Casamento de Grafos - Grafo Associativo

GRAFOSIsomorfismo e Casamento de GrafosMARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Equivalência estruturalNo grafo G vê-se que o nó 1 é vizinho a 2, 3 e 5, não a outrosNo grafo H vê-se que s=f(1) é adjacente a t=f(2), u=f(3) e w=f(5), , masnão a outros.Portanto, vê-se que a bijeção f: V G → V H também existe para arelação de vizinhançaMARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Isomorfismo - definiçãoDefiniçãoSeja G e H dois grafos simples. Uma bijeção entre os nós f: V G→ V Hpreserva aadjacência se para cada par de nós adjacentes u e v no grafo G, , os vértices f(u)e f(v) forem adjacentes no grafo H.DefiniçãoUma bijeção entre os nós f: V G → V H preserva a estrutura se a estrutura deadjacência e não-adjacência é preservada.MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

IsomorfismoNão existem algoritmos polinomiais para identificar se dois grafos sãoisomórficos 1 .Uma das formas de verificar se ocorre o isomorfismo entre dois grafos é provarexatamente o contrário através do conceito de invariante (propriedade que épreservada pelo isomorfismo, como por exemplo, o número de nós e o grau).1R. C. Read, , D. G. Corneil. The graph isomorphism disease. Journal of Graph Theory, vol. . 1, pp. . 339-363, 1977.MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Casamento de grafosEm determinadas situações, o isomorfismo entre grafos pode não ser alcançadoe, portanto, é necessária uma outra metodologia para comparar a similaridadeentre grafos.As técnicas tque procuram determinar a correspondência entre grafos (nós e/ouarestas), sem que necessariamente seja preservada a estrutura, sãodenominadas de casamento de grafos (graph matching).Portanto, os grafos não nprecisam ser necessariamente iguais para que hajacasamento (correspondência) entre eles.Há á diversas formas de calcular a correspondência entre grafos. Seráapresentada a seguir o casamento de grafos por meio de uma estruturarelacional denominada de grafo associativo.MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Casamento - Grafo Associativo (GA)DefiniçãoGrafo associativo é uma estrutura relacional construída a partir de dois outrosgrafos a fim de se determinar a correspondência (casamento) entre eles.Construção do GASejam dois grafos G 1=(V 1,E 1) e G 2=(V 2,E 2).Um grafo associativo GA=(V,E) é o grafo:- Para cada nó v 1∈ V 1e v 2∈ V 2construa um nó v de GA com rótulo (v(1,v 2)- Conecte os nós de GA caso os mesmos sejam compatíveisA definição de compatibilidade é dependente do problema. Um possível critériopara o estabelecimento das arestas é o uso do princípio da exclusão (unicidadeda correspondência entre nós).MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Casamento - Grafo Associativo (GA)É dado um exemplo abaixo da construção de um GA para 2 árvores T 1e T 2.GAT 1T 2MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Casamento - Grafo Associativo (GA)Aonde está á uma possível solução para o problema de correspondência entre T 1eT 2? (CLIQUE)MARCO ANTONIO GARCIA DE CARVALHOAbril de 2009Grafos e Aplicações

Grafo Associativo - CliqueALGORITMO 1 ⎯ Determinação do clique máximo Cm de um grafo associativoEntrada: Grafo associativo GA = (V, E) e número de nós nSaída:Clique máximo CmC←∅% cliques de GACm←∅% clique máximo de GARotular os nós de GAPARA cada nó i até n FAÇASE rótulo(i)=i ENTÃOFUNÇÃO⎯ CLIQUE (C, k, V)C ← i % novo cliquePARA cada nó j←k+1até n FAÇAFIM SESE nó j é vizinho de todos os nós em C ENTÃOCLIQUE(C, C, i, V) VC ← C + {j}SE C é maximal ENTÃOrótulo(j) = rótulo(k)Cm ← CCLIQUE(C, j, V)FIM SEFIM SEFIM PARAFIM PARAMARCO 1B. Yang, ANTONIO W. E. GARCIA Snyder, DE , G. CARVALHOL. Bilbro. Matching oversegmented 3D images to models Grafos using associatione AplicaçõesAbril graph. de Image 2009 and Vision Computing, vol. . 7, no. 2, pp. . 135-143, 1989.