wBr. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,5020 Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46b wBr. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,0022 Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48b wBr. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,0025 Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53b wBr. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,5032 Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66b wBr. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,0040 Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81b wBr. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81largura b w mínima:b w,mín = 2 (c + t) + n o barras . + a h.mín (n o barras – 1)c Ø tBr. 1 = brita 1 (d máx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (d máx = 25 mm)Valores adotados: t = 6,3 mm ; c nom = 2,0 cmPara c nom 2,0 cm, aumentar b w,mín conforme:c nom = 2,5 cm + 1,0 cm2 cmc nom = 3,0 cm + 2,0 cmah,mín c nom = 3,5 cm + 3,0 cmc nom = 4,0 cm + 4,0 cm1,2d máx,agrØ ahbwav

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 40Tabela A-4 – Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I.Modelo de Cálculo I(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples).ConcretoC20C25C30C35C40C45C50bw = largura da viga, cm;d = altura útil, cm;VRd2(kN)VSd,mín(kN)0,35 bw d,101b d0,43 bw d,117 b d0,51bw d,132 b d0,58 bw d,147 b d0,65 bw d,160 b d0,71bw d,173 b d0,77 bw d,186 b dAsw(cm 2 /m)VdSd0 w 2,55 0,17 bwVdSd0 w 2,55 0,20 bwVdSd0 w 2,55 0,22 bwVdSd0 w 2,55 0,25 bwVdSd0 w 2,55 0,27 bwVdSd0 w 2,55 0,29 bwVd0 Sdw 2,55 0,31 bwVSd = força cortante de cálculo, kN;Tabela A-5 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I.Modelo de Cálculo II(estribo vertical, c = 1,4, s = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples)ConcretoVRd2(kN)VSd,mín(kN)Asw(cm 2 /m)C20C25C30C35C40C450,71bw . d .sen .cos 0,035.bw . d . cot g V c 10,87 bw . d .sen .cos 0,040 . bw . d . cot g V c 11,02 bw . d .sen .cos 0,045.bw . d . cotg V c 11,16 bw . d .sen .cos 0,050 . bw . d . cot g V c 11,30 bw . d .sen .cos 0,055.bw . d . cotg V c 11,42 bw . d .sen .cos 0,059 . bw . d . cot g V c 12,55 tg VSd dVc1C50 1,54 bw . d .sen .cos 0,064 . bw . d . cot g V c 1bw = largura da viga, cm;VSd = força cortante de cálculo, kN;d = altura útil, cm; = ângulo de inclinação das bielas de compressão ();VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN;

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 41Tabela A-6 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado.COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calcCA-50 nervurado(mm)ConcretoC15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com6,348 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 1533 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10861 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 1942 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 131076 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 2453 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 1712,595 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 3066 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 2116121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 3885 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 2720151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 3322,5170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 3725189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 4232242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 5340329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72Valores de acordo com a NBR 6118.N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa AderênciaSem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barraA s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada0,3 bO comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: b,mín 10100 mm c = 1,4 ; s = 1,15

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 42Tabela A-7 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado.COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calcCA-60 entalhado(mm)ConcretoC15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com3,450 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 1635 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 114,261 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 1943 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13573 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 2351 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16688 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 2761 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 197102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 3271 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 228117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 3782 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 269,5139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 4397 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30Valores de acordo com a NBR 6118.N o Superior: Má Aderência ; N o Inferior: Boa AderênciaSem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barraA s,ef = área de armadura efetiva ; A s,calc = área de armadura calculada0,3 bO comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: b,mín 10100 mm c = 1,4 ; s = 1,15

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 43ANEXO IIRELATÓRIOS DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN4a) Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 (19 x 60) – Processamento inicialESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: Apostila Vigas CA - EXEMPLO---------------------------------------------------------------------------GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE COORDENADAS NODAISNO COORD X COORD Y IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .000 .000 NOGL2 359.500 .000 NOGL3 719.000 .000 NOGL4 1078.500 .000 NOGL5 1438.000 .000 NOGL---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE RESTRICOES NODAISNO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES5 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES3 1 1 0 RES---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRASNO NO COSSENO OPCAOBARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG---------------------------------------------------------------------------

