Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemConsidere por enquanto um VAR de primeira ordem, VAR(1):z t = C 0 +C 1 z t−1 +v t .Portanto,z 1 = C 0 +C 1 z 0 +v 1z 2 = C 0 (I+C 1 )+C 2 1z 0 +C 1 v 1 +v 2(z 3 = C 0 I+C1 +C 2 1)+C31 z 0 +C 2 1v 1 +C 1 v 2 +v 3.∑t−1z t = C 0 C i 1 +Ct 1 z ∑t−10 + C i 1 v t−i.i=0 i=0Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemSuponha que a matriz C 1 tenha m autovalores distintos.Portanto,C 1 = TΛT −1 ,onde ⎡ ⎤λ 1 0 ··· 00 λ 2 ··· 0Λ = ⎢⎣.. . ..⎥. ⎦0 0 ··· λ mé a matriz de autovalores e T é a matriz de autovetores.É trivial mostrar que C i 1 = TΛ i T −1 .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemDa mesma forma, podemos mostrar que quando |λ j | < 1,j = 1,...,m, a variância assintótica de z t é dada por:lim vec(Σ z,t) = vec(Σ z ) = (I−C 1 ⊗C 1 ) −1 vec(Σ v ),t−→∞onde Σ v = E(v t v ′ t).Além disso,COV(z t ,z t−h ) −→ Γ h ≡ C h 1Σ z , quandot −→ ∞.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemResultado Importante - VAR(1)Quando os autovalores da matriz C 1 forem todos menores do que1 em módulo, o processo VAR(1) será assintoticamenteestacionário de segunda ordem.O processo VAR só será estacionário assintoticamente(“steady-state”).O que acontece quando os autovalores de C 1 não sãodistintos?Quais são as condições de estacionaridade do processoVAR(p)?Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemConsidere por enquanto um VAR de ordem p, VAR(p):z t = C 0 +C 1 z t−1 +···+C p z t−p +v t .O processo VAR(p) pode ser escrito da seguinte forma:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤z t C 0 C 1 C 2 ··· C p−1 C p z t−1 v tz t−10I 0 ··· 0 0z t−20z t−2=0+0 I ··· 0 0z t−3⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣.. . ..⎥⎢⎥+0.⎢ ⎥. . ⎦⎣. ⎦ ⎣ . ⎦z t−p+1 0 0 0 ··· I 0 z t−p 0} {{ }FMarcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoCondições para Estacionariedade de Segunda OrdemResultado Importante - VAR(p)Quando os autovalores da matriz F forem todos menores do que 1em módulo, o processo VAR(p) será assintoticamente estacionáriode segunda ordem.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoUm VAR(1) assintoticamente estacionário de segunda ordempode ser representado, em “steady-state” (equiĺıbrio), daseguinte forma:z t = (I−C 1 ) −1 C 0 +∞∑C i 1B −1 u t−ii=0∞∑z t = (I−C 1 ) −1 (C 0 + TΛ i T −1) B −1 u t−i .} {{ }i=0−→0,i−→∞} {{ }Φ iPortanto, para um processo VAR(1) assintoticamenteestacionário, a FRI tenderá exponencialmente para zero! Omesmo vale para um VAR(p) estacionário.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoO formato específico da FRI irá depender dos autovalores damatriz F.No caso do VAR(1), F = C 1 .Autovalores complexos implicam em uma FRI senoidal comamplitude exponencialmente amortecida ⇒ Comportamentocíclico!Quando os autovalores forem reais, a FRI não irá apresentardinâmica cíclica.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEstacionariedadeEstacionariedade e Função de Resposta ao ImpulsoModelos Estruturais e Função de Resposta ao ImpulsoImportanteEm geral, modelos estruturais na formaBz t = A 0 +A(L)z t +u tsão interpretados em termos das suas FRIs e não dos parâmetrosdo modelo, uma vez que estes raramente representam osparâmetros de um modelo comportamental.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasUm caso particular importante do modelo estrutural descritoanteriormente é omodelo auto-regressivo com defasagens distribuídas (ARDL):y t = a 0,y −b ′ yx x t +y t = α 0 +p∑i=1p∑β ′ i x t−i +i=0(ai,y y t−i +a ′ i,yx x )t−i +uy,tp∑α i y t−i +u y,t .i=1Como devemos interpretar os coeficientes de um modeloARDL?Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasEquiĺıbrio de longo-prazo (sob estacionariedade):y t = y t−1 = ··· = y t−p = E(y t ) = y ∗x t = x t−1 = ··· = x t−p = E(x t ) = x ∗u y,t = u y,t−1 = ··· = u y,t−p = 0.Portanto, o modelo ARDL torna-se em equiĺıbrio:y ∗ = α 0α p (1) + β p(1) ′α p (1) x∗y ∗ = α+β ′ x ∗ .β é conhecido como Multiplicador de Longo-Prazo.Podemos mostrar que β representa o efeito no longo-prazoem y de um choque unitário em x no instante t.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasModelo com Correção de ErrosDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesA partir da decomposição BN podemos mostrar que:a p (L) = a p (1)L+a ∗∗p−1 (L)(1−L),a ∗∗p−1(L) = a ∗ p−1(L)+a p (1).Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasModelo com Correção de ErrosDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesO modelo ARDL pode ser escrito da seguinte forma:α p (L)y t = α 0 +β ′ p(L)x t +u y,t ,onde:α p (L) = 1−α 1 L+···+α p L p ,β p (L) = β 0 +β 1 L+···+β p L p .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasModelo com Correção de ErrosDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesPela decomposição de BN:α ∗∗p−1(L)∆y t = α 0 +β ∗∗p−1(L) ′ ∆x t −α(y t−1 −β ′ x t−1 )+u y,t ,⇒ Modelo com Correção de Erros (ECM)onde:α = α p (1), eβ = β p (1)/α ⇒ Multiplicador de Longo-Prazo.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasModelo com Correção de ErrosDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesQual é a interpretação para o ECM?α ∗∗p−1(L)∆y t = α 0 +β ∗∗p−1(L) ′ ∆x t −α(y t−1 −β ′ x t−1 )+u y,t ,∆y t}{{}Movimentos de curto-prazo∑p−1= α 0 +i=1α ∗∗i ∆y t−1 +β ∗∗p−1(L) ′ ∆x t−α (y t−1 −β ′ x t−1 )} {{ }Desvio em relação ao equiĺıbrio de longo-prazo+u y,t .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Processo Auto-regressivo VetorialO Processo Auto-Regressivo com Defasagens DistribuídasModelos com Fatores ComunsDefiniçãoO Multiplicador de Longo-PrazoCasos ParticularesSem perda de generalidade, vamos considerar que x t ∈ R.Suponha também que o modelo ARDL possa ser escrito daseguinte forma:α p (L)y t = α 0 +β p (L)x t +u y,t ,α 1,p−1 (L)θ 1 (L)y t = α 0 +β 1,p−1 (L)θ 1 (L)x t +u y,t .θ 1 (L) é um fator comum aos polinômios α p (L) e β p (L) erepresenta a existência de uma raiz comum.Logo,α 1,p−1 (L)y t = α 0θ 1 (L) +β 1,p−1(L)x t + u y,tθ 1 (L) ,α 1,p−1 (L)y t = ˜α 0 +β 1,p−1 (L)x t +e t .Note que θ 1 (L)e t = u y,t ⇒ e t é um processo AR(1)!Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos