Lista de Exerc´ıcios 1 - Impa

UFS - PROMATDisciplina: Geometria DiferencialProfessor: Almir Rogério Silva SantosLista de Exercícios 11. Seja α : I → R 3 uma curva regular.(a) Mostre que α é uma reta se α ′ (t) e α ′′ (t) são linearmente dependentes para todo t ∈ I.(b) Mostre que α é uma reta se todas as retas tangentes têm um ponto em comum.(c) Estes resultados valem se α não é regular?2. Um disco circular de raio 1 no plano xy gira sem escorregar ao longo do eixo Ox, figura1.7. A figura descrita por um ponto da circunferência do disco é chamada uma ciclóide (Vejawww.impa.br/ arss/figuras/cicloide).(a) Obtenha uma curva parametrizada α : R → R 2 cujo traço seja uma ciclóide e determineseus pontos singulares (pontos da curva com derivada nula). Suponha que α(0) = (0, 0).(b) Calcule o comprimento de arco da ciclóide correspondente a uma rotação completa dodisco.(c) Calcule a curvatura de α nos seus pontos regulares.3. Seja OA um diâmetro, de comprimento 2a, de um círculo S 1 e sejam OY e AV as retastangestes a S 1 , respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r é traçada a partir de O eencontra o círculo S 1 em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Op demaneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, o ponto pdescreve uma curva chamada a cissóide de Diocles. Tomando O como a origem do plano xy,OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que1

(a) O traço deα(t) =( 2at21 + t 2 , 2at 31 + t 2 ), t ∈ R,é a cissóide de Diocles (t = tan θ, ver figura 1.8).(b) A origem (0, 0) é um ponto singular da cissóide.(c) À medida que t → ∞, α(t) se aproxima da reta x = 2a, e α′ (t) → (2a, 0). Assim, quandot → ∞, a curva e a sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemos que x = 2a éuma assíntota da cissóide.4. Seja α : (0, π) → R 2 dada porα(t) = (sin t, cos t + log tan t 2 ),onde t é o ângulo que o vetor α ′ (t) faz com o eixo Oy. O traço de α é chamado de tractriz(Figura 1.9). Mostre que(a) α é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em t = π 2 .(b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixoOy é constante e igual a 1.5. Seja α(t) = (ae bt cos t, ae bt sin t), t ∈ R, a > 0 e b < 0 constantes, uma curva parametrizada.2

(a) Mostre que quando t → +∞, α(t) aproxima-se da origem, espiralando-se em torno dela(por causa disto, o traço de α é chamada a espiral logarítmica, ver figura abaixo).(b) Mostre que α ′ (t) → (0, 0) quando t → +∞ e que∫ tlimt→+∞t 0|α ′ (t)|dté finito; isto é, α tem comprimento de arco finito em [t 0 , ∞).6. Da origem de R 2 trace uma reta passando por qualquer ponto P do círculo de raio a centradoem (0, a). Seja Q o ponto de interseção desta reta com a reta y = 2a. O ponto de interseçãoda reta vertical passando por Q com a reta horizontal passando por P é um ponto pertencentea curva chamada de Curva de Agnesi. Seja t o ângulo entre o eixo vertical e a reta passandopor (0, 0), P e Q. Mostre que a curva de Agnesi é parametrizada porα(t) = (2a tan t, 2a cos 2 t).7. Considere a curvaα(t) =( )11√2 cos t, sin t, √ cos t , para 0 ≤ t ≤ 2π.2Identifique a curva. Calcule α ′ (t), α ′′ (t) e L(α).8. A involuta de um curva regular α : I → R 3 é definida comoI(t) = α(t) − s(t) α′ (t)|α ′ (t)| .Mostre que a involuta de uma hélice é uma curva plana.9. Seja α : I → R 2 uma curva p.c.a. Mostre que, a menos do sinal, a curvatura de α é dada pordθds , onde θ é o ângulo entre o vetor tangente T e e 1 = (1, 0).3

10. Considere a curvaα(t) =((1 + s) 3 23, (1 − s) 3 23,)s√ , para − 1 < s < 1.2Mostre que ∥α ′ ∥ = 1. Calcule a curvatura e a torçao. O que você pode dizer sobre esta curva?11. Mostre que uma curva α(s) é está contida em um círculo se, e somente se, κ > 0 é constantee τ = 0.12. (Taxa de variação do comprimento de arco) Seja α(s) uma curva p.c.a., com [a, b]. Considereum vetor v(s) tal que ⟨v(s), α ′ (s)⟩ = 0 para todo s. Considere para ε > 0 suficientementepequeno a curva β ε (s) = α(s) + εv(s). Semostre quedL β (ε)dεObserve que se v(s) = N(s), entãoL β (ε) =∫ ba∣ = −ε=0L ′ (0) = −∥β ′ ε(s)∥ds,∫ ba∫ baκ⟨N, v(s)⟩ds.κ(s)ds13. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por(∫ 2∫ s)β(s) = cos θ(u)du, sin θ(u)du , onde θ(u) =00∫ u0κ(t)dtMostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que ∥β ′ (s)∥ = 1 e calcule T ′ β .14. Seja α uma curva plana regular com evoluta E(t). Mostre que a involuta de E é a curva α.15. Considere a aplicação⎧⎪⎨α(0) =⎪⎩(t, 0, e − 1t 2 ), t > 0(t, e − 1t 2 , 0), t < 0(0, 0, 0), t = 0(a) Prove que α é uma curva diferenciável.√2(b) Prove que α é regular para todo t e que a curvatura k(t) ≠ 0, para t ≠ 0, t ≠ ±3 , ek(0) = 0.(c) Mostre que o limite dos planos osculadores quando t → 0, t > 0, é o plano y = 0 mas queo limite dos planos osculadores quando t → 0, t < 0, é o plano z = 0 (isto mostra que ovetor normal é descontínuo em t = 0 e mostra porque excluímos pontos onde k = 0).4