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 44GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL---------------------------------------------------------------------------PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60)---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS.......................................................... 5NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 3NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 6NUMERO DE BARRAS....................................................... 4NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 9MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54---------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS III---------------------------------------------ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: Apostila Vigas CA - EXEMPLO============================PORTICO: VS1 (19 X 60)=======================================================================================================COORDENADAS E RESTRICOES NODAISNO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R===========================================================================1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 452 359.500 .000 0 0 03 719.000 .000 1 1 04 1078.500 .000 0 0 05 1438.000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07===========================================================================CARACTERISTICAS DAS BARRASNO ROT NO ROT COSSENOBARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR===========================================================================1 1 0 2 0 1 359.500 1.00002 2 0 3 0 1 359.500 1.00003 3 0 4 0 1 359.500 1.00004 4 0 5 0 1 359.500 1.0000===========================================================================PROPRIEDADES DAS BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP===========================================================================1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00===========================================================================PROPRIEDADES DOS MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM===========================================================================1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00---------------------------------------------------------------------------GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) )------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARGAS EM BARRASBARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG3 1 -.2504 1.000 .000 CBRG4 1 -.2504 1.000 .000 CBRG---------------------------------------------------------------------------ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 5NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 4NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -360.075

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 46------------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I------------------------------------------------===========================================================================CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) )======================================================================================================================================================DESLOCAMENTOS NODAISNO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO===========================================================================1 .0000000 .0000000 .00149982 .0000000 -.3106265 -.00037503 .0000000 .0000000 .00000004 .0000000 -.3106265 .00037505 .0000000 .0000000 -.0014998===========================================================================ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRASBARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 1 .000 72.766 -2517.4752 .000 -17.253 7461.0702 2 .000 -17.253 7461.0703 .000 -107.271 -14922.1403 3 .000 107.271 -14922.1404 .000 17.253 7461.0704 4 .000 17.253 7461.0715 .000 -72.766 -2517.475===========================================================================RESULTANTES NODAISNO RESULT X RESULT Y MOMENTO===========================================================================1 .000 72.766 -2517.4752 .000 .000 .0003 .000 214.543 .0004 .000 .000 .0005 .000 72.766 2517.475SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 360.075SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -360.075

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 47ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 %===========================================================================ESFORCOS AO LONGO DAS BARRASBARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 0/10 .000 72.766 -2517.4751 1/10 .000 63.764 -63.3421 2/10 .000 54.762 2067.1751 3/10 .000 45.760 3874.0731 4/10 .000 36.759 5357.3541 5/10 .000 27.757 6517.0171 6/10 .000 18.755 7353.0631 7/10 .000 9.753 7865.4921 8/10 .000 .751 8054.3021 9/10 .000 -8.251 7919.4961 10/10 .000 -17.253 7461.0712 0/10 .000 -17.253 7461.0702 1/10 .000 -26.255 6679.0282 2/10 .000 -35.256 5573.3692 3/10 .000 -44.258 4144.0912 4/10 .000 -53.260 2391.1962 5/10 .000 -62.262 314.6842 6/10 .000 -71.264 -2085.4472 7/10 .000 -80.266 -4809.1942 8/10 .000 -89.268 -7856.5612 9/10 .000 -98.270 -11227.5402 10/10 .000 -107.271 -14922.1403 0/10 .000 107.271 -14922.1403 1/10 .000 98.270 -11227.5403 2/10 .000 89.268 -7856.5593 3/10 .000 80.266 -4809.1933 4/10 .000 71.264 -2085.4463 5/10 .000 62.262 314.6843 6/10 .000 53.260 2391.1973 7/10 .000 44.258 4144.0923 8/10 .000 35.256 5573.3703 9/10 .000 26.255 6679.0313 10/10 .000 17.253 7461.0734 0/10 .000 17.253 7461.0714 1/10 .000 8.251 7919.4964 2/10 .000 -.751 8054.3034 3/10 .000 -9.753 7865.4924 4/10 .000 -18.755 7353.0634 5/10 .000 -27.757 6517.0184 6/10 .000 -36.759 5357.3544 7/10 .000 -45.760 3874.0734 8/10 .000 -54.762 2067.1744 9/10 .000 -63.764 -63.3424 10/10 .000 -72.766 -2517.477- Analise completa - fim do processamento -

