Séries Temporais e Modelos Dinâmicos em Econometria

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoSéries Temporais e Modelos Dinâmicos emEconometriaMarcelo C. MedeirosDepartamento de EconomiaPontifícia Universidade Católica do Rio de JaneiroAula 6Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Teorema de WoldO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MO Teorema de WoldTodo processo {y t } estacionário de segunda ordem possui aseguinte representação:y t =∞∑ψ i ε t−i +η t ,i=0onde ξ 0 = 1, ∑ ∞i=0 ψ2 i< ∞, {ε t } é um processo nãocorrelacionado serialmente, E(η t ε t−i ) = 0, ∀i e existem constantesa 0 ,a 1 ,... tal que V( ∑ ∞i=0 a iη t−i ) = 0. η t é um processodeterminístico.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoLei dos Grandes NúmerosO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MLei dos Grandes Números para Processos DependentesSeja {y t } um processo estocástico tal que:E(y t ) = µ < ∞, E[(y t −µ)(y t−k −µ)] = γ k , e∞∑|γ k | < ∞.k=0Então:y = 1 TlimT−→∞T∑t=1{TEy tm.s.−→ µ[(y −µ) 2]} =∞∑k=−∞γ k = γ 0 +2∞∑|γ k |.k=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeorema Central do LimiteO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MTeorema Central do Limite para Processos DependentesSeja {y t } um processo estocástico tal que:y t = µ+∞∑ψ i ε t−ii=0y t = µ+Ψ ∞ (L)ε t ,onde ψ 0 = 1 e ∑ ∞i=0 i|ψ i| ≤ ∞. Logo,√T (y −µ)d−→ N [ 0,σ 2 εΨ ∞ (1) 2] .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Estimação-MAlguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MEm geral, um vetor de parâmetros ψ 0 é estimado por̂ψ = argminQ T (ψ),ψ∈Ψonde Q T (ψ) é uma função de custo.Exemplos clássicos são mínimos quadrados ordinários oumáxima verossimilhança.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Estimação-MAlguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MConsistênciaSe:1. Ψ for compacto2. Q T (ψ) for uma função contínua em ψ ∈ Ψ para todo y etambém for uma função mensurável de y para todo ψ ∈ Ψ13.T Q pT(ψ) −→ Q(ψ) (não-estocástico)4. ψ 0 ∈ int(Ψ) for o único mínimo de Q(ψ)Então ̂ψ −→ pψ 0 .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Estimação-MAlguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Teorema de WoldLei dos Grandes NúmerosTeorema Central do LimiteEstimação-MNormalidade AssintóticaSe além das condições 1–4 do teorema anterior,5. ∇ 2 Q T (ψ) existir e for uma função contínua em umavizinhança aberta e convexa de ψ 016.T ∇2 pQ T (ψ 0 ) −→ A(ψ 0 ), onde A(ψ 0 ) é uma matriz finita enão-singular.1 d7. √ ∇Q T T (ψ 0 ) −→ N(0,B 0 ).Então√T(̂ψ −ψ0) d−→ N ( 0,A(ψ 0 ) −1 B(ψ 0 )A(ψ 0 ) −1)Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo EstruturalO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARSeja z t = (z 1t ,...,z mt ) ′ ∈ R m e considere o seguinte modelo“estrutural” com erros MA:Bz t = A 0 +A 1 z t−1 +...+A p z t−p +D 1 u t−1 +...+D q u t−q +u t ,Bz t = A 0 +A(L)z t +D(L)u t ,onde:B ∼ (m ×m), A 0 ∼ (m×1),A 1 ∼ (m ×m),...,A p ∼ (m×m),D 1 ∼ (m×m),...,D p ∼ (m×m) são parâmetros;u t = (u 1,t ,...,u m,t ) ′ é um vetor com os choques estruturais eA(L) = A 1 L+A 2 L 2 +···+A p L p eD(L) = I+D 1 L+D 2 L 2 +···+D q L q .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo EstruturalO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARVamos considerar as seguintes hipóteses para o erro u t :E(u t |F t−1 ) = E(u t ) = 0.E(u t u ′ t |F t−1) = E(u t u ′ t ) = Σ u tal que⎡ ⎤σ11 2 0 ··· 00 σ22 2 0 0Σ u = ⎢ . .⎣.. . ... ⎥. ⎦ .0 0 ··· σmm2Nosso objetivo é estimar os parâmetros do modelo.Mas para isso vamos começar considerando alguns casosparticulares.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo ARDLO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARConsidere o seguinte modelo ARDL:y t = α 0 +α 1 y t−1 +···+α p y t−p +β ′ 0x t +···+β ′ px t−p +u y,ty t = λ ′ v t +e t ,onde:λ = ( α 0 ,α 1 ,...,α p ,β ′ 0 ,...,β′ p) ′;v t = ( 1,y t−1 ,...,y t−p ,x ′ t,...,x ′ t−p) ′ee t = u y,t .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo ARDLO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARSuponha que o objetivo seja estimar o vetor de parâmetros λ.Perguntas importantesComo estimar λ?Sob quais hipóteses os estimadores serão consistentes para λ eassintoticamente normais?Como testar hipóteses sobre respeito dos parâmetros?Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARO Modelo ARDLO estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) édefinido por̂λ MQO =ou(∑ Tv t v ′ tt=1) −1∑ Tv t y tt=1̂λ MQO = (V ′ V) −1 V ′ ySob (H.1) e (H.2) ŷ t = ̂λ ′ MQO v t é a “melhor” aproximaçãolinear para a média condicional E(y t |v t ).Note que ̂λ MQO não é necessariamente consistente para λ.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo ARDLO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARConsidere a seguinte hipótese adicional:(H.3) E(e t |v t ) = 0 ⇒ Exogeneidade fracaSob (H.1), (H.2) e (H.3) ̂λ MQO será consistente para λ eassintoticamente normal, ou seja,√ ) d→ T(̂λMQO −λ N(0,A −1 ).Caso(H.4) E(e t e s ) = 0 ∀t ≠ s(H.5) E(e 2 t ) = σ2 ,então A −1 = σ 2 M −1VV ondeM VV = limT→∞1TT∑E ( v t v ′ t).t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo ARDLO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARNa prática M VV é aproximada por V ′ V, logôλ MQO ≈ N(λ,σ 2 (V ′ V) −1 ).Para demonstrarmos os resultados anteriores, vamosconsiderar a seguinte equação:( T) −1∑ ∑ T̂λ MQO = λ+ v t v ′ t v t e t .t=1t=1Portanto, iremos precisar de uma “Lei dos Grandes Números”e um “Teorema Central do Limite” para processosdependentes.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARO modelo AR(1): y t = αy t−1 +u tHipóteses:E[u t |F t−1 ] = 0E [ u 2 t |F t−1]= σ2Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARO estimador de MQO é dado por:̂α =( T∑) −1∑ Ty t y t−1 =yt−12t=1 t=1T∑y t y t−1.T∑t=1yt−12t=1Dado que y t = αy t−1 +u t , podemos escrever̂α =T∑ [ ]αy2t−1 +u t y t−1t=1T∑yt−12t=1= α+T∑u t y t−1.T∑t=1yt−12t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARO que implica quêα−α =∑ Tt=1 u ty t−1∑ Tt=1 y2 t−1=1T∑ Tt=1 u ty t−11T∑ Tt=1 y2 t−1.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARTeoria Assintótica - Caso do AR(1)Consistência: ̂α−α p → 0Para provar consistência de ̂α é necessário o cálculo deplim 1 ∑ TT t=1 u ty t−1plim 1 ∑ TT t=1 y2 t−1Portanto, é necessária uma Lei dos Grandes Números parau t y t−1 e yt−1 2 ! Marcelo C. Medeiros Séries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARCondições para u t y t−1 :E[u t y t−1 ] = E[E[u t y t−1 |F t−1 ]]= E[y t−1 E[u t |F t−1 ]] = 0E [ ut 2 [ [t−1] y2 = E E u2t yt−1 2 |F ]]t−1= E [ yt−1E 2 [ ut|F 2 ]]t−1= E [ yt−1 2 σ2] = σ 2 E [ yt−12 ]} {{ }=σ 2 /(1−α 2 )= σ 4 / ( 1−α 2)Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARPara s > t:E[u t y t−1 u s y s−1 ] = E[E[u t y t−1 u s y s−1 |F s−1 ]]= E[y t−1 u t y s−1 E[u s |F s−1 ]]= 0Logo, a sequência {u 2 y 1 ,...,u T y T−1 } não é correlacionada.Pela Lei dos Grandes Números de Markov:plim 1 TT∑u t y t−1 = 0t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARCondições para y 2 t−1 :plim 1 TT∑yt 2 = plim 1 Tt=1T∑(αy t−1 +u t ) 2t=1= α 2 plim 1 T+2αplim 1 T+plim 1 TT∑T∑t=1y 2 