(d) Mostre que, mesmo sem ser α uma curva plana, pode-se definir τ de forma que τ ≡ 0.16. Suponha que τ(s) ≠ 0 e k ′ (s) para todo s ∈ I. Mostre que uma condição necessária esuficiente para que α(I) esteja contida em uma esfera é queR 2 + (R ′ ) 2 T 2 = constante,onde R = 1 k , T = 1 τ , e R′ é a derivada de R em relação a s. Dica: Ver [dC].17. A esfera de raio R em R 3 , S 2 R é o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 tais que x 2 +y 2 +z 2 = R 2 .Seja α : [a, b] → R 3 uma curva p.c.a. tal que sua imagem esteja contida em S 2 R . Seja k acurvatura de α. Mostre que k ≥ 1 R . Dica: Note que ∥α(s)∥2 = R 2 para todo s ∈ [a, b].18. Seja α uma curva regular p.c.a. em R 3 . O plano osculador de α no instante s é o planocontendo o ponto α(s) gerado pleos vetores velocidade T (s) e normal N(s). Suponha queexista um ponto fixo p em R 3 tal que p pertença ao plano osculador a α no instante s, paratodo s (ou seja,) p pertença a todos os planos osculadores de α). Mostre que α é uma curvaplana.19. Seja α : [a, b] → R 3 uma curva regular, não necessariamente p.c.a. Sejam k(t) a curvatura deα e τ(t) sua torção, t ∈ [a, b]. Mostre quepara t ∈ [a, b].k(t) = ∥α′ (t) × α ′′ (t)∥∥α ′ (t)∥ 3 e τ(t) = − ⟨α′ (t) × α ′′ (t), α ′′′ (t)⟩∥α ′ (t) × α ′′ (t)∥ 220. Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um ponto fixo. Mostreque o traço da curva está contido em um círculo. Dica: Ver [dC].21. (a) Sejam A, B constantes, com A > 0. Encontre uma curva p.c.a. α : R → R 3 com curvaturak ≡ A e torção τ ≡ B (Considere cada um dos casos B > 0, B < 0 e B = 0).(b) Mostre que uma curva regular α : [a, b] → R 3 com curvatura k > 0 é plana se e somentesua torção é identicamente nula.22. Mostre que a curvatura é invariante por isometrias. Isto é, mostre que se α : [a, b] → R 3 éuma curva regular com curvatura k α e f : R 3 → R 3 é uma isometria, então β(t) := f(α(t))é uma curva regular com curvatura k β (t) = k α (t), t ∈ [a, b]. Sugestão: Uma transformaçãolinear ortogonal preserva o produto interno. Use o problema 5.23. Mostre que a torsão é invariante por isometrias, a menos de um sinal.5

24. Mostre que o conhecimento da função vetorial b = b(s) (vetor binormal) de uma curva α, detorção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e o valor absoluto da torção τ(s)de α. Dica: Ver [dC].25. Determine todas as curvas regulares p.c.a. tais que o seu vetor binormal é dado por⎛⎞B(s) = √ 1 1s⎝−√, −2√ √ , 1⎠1 + s2 2 2 1 + s2 2e tais que passam pelo ponto (0, 1, 0) quando s = 0. Sugestão: Use as equações de Frenet.d1Dica:dx (sinh−1 )(x) = √ .1 + x 226. Seja k : (a, b) → R uma função diferenciável. Seja t 0 ∈ (a, b). Sejam x 0 e v 0 ≠ 0 emR 2 . Mostre que existe uma, e uma única curva regular α : (a, b) → R 2 tal que α(t 0 ) = x 0 ,α ′ (t 0 ) = v 0 e k é a curvatura de α. Exiba a curva no caso em que x 0 = (0, 0), v 0 = (1, 0) e1k(t) = √ , t ∈ (−1, 1).1 − t 227. Mostre que o conhecimento da função vetorial n = n(s) (vetor normal) de uma curva α, detorção não nula em toda parte, determina a curvatura k(s) e a torção τ(s) de α. Dica: Ver[dC].28. Mostre que a curvatura k(s) ≠ 0 de uma curva parametrizada regular α : I → R 3 é acurvatura em t da curva plana π ◦ α, onde π é a projeção ortogonal sobre o plano osculadorem t. Dica: Ver [dC].29. O concóide de Nicomedes em coordenadas polares é r = acos θ+ c, a ≠ 0, c ≠ 0, −π ≤ θ ≤ π.Esboce e encontre uma representação em coordenadas retangulares.30. Seja κ(s) uma função diferenciável. Defina uma curva β por(∫ 2β(s) = cos θ(u)du,0∫ s0)sin θ(u)du , onde θ(u) =∫ u0κ(t)dtMostre que a curvatura de β(s) é κ(s). Dica: Mostre que ∥β ′ (s)∥ = 1 e calcule T ′ β .[dC] do CARMO, M. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. SBM.6