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 48b) Esforços Solicitantes na Viga Contínua VS1 (19 x 60) – Conferência domomento fletor positivo máximoESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: VIGA EXEMPLO - Confer. Momento positivo---------------------------------------------------------------------------GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE COORDENADAS NODAISNO COORD X COORD Y IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .000 .000 NOGL2 359.500 .000 NOGL3 719.000 .000 NOGL---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE RESTRICOES NODAISNO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES3 1 1 1 RES---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRASNO NO COSSENO OPCAOBARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 49---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL---------------------------------------------------------------------------PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60)---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS.......................................................... 3NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 2NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 5NUMERO DE BARRAS....................................................... 2NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 4MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 24---------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS III---------------------------------------------ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: VIGA EXEMPLO - Confer. Momento positivo============================PORTICO: VS1 (19 X 60)=======================================================================================================COORDENADAS E RESTRICOES NODAISNO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R===========================================================================1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+072 359.500 .000 0 0 03 719.000 .000 1 1 1

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 50===========================================================================CARACTERISTICAS DAS BARRASNO ROT NO ROT COSSENOBARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR===========================================================================1 1 0 2 0 1 359.500 1.00002 2 0 3 0 1 359.500 1.0000===========================================================================PROPRIEDADES DAS BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP===========================================================================1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00===========================================================================PROPRIEDADES DOS MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM===========================================================================1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00---------------------------------------------------------------------------GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) )------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARGAS EM BARRASBARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG---------------------------------------------------------------------------ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 3NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -180.038------------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I------------------------------------------------

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 51===========================================================================CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) )======================================================================================================================================================DESLOCAMENTOS NODAISNO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO===========================================================================1 .0000000 .0000000 .00149982 .0000000 -.3106265 -.00037503 .0000000 .0000000 .0000000===========================================================================ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRASBARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 1 .000 72.766 -2517.4752 .000 -17.253 7461.0702 2 .000 -17.253 7461.0703 .000 -107.271 -14922.140===========================================================================RESULTANTES NODAISNO RESULT X RESULT Y MOMENTO===========================================================================1 .000 72.766 -2517.4752 .000 .000 .0003 .000 107.271 14922.140SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 180.038SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -180.038ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 %===========================================================================ESFORCOS AO LONGO DAS BARRASBARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 0/10 .000 72.766 -2517.4751 1/10 .000 63.764 -63.3421 2/10 .000 54.762 2067.1751 3/10 .000 45.760 3874.0731 4/10 .000 36.759 5357.3541 5/10 .000 27.757 6517.0171 6/10 .000 18.755 7353.0631 7/10 .000 9.753 7865.4921 8/10 .000 .751 8054.3021 9/10 .000 -8.251 7919.496

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 521 10/10 .000 -17.253 7461.0712 0/10 .000 -17.253 7461.0702 1/10 .000 -26.255 6679.0282 2/10 .000 -35.256 5573.3692 3/10 .000 -44.258 4144.0912 4/10 .000 -53.260 2391.1962 5/10 .000 -62.262 314.6842 6/10 .000 -71.264 -2085.4472 7/10 .000 -80.266 -4809.1942 8/10 .000 -89.268 -7856.5612 9/10 .000 -98.270 -11227.5402 10/10 .000 -107.271 -14922.140- Analise completa - fim do processamento -c) Arquivo de dados de entrada da viga com redistribuição de esforçosOPTE,2,2,2,2,2,UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IIVIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à PlastificaçãoVS1 (19 X 60)NOGL1,3,1,0,0,719,0,RES1,1,1,2,0,0,1678522,3,1,1,BARG1,2,1,1,1,2,1,1,1,PROP1,1,1140,342000,60,MATL1,2898,FIMGCARR1CNO3,0,0,13430,CBRG1,2,1,1,-0.2504,1,FIMCFIMEd) Relatório de resultados da viga com redistribuição de esforçosESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: VIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à Plastificação

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 53---------------------------------------------------------------------------GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE COORDENADAS NODAISNO COORD X COORD Y IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .000 .000 NOGL2 359.500 .000 NOGL3 719.000 .000 NOGL---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE RESTRICOES NODAISNO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+07 RES3 1 1 0 RES---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRASNO NO COSSENO OPCAOBARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT---------------------------------------------------------------------------1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL---------------------------------------------------------------------------PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60)---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS.......................................................... 3NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 2NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 4NUMERO DE BARRAS....................................................... 2

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 54NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 5MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 30---------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS III---------------------------------------------ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOSSISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOSPROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92PROJETO: UNESP - BAURU, DISC. CONCRETO IICLIENTE: VIGA EXEMPLO - Redistribuição devido à Plastificação============================PORTICO: VS1 (19 X 60)=======================================================================================================COORDENADAS E RESTRICOES NODAISNO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R===========================================================================1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .16785E+072 359.500 .000 0 0 03 719.000 .000 1 1 0===========================================================================CARACTERISTICAS DAS BARRASNO ROT NO ROT COSSENOBARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR===========================================================================1 1 0 2 0 1 359.500 1.00002 2 0 3 0 1 359.500 1.0000===========================================================================PROPRIEDADES DAS BARRASPROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP===========================================================================1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 55===========================================================================PROPRIEDADES DOS MATERIAISMAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM===========================================================================1 .289800E+04 .00000E+00 .00000E+00---------------------------------------------------------------------------GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) )------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARGAS NODAISNO FORCA X FORCA Y MOMENTO IDENT---------------------------------------------------------------------------3 .000 .000 13430.000 CNO---------------------------------------------------------------------------GERACAO DE CARGAS EM BARRASBARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT---------------------------------------------------------------------------1 1 -.2504 1.000 .000 CBRG2 1 -.2504 1.000 .000 CBRG---------------------------------------------------------------------------ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO---------------------------------------------------------------------------NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 1NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 2NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -180.038------------------------------------------------I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO IIII ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I------------------------------------------------===========================================================================CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) )======================================================================================================================================================DESLOCAMENTOS NODAISNO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO===========================================================================1 .0000000 .0000000 .0016281

UNESP - Bauru/SP – Vigas de Concreto Armado 562 .0000000 -.3522480 -.00032333 .0000000 .0000000 -.0003348===========================================================================ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRASBARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 1 .000 75.141 -2732.8722 .000 -14.878 8099.4432 2 .000 -14.878 8099.4423 .000 -104.897 -13430.000===========================================================================RESULTANTES NODAISNO RESULT X RESULT Y MOMENTO===========================================================================1 .000 75.141 -2732.8722 .000 .000 .0003 .000 104.897 .000SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 180.038SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -180.038ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 %===========================================================================ESFORCOS AO LONGO DAS BARRASBARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR===========================================================================1 0/10 .000 75.141 -2732.8721 1/10 .000 66.139 -193.3621 2/10 .000 57.137 2022.5311 3/10 .000 48.135 3914.8071 4/10 .000 39.133 5483.4651 5/10 .000 30.132 6728.5051 6/10 .000 21.130 7649.9281 7/10 .000 12.128 8247.7331 8/10 .000 3.126 8521.9221 9/10 .000 -5.876 8472.4921 10/10 .000 -14.878 8099.4452 0/10 .000 -14.878 8099.4422 1/10 .000 -23.880 7402.7772 2/10 .000 -32.882 6382.4952 3/10 .000 -41.883 5038.5942 4/10 .000 -50.885 3371.0772 5/10 .000 -59.887 1379.9412 6/10 .000 -68.889 -934.8122 7/10 .000 -77.891 -3573.1832 8/10 .000 -86.893 -6535.1722 9/10 .000 -95.895 -9820.7772 10/10 .000 -104.897 -13430.000- Analise completa - fim do processamento -