t−1T∑y t−1 u tt=1ut2t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARNo entanto, note queT∑ T∑yt 2 − yt−1 2 = yT 2 −y2 1 = O p (1).t=2 t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARCom isso,plim 1 TT∑yt 1 = α2 plim 1 Tt=1T∑t=1y 2 t−α 2 plim 1 T O p(1)} {{ }=0T∑y t−1 u t+2αplim 1 Tt=1} {{ }mostramos ser igual a 0+plim 1 TT∑ut 2 .t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARPela Lei dos Grandes Números,(1−α2 ) plim 1 T⇒ plim 1 TT∑yt 2 = plim 1 Tt=2T∑ut 2 = σ 2t=1T∑yt−1 2 = σ 2 / ( 1−α 2) .t=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARE, pelo Teorema de Slutsky,plim(̂α−α) = plim 1 ∑ TT t=1 u ty t−1plim 1 ∑ TT t=1 y2 t−10=σ 2 /(1−α 2 ) = 0.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARNormalidade AssintóticaSeja(√T (̂α−α) =Como já demonstrado:Resta mostrar que1Tt=1T∑t=1y 2 t−1√1∑ )TT t=1 u ty t−1(1T∑ Tt=1 y2 t−1p→σ2(1−α 2 ) .) .1 ∑T d σ√ u t y t−1 → N[0,4 ]T (1−α 2 )Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARTLC para processos do tipo “diferença martingal”,Seja Z t = u t y t−1(⇒ Z = 1 ∑ )TT t=2 u ty t−1LogoE [ ]Zt2 = σ 4 / ( 1−α 2)∑1 T σ 4T t=1 (1−α 2 ) = σ4 / ( 1−α 2)E[|Z t| r ] < ∞ para r > 2 e ∀tMarcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(1)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARPela Decomposição de Wold,y t−1 =∞∑ψ i u t−1−i .i=0[É fácil mostrar que E |y t−1 u t | 2+δ] < ∞, dado queE[|u t−1−i u t | 2+δ]√ [ E |u t−1−i | 4+2δ] [E |u t | 4+2δ] < ∞,por Cauchy-Schwarz.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(p)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARModelo AR(p):y t = α 0 +α 1 y t−1 +α 2 y t−2 +...+α p y t−p +u tDefinaβ = (α 0 ,α 1 ,α 2 ,··· ,α p ) ′ ex t = (1,y t−1 ,y t−2 ,··· ,y t−p ) ′ .Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(p)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARPortanto,[√ )1 T(̂β −β =T] −1 [ ]T∑x t x ′ 1 ∑Tt √ u t x t ,Tt=1t=2onde⎡ ∑ ∑ ⎤T yt−1 ··· yt−p∑yt−1 ∑ T∑y2∑t−1 ··· yt−1y t−p∑yt−2 ∑ ∑ x tx ′ t =yt−1y t−2 ··· yt−2y t−p⎢⎣... ... ⎥ .. ⎦∑ ∑ ∑yt−p yt−1y t−p ··· y2t−pt=1Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(p)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARAlém disso:T −1 T ∑[Logot=1T −1 T ∑1Tt=1y t−ip−→ µ ey t−i y t−jp−→ γ |i−j| +µ 2 .T∑x t x ′ t] −1p−→ Q −1 , comt=1⎡⎤1 µ µ ··· µµ γ 0 +µ 2 γ 1 +µ 2 ··· γ p−1 +µ 2Q =µ γ 1 +µ 2 γ 0 +µ 2 ··· γ p−2 +µ 2⎢⎣.. . . ..⎥. ⎦µ γ p−1 +µ 2 γ p−2 +µ 2 ··· γ 0 +µ 2Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoTeoria Assintótica - Caso do AR(p)O Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VARV[x t u t ] = σ 2 Q1/ √ T ∑ x t u td−→ N ( 0,σ 2 u Q)Das condições acima:√T(̂β −β) d−→ N ( 0,σ 2 uQ −1)Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

Alguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo ARMADLO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAROs parâmetros do modelo ARMADLy t =α 0 +α 1 y t−1 +...+α p y t−p +β ′ 0 x t +...+β ′ p x t−p+θ 1 u y,t−1 +...+θ q u y,t−q +u y,t ,devem ser estimados por procedimentos de otimizaçãoiterativos.Os resultados assintóticos podem ser obtidos a partir dos doisteoremas sobre estimação-M.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos

O Modelo VARAlguns Resultados em Teoria AssintóticaEstimaçãoO Modelo EstruturalOs Modelos ARDL e ARMADLO Modelo VAROs parâmetros do modelo VARz t = C 0 +C 1 z t−1 +...+C p z t−p +v t ,podem ser estimados por MQO equação por equação.Sob as mesmas condições descritas para o caso do ARDL, osestimadores serão consistentes e assintoticamente normais.Marcelo C. MedeirosSéries Temporais e Modelos Dinâmicos